3

Zadanie 1. (

4 pkt)

Korzystajàc z w∏asnoÊci wartoÊci bezwzgl´dnej, uzasadnij, ˝e wyra˝enie

x

x

x

x

2

4

2

4

4

12

2

2

$

$

-

-

-

+

-

-

przedstawia liczb´ naturalnà. Podaj konieczne za∏o˝enia.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

4

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 2. (

5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartoÊci parametru

m

, dla których rozwiàzania

x

1

i

x

2

równania

(

)

x

x

m x

13

24

10

15

2

+

-

=

-

-

spe∏niajà warunek

x

x

x x

3

0

1

2

2

2

1

2

+

+

=

.

5

Zadanie 3. (

4 pkt)

Wyka˝, ˝e liczby

(

)

sin

cos

a

60

60

2

c

c

=

+

i

cos

b

tg45

30

c

c

=

-

sà pierwiastkami wielomianu

( )

W x

x

x

x

4

8

3

2

=

-

+

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

6

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 4. (

5 pkt)

Wyznacz

x

, tak aby liczby

,

,

x

x

x

x

3

3 11

2

2

+

+

-

by∏y w podanej kolejnoÊci wyrazami rosnàcego cià-

gu geometrycznego o wyrazach ca∏kowitych.

7

Zadanie 5. (

5 pkt)

Prosta

l

przechodzi przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych. Napisz równanie tej prostej, wiedzàc, ˝e

jej odleg∏oÊç od punktu

,

A

3

4

= -

-

_

i jest równa

3

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

8

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 6. (

7 pkt)

Trapez

ABCD

podzielono na trzy figury o równych polach.

Sposób podzia∏u ilustruje rysunek. Wiedzàc, ˝e bok kwa-
dratu

CDEF

jest równy

6

, oblicz:

a) obwód trapezu

ABCD

,

b) cosinus kàta

CBF

.

A

B

E

F

D

C

9

Zadanie 7. (

4 pkt)

Wyznacz rozwiàzanie równania

cos

sin

x

x

2

3

2

=

nale˝àce do przedzia∏u

,

0

2

r

c

m

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

10

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 8. (

4 pkt)

Ciàg

a

n

_ i

jest arytmetyczny. Wiedzàc, ˝e

a

a

a

a

2

1

5

3

=

, wyznacz ró˝nic´ tego ciàgu.

11

Zadanie 9. (

5 pkt)

Dany jest ostros∏up trójkàtny, którego podstawà jest trójkàt równoramienny o bokach d∏ugoÊci

5

cm,

5

cm i

6

cm. WysokoÊç ostros∏upa jest równa

2

cm. Spodek wysokoÊci jest Êrodkiem okr´gu wpisa-

nego w podstaw´. Oblicz pole powierzchni ca∏kowitej tego ostros∏upa.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

12

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 10. (

4 pkt)

Rozwià˝ równanie

P

V

P

10

(

)

(

)

x

x

x

2

2

1

$

$

=

-

-

, wiedzàc, ˝e:

P

n

– oznacza liczb´ wszystkich ró˝nych permutacji bez powtórzeƒ zbioru

n

-elementowego.

V

n

k

– oznacza liczb´ wszystkich ró˝nych

k

-elementowych wariacji bez powtórzeƒ zbioru

n

-elemen-

towego.

13

Zadanie 11. (

3 pkt)

Funkcja

f

okreÊlona jest wzorem

( )

f x

2

3

x

=

c m

. Funkcja

g

powstaje w wyniku przesuni´cia wykresu

funkcji

f

o wektor

,

1 2

-

7

A

.

a) Zapisz wzór funkcji

g

, uzyskanej w wyniku tego przesuni´cia.

b) Sporzàdê wykres funkcji

g

.

c) Wska˝ najwi´kszà liczb´

(

)

m m

R

!

takà, dla której równanie

( )

g x

m

=

nie ma rozwiàzania.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

14

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

BRUDNOPIS

(nie podlega ocenie)