1. Wyznacz dziedzinę funkcji

1.1. y =

√

x + 1

3x

+

2

|x|

1.2. y =

√

x −

p

1 − x

2

1.3. y =

2 −

√

x

2 − x

+ log(x − 2)

1.4 y = log(

√

x − 3) −

√

x − 3

1.5. y =

1

3 −

√

x

2

− 6x + 8

1.6. y =

2

log

2

√

1 − x

1.7. y =

q

1 −

√

1 − x

1.8. y = log

2

(x + 3) − 2 log

1

x

1.9. y =

s

1

ln(1 − x)

1.10. y =

√

1 − sin x

1 +

√

x

2. Wyznacz miejsca zerowe i znak funkcji

2.1. y =

x + 3

1 − 2x

2.2. y =

1

x + 1

−

1

x

2.3. y = x

3

− 5x

2.4. y = 2x

3

+ 3x

2

2.5. y = 1 − 2

√

x + 3

2.6. y = |

√

x − 2| − 3

2.7. y = 3 − |2x − 1|

2.8. y = x

4

− 3x

2

1

2.9. y =

p1 − |x| − 3

2.10. y = |x

2

− 3x| − 1

3. Rozwiąż równania i nierówności

3.1. x

2

− 2x

2

− 9x + 18 = 0

3.2. x

4

− 2x

2

− 15 = 0

3.3. x

3

> 5x.

3.4. x

3

− 2x

2

+ 18 ≥ 9x.

3.5. x

4

− 2x

2

< 3.

3.6.

4x − 1

x + 1

−

3

x − 1

= 5 −

x

2

+ 5

x

2

− 1

3.7.

x + 2

x − 2

=

x + 3

x − 3

+

2

x

2

− 5x + 6

3.8.

3x − 1

x + 2

< 1

3.9. x

2

>

1

x

3.10.

1

2 − x

+

5

2 + x

≤ 1

4. Dana jest funkcja. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i wzór funkcji odwrotnej

4.1. y =

2 − 4x

3

4.2. y =

x − 4

2x + 1

4.3. y =

√

2x − 3 + 1

4.4. y = 3

1−2x

− 3

4.5. y = ln(1 +

√

x).

4.6. y = −2 sin x + 1, x ∈ −

π

2

;

π

2

4.7. y =

1

4 + arccos x

, x ∈ (−1, 1)

4.8. y = 2 − x

3

2

4.9. y =

r x + 1

x − 1

4.10. y = x

2

− 3x, x ≥ 2

5. Oblicz granice ciągów

5.1. lim

n→∞

3 − 4n

(n − 3)

3

− (n + 3)

3

.

5.2. lim

n→∞

(2n + 1)

2

− (n + 1)

2

n

2

+ n + 1

.

5.3. lim

n→∞

(n + 2)

3

+ (n − 2)

3

n

4

+ n

2

− 1

.

5.4. lim

n→∞

(

p

n

3

− n

2

+ 1 − 3n).

5.5. lim

n→∞

3 · 2

n

− 4

n

3

n

+ 1

.

5.6. lim

n→∞

1

1 +

√

2n − n

5.7. lim

n→∞

2

n −

√

n

2

+ 4n

5.8. lim

n→∞

r

3

n

− 3

2

n+1

+ 3

n

5.9. lim

n→∞

n

√

3

n

− 2

n

− 1

5.10. lim

n→∞

n

√

1 + 2

n

+ 3

n

· 4

n

5.11. lim

n→∞



1 +

2

n + 1



1−2n

5.12. lim

n→∞

 2n + 3

2n



n−3

Odpowiedzi

1.1. x ∈ h−1; 0) ∪ (0; +∞). 1.2. x ∈ h0; 1i. 1.3. x ∈ (2; +∞). 1.4. x ∈ (9; +∞). 1.5. x ∈ (−∞; 3 −

√

10) ∪

(3 −

√

10; 2i ∪ h4; 3 +

√

10) ∪ (3 +

√

10; +∞). 1.6. x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 1). 1.7. x ∈ h0; 1i. 1.8. x ∈ (0; +∞). 1.9.

x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 1). 1.10. x ∈ R.

2.1. Miejsca zerowe: x = −3, wartości dodatnie dla x ∈ (−3;

1
2

), wartości ujemne dla x ∈ (−∞; −3) ∪

(

1
2

; +∞).

3

2.2. Miejsca zerowe: nie ma, wartości dodatnie dla x ∈ (−1; 0), wartości ujemne dla x ∈ (−∞; −1) ∪

(0; +∞).

2.3. Miejsca zerowe: x = −

√

5, 0,

√

5, wartości dodatnie dla x ∈ (−

√

5; 0) ∪ (

√

5; +∞), wartości ujemne

dla x ∈ (−∞; −

√

5) ∪ (0;

√

5).

2.4. Miejsca zerowe: x = −

3
2

, 0, wartości dodatnie dla x ∈ (−

3
2

; 0) ∪ (0; +∞), wartości ujemne dla

x ∈ (−∞; −

3
2

).

2.5. Miejsca zerowe: x = −2

3
4

, wartości dodatnie dla x ∈ h−3; −2

3
4

), wartości ujemne dla x ∈ (−2

3
4

; +∞).

2.6. Miejsca zerowe: x = 25, wartości dodatnie dla x ∈ (25; +∞), wartości ujemne dla x ∈ h0; 25).

2.7. Miejsca zerowe: x = −1, 2, wartości dodatnie dla x ∈ (−1; 2), wartości ujemne dla x ∈ (−∞; −1) ∪

(2; +∞).

2.8. Miejsca zerowe: x = −

√

3, 0,

√

3, wartości dodatnie dla x ∈ (−∞; −

√

3)∪(

√

3; +∞), wartości ujemne

dla x ∈ (−

√

3; 0) ∪ (0;

√

3).

2.9. Miejsca zerowe: nie ma, wartości dodatnich nie przyjmuje, wartości ujemne dla x ∈ h−1; 1i.

2.10. Miejsca zerowe: x =

3−

√

13

2

,

3−

√

5

2

,

3+

√

5

2

,

3+

√

13

2

, wartości dodatnie dla

x ∈



−∞;

3−

√

13

2



∪



3−

√

5

2

;

3+

√

5

2



∪



3+

√

13

2

; +∞



, wartości ujemne dla x ∈



3−

√

13

2

;

3−

√

5

2



∪



3+

√

5

2

;

3+

√

13

2



.

3.1. x = −3, 2, 3. 3.2. x = −

√

5,

√

5. 3.3. x ∈ (−

√

5; 0) ∪ (

√

5; +∞). 3.4. x ∈ h−3; i2 ∪ h3; +∞). 3.5.

x ∈ (−

√

3;

√

3). 3.6. Nie ma rozwiązań. 3.7. x = −1. 3.8. x ∈ (−2;

3
2

). 3.9. x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞). 3.10.

x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞).

4.1. D = V = R, y = −

3
4

x +

1
2

. 4.2. D = R \ {

1
2

}, V = R \ {−

1
2

}, y =

x+4

1−2x

. 4.3. D = h1; +∞),

V = h−

3
2

; +∞), y =

1
2

(x − 1)

2

+

3
2

. 4.4. D = (−3; +∞), V = R, y =

1
2

−

1
2

log

3

(x + 3). 4.5. D = V = h0; +∞),

y = (e

x

− 1)

2

. 4.6. D = (−1; 3), V = (−

π

2

;

π

2

), y = arcsin

1
2

(1 − x). 4.7. D = (

1

4+π

;

1
4

), V = (−1; 1),

y = cos(

1

x

− 4). 4.8. D = V = R, y =

3

√

2 − x. 4.9. D = h0; 1) ∪ (1; +∞), V = (−∞; −1i ∪ (1; +∞), y =

x

2

+1

x

2

−1

.

4.10. D = h−2; +∞), V = h2; +∞), y =

3+

√

9+4x

2

.

5.1. 0. 5.2. 3. 5.3. 0. 5.4. +∞. 5.5. −∞. 5.6. 0. 5.7. −1. 5.8. 1. 5.9. 3. 5.10. 12. 5.11. e

−2

. 5.12.

√

e.

4