Prędkości

Kosmiczne

Pierwsza prędkość kosmiczna

Z

F

g

F

o

m

v

Pierwsza prędkość kosmiczna

2

r

M

G

m

F

g

⋅

=

siła oddziaływania grawitacyjnego wynosi

gdzie:

m – masa obiektu

G – stała grawitacyjna (6,672*10

-11

Nm

2

kg

-2

)

M – masa Ziemi (5,975*10

24

kg)

r – odległość od środka Ziemi

R

z

– promień Ziemi (6,378*10

6

m)

lub

2

r

m

F

g

µ

⋅

=

gdzie:

µ = G·M = 3,98652*10

14

Nm

2

kg

-1

F

g

F

o

v

siła odśrodkowa w ruchu satelity po orbicie kołowej wynosi:

r

v

m

F

I

o

2

⋅

=

g

o

F

F

=

ponieważ satelita jest w równowadze (nie spada na Ziemię):

czyli:

2

2

r

m

r

v

m

I

µ

⋅

=

⋅

skąd:

r

v

I

µ

=

F

g

F

o

v

dla r = R

z

(promień Ziemi):

z

I

R

v

µ

=

po podstawieniu:

7906

10

6378

10

98652

,

3

3

14

=

⋅

⋅

=

I

v

m/s

9

,

7

≈

I

v

km/s

dla obiektu na wysokości h = 200 km nad powierzchnią Ziemi:

h

R

v

z

I

+

=

µ

po podstawieniu:

7785

10

6578

10

98652

,

3

3

14

=

⋅

⋅

=

I

v

m/s

8

,

7

≈

I

v

km/s

energia, którą trzeba dostarczyć satelicie aby wynieść go na zadaną
orbitę:

∫

=

∆

orbity

z

R

R

dr

r

m

E

2

µ















−

=

∆

orbity

z

R

R

m

E

1

1

µ

po scałkowaniu:

dla orbity znajdującej się na wysokości h = 200 km i masy 1 kg:

6

6

6

14

10

882

,

1

10

578

,

6

1

10

378

,

6

1

10

987

,

3

1

⋅

=













⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

∆E

J

dodatkowa prędkość o jaką musimy rozpędzić satelitę (z równania na
energię kinetyczną):

E

v

∆

=

∆

2

1940

10

882

,

1

2

6

=

⋅

⋅

=

∆v

m/s

Jeśli całkowita energia satelity byłaby osiągalna równocześnie to ∆v dla satelity
(uwzględniając podniesienie satelity z powierzchni Ziemi na wysokość 200 km
oraz nadanie jej prędkości orbitalnej v = 7785 m/s) wynosiłaby:

k

c

E

E

E

km

+

∆

=

200

6

2

6

10

185

,

32

7785

2

1

10

882

,

1

200

⋅

=

+

⋅

=

km

c

E

stąd:

8024

10

185

,

32

2

6

=

⋅

⋅

=

∆v

m/s

km

c

E

v

200

2

=

∆

J

[J]

∆

v [m/s]

[J]

[m/s]

[km]

11089

8737

4116

1950

0

62,0*10

6

61,48*10

6

1020

384 000

5

50,3*10

6

38,16*10

6

4934

10 000

4

35,5*10

6

8,47*10

6

7350

1000

3

32,2*10

6

1,90*10

6

7785

(2)

200

2

31,2*10

6

0

≈

7900

(1)

0

1

Całkowita

nadana

energia

Energia niezbędna do

wyniesienia 1kg na daną

wysokość

Prędkość

orbitalna

Wysokość

orbity nad

powierzchnią

Ziemi

Lp

(1) – Ze względu na opór atmosferyczny satelita nie może być umieszczony

na tej orbicie

(2) – Satelita może przebywać na takiej orbicie przez okres paru dni-tygodni ze

względu na oddziaływanie szczątkowej atmosfery

-

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

9 000

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

Wysokość [km]

Prędkość

satelity

Nadana energia

Prędkość satelity [m/s]

Nadana energia [10

4

J]

r

r

v

r

T

I

µ

π

π

2

2

=

=

µ

π

2

/

3

2

r

T

=

dla

h = 0 (r = 6378 km)

T = 5069 s

T ≈ 84,5 min = 1 godz. 24,5 min

h = 200 km

T = 5309 s = 1 godz. 28,5 min

h = 1 000 km

T = 1 godz. 45,1 min

h = 10 000 km

T = 5 godz. 47,5 min

h = 384 000 km

T = 27,4 dnia

Gwiazdowy miesiąc Księżycowy wynosi 27,3217 dnia

Okres obiegu satelity po orbicie kołowej:

Dla jakiej wysokości orbity okres obiegu będzie wynosił
jeden dzień gwiazdowy (23 godz. 56 min i 4,09 s) ?

r = 42 164 170 m

czyli około 35,786 km nad równikiem – orbita
Geostacjonarna (GEO); czyli około 35,8 tyś km

3

/

2

2















=

π

µ

T

r

µ

π

2

/

3

2

r

T

=

Wpływ różnych czynników na ruch

satelitów po orbicie Ziemi

Druga prędkość kosmiczna

całkowita energia niezbędna dla przesunięcia obiektu od powierzchni Ziemi w
nieskończoność wynosi:

∫

∞

−

=

z

R

c

dr

r

m

E

2

µ

z

c

R

m

E

µ

=

energia kinetyczna obiektu startującego z Ziemi z drugą prędkością kosmiczną
wynosi:

2

2

II

k

mv

E

=

c

k

E

E

=

z

II

R

v

µ

2

=

ponieważ:

to:

lub:

I

II

v

v

⋅

=

2

gdyż:

z

I

R

v

µ

=

= 11 180 m/s

lub:

II

v

II

v

≈ 11,2 km/s

62,5*10

6

11 181

62,50*10

6

0

∞

6

[J]

∆

v [m/s]

[J]

[m/s]

[km]

11 089

8 737

4 116

1 950

0

62,0*10

6

61,48*10

6

1020

384 000

5

50,3*10

6

38,16*10

6

4934

10 000

4

35,5*10

6

8,47*10

6

7350

1000

3

32,2*10

6

1,90*10

6

7785

(2)

200

2

31,2*10

6

0

≈

7900

(1)

0

1

Całkowita

nadana

energia

Energia niezbędna do

wyniesienia 1kg na daną

wysokość

Prędkość

orbitalna

Wysokość

orbity nad

powierzchnią

Ziemi

Lp

(1) – Ze względu na opór atmosferyczny satelita nie może być umieszczony

na tej orbicie

(2) – Satelita może przebywać na takiej orbicie przez okres paru dni-tygodni ze

względu na oddziaływanie szczątkowej atmosfery

Trzecia prędkość kosmiczna

prędkość ucieczki z Układu Słonecznego ciała znajdującego się w odległości
od Słońca równiej orbicie Ziemi wynosi:

≈ 42 200 m/s

III

v

ś

rednia prędkość Ziemi w ruchu po orbicie okołosłonecznej wynosi:

T

R

v

sz

Z

⋅

=

π

2

gdzie:

R

sz

– średnia odległość Ziemi od słońca (149,6*10

6

km)

T – okres obiegu słońca przez Ziemię, w sekundach (365,2564 dni)

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

3600

24

2564

,

365

10

6

,

149

2

9

π

Z

v

29 785 m/s

różnica prędkości wynosi wynosi:

=

−

z

III

v

v

12 415 m/s

energia niezbędna dla pokonania Ziemskiego pola grawitacyjnego równa się:

z

Z

R

E

µ

=

trzecia prędkość kosmiczna w przypadku startu z Ziemi w kierunku ruchu Ziemi
po orbicie okołosłonecznej wynosi:

(

)

z

z

III

III

E

v

v

v

Z

2

2

2

+

−

=

(

)

z

z

III

III

E

v

v

v

Z

2

2

+

−

=

=

⋅

⋅

+

=

3

14

2

10

6378

10

98652

,

3

2

12415

Z

III

v

16 707 m/s

≈

Z

III

v

16,7 km/s

prędkość niezbędna dla zapewnienia bezpośredniego

spadku na Słońce przy starcie z Ziemi.

ś

rednia prędkość ruchu Ziemi po orbicie okołosłonecznej wynosi:

=

Z

v

29 785 m/s

rakietę należy więc wystrzelić w kierunku przeciwnym z prędkością:

z

z

E

v

v

2

2

2

+

=

=

+

=

z

z

E

v

v

2

2

31 814 m/s

≈

v

31,8 km/s