Granica funkcji

 Definicja Heine'go

Liczbę a nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie
jeśli dla każdego ciągu
 argumentów funkcji zbieżnego do
 o wyrazach różnych od
, odpowiadający mu ciąg
wartości funkcji jest zbieżny do a.

Fakt, że granicą funkcji przy x dążącym do
jest liczba a zapisujemy:

 

 

Jeżeli
 (X - dziedzina funkcji) są dowolnymi funkcjami, to:

 sumą funkcji f i g nazywamy funkcję
określoną wzorem:

 

 różnicą funkcji f i g nazywamy funkcję
określoną wzorem:

 

 

• iloczynem funkcji f i g nazywamy funkcję
  określoną wzorem:

 ilorazem funkcji f i g nazywamy funkcję
określoną wzorem:

 

 

 

• iloczynem funkcji f przez liczbę rzeczywistą k nazywamy funkcję
  określoną wzorem:

 Jeśli funkcje f i g mają w punkcie
 granice odpowiednio a i b, to istnieją w punkcie
granice funkcji
 i zachodzą związki:

 

 Funkcja różnowartościowa.

DEFINICJA:
Funkcję f: X
Y nazywamy różnowartościową w zbiorze A zawartym w X, gdy dla każdych x₁, x₂
A prawdziwa jest implikacja:

tzn. funkcja różnowartościowa przyporządkowuje różnym argumentom różne wartości.
 Funkcję różnowartościową nazywamy również injekcją.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) - funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja przyporządkowująca każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element obrazu) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Definicja formalna

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór
iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y, który spełnia następujące warunki:

• 
  .

• 
  .

• 
  .

• 
  .

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

Ciągłość funkcji

 Funkcja y = f(x) jest ciągła w punkcie
 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: istnieje granica funkcji w punkcie
, równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli:

 Funkcja ciągła w punkcie
, którego pewne otoczenie zawiera się w X (dziedzina funkcji), ma następującą własność:

dla każdej liczby dodatniej
istnieje taka liczba dodatnia
 taka, że do wykresu funkcji wraz z punktem
należą wszystkie punkty S postaci
i są one odległe od punktu P o mniej niż

 

 

 

Każdy punkt
, w którym funkcja jest ciągła nazywa się punktem ciągłości funkcji. Funkcja f (x) nazywa się funkcją nieciągłą, jeśli nie jest funkcją ciągłą, w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny.

 

Funkcja y = f(x) jest:

• ciągła w przedziale otwartym (a;b), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
  

• ciągła w przedziale domkniętym , jeżeli spełnia warunki:

• jest ciągła w (a;b)

• funkcja jest prawostronnie ciągła w punkcie a

 

funkcja jest lewostronnie ciągła w punkcie b

 

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie
 to:

        funkcje f + g, f - g, fg są funkcjami ciągłymi w punkcie

 

        funkcja
 jest ciągła w punkcie

Własność Darboux

Jeżeli y = f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym
to istnieje taki punkt

 Jeżeli y = f(x) jest ciągła w przedziale
, to jest w nim ograniczona i przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą i największą. Jeżeli y = f(x) jest ciągła w przedziale
, to istnieje taki punkt
(miejsce zerowe funkcji).

Twierdzenie Weierstrassa.

Twierdzenie. Niech
będzie funkcję ciągłą. Wtedy istnieje najmniejsza
i największa
wartość fonkcji
w przedziale
. Ponadto istnieją takie punkty
oraz
, że
, a
Uwaga. Twierdzenie Weierstrassa (czyt: wajersztrasa) pozostaje prawdziwe jeśli przedział
zastąpimy np. sumą kilku takich przedziałow. Wszystkie one muszą być domknięte i ograniczone. Uwaga. Twierdzenie Weierstrassa nazywamy też twierdzeniem o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej w przedziale domkniętym i ograniczonym.

Funkcja odwrotna do funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją różnowartościową i "na", czyli funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją).Tak więc skoro f ^{− 1} jest funkcją odwrotną do f, to jasnym jest, iż f jest funkcją odwrotną do f ^{− 1}. Funkcje f oraz f ^{− 1} nazywamy wtedy funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Jeżeli taka funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona jedyna, zaś samą funkcję f nazywamy funkcją odwracalną.Własności funkcji odwrotnej są ściśle związane z własnościami funkcji danej - poniższa tabela przedstawia niektóre z tych powiązań dla rzeczywistej funkcji f.

la funkcji określonych na zbiorze liczb rzeczywistych

• funkcją odwrotną do y = 3x jest funkcja
  ,

• funkcją odwrotną do f(x) = 3x − 2 jest funkcja
  ,

• funkcja g(x) = x² nie ma odwrotnej, jeżeli za jej dziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych, ma natomiast odwrotną, jeżeli za dziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych; funkcją odwrotną jest wtedy funkcja
  ,

• funkcją odwrotną do
  danej wzorem
  jest ta sama funkcja: h = h ^{− 1},

• funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej jest funkcja wykładnicza.

---