Granica i ciągłość funkcji

W tym wykładzie omawiamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji prowadzącej z w . Definiujemy granice właściwe, niewłaściwe i jednostronne oraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie. Podajemy twierdzenia dotyczące granic funkcji. Następnie charakteryzujemy zbiory zwarte w i dowodzimy, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. Na zakończenie wykładu omawiamy tak zwaną własność Darboux.

[Edytuj]

Granica funkcji

W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje prowadzące z w . Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie. Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny), wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11. Przypomnijmy, że w z metryką euklidesową, kula jest przedziałem

Twierdzenie 8.1.

Niech
Punkt jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg taki, że

Dowód 8.1. [nadobowiązkowy] ""
Niech będzie punktem skupienia zbioru . Dla dowolnego rozważmy kulę Z definicji punktu skupienia wiemy, że istnieje punkt dla W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg Zauważmy, że

""
Przypuśćmy, że jest ciągiem takim, że Należy pokazać, że jest punktem skupienia zbioru W tym celu weźmy dowolną kulę Z definicji granicy ciągu wiemy, że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego miejsca, czyli

To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w są wyrazy ciągu (czyli elementy zbioru ), czyli jest punktem skupienia zbioru

Wprowadzimy teraz pojęcie granicy funkcji w punkcie Można to zrobić na dwa równoważne sposoby.

Definicja 8.2. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) w punkcie jeśli

Piszemy wówczas

Definicja 8.3. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) w punkcie jeśli

Piszemy wówczas

Przyklady obliczeń funkcji:

a)

ze wzoru skróconego mnożenia:

Definicja granicy funkcji

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę równą a, jeśli dla każdego cięgu (x_n) argumentów funkcji f(x) zbieżnego do x₀ o wyrazach różnych od x₀, odpowiadający mu ciąg (y_n) wartości funkcji jest zbieżny do a. Zapisujemy to za pomocą wzoru:

Twierdzenie de l'Hospitala

Jeśli dane są dwie funkcje f(x) i g(x) określone w pewnym otoczeniu punktu x₀ i istnieją pochodne f'(x) i g'(x) i zachodzi jeden z warunków:

to prawdziwe jest równanie:

Przykłady obliczania granic.

Przykład zastosowania twierdzenia de l'Hospitala

Obliczanie granicy z funkcji wielomianowej - przykład

Obliczanie granicy z funkcji wymiernej - przykład.

Pojęcie liczby zespolonej

W matematyce wprowadzano kolejne podzbiory liczb po to aby były w nich wykonywalne pewne działania. I tak na przykład ze względu na to, że w zbiorze liczb naturalnych nie były wykonywalne niektóre odejmowania wprowadzono liczby całkowite. Zbiór liczb zespolonych został wprowadzony ze względu na to, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie można było wykonywać pierwiastkowania liczb ujemnych. Liczby zespolone mają postać: a+b*i gdzie i jest równe pierwiastkowi z -1 i nazywa się jednostką urojoną. Liczba a jest nazywana częścią rzeczywistą, liczba b częścią urojoną.

Moduł liczby zespolonej

Niech będzie dana liczba zespolona z postaci a+b*i. Modułem liczby zespolonej z nazywamy wyrażenie:

Argument liczby zespolonej

Jeśli liczbę zespoloną z=a+bi przedstawimy w postaci pokazanej na rysunku:

to kąt φ nazywamy argumantem liczby zespolonej z.

Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Dowolną liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:

z=a+bi=|z|(cos φ + i*sin φ )

Liczba sprzężona

Niech będzie dana liczba zespolona z postaci a+b*i. Liczbą sprzężoną nazywamy liczbę zespoloną postaci a-b*i.

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych przeprowadzamy w ten sposób, że dodajemy (odejmujemy) części rzeczywiste i urojone odpowiednich liczb. Poniżej pokazano dodawanie i odejmowanie dwu liczb: a+bi oraz c+di:

(a+bi) + (c+di) = (a+c)+ (b+d)*i
(a+bi) - (c+di) = (a-c)+ (b-d)*i

Przykład dodawania/odejmowania liczb zespolonych

Należy obliczyć sumę i różnicę (z₁-z₂) liczb z₁=(2+3i) ,z₂=(1-i).

Rozwiązanie

z₁+z₂2+3i+1-i=3+2i
z₁-z₂2+3i-(1-i)=1+2i

Mnożenie liczb zespolonych

Niech dane będą dwie liczby zespolone z₁=a+bi oraz z₂=c+di. Iloczyn liczb z₁,z₂ przeprowadzamy następująco:

z₁ * z₂=(a+b*i)(c+d*i)=ac+ad*i+bc*i-bd=(ac-bd)+i*(ad+bc)

Przykład mnożenia liczb zespolonych

Należy wykonać mnożenie liczb z₁=1+2i oraz z₂=1-3i

Rozwiązanie

z₁*z₂=(1+2i)(1-3i)=1-3i+2i+6=7-i

Dzielenie liczb zespolonych

Przykład dzielenia liczb zespolonych

Należy wykonać dzielenie (1+2i)/(3+i).

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności mnożymy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną mianownika:

(1+2i)/(3+i) = (1+2i)(3-i)/[(3+i)(3-i)]

i wykonujemy odpowiednie mnożenia w liczniku i mianowniku:

(3-i+6i+2)/(9+1)=(5+5i)/(10)=0.5+0.5i

Potęgowanie liczb zespolonych

Dla liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

z = |z|(cos φ + i*sin φ )

n-ta potęga dana jest wzorem:

zⁿ= |z|ⁿ(cos nφ + i*sin nφ )

Przykład potęgowania liczby zespolonej

Należy obliczyć (1+i)³

Rozwiązanie

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Dla liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

z = |z|(cos φ + i*sin φ )

Pierwiastek n-tego stopnia dany jest wzorem: