dr inż. Marian Poniewiera

Gliwice, marzec 2007

.

Materiały powielane powstały na podstawie wykładów pracowników Zakładu Geodezji i Ochrony Terenów Górniczych Pol. Śl. w Gliwicach
oraz na podstawie literatury i nie stanowią publikacji w rozumieniu ustawy o prawach autorskich

Elementy rachunku współrzędnych

Powszechnie stosowany jest układ współrzędnych biegunowych i układ współrzędnych
prostokątnych.
Układ współrzędnych biegunowych płaskich określa przyjęty na płaszczyźnie punkt
początkowy (biegun), którym jest zazwyczaj stanowisko instrumentu, punkt S oraz kierunek
osi biegunowej SA. Położenie punktu P na płaszczyźnie wyznaczają w tym układzie dwie
współrzędne: P(d,

β

). Odległość poziomą d punktu P od bieguna S nazywamy promieniem

wodzącym punktu P, zaś

β

jest to kąt liczony zgodnie z ruchem wskazówki zegara od

przyjętego kierunku początkowego SA do promienia wodzącego SP punktu P. kąt

β

może

przybierać wartość od 0

o

do 360

o

. Jeżeli kierunek początkowy SA jest zgodny z osią odciętych

(x), wówczas kąt

β

nazywamy azymutem kierunku SP.

Układ współrzędnych biegunowych przestrzennych
Położenie punktu P w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne: P(d,

β

,

γ

). Długość SP = d

jest promieniem wodzącym punktu P (w przestrzeni), kąt

γ

= PSP’ jest kątem pochylenia

promienia wodzącego względem poziomej płaszczyzny odniesienia.

Układ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie tworzą dwie osie: skierowana na północ
oś x, czyli oś odciętych i prostopadła do niej skierowana na wschód oś y, czyli oś rzędnych.
Położenie punktu P na płaszczyźnie wyznaczają dwie współrzędne P(X,Y).

Układ współrzędnych prostokątnych w przestrzeni określają trzy osie x, y, z. Położenie
punktu P w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne P(X,Y,Z).

1

Określenie znaków przyrostów współrzędnych zależnie od wartości azymutu (ćwiartki układu
współrzędnych).

przyrosty współrzędnych

∆

x

PK

= d

PK

cos

α

PK

∆

y

PK

= d

PK

sin

α

PK

długość odcinka PK:

2

2

PK

PK

PK

y

x

d

∆

+

∆

=

azymut

x

y

tg

∆

∆

=

γ

Przykłady:

Ciąg poligonowy

Elementy składowe ciągu poligonowego nawiązanego dwustronnie

Kolejność obliczeń współrzędnych punktów w ciągu poligonowym:

 sprawdzenie sumy kątów,
 przeprowadzenie wyrównania kątów,
 obliczenie azymutów wszystkich boków ciągu,
 obliczenie przyrostów współrzędnych wszystkich boków ciągu,
 sprawdzenie sumy obliczonych przyrostów współrzędnych,
 przeprowadzenie wyrównania przyrostów współrzędnych,
 obliczenie współrzędnych kolejnych punktów ciągu.

2

Xa

Ya

Xb

Yb

dXab

dYab

czwartak

Azymut

ćwiartka

10

10

100

20

90

10

7,045

7,045

1

30

30

20

60

-10

30

79,517

120,483

2

40

20

10

10

-30

-10

20,483

220,483

3

51

12

61

6

10

-6

34,404

365,596

4

Kąt lewy – znajduje się po lewej stronie ciągu, poruszając się od punktu początkowego do
punktu końcowego ciągu.
Kąt prawy - znajduje się po prawej stronie ciągu, poruszając się od punktu początkowego do
punktu końcowego ciągu.

Związki geometryczne między kątem wierzchołkowym i azymutem boku:

a) kąt prawy b) kąt lewy

Wzory określające azymuty następnego boku:

α

nast.

=

α

pocz

+ 180

o

-

β

prawy

α

nast.

=

α

pocz

- 180

o

+

β

lewy

Wzór obliczający azymuty kolejnych boków dla ciągu o n wierzchołkach (dla kątów
prawych).

∑

=

−

+

=

n

i

i

o

pocz

końo

prawe

n

1

180

β

α

α

Suma teoretyczna kątów prawych w ciągu otwartym

o

końo

pocz

n

i

i

n

prawe

180

1

+

−

=

∑

=

α

α

β

kąty lewe:

o

pocz

końo

n

i

lewe

n180

1

+

−

=

∑

=

α

α

β

3

Suma przyrostów współrzędnych w ciągu poligonowym nawiązanym dwustronnie

Σ∆

x

PK

= X

końc

– X

pocz

Σ∆

y

PK

= Y

końc

– Y

pocz

Literatura:
1. Jagielski A.: Geodezja I. Wydawnictwo Stabil. Kraków 2002
2. Jamka M., Zielina L.: Geodezja inżynieryjna. Podręcznik dla studentów wyższych szkół

technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2001r.

3. Przewłocki S.: Geodezja dla kierunków niegeodezyjnych. Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 2002r.

4

Numery

punktów

nawiązania

i punktów

poligonowych

Średnie wartości

kątów Poprawki

Azymuty

A

i

=

α

lewe

β

prawe

A

i-1

+

α

-200

g

g

c

cc

A

ipoprz

-

β

+200

g

Zreduko-

wane

długości
boków l

i

Przyrosty współrzędnych

Współrzędne

∆

y

=

l

i

sinA

i

∆

x

=

l

i

cos

Α

i

Y

X

Nr

punktu

Obliczenia

pomocnicze

Uwagi

A

B

176

99

-5

331.9391

43008.40

40255.23

A

40219.46

41784.99

B

43

1

191

37

-4

308.9329

269.26

-0.03

-266.61

37.66

39952.82

41822.65

1

38

2

194

92

-4

300.3063

288.62

-0.03

-288.62

1.39

39664.17

4182.04

2

1

3

131

35

-5

295.226

304.00

-0.03

+0.01

-303.15

-22.78

39360.99

41801.27

3

80

4

246

86

-4

226.5835

278.03

-0.03

-112.75

-254.14

39248.21

41547.13

4

98

5

225

47

-5

273.4529

284.43

-0.03

+0.01

-260.06

-115.20

38988.12

41431.94

5

81

C

84

37

-4

298.9305

225.61

-0.02

-225.58

-3.79

38762.52

41428.15

C

69

D

183.307

39211.95

39753.63

D

Σ

l

ι

=

1649.95

Σ

p

= -1456.77

Σ

p

= -

356.86

Σ

t

= -

1456.94

Σ

t

= -

356.84

Σα

p

=

1251

37

10

f

y

= -0.17

f

x

= 0.02

Σα

t

=

1251

36

79

f

l

=

±

0.18 m < f

lmax

=

±

0.34 m

f

α

=

00

31

f

α

max

=

±20

38

Nr pkt.

Śr. wart. Azymut A'

Zred. dł. Przyrosty

Poprawki

Przyrosty

Współrzedne

kąta [g]

[g]

[m.]

delta X

delta Y

px[mm]

py[mm]

X

Y

A

10,00

10,00

-250

100,0000

10,000

0,000

10,000

0

0

B

100,0000

10,00

20,00

-250

200,0250

10,000

-10,000

-0,004

-3

3358

C

100,0000

0,00

23,35

-250

300,0500

10,100

0,008 -10,100

-3

3392

D

100,1000

0,00

16,65

-250

399,9750

10,000

10,000

-0,004

-3

3358

A

100

100,0000

10,00

20,00

Suma dl=

30,100

Σt= 400,0000

Σp=

0,008 -10,108

Σp= 400,1000

Σt=

0,000

0,000

Va=Σp-Σt=

0,1000

Va=Σp-Σt=

0,008 -10,108