GRANICA FUNKCJI
SYMBOLE NIEOZNACZONE :
∞
∞
;
0
0
;
∞ − ∞ ; 0 · ∞ ; 1
∞
; 0
0
; 0
∞
;
∞
0
Zad 1 Znaleźć granice funkcji w punkcie:
a) lim
x
→−2
x + 1
x
− 1
e) lim
x
→1
(
1
x
− 1
−
3
1
− x
3
)
i) lim
x
→0
x
3
− 4x
2
+ 5x
x(
|x| + 1)
b) lim
x
→3
x
2
− 9
x
3
+ x
− 30
f) lim
x
→0
√
x + 1
− 1
x
j) lim
x
→0
2
−
3
√
x + 8
x
c) lim
x
→−5
x
2
− x − 30
x
3
+ 5x
2
− 4x − 20
g) lim
x
→1
x
− 1
1
−
√
2
− x
d) lim
x
→4
x
− 4
2
−
√
x
h) lim
x
→3
2
√
x + 1
−
√
x + 13
x
2
− 9
Zad 2 Korzystając z tego, że lim
x
→0
sin x
x
= 1 znaleźć granice funkcji w punkcie:
a) lim
x
→0
sin 4x
x
f) lim
x
→0
4x
·ctg 6x
k) lim
x
→1
sin(x
− 1)
1
− x
2
b) lim
x
→0
sin 7x
sin 4x
g) lim
x
→0
sin
2
2x
6x
2
l) lim
x
→4
x
2
− 3x − 4
sin(x
− 4)
c) lim
x
→0
2x
sin 5x
− sin 2x
h) lim
x
→0
sin 3x
− x
5x + sin 2x
m) lim
x
→0
√
x + 4
− 2
sin 3x
d) lim
x
→0
tg 6x
3x
i) lim
x
→0
1
− cos x
x
2
n) lim
x
→0
√
x
2
+ 4
− 2
tg
2
3x
e) lim
x
→0
x
2
tg 4x
j) lim
x
→0
cos 3x
− cos x
x
2
o) lim
x
→−2
(x
2
−4)ctg (x+2)
Zad 3 Znaleźć granice:
a) lim
x
→∞
(5x
3
−x+2)
f) lim
x
→∞
√
9x
2
− 6
2
− 3x
k) lim
x
→−∞
(√
(x + 2)(x + 8)+x
)
b) lim
x
→−∞
(5x
3
−x+2)
g) lim
x
→−∞
√
9x
2
− 6
2
− 3x
l) lim
x
→∞
(√
(x + 2)(x + 8)+x
)
c) lim
x
→∞
(2x
4
+x
2
−3x)
h) lim
x
→∞
√
x
2
+ 1
−x
m) lim
x
→−∞
(√
x
2
+ 2x + 3
−
√
x
2
− 1
)
d) lim
x
→−∞
(2x
4
+x
2
−3x)
i) lim
x
→−∞
√
x
2
+ 1
−x
n) lim
x
→∞
(√
e
2x
+ 1
−
√
e
2x
− 1
)
e) lim
x
→∞
(
x
3
+ x
2
x
2
+ 4
−x
)
j) lim
x
→∞
1
√
x(
√
x
−
√
x
− 1)
o) lim
x
→−∞
10
√
2x
2
+x
−1
10
√
2x
2
−1
Zad 4 Znaleźć granice funkcji:
a) lim
x
→∞
sin x
x
− 1
b) lim
x
→−∞
cos x
2
x
2
− x
c) lim
x
→0
sin x
·ctg x
d) lim
x
→∞
(
−1)
x
(
arctg x
−
π
2
)
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
Zad 5 Znaleźć granice funkcji:
a) lim
x
→∞
(7
x
+5
x
−3
x
)
c) lim
x
→∞
3
x+2
+ 4
x
6
x
− 3
3
e) lim
x
→∞
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
g) lim
x
→∞
π
2x
+ π
−2x
π
2x
− π
−2x
i) lim
x
→∞
[(
1
2
)
x
−
(
3
4
)
x
]
b) lim
x
→−∞
(7
x
+5
x
−3
x
) d) lim
x
→−∞
3
x+2
+ 4
x
6
x
− 3
3
f) lim
x
→−∞
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
h) lim
x
→−∞
π
2x
+ π
−2x
π
2x
− π
−2x
j) lim
x
→−∞
[(
1
2
)
x
−
(
3
4
)
x
]
Zad 6 Znaleźć granice funkcji:
a) lim
x
→∞
(
x + 1
x
− 2
)
2x
−1
c) lim
x
→∞
(
x
− 1
3x + 2
)
3x
e) lim
x
→∞
(
7x + 3
7x
− 5
)
x
2
g) lim
x
→∞
(
x
2
− 2
x
2
+ 1
)
x
3
i) lim
x
→−∞
(
2x + 1
x
− 1
)
2
−x
b) lim
x
→−∞
(
x + 1
x
− 2
)
2x
−1
d) lim
x
→−∞
(
x
− 1
3x + 2
)
3x
f) lim
x
→−∞
(
7x + 3
7x
− 5
)
x
2
h) lim
x
→−∞
(
x
2
− 2
x
2
+ 1
)
x
3
j) lim
x
→−∞
(
x
2
+ x
− 1
x
2
− 3
)
2x
Zad 7 Znaleźć granice funkcji:
a) lim
x
→∞
sin(arctg x)
d) lim
x
→∞
log
2
x + 1
x
2
+ 2
g) lim
x
→∞
arctg
( x
2
x
− 1
+
x
1
− x
2
)
b) lim
x
→−∞
cos(arcctg (x
2
+3))
e) lim
x
→∞
arcsin
1
− x
2 + 2x
h) lim
x
→∞
(2x
2
− 1)arctg (x
2
− 2)
x
2
+ 1
c) lim
x
→0
log
1
2
cos x
f) lim
x
→∞
arctg (
− ln x)
i) lim
x
→∞
x(ln x
−ln(x+1))
GRANICE JEDNOSTRONNE
DEF. Niech funkcja f będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x
0
tzn. w przedziale (x
0
−r, x
0
) dla pewnego r
∈ R
+
.
Liczbę g nazywamy granicą lewostronną właściwą (lub niewłaściwą) funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
(x
n
) o wyrazach z przedziału (x
0
− r, x
0
) zbieżnego do x
0
, ciąg (f (x
n
)) jest zbieżny do g.
Piszemy: lim
x
→x
−
0
f (x) = g
DEF. Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x
0
tzn. w przedziale (x
0
, x
0
+ r) dla pewnego
r
∈ R
+
. Liczbę g nazywamy granicą prawostronną właściwą (lub niewłaściwą) funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego ciągu (x
n
) o wyrazach z przedziału (x
0
, x
0
+ r) zbieżnego do x
0
, ciąg (f (x
n
)) jest zbieżny do g.
Piszemy: lim
x
→x
+
0
f (x) = g
TWIERDZENIE (o warunku koniecznym i wystarczającym isnienia granicy)
Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę właściwą (lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne
lim
x
→x
−
0
f (x) i
lim
x
→x
+
0
f (x) i są one sobie równe, tj.
lim
x
→x
−
0
f (x) =
lim
x
→x
+
0
f (x) = g. Wtedy
lim
x
→x
0
f (x) = g.
Zad 8 Obliczyć granice jednostronne
lim
x
→x
−
0
f (x), lim
x
→x
+
0
f (x), gdy:
a)f (x) =
x
2
− 5
x
, x
0
= 0
e)f (x) =
1
− x
x
, x
0
= 0
i)f (x) = e
π
1
−x
, x
0
= 1
b)f (x) =
x
2
+ 4
x
− 1
, x
0
= 1
f)f (x) =
x
2
− 1
−x
2
− x + 2
, x
0
= 1, x
1
=
−2
j)f (x) =
1
4
− 2
1
x
, x
0
= 0
c)f (x) =
x
2
− 4x
3
− x
, x
0
= 3
g)f (x) = 2
x
(x+1)2
, x
0
=
−1
k)f (x) =
5
1
x
1 + 5
1
x
, x
0
= 0
d)f (x) =
x
2
− 2
x
2
− 2x − 3
, x
0
= 3, x
1
=
−1
h)f (x) =
(
1
2
)
1
x
, x
0
= 0
l)f (x) =
2
2
x
+ 6
6
2
x
+ 2
, x
0
= 0
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
Zad 9 Znaleźć granice jednostronne funkcji:
a) lim
x
→0
+
log
3
2
x
2
d) lim
x
→0
−
x
sin
2
x
g) lim
x
→0
+
x
ln x
b) lim
x
→1
−
2x + 1
ln x
e) lim
x
→
π
2
+
sin
x
2
tg x
h) lim
x
→0
−
x
ln x
c) lim
x
→4
+
x
− 1
log
1
2
(x
− 4)
f) lim
x
→3
−
−2x
√
x + 6
− 3
i) lim
x
→0
−
arctg
1
x
Zad 10 Sprawdzić, czy istnieją podane granice funkcji. Jeśli tak, to obliczyć je.
a) lim
x
→0
x
2
− 2x
|x|
d) lim
x
→1
|1 − x
2
|
√
2
− x − 1
g) lim
x
→2
x
− 1
log(x
− 1)
b) lim
x
→3
|x
2
− 9|
x
− 3
e) lim
x
→0
ln
|x|
h) lim
x
→−1
f (x),
f (x) =
{
x+1
x
−2
dla
x <
−1
x
2
− 1
dla
x
> −1
c) lim
x
→−2
(x + 2)
3
|x + 2|
f) lim
x
→1
x
− 1
√
x + 3
− 2
i) lim
x
→1
f (x),
f (x) =
{
4x
2
−7x+3
4(x
−1)
dla
x < 1
√
x+3
−2
x
−1
dla
x > 1
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEF. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
lim
x
→x
0
f (x) oraz
lim
x
→x
0
f (x) = f (x
0
)
Zatem f jest ciągła w punkcie x
0
∈ D, gdy lim
x
→x
−
0
f (x) =
lim
x
→x
+
0
f (x) = f (x
0
)
UWAGA!
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach. Ciągłe są również sumy, różnice, iloczyny, ilorazy, złożenia takich funkcji.
RODZAJE PUNKTÓW NIECIĄGŁOŚCI Mówimy, że x
0
∈ D jest punktem nieciągłości:
I RODZAJU, gdy
lim
x
→x
0
f (x) i
lim
x
→x
0
f (x) istnieją i są właście oraz
lim
x
→x
−
0
f (x)
̸= f(x
0
) lub
lim
x
→x
+
0
f (x)
̸= f(x
0
).
II RODZAJU, gdy któraś z granic jednostronnych jest niewłaściwa albo nie istnieje.
Zad 11 Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości.
a)f (x) =
{
x
−1
x
2
+x
−2
dla
x
∈ R − {1, −2}
1
3
dla
x = 1 lub x =
−2
c)f (x) =
{
arctg
1
2
−x
dla
x
̸= 2
−
π
2
dla
x = 2
b)f (x) =
2
−
1
x
dla
x < 0
1
dla
x
∈ ⟨0, 1)
x + 1
dla
x
> 1
d)f (x) =
{
x
2
−1
√
2
−x−1
dla
x < 1
4x
dla
x
> 1
Zad 12 Zbadać dla jakich wartości parametrów a, b funkcja jest ciągła.
a)f (x) =
{
2
x
+ 8
dla
x
6 0
(x
− a)
2
dla
x < 0
c)f (x) =
2x + cos a
dla
x < 1
b
2
dla
x = 1
3 ln x + 3
dla
x > 1
b)f (x) =
{
sin 8x
2x
dla
x
̸= 0
a
2
dla
x = 0
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
granice funkcji-zadania, =====STUDIA, Fizyka Budowli - WSTiP
Granica i ciągłość funkcji zadania
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
Granice funkcji Wprowadzenie Rozwiazanie zadania domowego id
Granice funkcji Wprowadzenie Zadanie domowe id 705334
Granica i ciągłość funkcji zadania
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
Podstawowe wlasnosci funkcji zadania domowe
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
Matematyka cw5 Granice funkcji Ciaglosc funkcji Asymptoty
15 Zasada trójpodziału władzy organy sprawujące poszczególne rodzaje władzy, ich funkcje i zadani
Granica funkcji(1), Prywatne
Granice funkcji - pochodne, Prywatne, matna
Granice funkcji
granice pochodna zadania
więcej podobnych podstron