Arkusz nr 3
1. Oblicz granice:
a) lim
n→∞
2−n
1+2n
,
n
2
−3
n(2+n)
b) lim
n→∞
2
n
−3
n+1
2
n
+3
n
,
3
4
n
(n+1)
c) lim
n→∞
n
√
3
n
+ 5 · 2
2n
,
2
n
√
n
, sin
1
n
2. Wyznacz i naszkicuj dziedzinę naturalną funkcji f określonej wzorem:
a) f (x, y) =
√
4 − x
2
− y
2
b) f (x, y) = ln(x · y)
c) f (x, y) =
1
e
x y
−1
d) f (x, y) =
√
1−|x−2|
x
2
−xy
e) f (x, y) = arc sin(y − x)
f) f (x, y) =
ln(4−y−x
2
)
√
4y−y
2
−3
3. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) f (x, y) = 2x
2
+ y
2
b) f (x, y) = −
√
x
2
+ y
2
c) f (x, y) = 4 − x + 2y
d) f (x, y) = 1 − |x|
e) f (x, y) = 1 −
√
3 − x
2
− y
2
f) f (x, y) =
√
2x − x
2
− 4y − y
2
4. Wyznacz i naszkicuj dziedzinę naturalną funkcji f określonej wzorem:
a) f (x, y, z) =
x−y
x
2
+y
2
+z
2
b) f (x, y, z) =
√
1 − x
2
− y
2
c) f (x, y, z) =
ln(z−x
2
−y
2
)
√
2−z
5. Oblicz granice:
a)
lim
(x,y)→(1,−1)
x
x
2
+y
2
b)
lim
(x,y)→(0,0)
x
4
−y
4
x+y
c)
lim
(x,y)→(0,0)
x−2
x
4
+y
4
6. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji:
a) f (x, y) = 2xy + y
3
− x
2
b) f (x, y) =
x
2
y
+
y
x
c) f (x, y) = ln(x + y
2
)
7. Wyznacz pochodne cząstkowe drugiego rzędu następujących funkcji:
a) f (x, y) = x
3
+ xy
2
− y
4
b) f (x, y) =
e
xy
c) f (x, y) = x ln
2
y + y
2
ln x
8. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następujących funkcji:
a) f (x, y, z) = x
2
z + yz
2
+ z
3
b) f (x, y, z) = 3x + arc tg
y
2
z
c) f (x, y, z) =
√
z · cos(x + y
2
)
9. Oblicz wskazane pochodne funkcji f:
a)
∂
3
f
∂x∂y
2
,
f (x, y) =
e
x
y
3
b)
∂
4
f
∂y
2
∂x
2
,
f (x, y) = ln x + x
2
arc tg y
c)
∂
2
f
∂z∂y
,
f (x, y, z) = sin(
√
x + 2y − z)
10. Korzystając z reguł różniczkowania funkcji złożonych oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
względem zmiennych x i y funkcji F w punkcie p
0
= (x
0
, y
0
):
a) F (x, y) = f (u, v) = u
3
+ uv − v
2
, u = x − y, v = x + 2y, p
0
= (1, 0)
b) F (x, y) = f (u, v) = ln
u
2
v
, u = x cos y, v = x sin y, p
0
= (π, 2)
c) F (x, y) = f (u, v, w) = u
√
v
2
+ w
2
, u = x + y, v = xy, w =
x
y
, p
0
= (3, 4)
1