Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

1

10.



10. METODA SIŁ - RAMA

Sposób rozwiązywania zadań metodą sił przeanalizujemy szczegółowo na konkretnych

przykładach liczbowych.

Zadanie 1

Wykonać wykresy sił wewnętrznych od obciążeń rzeczywistych układu statycznie niewyznaczalnego:

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3

3

2

4

[m]

EJ

Rys. 10.1. Układ rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym

Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny. Wybieramy jeden z możliwych układów

podstawowych. Odrzucamy myślowo dwie podpory prętowe (pozostawiając jedynie utwierdzenie) i
zastępujemy je niewiadomymi siłami

X

1

i

X

2

.

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3

3

2

4

X

1

X

2

[m]

EJ

Rys. 10.2. Układ podstawowy z niewiadomymi siłami X

1

i X

2

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

2

Aby układ ten był równoważny układowi rzeczywistemu należy go uzupełnić o układ równań

kanonicznych opisujących warunek identyczności kinematycznej:

{



11

⋅X

1



12

⋅X

2



1 P

=0



21

⋅X

1



22

⋅X

2



2 P

=0

(10.1)

W celu obliczenia przemieszczeń

δ

ik

, wykonujemy wykresy momentów od sił jednostkowych

przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych

X

1

i

X

2

, oraz od obciążenia zewnętrznego (rys. 10.2). Wykresy

te nazwiemy kolejno

M

1

(rys. 10.3),

M

2

(rys. 10.4),

M

P

0

(rys. 10.5).

3

3

4

X

1

= 1

3

3

M

1

[m]

[m]

Rys. 10.3. Wykres momentów od siły jednostkowej

przyłożonej w miejsce niewiadomej X

1

3

3

4

X

2

= 1

3

3

M

2

[m]

[m]

Rys. 10.4. Wykres momentów od siły jednostkowej

przyłożonej w miejsce niewiadomej X

2

3

4

M

P

0

[kN/m]

54

54

126

1

2

[m]

Rys. 10.5. Wykres momentów od obciążenia zewnętrznego

Mając gotowe wykresy momentów możemy przystąpić do obliczania współczynników równań

kanonicznych (10.1) przy wykorzystaniu metody Maxwella-Mohra. Uwzględniając jedynie momenty zginające
przemieszczenie obliczamy ze wzoru:



ik

=

∑∫

j

M

i

M

k

EJ

ds

(10.2)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

3

Dla uproszczenia całkowania skorzystamy z numerycznej metody Wereszczagina – Mohra



11

=

1

EJ

[

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3

⋅3

]



1

2 EJ

[4 ⋅3 ⋅3]=27

m

3

EJ



22

=

1

EJ

[

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3

⋅3

]



1

2 EJ

⋅[4 ⋅3 ⋅3 ]=27

m

3

EJ



12

=

21

=−

1

2 EJ

[4 ⋅3 ⋅3]=−18

m

3

EJ



1 P

=

1

2 EJ

[

126

54

2

⋅4 ⋅3 −

2
3

⋅

9

⋅4

2

8

⋅4 ⋅3

]

=468

kNm

3

EJ



2 P

=

1

EJ

[

1

2

⋅1 ⋅54 ⋅



−

2
3

⋅3 −

1
3

⋅2



]



1

2 EJ

[

2
3

⋅

9

⋅4

2

8

⋅4 ⋅3 −

126

54

2

⋅4 ⋅3

]

=−540

kNm

3

EJ

Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:

{

27

EJ

⋅X

1

−

18

EJ

⋅X

2



468

EJ

=0

−18

EJ

⋅X

1



27

EJ

⋅X

2

−

540

EJ

=0

Z rozwiązania powyższego układu równań otrzymamy następujące wyniki:

{

X

1

=−7,2 kN

X

2

=15,2 kN

Warto przy tym zadaniu zastanowić się nad sensem wprowadzania niewiadomych w postaci grupy sił.

Rys. 10.6 przedstawia układ podstawowy dla tego zadania przyjęty jak poprzednio, z tą różnicą, że zamiast
niewiadomych sił

X

1

i

X

2

wprowadzono grupy sił

Z

1

i

Z

2

.

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3

3

2

4

Z

1

Z

2

Z

1

Z

2

[m]

Rys. 10.6. Układ podstawowy z niewiadomymi Z

1

i Z

2

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

4

Wykonajmy zatem ponownie wykresy momentów, tym razem od grup sił

Z

1

i

Z

2

. Wykresy te nazwiemy

kolejno

M

1

' (rys. 10.7) i M

2

' (rys. 10.8). Tym razem układ równań kanonicznych ma postać:

{

'

11

⋅Z

1

 '

12

⋅Z

2

'

1 P

=0

'

21

⋅Z

1

'

22

⋅Z

2

'

2 P

=0

3

3

4

Z

1

= 1

3

M

1

' [m]

Z

1

= 1

[m]

Rys. 10.7. Wykres momentów od sił jednostkowych

przyłożonych w miejsce niewiadomych Z

1

3

3

4

Z

2

= 1

3

M

2

' [m]

Z

2

= 1

3

6

[m]

Rys. 10.8. Wykres momentów od sił jednostkowych

przyłożonych w miejsce niewiadomych Z

2

Przyglądając się wykresom

M

1

' i M

2

' można zauważyć, że niektóre przemieszczenia będą zerowe.

Spróbujmy zatem sprawdzić czy nasze spostrzeżenia są słuszne i obliczmy ponownie przemieszczenia z
układu równań kanonicznych:

'

11

=

1

EJ



2

⋅

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3

⋅3



=18

m

3

EJ

'

12

=

21

=

1

EJ



1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3

−

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3



=0

'

22

=

1

EJ

⋅18 

1

2 EJ

⋅4 ⋅6 ⋅6 =90

m

3

EJ

'

1 P

=−

1

EJ

⋅

[

1

2

⋅1 ⋅54 ⋅



1
3

⋅2 

2
3

⋅3



]

=−72⋅

kNm

3

EJ

'

2 P

=

72

EJ

−

1

2 EJ

⋅

[

6

⋅4 ⋅

1

2

⋅12654−

2
3

⋅4 ⋅

9

⋅4

2

8

⋅6

]

=1008

kNm

3

EJ

Po podstawieniu do równań kanonicznych otrzymujemy dwa równania z jedną niewiadomą:

{

18

EJ

⋅Z

1

0 ⋅Z

2

−

72

EJ

=0

0

⋅Z

1



90

EJ

⋅Z

2



1008

EJ

=0

Po rozwiązaniu równań otrzymujemy wyniki:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

5

{

Z

1

=4 kN

Z

2

=−11,2 kN

Wydaje się, że wyniki są różne, ale analizując rys. 10.2 i rys. 10.6 okazuje się, że niewiadome

X

i

są

odpowiednimi sumami zmiennych

Z

i

:

X

1

=Z

1

Z

2

=4−11,2=−7,2 kN

X

2

=Z

1

−Z

2

=4−−11,2=15,2 kN

czyli uzyskaliśmy takie same wyniki unikając rozwiązywania skomplikowanego układu równań.

P = 54 kN

q = 9 kN/m

EJ

2 EJ

4

3

3

2

4

7,2 kN

15,2 kN

[m]

Rys. 10.9. Stan obciążenia siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi siłami X

1

i X

2

Po otrzymaniu wartości niewiadomych

X

1

i

X

2

dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli tworzymy

wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w układzie podstawowym, obciążonym zewnętrznie oraz przez siły
X

1

i

X

2

(rys. 10.9). Wartości sił wewnętrznych możemy określić w oparciu o zasadę superpozycji. Sumując

wykresy momentów w układach podstawowych od obciążenia zewnętrznego

M

0

P

(rys. 10.5) i wykresy

jednostkowe

M

1

(rys. 10.3),

M

2

(rys. 10.4) przemnożone przez rzeczywiste wartości nadliczbowych

X

1

i

X

2

.

Podobnie możemy postąpić przy wyznaczaniu sił tnących i normalnych :

M

P

n

=M

P

O



∑

i

=1

n

M

i

⋅X

i

T

P

n

=T

P

0



∑

i

=1

n

T

i

⋅X

i

N

P

n

=N

P

0



∑

i

1

n

N

i

⋅X

i

(10.3)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

6

3

4

M

P

(n)

[kN/m]

1

2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

Rys. 10.10. Wykres momentów rzeczywistych M

P

(n)

Ponieważ nie dysponujemy wykresami normalnych i tnących ani w układzie podstawowym, ani w

układach od stanów

X

1

= 1 i X

2

= 1, wykresy tych funkcji możemy narysować tradycyjnie korzystając z

obciążeń na rys. 10.9 lub inaczej, korzystając z wykresu momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
(rys. 10.10). W tym celu dzielimy układ na pojedyncze pomocnicze fragmenty i dla nich pomocą wyznaczamy
wartości sił tnących w poszczególnych przekrojach.

54 kN

15,2 kN

1

2

7,2 kN

3

21,6 kNm

8,4 kNm

α

α

β

β

30,4

8,4

γ

γ

M

p

(n)

[kNm]

M

p

(n)

[kNm]

21,6

q = 9 kN/m

4

13,2 kNm

58,8 kNm

δ

δ

M

P

(n)

[kN/m]

58,8

13,2

x

Rys. 10.11. Rysunki pomocnicze do wykonania wykresu sił tnących

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

7

T



=−15,2 [kN ]

T



=38,8 [kN ]

T



=−7,2 [kN ]

T



=36 −9 x

3

4

T

P

(n)

[kN]

1

2

-7,2

38,8

36,0

-15,2

+

_

_

+

Rys. 10.12. Wykres rzeczywistych sił tnących T

P

(n)

Wartości sił normalnych można wyznaczyć równoważąc węzły układu (równowaga sił w węzłach)

N

δ

38,8 kN

7,2 kN

Rys. 10.13. Równowaga sił w węźle ramy

∑

Y

=0 

N



=−46 kN

3

4

N

P

(n)

[kN]

1

2

-46,0

_

Rys. 10.14. Wykres rzeczywistych sił normalnych N

P

(n)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

8

10.1. Sprawdzenia poprawności obliczeń

10.1.1. Sprawdzenie globalne

Sprawdzenie to polega na zbudowaniu pewnego fikcyjnego wykresu momentów

M

S

, będącego sumą

wszystkich wykresów jednostkowych (

M

1

,

M

2

, ...,

M

i

):

M

S

=

∑

i

=1

n

M

i

(10.4)

Na podstawie tak sporządzonego wykresu obliczamy współczynnik

δ

SS

ze wzoru:



SS

=

∫

M

S

2

EJ

⋅ds

(10.5)

Okazuje się że wartość współczynnika

δ

SS

równa jest sumie wszystkich współczynników macierzy podatności:



SS

=

∑

i

=1

n

∑

k

=1

n



ik

(10.6)

Można to udowodnić w następujący sposób:



SS

=

∫

S

M

S

⋅M

S

EJ

⋅ds=

∫

S

1

EJ

⋅M

1

M

2

...M

n



2

⋅ds

=

∫

S

M

1

⋅M

1

EJ

⋅ds

∫

S

M

1

⋅M

2

EJ

⋅ds...

∫

S

M

1

⋅M

n

EJ

⋅ds



∫

S

M

2

⋅M

1

EJ

⋅ds

∫

S

M

2

⋅M

2

EJ

⋅ds...

∫

S

M

2

⋅M

n

EJ

⋅ds



∫

S

M

n

⋅M

1

EJ

⋅ds

∫

S

M

n

⋅M

2

EJ

⋅ds...

∫

S

M

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

=

11



12

...

nn

=

∑

i

=1

n

∑

k

=1

n



ik

W ten sposób otrzymaliśmy możliwość sprawdzenia poprawności wyliczeń wszystkich uzyskanych

współczynników

δ

ik

(z pominięciem

Δ

iP

). Jeżeli powyższa równość jest spełniona przeprowadzone dotychczas

obliczenia są prawidłowe. Jeżeli nie, to lokalizujemy błąd sprawdzeniem lokalnym.

10.1.2. Sprawdzenie lokalne

Sprawdzenie to, zwane także wierszowym lub kolumnowym, polega na zlokalizowaniu błędu, przez

odrębne rozpatrywanie elementów danego wiersza macierzy podatności (lub danej kolumny, bo macierz ta jest
symetryczna). Sumowania te wyrażone są wzorem:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

9



is

=

∫

S

M

i

⋅M

S

EJ

ds

=

∑

k

=1

n



ik

(10.7)

Gdzie

i to numer wykresu jednostkowego (dla X

i

= 1) oraz numer sprawdzanego wiersza macierzy.

Sprawdzenie poprawności wartości obliczeń wyrazów wolnych

Δ

iP

przeprowadza się wzorem:



SP

=

∫

S

M

S

0

⋅M

P

0

EJ

ds

=

∑

i

=1

n



iP

(10.8)

Dowód na skuteczność zależności (10.7) i (10.8) jest analogiczny jak dla sprawdzenia globalnego.
Po zlokalizowaniu i poprawieniu błędu przystępujemy do dalszej analizy wyników.

10.1.3. Sprawdzenie wartości niewiadomych sił

Sprawdzenie to polega na podstawieniu wyznaczonych wielkości

X

k

do równań kanonicznych i

stwierdzeniu, czy układ równań jest spełniony.

10.1.4. Sprawdzenie statyczne

To sprawdzenie mówi nam, czy przy wyznaczonych siłach wewnętrznych spełnione są warunki

statycznej równowagi (

ΣX=0, ΣY=0, ΣM=0). Polega ono na wykazaniu, że spełnione są równania równowagi

dla całości układu jak również dla wybranych jego części. Warto zaznaczyć, że sprawdzenie to nie bada
poprawności wyliczonych

X

k

, a jedynie sprawdza poprawność wykresów sił wewnętrznych od obciążeń

zewnętrznych i nadliczbowych (niekoniecznie prawidłowych).

10.1.5. Sprawdzenie kinematyczne

Sprawdzenie to jest najważniejsze, gdyż tak naprawdę to dopiero ono mówi nam czy uzyskane wyniki

są prawidłowe. Polega ono na wykazaniu, że dla wybranych punktów (na ogół punktów, które nie doznają
przemieszczeń w układzie statycznie niewyznaczalnym) przemieszczenia są równe wartościom rzeczywiście
tam występującym.

Zagadnienie wyznaczania przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych wydaje się

stosunkowo złożone, gdyż zgodnie z uniwersalną zasadą pracy wirtualnej w celu określenia przemieszczenia,
należy znaleźć wykresy sił wewnętrznych w układzie statycznie niewyznaczalnym zarówno dla stanu
rzeczywistego jak i wirtualnego.



1

⋅

j

=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds

Żeby uzyskać wykres momentów od obciążeń zewnętrznych trzeba było rozwiązać układ równań

kanonicznych.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

10

∑

k

=1

n



ik

⋅X

k



iP

=0

(10.9)

Podobnie w celu stworzenia wykresu momentów wirtualnych w układzie statycznie niewyznaczalnym

musimy najpierw wyznaczyć reakcje nadliczbowe:

∑

k

=1

n



ik

⋅X

k



iP

=0



iP

Obliczamy mnożąc wykres ze stanu

X

1

i wykres momentów od obciążenia wirtualnego w

układzie podstawowym.

10.2. Twierdzenia redukcyjne

W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym należy

wykorzystać zasadę prac wirtualnych wprowadzając do równania funkcje sił wewnętrznych, wynikających z
obciążenia wirtualnego oraz z obciążenia rzeczywistego. Jednak można jedną z tych funkcji (wirtualną lub
rzeczywistą) wyznaczyć stosując dowolny układ podstawowy (statycznie wyznaczalny).



1

⋅

n

=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

0

EJ

⋅ds=

∑∫

S

M

P

0

⋅M

n

EJ

⋅ds

(10.10)

Zadanie 2

Wyznaczyć przemieszczenie pionowe punktu znajdującego się w miejscu przyłożenia siły

P

(rys. 10.1) stosując trzy różne układy podstawowe (statycznie wyznaczalne) dla obciążenia wirtualnego.

a) Przy wykorzystaniu zależności (10.10) do rozwiąznia potrzebne nam będą dwa wykresy: wcześniej

sporządzony wykres momentów rzeczywistych

M

P

(n)

z rys. 10.10, oraz wykres momentów w przyjętym

układzie podstawowym obciążonym siłą wirtualną (po kierunku poszukiwanego przemieszczenia).

3

4

M

P

(n)

[kN/m]

1

2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

[m]

EJ

2 EJ

1

3

2

4

1

3

[m]

2

3

2

3

0

[m]

M

1

Przemieszczenie wyznaczamy korzystając z twierdzenia redukcyjnego:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

11



1

⋅

P

n

=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

0

EJ

⋅ds



P

n

=

1

EJ

⋅

[

1
2

⋅1 ⋅

2

3

⋅



2

3

⋅30,4 −

1

3

⋅8,4





1

2

⋅2 ⋅

2

3

⋅

2

3

⋅30,4

]

=

19,33

3

EJ

b) Obliczamy przemieszczenie po przyjęciu innego układu podstawowego dla obciążenia wirtualnego

EJ

2 EJ

1

3

2

4

[m]

3

4

M

P

(n)

[kN/m]

1

2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

[m]

1

1

3

4

3

1

0

[m]

M

Przemieszczenie wyznaczone ze wzoru (10.10) ma wartość :



1

⋅

P

n

=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

0

EJ

⋅ds



P

n

=

1

EJ

⋅

[

1
2

⋅1 ⋅1 ⋅



2

3

⋅8,4 −

1

3

⋅30,4





1

2

⋅3 ⋅1 ⋅

2

3

⋅21,6

]

=

19,33

3

EJ

c) Na koniec sprawdzamy rachunki dla jeszcze innego układu podstawowego:

3

4

1

2

1

1

3

4

M

P

(n)

[kN/m]

1

2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

[m]

2 EJ

EJ

[m]

0

[m]

1

M

Wartość przemieszczenia wyznaczamy mnożąc i całkując powyższe wykresy :



1

⋅

P

n

=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

0

EJ

⋅ds



P

n

=

1

EJ

⋅

[

1

2

⋅1 ⋅1 ⋅



2
3

⋅8,4 −

1
3

⋅30,4



]



1

2 EJ

⋅

[

1

2

⋅58,8−13,2⋅4 ⋅1 −

2
3

⋅

9

⋅4

2

8

⋅4 ⋅1

]

=

19,33

3

EJ

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

12

We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy identyczne wartości przemieszczeń co dowodzi, że układ

podstawowy może być przyjęty dowolnie.

10.2.1. Dowód pierwszego twierdzenia redukcyjnego

Dowód twierdzenia przytoczymy uwzględniając w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ

momentów zginających. Spróbujemy dowieść prawdziwości twierdzenia:

∑∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

∑∫

S

M

P

n

⋅M

0

EJ

⋅ds

(10.11)

Zgodnie z zasadą superpozycji można zapisać, że :

M

P

n

=M

P

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

⋅M

n

M

n

=M

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

⋅M

n

(10

.12)

Funkcje M

p

n

i M

n

podstawiamy do wyrażenia pod pierwszą całką:

M

P

n

⋅M

n

=M

P

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

M

n

⋅M

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

M

n

=

=M

0

⋅M

P

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

M

n



 X

1

⋅M

P

0

⋅M

1

 X

1

⋅M

1

2

 X

2

⋅M

2

⋅M

1

... X

n

M

n

M

1



 X

2

⋅M

P

0

⋅M

2

 X

1

⋅M

1

⋅M

2

 X

2

⋅M

2

⋅M

2

... X

n

M

n

M

2

...

 X

n

⋅M

P

0

⋅M

n

 X

1

⋅M

1

⋅M

n

 X

2

⋅M

2

⋅M

n

...M

n

2

⋅X

n



(10.13)

Biorąc pod uwagę, że całka z iloczynu momentów podzielonego prze sztywność jest odpowiednim

przemieszczeniem :



11

=

∫

S

M

1

2

EJ

⋅ds



22

=

∫

S

M

2

2

EJ

⋅ds



nn

=

∫

S

M

n

2

EJ

⋅ds

(10.14)



12

=

21

=

∫

S

M

1

⋅M

2

EJ

⋅ds



1 n

=

n1

=

∫

S

M

1

⋅M

n

EJ

⋅ds



2 n

=

n2

=

∫

S

M

2

⋅M

n

EJ

⋅ds

(10.15)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

13



1 P

=

∫

S

M

1

⋅M

P

0

EJ

⋅ds



2 P

=

∫

S

M

2

⋅M

P

0

EJ

⋅ds



nP

=

∫

S

M

n

⋅M

P

0

EJ

⋅ds

(10.16)

Wykorzystując to we wzorze (10.13) zapiszemy:

1

⋅

j

=

∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds= X

1

⋅ X

1

⋅

11

 X

2

⋅

12

.. X

n

⋅

1 n



1 P



 X

2

⋅ X

1

⋅

21

 X

2

⋅

22

... X

n

⋅

2 n



2 P



 X

n

⋅ X

1

⋅

n1

 X

2

⋅

n2

... X

n

⋅

nn



nP



∫

S

M

0

⋅M

P

n

EJ

⋅ds

(10.17)

Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są równe zeru. Ostatecznie

twierdzenie (10.11) zostało udowodnione.

1

⋅

j

=

∫

S

M

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

∫

S

M

P

n

⋅M

0

EJ

⋅ds

(10.18)

10.2.2. Dowód drugiego twierdzenia redukcyjnego

W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym, wystarczy

rozwiązać układ ten od obciążenia wirtualnego, zaś rzeczywisty stan obciążeń określić dla dowolnego układu
podstawowego statycznie wyznaczalnego.

1

⋅

j

=

∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

∫

S

M

P

0 

⋅M

n

EJ

⋅ds

(10.19)

Warto zaznaczyć, że dzięki twierdzenia redukcyjnemu w rozważanym układzie można przeprowadzić

bardzo dużo sprawdzeń kinematycznych, gdyż możemy przyjąć wiele różnych układów podstawowych.
Reasumując, kontrole kinematyczną najlepiej przeprowadzać stosując inny układ podstawowy niż
wykorzystywany przy liczeniu niewiadomych, ponieważ efektem tego sprawdzenia byłoby tylko wykazanie
poprawności równania kanonicznego.

Uwzględniając w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ momentów zginających udowodnimy

twierdzenie redukcyjne w postaci:

1

⋅

j

=

∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

∫

S

M

P

0 

⋅M

n

EJ

⋅ds

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

14

Zgodnie z zasadą superpozycji moment w układzie statycznie niewyznaczalnym jest równy:

M

P

n

=M

P

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

⋅M

n

M

n

=M

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

⋅M

n

Funkcje M

P

n

i M

n

podstawiamy do wyrażenia podcałkowego:

M

P

n

⋅M

n

=M

P

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... X

n

M

n

⋅M

P

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

... . X

n

M

n

=

=M

p

0

⋅M

0

 X

1

⋅M

1

 X

2

⋅M

2

.... X

n

M

n



 X

1

⋅M

0

⋅M

1

 X

1

⋅M

1

2

 X

2

⋅M

2

⋅M

1

.... X

n

M

n

M

1



 X

2

⋅M

0

⋅M

2

 X

1

⋅M

1

⋅M

2

 X

2

⋅M

2

⋅M

2

.... X

n

M

n

M

2

...

 X

n

⋅M

0

⋅M

n

 X

1

⋅M

1

⋅M

n

 X

2

⋅M

2

⋅M

n

...M

n

2

⋅X

n



(10.20)

Biorąc pod uwagę wyrażenia (10.14), (10.15), (10.16) oraz (10.20) otrzymamy :

1

⋅

j

=

∫

S

M

P

n

M

n

EJ

ds

= X

1

⋅ X

1

⋅

11

 X

2

⋅

12

.. X

n

⋅

1 n



1 P



 X

2

⋅ X

1

⋅

21

 X

2

⋅

22

... X

n

⋅

2 n



2 P



 X

n

⋅ X

1

⋅

n1

 X

2

⋅

n2

... X

n

⋅

nn



nP



∫

S

M

P

0

⋅M

n

EJ

⋅ds

(10.21)

Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są równe zeru.
Po ich wyeliminowaniu otrzymujemy twierdzenie redukcyjne:

1

⋅

j

=

∫

S

M

P

n

⋅M

n

EJ

⋅ds=

∫

S

M

P

0

⋅M

n

EJ

⋅ds

Zadanie 3

Dokonać sprawdzenia obliczeń układu statycznie niewyznaczalnego z rys. 10.1

Obliczone wcześniej przemieszczenia (współczynniki macierzy podatności) mają wartość:



1 1

=

18

EJ



1 2

=

2 1

=0



2 2

=

90

EJ



1 P

=−

72

EJ



2 P

=

1008

EJ

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

15

a) Sprawdzenie globalne

Sumujemy wykresy

Z

1

i

Z

2

aby otrzymać wykres

M

s.

3

3

4

Z

1

= 1

3

M

1

' [m]

Z

1

= 1

3

3

4

Z

2

= 1

3

M

2

' [m]

Z

2

= 1

3

6

3

4

M

s

[m]

1

2

6

6

[m]

[m]

[m]

Rys. 10.17. Zestawienie wykresów momentów od stanu Z

1

i Z

2

Przy wykorzystaniu wzoru (10.5) otrzymujemy wartość współczynnika

δ

SS

.



SS

=

1

EJ

⋅



1
2

⋅6 ⋅3 ⋅

2

3

⋅6





1

2 EJ

⋅6 ⋅4 ⋅6 =

108

EJ

Aby sprawdzić nasze obliczenia według (10.6) musimy znaleźć jeszcze drugą stronę równania:

∑

i

=1

n

∑

k

=1

n



ik

=

1 1



1 2



2 1



2 2

=

18

0090

EJ

=

108

EJ

Sprawdzenie globalne jest spełnione ponieważ :



SS

=

∑

i

=1

n

∑

k

=1

n



ik

108

EJ

=

108

EJ

b) Sprawdzenia lokalne

3

3

4

Z

1

= 1

3

M

1

' [m]

Z

1

= 1

3

4

M

s

[m]

1

2

6

6

[m]

[m]

Rys. 10.18. Wykres momentów w stanie M'

1

i M

s

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

16

Dla rozważanego przykładu suma współczynników pierwszego wiersza macierzy podatności wynosi:

∑

k

=1

n



1 k

=

1 1



1 2

=

18

0

EJ

=

18

EJ

Aby sprawdzić obliczenia musimy znaleźć jeszcze wartość współczynnika

δ

1S

. W tym celu należy przemnożyć

wykresy

M

1

' i M

S

.



1 S

=

∫

S

M

1

⋅M

S

EJ

ds

=

1

EJ

[

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2

3

⋅6

]

=

18

EJ

Ponieważ:



iS

=

18

EJ

=

∑

k

=1

2



1 k

=

18

EJ

Równanie (10.7) jest spełnione dla wiersza pierwszego.

W celu sprawdzenia kolumny wyrazów wolnych, zgodnie ze wzorem (10.8) obliczamy sumę:

∑

k

=1

n



k P

=

1 P



2 P

=−

72

1008

EJ

=

936

EJ

A następnie współczynnik

Δ

SP

na podstawie wykresów:

3

4

M

P

[kN/m]

54

54

126

1

2

3

4

M

s

[m]

1

2

6

6

[m]

[m]

Rys. 10.19. Wykres momentów w stanie P i M

s



SP

=

∫

S

M

S

⋅M

P

EJ

ds

=

1

2 EJ

[

54

126

2

⋅4 ⋅6 −

2

3

⋅

9

⋅4

2

8

⋅4 ⋅6

]

=

936

EJ

Równanie (10.8) jest spełnione ponieważ:



SP

=

∫

S

M

S

⋅M

P

EJ

ds

=

∑

i

=1

n



iP

936

EJ

=

936

EJ

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

17

c) Sprawdzenie wartości niewiadomych sił

Aby upewnić się, że układ równań został poprawnie rozwiązany należy wartości niewiadomych

X

i

podstawić do równań:

{

18

EJ

⋅4

0

EJ

⋅−11,2−

72



EJ

=0

0

EJ

⋅4 

90

EJ

⋅−11,2

1008

EJ

=0

{

0

=0

0

=0

Wartości nadliczbowych spełniają układ równań.

d) Sprawdzenie statyczne

Dysponując wszystkimi siłami wewnętrznymi odcinamy myślowo ramę od podpór i przykładamy siły

przypodporowe (reakcje).

P = 54 kN

q = 9 kN/m

3

2

4

7,2 kN

15,2 kN

1

46 kN

36 kN

58,8 kNm

K

[m]

Rys. 10.20. Rama “zawieszona” na wewnętrznych siłach przypodporowych

Obciążenie zewnętrzne wraz z reakcjami musi spełniać równania równowagi.

∑

X :

9

⋅4 −36=0

⇒0=0

∑

Y :

−7,2 −5415,2 46=0

⇒0=0

∑

M :

−58,8 −7,2 ⋅3 9 ⋅4 ⋅2 54 ⋅1 −15,2 ⋅3=0

⇒0=0

e) Sprawdzenie kinematyczne

Skorzystamy z twierdzenia redukcyjnego i obliczymy przemieszczenie mnożąc rzeczywisty wykres

momentów

M

P

(n)

przez wykres wirtualny utworzony w nowym układzie podstawowym.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

18

Żeby dokonać sprawdzenia musimy policzyć znane przemieszczenie. W układzie podstawowym na

rys. 10.21 znamy przemieszczenie pionowe i kąt obrotu przekroju w dolnej podporze. W rzeczywistości jest
tam utwierdzenie, tak więc wszystkie przemieszczenia są równe zero. Liczymy kąt obrotu przekroju
(przykładamy wirtualny moment):

3

4

M

P

(n)

[kN/m]

1

2

21,6

30,4

8,4

58,8

13,2

EJ

2 EJ

1

3

2

4

1 [-]

1

[m]

[m]

0

[m]

M

1

6

0,5

0,5

1

6

Rys. 10.21. Wykresy momentów zginających od: obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statycznie

niewyznaczalnym) oraz od jedynkowej siły w innym układzie podstawowym

Uwzględniając tylko wpływ momentów otrzymujemy:

1

⋅=

1

EJ

⋅

[

1

2

⋅3 ⋅21,6 ⋅

2
3

⋅

1

2

−

1
2

⋅1 ⋅8,4 ⋅



2

3

⋅

1
2



1
3

⋅

1
3







1
2

⋅1 ⋅30,4 ⋅



1

3

⋅

1

2



2

3

⋅

1

3





1
2

⋅2 ⋅30,4 ⋅

2

3

⋅

1

3

]



1

2 EJ

⋅

[

−

1

2

⋅4 ⋅58,8 ⋅1 

1

2

⋅4 ⋅13,2 ⋅1 

2
3

⋅

9

⋅4

2

8

⋅4 ⋅1

]

=

0

EJ

=0 rad

Wynik jest poprawny.

10.3. Metoda sił dla innych typów obciążeń

Podstawową różnicą pomiędzy obliczaniem układów statycznie wyznaczalnych a niewyznaczalnych jest

to, że w tych drugich obciążenia takie jak: temperatura, osiadanie czy błąd montażu wywołują obok
przemieszczeń konstrukcji także siły wewnętrzne. Dlatego obciążenia te należy uwzględnić w wyrazach
wolnych w równaniach kanonicznych, tzn.

δ

ik

pozostaje bez zmian, natomiast w zależności od obciążenia

Δ

iP

zastępuje się następującymi wielkościami:

10.3.1. Wpływ temperatury



i t

=



t

⋅t

h

⋅

∫

M

i

⋅ds

∫

N

i

⋅

t

⋅t

0

⋅ds

(10.22)

gdzie :

α

t

- współczynnik rozszerzalności termicznej,

Δt - różnica temperatur,

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

19

t

o

- równomierne ogrzanie,

h - wysokość przekroju,

M

i

i N

i

- wykresy sił wewnętrznych dla stanu

X

i

=1,

α

t

,

Δ

t

,

t

o

są takie same jak dla układów statycznie wyznaczalnych.

Równanie kanoniczne przyjmie postać:

∑

k

=1

n



ik

⋅X

k



it

=0

(10.23)

10.3.2. Wpływ osiadania podpór



i



=−

∑

i

R

i

⋅

i

−

∑

i

M

i

⋅

i

(10.24)

gdzie:

Δ

i

- przemieszczenie liniowe podpory,

φ

i

- przemieszczenie kątowe podpory,

R

i

i

M

i

- reakcje po kierunkach przemieszczanych podpór.

Równanie kanoniczne przyjmie postać:

∑

k

=1

n



ik

⋅X

k



i



=0

(10.25)

10.3.3. Wpływ błędów montażu



i m

=

∑

i

B

i m

⋅b

i m

(10.26)

gdzie:

b

im

- błąd w wymiarze elementu (np. pręt zbyt długi),

B

im

- siła wewnętrzna po kierunku błędnego wymiaru (np. siła normalna).

Równanie kanoniczne przyjmie postać:

∑

k

=1

n



ik

⋅X

k



i m

=0

(10.27)

Uwaga!

Gdy wpływem zewnętrznym jest temperatura, osiadanie podpór lub błędy montażu zadanie jest

rozwiązywalne tylko przy znanym

EJ, EA, GA. Wyrazy wolne Δ

it

,

Δ

iΔ

,

Δ

im

nie są wyrażone przez sztywność

dlatego też nie można pominąć sztywności we współczynnikach

δ

ik

.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

20

Zadanie 4

Obliczyć siły wewnętrzne w analizowanej ramie, wywołane działaniem temperatury (pominiemy wpływ

równomiernego ogrzania) oraz osiadaniem podpór.

EJ

2 EJ

3

4

0,01 rad

0,015 [m]

-5

o

C

35

o

C

25

o

C

3

[m]

Rys. 10.22. Układ rzeczywisty obciążony temperaturą i osiadaniem podpór

Do obliczeń przyjmujemy układ podstawowy, który daje prostszą postać macierzy podatności:

EJ

2 EJ

3

3

4

Z

1

Z

2

Z

1

Z

2

-5

o

C

25

o

C

35

o

C

0,015 [m]

0,01 rad

Rys. 10.23. Układ podstawowy z niewiadomymi Z

1

i Z

2

W zadaniu przyjęto:

•

współczynnik rozszerzalności termicznej jak dla stali:



t

=1,2 ⋅10

−5

1

˚ C

•

ramę wykonaną z profili stalowych

rygiel ramy I200
słup ramy 2 I200
o następujących parametrach:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

21

E

=206,01 GPa=206,01 ⋅10

6

kN

m

2

J

x

=2140 ⋅10

−8

m

4

E

⋅J =4408,614 kN⋅m

2

Ponieważ układ podstawowy przyjęto jak w poprzednim zadaniu możemy skorzystać z wykonanych

wcześniej wykresów:

3

3

4

Z

1

= 1

3

M

1

' [m]

Z

1

= 1

3

3

4

Z

2

= 1

3

M

2

' [m]

Z

2

= 1

3

6

[m]

[m]

Rys. 10.24. Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące kolejno od: siły jedynkowej

przyłożonej w miejsce niewiadomej Z

1

i siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z

2

i wcześniej obliczonych wartości niektórych współczynników:



11

=

1

EJ



2

⋅

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3

⋅3



=18

m

3

EJ



12

=

21

=

1

EJ



1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2

3

−

1

2

⋅3 ⋅3 ⋅

2
3



=0



22

=

1

EJ

⋅18 

1

2 EJ

⋅4 ⋅6 ⋅6 =90

m

3

EJ

a) Obciążenie teperaturą

W układzie równań kanonicznych:

{



11

⋅Z

1



12

⋅Z

2



1 t

=0



21

⋅Z

1



22

⋅Z

2



2 t

=0

brakuje jeszcze wyrazów wolnych. Obliczamy je według wzoru (10.22) pomijając wpływ

t

0

.



1 t

=

1,2

⋅10

−5

0,20

⋅



3

⋅3

2

⋅40 

3

⋅3

2

⋅30



=0,0189 m



2 t

=

1,2

⋅10

−5

0,20

⋅



3

⋅3

2

⋅40 

3

⋅3

2

⋅306 ⋅4 ⋅10



=0,0171 m

Jeżeli cały układ równań pomnożymy przez

EJ współczynniki δ

ik

będą liczbami, a wyrazy wolne będą miały

wartość:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

22

E

⋅J⋅

1 t

=0,0189 ⋅4408,614 =83,232 kN⋅m

3

E

⋅J⋅

2 t

=0,0171 ⋅4408,614 =75,387 kN⋅m

3

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:

{

18

⋅Z

1

83,323 =0

90

⋅Z

2

75,387 =0

Z powyższego układu rownań otrzymano wyniki:

{

Z

1

=−4, 629 kN

Z

2

=−0,838 kN

W miejscu usuniętych podpór działają odpowiednie sumy sił

Z

i

:

Z

1

Z

2

=−5,467 kN

Z

1

−Z

2

=−3,791 kN

Aby uzyskać wykres momentów od temperatury obciążamy ramę tylko siłami nadliczbowymi

Z

i

.

3

4

M

t

(n)

[kNm]

3

5,467 kN

3,791 kN

16,401

11,373

5,028

[m]

Rys. 10.25. Wykresy momentów zginających od temperatury w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym)

Kontrolę kinematyczną przeprowadzimy mnożąc wykres rzeczywisty

M

t

(n)

przez wykres wiryualny M

0

.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

23

EJ

2 EJ

1

3

2

4

1 [-]

1

[m]

0

[m]

M

0,5

0,5

1

6

1

6

Rys. 10.26. Wykresy momentów zginających od: jedynkowej siły wirtualnej w innym układzie podstawowym

Licząc wartość przemieszczenia należy pamiętać o wpływie temperatury (wpływ

t

0

pominięto):

1

⋅=

∑



t

⋅ t

h

⋅

∫

M

0

⋅ds

∑∫

M

t

n

⋅M

0

EJ

⋅ds

(10.28)

Wykres momentów

M

t

(n)

jest poprawny jeśli przemieszczenie bedzie zerowe.

1

⋅=

1

2

⋅3 ⋅

1

2

⋅



1

EJ

⋅

2

3

⋅16,401 −

1,2

⋅10

−5

⋅40

0,20





1

2

⋅3 ⋅

1

2

⋅



−1

EJ

⋅

2

3

⋅11,373 

1,2

⋅10

−5

⋅30

0,20





4 ⋅1 ⋅



5,028

2 EJ

−

1,2

⋅10

−5

⋅10

0,20



=0,000001 ≈0 rad

Wykresy sił tnących i normalnych również wykonujemy tylko od sił

Z

i

.

3

4

T

t

(n)

[kN]

3

-5,467

_

+

3,791

Rys. 10.27. Wykres rzeczywistych sił tnących T

t

(n)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

24

3

4

N

t

(n)

[kN]

3

-9,258

_

Rys. 10.28. Wykres rzeczywistych sił normalnych N

t

(n)

Warto zwrócić uwagę, że wykresy momentów zginających odłożone są po stronie zimniejszej, co

wynika z istnienia (działania) dodatkowych więzów. W układach statycznie wyznaczalnych zawsze rozciągane
były włókna cieplejsze.

b) Obciążenie osiadaniem podpór

Podobnie jak w przypadku temperatury do rozwiązania układu równań brakuje wartości wyrazów

wolnych

Δ

iΔ

. Obliczamy je na podstawie pracy reakcji w stanach jednostkowych.

EJ

2 EJ

3

3

4

Z

2

Z

2

0,015 [m]

0,01 rad

EJ

2 EJ

3

3

4

Z

1

Z

1

0,015 [m]

0,01 rad

R = 2

R = 0

M = 6

M = 0

Rys. 10.29. Reakcje w podporach od stanów Z

1

oraz Z

2



1



=−−0,015 ⋅1 =0,015 m



2



=−0,015 ⋅1 −6 ⋅0,01=0,045 m

Cały układ równań mnożymy przez

EJ, stąd wartości wyrazów wolnych:

E

⋅J⋅

1



=0,015 ⋅4408,614 =66,129 [kN⋅m

3

]

E

⋅J⋅

2



=0,045 ⋅4408,614 =198,388 [kN⋅m

3

]

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

25

{

18

⋅Z

1

66,129 =0

90

⋅Z

2

198,388 =0

Z powyższego układu rownań otrzymano wartości nadliczbowych sił:

{

Z

1

=−3,674 kN

Z

2

=−2,204 kN

A po zsumowaniu wartości nadliczbowych reakcji:

Z

1

Z

2

=−5,878 kN

Z

1

−Z

2

=−1,470 kN

Obciążając układ podstawowy tylko wyliczonymi siłami możemy narysować wykres momentów

zginających od obciążenia

rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym).

3

4

M

Δ

(n)

[kNm]

3

5,878 kN

1,470 kN

17,634

4,410

13,224

[m]

Rys. 10.30. Wykres momentów zginających od obciążenia osiadaniem podpór w układzie rzeczywistym

Kontrola kinematyczna – sprawdzenie wykresu momentów

M

Δ

(n)

.

Aby wyznaczyć dowolne przemieszczenie w układzie, którego podpory osiadają trzeba uwzględnić

pracę reakcji wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

26

EJ

2 EJ

3

3

4

0,01 rad

0,015 [m]

[m]

EJ

2 EJ

1

3

2

4

1 [-]

1

[m]

0

[m]

M

1

6

0,5

0,5

1

6

Rys. 10.31. Układ rzeczywisty poddany obciążeniu osiadaniem; wykres momentów zginających od jedynkowej siły

wirtualnej w innym układzie podstawowym

Korzystamy z wzoru:

1

⋅=−

∑

R

0

⋅

∑∫

M



n

⋅M

0

EJ

⋅dx

(10.29)

Podstawiając wartości nadliczbowe otrzumujemy przemieszczenie o wartości bliskiej zeru co znaczy, że

sprawdzany wykres jest poprawny.

1

=

1

EJ

⋅



1

2

⋅3 ⋅

1

2

⋅

2
3

⋅17,634 −

1

2

⋅3 ⋅

1

2

⋅

2
3

⋅4,410







1

2 EJ

⋅



4

⋅1 ⋅13,224



−



1

⋅0,01 −

1

6

⋅0,015



=−0,000001 rad ≈0 rad

Wykresy sił tnących i normalnych w układzie rzeczywistym powstają tylko od sił

Z

i

.

3

4

T

Δ

(n)

[kN]

3

-5,878

_

+

1,470

Rys. 10.32. Wykres rzeczywistych sił tnących T

Δ

(n)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

27

3

4

N

Δ

(n)

[kN]

3

-7,348

_

Rys.10.33. Wykres rzeczywistych sił normalnych N

Δ

(n)

10.4. Projektowanie konstrukcji metodą sił

Zaprojektować konstrukcję tzn. przyjąć przekroje elementów (np. prętów, słupków rygli ram, itp.) w

taki sposób by spełnić warunek dopuszczalności, nie przekroczyć nośności elementów lub dopuszczalnych
ugięć.

∣M

eks.

∣

W

≤

dop.

f

eks.

 f

dop.

(10.30)

gdzie:

M

eks.

- maksymalny moment zginający w elemencie,

W

- wskaźnik wytrzymałości przekroju,

σ

dop.

- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu,

f

eks.

- ekstremalne ugięcie elementu,

f

dop.

- dopuszczalne ugięcie (przemieszczenie).

Przystępując do projektowania zakładamy pewne przekroje elementów. Jeżeli po przeprowadzeniu

obliczeń okazuje się, że przyjęte przekroje nie spełniają naszych założeń wytrzymałościowych, ekonomicznych
bądź innych, to jesteśmy zmuszeni zmienić wymiary przekroi. Przyjmując w konstrukcji inne przekroje
musimy ponownie rozwiązać układ metodą sił, ponieważ zmiana sztywności prętów pociągnęła za sobą
zmianę macierzy podatności (

δ

ik

) oraz wektora wyrazów wolnych (

Δ

iP

) w równaniach kanonicznych. Po

dokonaniu obliczeń ponownie sprawdzamy, czy przyjęte do obliczeń przekroje prętów w drugim etapie
spełniają narzucone kryteria. Jeżeli nie, to dokonujemy kolejnej zmiany przekrojów prętów i powtarzamy
obliczenia, aż do skutku.

Reasumując konstrukcję statycznie niewyznaczalną projektujemy metodą kolejnych przybliżeń

(iteracyjnie rozwiązując w każdym kroku układ statycznie niewyznaczalny).

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater