Granice funkcji i ciągłość

1 marca 2012

1. Znajomość definicji Heinego oraz definicji Cauchy’ego - granice właści-

we i niewłaściwe, w puncie p ∈ R oraz w +∞ i −∞, granica lewo- i
prawostronna

2. Umiejętność udowodnienia ile wynoszą te granice w konkretnych przy-

kładach (również niewłaściwe, w +∞ i −∞ oraz jednostronne - prze-
czytać sobie rozwiązane przykłady w zbiorach zadań!)

3. Wykazywanie, że granica (właściwa/ niewłaściwa/ prawostronna/ le-

wostronna/. . . ) nie istnieje.

4. Znajomość twierdzeń dotyczących granic (tabelka na końcu rozdziału

w zbiorze zadań). Umiejętność udowodnienia tych twierdzeń (również
lim

x→0

sin x

x

z wykładu oraz te z twierdzeń, których nie omówiliśmy do-

kładnie na ćwiczeniach - poszukać w książkach, do 2-3 z nich jeszcze
wrócimy w przyszłym tygodniu).

5. Umiejętność wykorzystania powyższych twierdzeń w konkretnych przy-

kładach.

6. Własności dla granic funkcji (suma funkcji, różnica, iloczyn, iloraz itp.).

7. Umiejętność obliczania granic z wykorzystaniem definicji Heinego ba-

zując na wiedzy dotyczącej granic ciągów (przykłady takie jak rozwią-
zywane na zajęciach lim

x→2

+

ln(x + 2), czy lim

x→0

+

x

x

).

8. Ciągłość funkcji - znajomość obu definicji.

9. Badanie ciągłości z obu definicji (szukanie zbioru punktów ciągłości,

sprawdzanie, czy funkcja jest globalnie ciągła): m.in. przykłady funk-
cji określonych różnymi wzorami na różnych przedziałach, przykłady
funkcji określone różnymi wzorami na zbiorze liczb wymiernych i nie-
wymiernych

1

10. Badanie ciągłości funkcji korzystając z wiadomości o granicach funkcji

(rownież przykłady z parametrem).

11. Dookreślanie funkcji w punkcie, w którym nie była wcześniej określona

tak, aby była ciągła.

12. Wykorzystanie własności ciągłości funkcji przy liczeniu granic (trzeba

umieć stosować i wiedzieć, w którym miejscu się tę własność stosuje).

13. Szukanie asymptot funkcji.

14. Własności funkcji ciągłych: iloczyn i suma funkcji ciągłych, iloraz (czy

zawsze?), złożenie, własność Darboux (z zastosowaniami).

15. Funkcja ciągła, jednostajnie ciągła, Lipschitzowska, Hoelderowska i za-

leżności miedzy tymi rodzinami funkcji. Znajomość konkretnych przy-
kladów: funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła, funkcja jed-
nostajnie ciągła, która nie jest Lipschitza itp. Kiedy funkcja ciągła jest
automatycznie jednostajnie ciągła? Umiejetność sprawdzania (z defini-
cji) czy te własności są spełnione. (Do tego tematu jeszcze na chwilę w
przyszłym tygodniu wrócimy.)

2