prawo fouriera kirchhoffa

background image

PRAWO FOURIERA

PRAWO FOURIERA

-

-

KIRCHOFFA

KIRCHOFFA

WYKŁAD 12

WYKŁAD 12

Dariusz Mikielewicz

Dariusz Mikielewicz

Politechnika Gdańska

Politechnika Gdańska

Wydział Mechaniczny

Wydział Mechaniczny

Katedra Techniki Cieplnej

Katedra Techniki Cieplnej

background image

Prawo Fouriera

Prawo Fouriera

-

-

Kirchhoffa

Kirchhoffa

Założenia upraszczające równanie F-K:
1. zagadnienie stacjonarne,

∂/∂τ

2. zagadnienie izobaryczne, p

≈const

3. brak generacji wewnętrznych źródeł ciepła, q

v

=0

4. ciało w stanie stałym, w=0
5. stałe wartości własności fizycznych ciała, c

p

,

µ,λ,ρ=0

Bardzo często mamy do czynienia z zagadnieniem ciała w stanie
stałym, procesem izobarycznym, gdzie własności fizyczne są stałe.
Gęstość strumienia ciepła q=-

λ grad T

(

)

q

q

T

c

v

p

=

τ

ρ

background image

Prawo Fouriera

Prawo Fouriera

-

-

Kirchhoffa

Kirchhoffa

( )

(

)

( )

+

+

=

+

p

w

p

q

q

T

w

T

c

v

p

τ

τ

ρ

1. Równanie Fouriera

T

a

z

T

y

T

x

T

a

T

2

2

2

2

2

2

2

=

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

τ

2. Równanie Poissona

3. Równanie Laplace’a

λ

v

q

T

=

2

0

2

=

T

background image

Prawo Fouriera

Prawo Fouriera

-

-

Kirchhoffa

Kirchhoffa

Układ walcowy

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

z

T

T

r

r

T

r

r

T

z

T

T

r

r

T

r

r

r

T

+

+

+

=

+

+

⎟⎟

⎜⎜

=

θ

θ

Układ sferyczny

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

1

1

1

2

sin

1

sin

sin

1

1

φ

θ

θ

θ

θ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

+

+

+

+

=

+

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

=

T

r

T

ctg

r

T

r

r

T

r

r

T

T

T

r

T

r

r

r

T

background image

Prawo Fouriera

Prawo Fouriera

-

-

Kirchhoffa

Kirchhoffa

Warunki jednoznaczności problemu

Charakterystyczne własności zjawiska wraz z równaniem różniczkowym to warunki
jednoznaczności problemu. Warunki te obejmują rozkład temperatury w chwili
początkowej, geometrię ciała oraz wzajemne oddziaływanie cieplne rozważanego
układu z otoczeniem.

Opis rozkładu temperatury w obszarze w chwili rozpoczęcia analizy nosi nazwę
warunków początkowych. Rozkład temperatury na brzegach analizowanego obszaru
nosi nazwę warunków brzegowych.

Dodatkowo, zagadnienia konwekcji opisane są ponadto równaniami ciągłości strugi i
równaniami stanu.

background image

Prawo Fouriera

Prawo Fouriera

-

-

Kirchhoffa

Kirchhoffa

Zagadnienia niestacjonarne –

warunek Cauchy’ego, dla

τ=0

( )

const

T

r

T

=

=

0

0

,

( ) ( )

r

T

r

T

0

0

,

=

W przypadkach, gdy temperatura ciała w chwili początkowej

τ=0 jest stała

Warunki brzegowe opisujące wymianę ciepła na brzegu rozpatrywanego obszaru,
definiowane są w

jeden z czterech następujących sposobów

:

Określony jest rozkład temperatury na brzegu A w dowolnej chwili,

warunek brzegowy

pierwszego rodzaju, warunek Dirichleta

:

( )

)

(

,

τ

τ

T

A

T

=

Określona jest wartość gęstości strumienia cieplnego na brzegu A w dowolnej chwili,

warunek brzegowy drugiego rodzaju, warunek Neumana:

( )

τ

λ

q

n

T

A

=

⎟⎟

⎜⎜

background image

Prawo Fouriera

Prawo Fouriera

-

-

Kirchhoffa

Kirchhoffa

Określona jest temperatura otaczającego ośrodka oraz zależność, która opisuje
wymianę ciepła pomiędzy ciałem a otoczeniem na drodze konwekcji i promieniowania,

warunek brzegowy trzeciego rodzaju, warunek Newtona:

(

)

f

w

A

T

T

n

T

=

⎟⎟

⎜⎜

α

λ

Określone są równe sobie temperatury układu i otoczenia na ich styku – wówczas na
brzegu układu zachodzi równość gęstości strumieni ciepła dla układu i stykającego się
z nim otoczenia,

warunek brzegowy czwartego rodzaju:

''

''

'

'

A

A

n

T

n

T

⎟⎟

⎜⎜

=

⎟⎟

⎜⎜

λ

λ

background image

PRZEWODZENIE CIEPŁA W CIAŁACH O MAŁYM

PRZEWODZENIE CIEPŁA W CIAŁACH O MAŁYM

OPORZE PRZEWODZENIA

OPORZE PRZEWODZENIA

WYKŁAD 4

WYKŁAD 4

Dariusz Mikielewicz

Dariusz Mikielewicz

Politechnika Gdańska

Politechnika Gdańska

Wydział Mechaniczny

Wydział Mechaniczny

Katedra Techniki Cieplnej

Katedra Techniki Cieplnej

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze cieplnym (Lumped Capacity Method) jest
potężnym narzędziem w obliczeniach niestacjonarnej wymiany ciepła.

Przyjmijmy, że ciało ma objętość V, powierzchnię A, gęstość właściwą

ρ, oraz ciepło

właściwe c. Jego temperatura T, jest jednakowa w całej objętości, i zmienia się na
skutek wymiany ciepła z otaczającym je płynem o stałej w czasie temperaturze T

∞.

powierzchnia A

objętość, V

ρ, c, T(t)

olej w temp.

T

qA

dt

dU

=

(

)

(

)

=

=

T

T

q

T

T

c

V

U

α

ρ

0

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Podstawiając powyższe wyrażenia do równania bilansu energii:

(

)

=

T

T

A

dt

dT

c

V

α

ρ

Warunki brzegowe:

0

0

T

T

t

dla

=

=

dt

cV

A

T

T

dT

ρ

α

=

Po przekształceniach:

=

τ

ρ

α

0

0

dt

cV

A

T

T

dT

T

T

τ

ρ

α

cV

A

T

T

T

T

=

0

ln

Rozwiązanie równania ma postać:

0

0

τ

τ

τ

ρ

α

=

=

e

e

T

T

T

T

cV

A

A

cV

α

ρ

τ

=

0

Cieplna stała czasowa:

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Zdefiniujmy bezwymiarową temperaturę oraz czas:

cV

A

ρ

τ

α

τ

τ

τ

=

=

0

*

=

T

T

T

T

T

0

*

cV

A

ρ

τ

α

τ

τ

τ

=

=

0

*

=

T

T

T

T

T

0

*

Umożliwia to nam analizę
przypadków gdzie występuje
gwałtowna zmiana
temperatury

Aby teoria przewodzenia ciepła miała zastosowanie musi być spełniony warunek, że
opór przewodzenia w ciele stałym musi być dużo mniejszy od oporu przejmowania
ciepła na zewnątrz

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Zdefiniujmy bezwymiarową liczbę Biota:

λ

α

l

Bi

=

( )

( )

λ

α

α

λ

l

A

A

L

=

/

1

/

zewnąewn

na

konwekcji

opór

wewnąewn

ia

przewodzen

opór

Wymiar charakterystyczny, l, jest wyrażony stosunkiem V/A

Teorię można stosować w przypadku, gdy Bi<0.1 dla płaskich płyt, walców, kul.

Ciała stałe

Wymiary charakterystyczne dla różnych przypadków:

1.

Płyta o grubości l:

L=l/2

2.

Walec o promieniu R:

L=R/2

3.

Kula o promieniu R

L=R/3

4.

Sześcian o krawędzi l

L=l/6

background image

Zdefiniujmy bezwymiarową liczbę Biota: i Fouriera

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Równanie można przedstawić w postaci zależności pomiędzy liczbami
podobieństwa. W tym celu wykładnik liczby e należy przekształcić do postaci:

λ

α

l

Bi

=

Wymiar charakterystyczny, l, jest wyrażony stosunkiem V/A

Teorię można stosować w przypadku, gdy Bi<0.1 dla płaskich płyt, walców, kul

L

l

Fo

Bi

A

V

l

l

a

l

V

c

A

p

)

)(

(

2

=

=

τ

λ

α

ρ

τ

α

2

l

a

Fo

τ

=

L

l

Fo

Bi

e

T

T

T

T

/

)

(

)

(

0

=

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Wyznaczmy jeszcze strumień ciepła przepływający przez powierzchnię ciała.
Jest on zmienny w czasie, gdyż pomimo stałej wartości współczynnika
wnikania ciepła

α, ulega zmianie różnica temperatur pomiędzy ciałem a

otaczającym je płynem zna skutek zmiany temperatury ciała.

Chwilowy strumień ciepła:

Całkowita ilość ciepła wymienioną przez ciało, w czasie do dowolnej chwili:

τ

ρ

d

dT

V

c

Q

p

=

&

τ

ρ

α

ρ

α

τ

V

c

A

p

p

e

V

c

A

T

T

d

dT

=

)

(

0

=

=

L

l

Fo

Bi

e

T

T

A

d

Q

Q

)

)(

(

0

1

)

(

α

τ

&

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Hartowanie płyty stalowej

Płyta stalowa o grubości 1 cm zostaje wyjęta z pieca o temperaturze 600°C i
wrzucona do kąpieli olejowej o temperaturze 30°C. Jeżeli współczynnik
przejmowania ciepła ma wartość 400 W/m

2

K, ile czasu potrzeba aby schłodzić płytę

do temperatury 100°C? Założyć własności fizyczne materiału

λ

, ρ, c jak dla stali,

czyli 50 W/mK, 7800 kg/m

3

, oraz 450 J/kg K, odpowiednio.

Dane:

Płyta stalowa hartowana w oleju.

Szukane:

Czas schłodzenia z 600°C do 100°C.

Założenia:

Ciało o małym oporze przewodzenia.

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Sprawdzamy wartość liczby Biota:
V/A=WHL/2WH=L/2

Bi=

α(L/2)/λ=400*0.005/50=0.04

czyli Bi = 0.04 < 0.1

Wynika stąd, że ciało ma mały opór cieplny
przewodzenia i można skorzystać z omawianej teorii

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Znajdźmy stałą czasową zagadnienia

Podstawiając dane zadania, tj.: T

0

=600

o

C,

T

final

=100

o

C, T

=30

o

C

Rozwiązujemy ze względu na czas:

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Końcówka termopary, którą można modelować za pomocą kulki, jest używana do
pomiaru temperatury w przepływie gazu. Współczynnik przejmowania ciepła pomiędzy
powierzchnią końcówki a gazem wynosi

α=400 W/m

2

K. Własności termofizyczne

końcówki wynoszą

λ=20 W/mK, c=400 J/kgK, ρ=8500 km/m

3

. Wyznaczyć średnicę

końcówki termopary tak aby miała ona stałą czasową równą 1s. Zakładając, że
początkowo końcówka ma temperaturę 25

o

C i następnie jest użyta do pomiaru

temperatury gazu o temperaturze 200

o

C, ile czasu zajmie wskazanie przez końcówkę

temperatury 199

o

C?

końcówki termopary

α

λ

złącze

termopary

background image

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Przewodzenie w ciałach o małym oporze

Założenia:
1. Temperatura końcówki stała w każdej chwili czasu
2. Radiacyjna wymiana ciepła z otoczeniem do pominięcia
3. Przewodzenie ciepła przez końcówki do pominięcia
4. Stałe własności termofizyczne końcówki

(

)

c

D

D

cV

A

6

1

1

3

2

0

ρπ

απ

ρ

α

τ

=

=

c

D

ρ

ατ

0

6

=

6

6

2

3

D

D

D

A

V

=

=

π

π

4

10

35

.

2

6

×

=

=

λ

α

D

Bi

(

)

=

=

T

T

T

T

n

Dc

T

T

T

T

cV

A

i

i

α

ρ

ρ

α

τ

6

ln

1

0

4

5

2

.

5

200

199

200

25

ln

400

6

400

10

06

.

7

8500

τ

τ

×

×

×

×

=

s

background image

PRZEWODZENIE CIEPŁA W STANACH USTALONYCH

PRZEWODZENIE CIEPŁA W STANACH USTALONYCH

PRĘTY I ŻEBRA

PRĘTY I ŻEBRA

WYKŁAD 5

WYKŁAD 5

Dariusz Mikielewicz

Dariusz Mikielewicz

Politechnika Gdańska

Politechnika Gdańska

Wydział Mechaniczny

Wydział Mechaniczny

Katedra Techniki Cieplnej

Katedra Techniki Cieplnej

background image

Wstęp

Wstęp

CEL STOSOWALNOŚCI ŻEBER

Biorąc pod uwagę fakt, że wymiana ciepła poprawia się wraz ze
zwiększaniem powierzchni wymiany ciepła, jak również biorąc pod uwagę
fakt że opór cieplny pomiędzy powierzchnią wymiany ciepła oraz otoczeniem
jest często dużo większy od pozostałych oporów cieplnych to celem
intensyfikacji wymiany ciepła często używa się żeber.

background image

Wstęp

Wstęp

background image

Wstęp

Wstęp

background image

Zastosowania w elektronice

Zastosowania w elektronice

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

najprostszego żebra

najprostszego żebra

Pręt umocowany do
powierzchni ciała stałego
celem rozwinięcia
powierzchni

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

αP∆x (T-T

f

)

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

Rozpatrzmy bilans ciepła dla elementarnej objętości kontrolnej

∆x

(

)

0

=

+

f

T

T

x

P

x

dx

dq

A

qA

qA

α

Wykorzystując prawo Fouriera, q=-

λ grad , oraz zakładając stałą wartość λ:

(

)

0

2

2

=

f

T

T

P

dx

T

d

A

α

λ

Otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

:

(

)

0

2

2

2

=

f

T

T

m

dx

T

d

A

P

m

λ

α

=

2

Można je rozwiązać zakładając następujące warunki brzegowe:

0

0

=

x

dx

dT

(

)

0

=

=

=

f

L

x

L

x

T

T

dx

dT

α

λ

0

0

T

T

x

=

=

lub

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

Dla warunków brzegowych dla x=L mamy następujące rozkłady temperatury:

0

0

=

x

dx

dT

(

)

0

=

=

=

f

L

x

L

x

T

T

dx

dT

α

λ

T

x

T

f

T

x

T

f

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

Mając do rozwiązania równanie różniczkowe drugiego rzędu, wprowadzamy zmienną

:

(

)

0

2

2

2

=

f

T

T

m

dx

T

d

A

P

m

λ

α

=

2

Postać ogólna rozwiązania otrzymujemy metodą przewidywań:

f

T

T

=

ϑ

0

2

2

2

=

ϑ

ϑ

m

dx

d

Ogólna postać równania do rozwiązania

:

mx

mx

De

Ce

+

=

ϑ

lub

( )

( )

mx

F

mx

E

cosh

sinh

+

=

ϑ

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

Zakładając, że gradient temperatury na końcu pręta przyjmuje wartość 0, żebro
doskonale zaizolowane, mamy dla x=0:

D

C

+

=

0

ϑ

Zakładając, że żebro jest nieskończenie długie

:

mL

mL

L

De

Ce

+

=

ϑ

Rozkład temperatury w żebrze przybiera postać:

(

)

[

]

( )

mL

x

L

m

T

T

T

T

f

cosh

cosh

0

0

=

=

ϑ

ϑ

A

P

m

λ

α

=

2

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

strumień ciepła

strumień ciepła

Ciepło wymieniane przez żebro na drodze przewodzenia ciepła:

(

)

=

L

f

dx

T

T

P

Q

0

α

&

Podstawiając profil temperatury dla żebra doskonale zaizolowanego:

(

)

[

]

( )

mL

x

L

m

T

T

T

T

f

cosh

cosh

0

0

=

=

ϑ

ϑ

Otrzymujemy:

(

)

( )

( )(

)

=

L

f

dx

x

L

mL

mL

T

T

P

Q

0

cosh

cosh

α

&

Aby rozwiązać powyższe równanie należy wykonać podstawienie:

(

)

x

L

m

=

ξ

m

d

dx

ξ

=

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

mL

tgh

T

T

m

P

mL

mL

mL

T

T

m

P

d

mL

T

T

m

P

Q

f

f

L

f

=

=

=

α

α

ξ

ξ

α

cosh

sinh

0

sinh

cosh

cosh

cosh

0

&

Rozwiązanie końcowe:

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

strumień ciepła

strumień ciepła

Podobne rozwiązanie można uzyskać z definicji strumienia ciepła:

(

)

(

)

[

]

( )

(

)

(

)

[

]

(

)

( )

(

)

( )

ml

tgh

T

T

A

ml

x

L

m

m

T

T

A

ml

x

L

m

dx

d

T

T

A

dx

dT

A

Q

f

x

f

x

f

x

=

=

=

=

=

=

=

0

0

0

0

0

0

cosh

sinh

cosh

cosh

λ

λ

λ

λ

&

Jest to równoważne z zapisem poprzednio wyprowadzonym:

A

P

m

λ

α

=

2

(

)

( )

(

)

( )

mL

tgh

T

T

A

mL

tgh

T

T

m

P

Q

f

f

=

=

λ

α

&

background image

Teoria prętów

Teoria prętów

sprawność żebra

sprawność żebra

Wymiana ciepła jest największa jest największa jeżeli żebro jest utrzymywane w
temperaturze podstawy. Sprawność żebra to stosunek rzeczywistego strumienia ciepła
wymienianego przez żebro do strumienia ciepła, które odpowiadałoby strumieniowi
ciepła żebra utrzymywanego w stałej temperaturze podstawy.

(

)

(

)

( )

(

)

( )

mL

mL

tgh

T

T

PL

mL

tgh

T

T

m

P

T

T

PL

Q

Q

Q

f

f

f

ideal

=

=

=

=

α

α

α

η

&

&

&

mL

( )

mL

mL

tgh

=

η

background image

Żebro prostokątne

Żebro prostokątne

W praktyce inżynierskiej występuje szereg innych rodzajów żeber. Poniżej zostanie
omówionych kilka przykładów:

W praktyce inżynierskiej można korzystać ze wzorów
wyprowadzonych dla przypadków pręta, przy
wprowadzeniu oznaczeń jak obok:

Opór cieplny żebra:

( )

η

α

α

PL

mL

tgh

m

P

R

th

1

1

=

=

background image

Sprawność powierzchni ożebrowanej

Sprawność powierzchni ożebrowanej

Całkowita sprawność powierzchni ożebrowanej:

(

)

f

A

A

α

1

η

α

A

1

(

)

f

f

t

A

A

A

A

η

η

+

=

Rozwiązując ze względu na sprawność całkowitą:

(

)

η

η

=

1

1

A

A

f

t

t

th

A

R

η

α

1

=

=

i

i

R

R

1

1

η

α

λ

δ

α

2

1

1

1

2

1

1

1

f

f

f

A

A

A

T

T

Q

+

+

=

&

Opór cieplny powierzchni ożebrowanej:

background image

Celowość stosowania żeber

Celowość stosowania żeber

Stosowanie żeber jest celowe tylko w przypadku, gdy przez ożebrowanie
powierzchni osiąga się zwiększenie strumienia przejmowanego ciepła.
Dla wyprowadzenia kryterium celowości stosowania żeber chłodzących
należy przyrównać do zera pochodną dQ/dh.

Celowość stosowania żeber określa teoretycznie warunek, Bi=

αδ/λ<2

W praktyce zaleca się stosowanie żeber gdy Bi<0.4

background image

Celowość stosowania żeber

Celowość stosowania żeber

Sprawdzić celowość stosowania żeber w przypadku cienkich żeber
stalowych omywanych gazem (

δ=1mm, λ=45 W/mK, α=15W/m

2

K) oraz

żeber odlewanych omywanych wodą (

δ=10 mm, α=2000 W/m

2

K).

Dla przypadku 1, Bi=

αδ/λ=15*0.001/45=0.003

Dla przypadku 2, Bi=

αδ/λ=2000*0.01/45=0.44

WNIOSEK: Stosowanie żeber ma sens w przypadku 2

background image

Celowość stosowania żeber

Celowość stosowania żeber

W podsumowaniu rozważań dotyczących powierzchni ożebrowanych należy
stwierdzić że:

• stosowanie żebrowania powierzchni jest celowe, gdy współczynnik

wnikania ciepła po tej stronie przegrody jest mały,

• dla żeber prostych o przekroju prostokątnym, ożebrowanie powoduje

zwiększenie ilości wnikającego ciepła jeżeli spełniony jest warunek,
gdzie oznacza połowę grubości żebra,

• stosowanie ożebrowania powierzchni jest zwykle bardziej zasadne w

przypadku wymiany ciepła pomiędzy przegrodą a gazem niż pomiędzy
przegrodą a cieczą,

• przy doborze kształtu żeber należy brać pod uwagę względy konstrukcyjne,

oraz fakt, że ożebrowanie powierzchni powoduje zwiększenie oporu
przepływu czynnika omywającego tę powierzchnie,

• ożebrowanie powierzchni powoduje zwiększenie zużycia materiału na

wykonanie elementu z powierzchnią ożebrowaną.

background image

Żebra o zmiennym przekroju

Żebra o zmiennym przekroju

(

)

(

)

( )

( )

(

)

f

T

T

r

r

dr

rtq

d

t

r

q

t

r

q

⎥⎦

⎢⎣

+

π

α

π

π

π

2

2

4

2

2

2

2

Elementarny bilans energii:

( )

(

)

f

T

T

r

dr

rtq

d

α

Upraszczając:

A

P

m

λ

α

β

=

=

2

2

(

)

f

T

T

r

dr

dT

r

dr

T

d

r

+

2

2

2

2

2

β

Podstawiając prawo Fouriera:

f

f

T

T

T

T

=

0

ϑ

Robimy podstawienie:

r

z

β

=

background image

Żebra o zmiennym przekroju

Żebra o zmiennym przekroju

(

)

f

T

T

r

dr

dT

r

dr

T

d

r

+

2

2

2

2

2

β

A

P

m

λ

α

β

=

=

2

2

Równanie przewodzenia ciepła:

Podstawienie:

f

f

T

T

T

T

=

0

ϑ

r

z

β

=

0

2

2

2

2

=

+

ϑ

ϑ

ϑ

z

dz

d

z

dz

d

z

Otrzymujemy równanie:

Warunki brzegowe:

1

1

1

0

1

=

=

=

=

=

ϑ

β

r

z

z

T

T

r

r

0

0

2

2

2

=

=

=

=

=

dz

d

r

z

z

dr

dT

r

r

ϑ

β

Możliwe jest znalezienie rozwiązania analitycznego w zależności od funkcji Bessela:

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

(

)

( ) ( )

( ) ( )

1

0

2

1

2

1

1

0

2

1

0

2

1

2

1

0

2

1

2

1

,

,

,

z

K

z

I

z

K

z

I

z

z

F

z

K

z

z

F

z

I

z

I

z

z

F

z

K

+

=

+

=

ϑ

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

1

1

0

2

1

1

0

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

/

2

r

K

r

I

r

I

r

K

r

K

r

I

r

I

r

K

r

r

r

β

β

β

β

β

β

β

β

β

η

+

=

Sprawność żebra okrągłego:

background image

Żebra o zmiennym przekroju

Żebra o zmiennym przekroju

background image

Żebra o zmiennym przekroju

Żebra o zmiennym przekroju


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
prawo ohma i kirchhoffa
prawo promieniowania Kirchhoffa
II prawo kirchhoffa
I prawo Kirchhoffa
Pierwsze prawo Kirchhoffa
1 prawo Kirchhoffa
Prawo Kirchhoffa, BIOTECHNOLOGIA POLITECHNIKA ŁÓDZKA, CHEMIA FIZYCZNA
Prawo Kirchhoffa
Pierwsze prawo Kirchhoffa
2 prawo Kirchhoffa
Sprawozdania, pke, Prawo Kirchhoffa wyraża równanie:
01 Liniowe obwody pradu sta ego prawo Ohma i prawa Kirchhoffa
I i II prawo Kirchhoffa id 2082 Nieznany
I prawo Kirchhoffa
I prawo Kirchhoffa
I prawo Kirchhoffa2

więcej podobnych podstron