Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska Granice i ciągłość funkcji Zad.1 Oblicz granicę: 1.1
lim x2−2x−1
1.2
lim x3−1
1.3
lim x6−1
x→3
x2−5
x→1 x2−1
x→1 1−x2
1.4
lim
x5+4x4+5x3+3x2−4
1.5
lim
2x2−x+7
1.6
lim
3x3+1
x→−2
x3+4x2+7x+6
x→∞ 4x3+x2+4
x→−∞ 7x2−x
√
1.7
lim
x
√
1.8
lim
x2 + 1 + x
1.9
lim
2x+3x
x→−∞
x2+1
x→−∞
x→∞
3x+1
√
√
√
1.10
lim
1
−
27
1.11
lim
2+x−
2−x
1.12
lim 3− 1+2x
√
x→3
x−3
x3−27
x→0
3x
x→4
2−
x
1.13
lim sin 5x
1.14
lim sin 2x
1.15
lim x sin 5x
x→0
3x
x→0
tg 4x
x→0
tg 22x
1.16
lim tg x−sin x
1.17
lim
sin2 x
1.18
lim
sin 5x
√
√
x→0
x3
x→0 1−cos x
x→0
x+3−
3
√
√
1.19
lim sin(1−x)
√
1.20
lim
tg x −
1
1.21
lim
2−
1+cos x
x→1
x−1
x→ π
cos x
x→0
sin2 x
2
1.22
lim 1−cos2 3x
1.23
lim sin 2(x−1)
1.24
lim 1+x sin x−cos 2x x→0
x2
x→1
3(x2−1)
x→0
sin2 x
1.25
lim arcsin 3−2x2
1.26
lim
arctg 2x
1.27
lim arctg 2x
x→∞
4x2+1
x→∞
x
x→0
x
3x
x+2
x2
1.28
lim
x
1.29
lim
x+1
1.30
lim
x2+3
x→∞
x+2
x→∞
x−3
x→−∞
x2+8
Zad.2 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnij podane równości: 2.1
lim x2 cos 1
= 0
2.2
lim
2+sin x
= 0
2.3
lim
ex+sin2 x = 0
x→0
x2
x→∞
x2
x→−∞
Zad.3 Wyznacz granicę lewostronną i prawostronną funkcji y = f (x) w punkcie x0, jeżeli: 1
3.1 y = x2+x+1 , x
x2 −1 ,
x
, x
x2−1
0 = −1
3.2 y = e
0 = 1
3.3 y =
1
1
0 = 0
4−2 x
1
3.4 y = tg x , x
x−3 , x
, x
2
0 = π
3.5 y = 12
0 = 3
3.6 y = |2−x|
x−2
0 = 2
√
3.7 y =
1−cos 2x , x
sin x
, x
x
0 = 0
3.8 y = arctg
|x|
0 = 0
Zad.4 Zbadaj ciągłość funkcji:
sin x
x 6= 0
1 − cos 1
x 6= 0
4.1 f (x) =
|x|
4.2 f (x) =
x
1
x = 0
0
x = 0
(x + 2)2 − 1
x < −1
x arctg 1
x 6= 0
4.3 f (x) =
x
4.4 f (x) =
sgn x
−1 6 x < 2
π
x = 0
2
x
x > 2
1 x+1
x 6 −1
2
− log 1 (x + 3)
−3 < x 6 −2
2
x2 + 1 − π x − π
−1 < x 6 π
4.5 f (x) =
2
2
2
4.6 f (x) =
π
−2 < x 6 0
2
ctg x
π < x < π
2
arctg 1
x > 0
x
0
x > π
Zad.5 Dla jakiej wartości parametru a funkcja f (x) jest ciągła:
sin2 x
x ∈ − π , π \ {0}
x2arctg 1
x 6= 0
5.1 f (x) =
1−cos x
2
2
5.2 f (x) =
x
a
x = 0
a
x = 0
1
sin x
x 6= π
3 x −1
x 6= 0
1
5.3 f (x) =
1− x2
x
π2
5.4 f (x) =
3
+1
a2 + π
x = π
a
x = 0
2
Zad.6 Zbadaj ciągłość funkcji: x2 · 3nx + x · 3nx + 3nx + 1
f (x) =
lim
.
n→∞
3nx + 3
Zad.7 Sprawdź, czy podane równanie posiada pierwiastek na przedziale [a,b]: 7.1 x = arccos x
a = 0, b = 1
7.2 x5 − x3 + 7x − 8 = 0
a = −1, b = 2