Granica i ciągłośd funkcji

1

MB

Granica funkcji

Funkcja

, określona na zbiorze

, ma w punkcie

granicę równą , co zapisuje się:

, przy

lub

, gdy spełnione są warunki określone w dwu

równoważnych definicjach:

1. definicja Heinego:

2. definicja Cauchy’ego:

Granice jednostronne

Niech funkcja

będzie określona na zbiorze

. Granicę prawostronną funkcji w punkcie

oznaczamy

i definiujemy:

1. definicja Heinego:

2. definicja Cauchy’ego:

Natomiast granicę lewostronną definiujemy :

1. definicja Heinego:

2. definicja Cauchy’ego:

Łatwo zaobserwowad, że granica funkcji w punkcie

istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją

granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.

Granica i ciągłośd funkcji

2

MB

Ciągłość funkcji

Funkcja

, określona na zbiorze

, jest ciągła w punkcie

, jeśli:

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Zauważmy, że można mówid o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny. Z powyższej definicji

wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie granicę równą wartości.

Podstawowe własności granicy funkcji w punkcie

Jeśli funkcje

i określone na zbiorze

mają granice właściwe

i

to:

,

,

,

(o ile

oraz dla

,

(o ile wyrażenia po obu stronach mają sens).

Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji możemy mówid o granicy niewłaściwej.

Definicja

1. Funkcja

, określona na zbiorze

, ma w punkcie

granicę niewłaściwą ,

gdy:

,

.

Granica i ciągłośd funkcji

3

MB

2. Funkcja

, określona na zbiorze

, ma w punkcie

granicę niewłaściwą

,

gdy:

,

.