plik

Architektura i Urbanistyka. Studia 2 stopnia.
Sem 2. Rok ak. 2012/13
Politechnika Białostocka
Wydział Architektury

Konstrukcje modelowanie komputerowe 2.

STRESZCZENIE
Autor: Zenon Rychter©
grudzień 2012

1. Analiza konstrukcji metodą elementów skończonych (ang. Finite Element Method, FEM).

Konstrukcja jako ciało ciągłe jest  w metodzie elementów skończonych dzielona na "cegły", tzw.
elementy skończone. Zachowanie się elementów skończonych, małych względem całej
konstrukcji, można opisać prostymi funkcjami. Zwykle są to funkcje liniowe lub kwadratowe.
Dowolnie złożone zachowanie konstrukcji jest syntezą zachowań jej małych cegieł składowych.

Im mniejsze cegły, tym dokładniejszy opis zachowania konstrukcji. Zadowalającą dokładność
daje już kilka elementów w kierunku małego wymiaru konstrukcji (grubość płyty, powłoki lub
belki). Wzdłuż konstrukcji wystarczy kilkanaście elementów. Bardziej gęsty podział niż na
kilkanaście – kilkadziesiąt elementów jest w konstrukcjach budowlanych niecelowy. W
projektowaniu, twórczym, eksperymentalnym, interaktywnym, wymagającym wielokrotnego
obliczania kolejnych wersji konstrukcji, lepiej jest otrzymywać bardzo szybko mniej dokładne
wyniki, niż długo czekać na wyniki wizualnie bardziej wygładzone.

Czas obliczeń i zapotrzebowanie na pamięć komputera rośnie bardzo szybko, kwadratowo,  ze
wzrostem liczby elementów skończonych: 10-krotnie więcej elementów wydłuży czas obliczeń
100-krotnie. Taki będzie wzrost czasu obliczeń w konstrukcji prętowej, praktycznie
jednowymiarowej. W konstrukcji dwuwymiarowej – płycie, tarczy, powłoce -  10-krotny wzrost
gęstości elementów w każdym z dwóch kierunków spowoduje 10x10=100 krotny wzrost liczby
elementów i 100x100=10000 krotny wzrost czasu obliczeń. W konstrukcji trójwymiarowej 10-
krotnie zwiększenie gęstości podziału na elementy skończone w każdym z trzech kierunków
powoduje 10x10x10=1000-krotny wzrost liczby elementów i 1000*1000=1000000 (milion)
krotny wzrost czasu obliczeń.

Zwykle używane trójwymiarowe (przestrzenne) elementy skończone mają sześć ścian. Liniowe
lub kwadratowe funkcje opisujące zachowanie elementu skończonego – najczęściej jest to pole

przemieszczeń – można uzależnić od zachowania niewielu punktów elementu skończonego, tzw.
węzłów siatki elementów skończonych. Linię prostą określają jednoznacznie dwa punkty, krzywą
kwadratową trzy punkty. Węzłami elementów liniowych są naroża elementów. W elementach
opisanych funkcjami kwadratowymi dochodzą węzły w środkach krawędzi. Elementy takie są
dokładniejsze od elementów liniowych, może ich być mniej, przy tej samej liczbie węzłów.

Przemieszczenia węzłów są podstawowymi niewiadomymi w metodzie elementów skończonych.
Konstrukcja jest podpierana w węzłach. Do węzłów przykładane są obciążenia powierzchniowe i
siły masowe oraz wartości temperatury. Na podstawie przemieszczeń wyznaczane są
odkształcenia, stanowiące różnice przemieszczeń. Odkształcenia pomnożone przez sztywność
materiału (stałe sprężyste, np. moduł Younga sprężystości podłużnej) wyznaczają naprężenia. Na
podstawie przemieszczeń i naprężeń punktów węzłowych metodą interpolacji wyznacza się
mapy przemieszczeń i naprężeń w całej konstrukcji.

Mapy mogą być przedstawiane w różnych formach: kolorowych planów warstwicowych
(jednakowe wartości tworzą warstwice o tym samym kolorze) lub obrazów wektorowych
(strzałki pokazujące kierunek i wartość danego parametru – przemieszczenia lub naprężenia;
dłuższe strzałki odpowiadają większym wielkościom).

Przemieszczenia mogą być użyte do pokazania konstrukcji zdeformowanej lub animowane.
Zwykle rzeczywiste przemieszczenia konstrukcji budowlanych są tak małe, że nie widać ich bez
powiększenia (np. dopuszczalne przemieszczenie belki lub płyty opartej na obu końcach to około
1/300 rozpiętości, a dopuszczalne przemieszczenie belki lub płyty wspornikowej to 1/150
rozpiętości; w obu przypadkach tangens kąta obrotu konstrukcji to 1/150). Z tego powodu
animacje przemieszczeń są automatycznie przeskalowywane, powiększane tak, by stały się
widoczne gołym okiem. Trzeba pamiętać, że rzeczywiste przemieszczenia są zwykle dużo
mniejsze. Jeżeli przemieszczenie jest widoczne gołym okiem, to z pewnością jest ono za duże w
konstrukcji budowlanej.

Mapy naprężeń, zwłaszcza na rzadkiej siatce elementów skończonych, często są nieregularne,
zaszumione lub zawierają powtarzające się, oscylacyjne  struktury – nie związane z budową
konstrukcji i jej obciążeniem. Trzeba pamiętać, że mapy te nie są i nie nogą być prawdziwe w
każdym szczególe. Trzeba je oglądać 'z daleka', wychwytując generalne, globalne struktury i
tendencje. Mapy wypełniają bowiem w sposób ciągły cały obszar konstrukcji, rozmazując
(interpolując) dane z siatki punktów węzłowych. Zadanie interpolacji nie ma jednego, ale
nieskończenie wiele możliwych rozwiązań – map. Z tego powodu mapy mogą zawierać
artefakty, pozbawione sensu fizycznego.

Odróżnianie rzeczywistości od artefaktów jest częścią sztuki komputerowej analizy konstrukcji.
Wychwytywaniu artefaktów służy powtórzenie obliczeń z dwa razy bardziej gęstą siatką. Jeżeli
jakieś 'struktury' na mapach znikają po zagęszczeniu siatki, to były one artefaktami. Powtórzenie
obliczeń z dwukrotnie zagęszczoną siatką jest ogólnie zalecaną metodą sprawdzenia
wiarygodności i dokładności otrzymanych rozwiązań.

Rzadka siatka elementów skończonych zadowalająco wiernie oddaje całościowe zachowanie
konstrukcji: rodzaj deformacji  i sił wewnętrznych (ściskanie, rozciąganie, zginanie, skręcanie,
ścinanie), widok/animację konstrukcji zdeformowanej, maksymalne przemieszczenie,
podstawowe częstości drgań własnych, mnożnik obciążenia wyboczeniowego, uśredniony
rozkład naprężeń. Są to informacje najważniejsze dla architekta. Rzadka siatka umożliwia bardzo
szybkie uzyskiwanie tych informacji, gdyż obliczenia są bardzo szybkie.

Rzadka siatka nie daje prawidłowego obrazu w miejscach tzw. koncentracji naprężeń. Są to
generalnie miejsca nagłych zmian geometrii, materiału, obciążenia i podparcia: naroża
(zwłaszcza wewnętrzne), skoki grubości, małe otwory (zwłaszcza ostre), przejścia z jednego
materiału do innego (z betonu do stali w konstrukcjach żelbetowych), punktowe obciążenia i
punktowe podpory, węzły ram i kratownic. Z punktu widzenia architekta zjawiska te są mało
interesujące.

Zgodnie z zasadą Saint-Venanta są to zjawiska ograniczone do małych obszarów - małych
względem rozmiarów konstrukcji - a więc nie wpływające na całościowy układ konstrukcyjny i
generalną formę budowli. Np. rozkład naprężeń w połączeniu śrubowym silnie zależy od
rodzaju, liczby i rozmieszczenia śrub, ale nie jest to problem, który winien absorbować
architekta. Nadto detale tego rodzaju są stereotypowe, katalogowe – nie ma tu więc nic do
odkrycia.

Zagęszczanie całej siatki elementów w celu uzyskania dokładnego obrazu w strefach
koncentracji naprężeń jest bardzo nieefektywne. Lepiej jest wyciąć np. okolicę otworu z
konstrukcji i rozwiązać ten fragment konstrukcji jako osobne zadanie, z bardzo gęstą, bardzo
dokładną siatką. Koszt takiego obliczenia (czas) będzie mały, gdyż gęsta siatka zostaje
ograniczona do małego obszaru.

2. Modelowanie geometryczne 3D, 2D, 1D

Konstrukcje budowlane są ciałami trójwymiarowymi (3D). Z reguły nie są to jednak pełne, krępe
bryły, jak sześcian czy kula, ale ustroje o cienkich ścianach, zbudowane z prętów, płyt i powłok.

Płyty i powłoki (powierzchnie zakrzywione) mają jeden wymiar – grubość – mały w stosunku do
dwóch pozostałych wymiarów. Są to więc w przybliżeniu, tym lepszym im grubość jest mniejsza,
ustroje dwuwymiarowe (2D). Ściany budowli, płyty stropowe dachowe i fundamentowe, kopuły,
zbiorniki, sklepienia, ściany oporowe, blaty mebli są przykładami ustrojów praktycznie
dwuwymiarowych.

Pręty, proste lub zakrzywione, mają jeden wymiar – długość – dużo większy niż dwa pozostałe
wymiary, tj. wymiary przekroju poprzecznego. Pręty (oraz liny i łańcuchy) są więc ustrojami w
przybliżeniu jednowymiarowymi (1D). Słupy, belki stropowe, ramy, łuki, kratownice, budynki
wysokie (wieżowce), nogi mebli są przykładami ustrojów praktycznie jednowymiarowych. Z
elementów jednowymiarowych mogą być zbudowane ustroje  zachowujące się zasadniczo jak
dwuwymiarowe – płyty rusztowe, kopuły prętowe.

Ciała niecienkie, krępe muszą być w metodzie elementów skończonych dzielone na elementy
3D,  równomiernie w trzech kierunkach. Zachowania się tych ciał nie jesteśmy bowiem w stanie
odgadnąć, a więc opisać w sposób uproszczony, 1D lub 2D.

Ruch takich ciał jest opisany przez przemieszczenia węzłów, każdy z których ma trzy możliwe
ruchy (stopnie swobody). Ruchami tymi są trzy przesunięcia, w trzech kierunkach nie leżących w
jednej płaszczyźnie (zwykle są to kierunki do siebie prostopadłe).

Różnice przemieszczeń elementu określają deformację elementu. W przypadku ciał 3D owe
deformacje to trzy rozciągania/ściskania w trzech kierunkach oraz trzy ścinania (deformacje
postaciowe – deformacje kwadratu w romb) w trzech płaszczyznach.

Ciała praktycznie 2D oraz 1D są dużo bardziej przewidywalne niż ciała 3D, jeśli chodzi o zjawiska
globalne, istotne w konstrukcjach budowlanych. Otóż podstawowe, globalne ruchy i deformacje
ciał 2D i 1D są zgodne z tzw. zasadą płaskich sztywnych przekrojów (Bernoulli-Euler). Przekroje
poprzeczne prętów, płyt i powłok przemieszczają się jak sztywne 'deski', zachowując kąt prosty
względem deformującej się osi pręta lub deformującej się powierzchni środkowej (obojętnej)
płyty lub powłoki.

Dwa sąsiednie sztywne przekroje mogą się względem siebie przemieścić (przesunąć) o wektor o
trzech składowych (jak ciała 3D), mają więc trzy przemieszczeniowe (translacyjne) stopnie
swobody. Dwa sąsiednie sztywne przekroje mogą się także względem siebie obrócić, a każdy taki
obrót da się rozłożyć na trzy obroty składowe względem trzech osi obrotu nie leżących w jednej
płaszczyźnie (zwykle przyjmuje się trzy osie współrzędnych wzajemnie prostopadłe). Daje to trzy
rotacyjne stopnie swobody ciał 2D i 1D. Ostatecznie ruch każdego węzła ciał 2D i 1D zgodny z

zasadą płaskich przekrojów jest opisany sześcioma stopniami swobody: trzema
przemieszczeniami i trzema obrotami.

Przemieszczenia i obroty ciał 2D i 1D związane są z odpowiednimi deformacjami.

Z przemieszczeniami pręta (1D) związane są ściskanie/rozciąganie – wzdłuż osi pręta – oraz dwa
odkształcenia postaciowe, w dwóch płaszczyznach prostopadłych do przekroju.

Z przemieszczeniami płyty/powłoki (2D) związane są dwa rozciągania/ściskania w płaszczyźnie
płyty, oraz trzy odkształcenia postaciowe, jedno w płaszczyźnie płyty i dwa w płaszczyznach
prostopadłych do płaszczyzny płyty.

Z obrotami przekrojów poprzecznych pręta (1D) związane są trzy deformacje: skręcania pręta
(wokół jego osi podłużnej) oraz dwa zginania (obroty wokół osi poprzecznych do osi podłużnej
pręta).

Z obrotami przekrojów poprzecznych płyty i powłoki (2D) także związane są trzy deformacje:
dwa zginania oraz jedno skręcanie.

Ciała 2D modelujemy jako płaty powierzchni, płaskich lub zakrzywionych. Powierzchnie te
dzielone są na elementy skończone 2D, zwykle czworoboczne i płaskie. Węzły elementów 2D
znajdują się w narożach oraz (elementy z kwadratową aproksymacją przemieszczeń) w środkach
krawędzi.

Każdy węzeł ma sześć kinematycznych stopni swobody, trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Podpierając konstrukcje 2D należy określić dla każdego węzła podporowego tych sześć
wielkości. Podpora sztywna oznacza zerowe wartości wszystkich sześciu stopni swobody,
przemieszczeń i obrotów. Podpora przegubowa kulista oznacza zerowe wartości trzech
przemieszczeń; obroty nie są tu ograniczane. Podpora przegubowa zawiasowa umożliwia tylko
jeden ruch – obrót wokół osi zawiasu, pozostałe stopnie swobody są zerowe. Podpora
przegubowa przesuwna w płaszczyźnie odbiera tylko przemieszczenia prostopadłe do
płaszczyzny; dwa przesunięcia w płaszczyźnie oraz trzy obroty nie są ograniczone.

Model 2D wymaga podania wartości liczbowej grubości płyty/powłoki. Rysując konstrukcję 2D,
rysujemy ją jednak jako powierzchnię, bez grubości, co znakomicie upraszcza modelowanie
geometryczne.  Najpopularniejsze powierzchnie modeluje się bardzo łatwo. Powierzchnie
obrotowe powstają wskutek obrotu płaskiej krzywej (południk powierzchni) wokół osi leżącej w
tej samej płaszczyźnie, co krzywa. Wypukłe plany wielokątne (trójkąt, czworokąt, pięciokąt),

ograniczone pierścieniem odcinków prostych lub krzywych (np. łuki okręgów lub elips) można
pokryć gładką powierzchnią stosując tzw. łatę Coonsa. Konstrukcja ta wymaga narysowania
tylko krawędzi powierzchni. Wszystkie podstawowe powierzchnie są łatami Coonsa: walce,
stożki, sfery, siodła, konoidy.

Ciała 1D modelujemy jako linie, proste lub zakrzywione. Linie dzielone są na elementy
skończone 1D, będące odcinkami prostej. Węzły elementów 1D znajdują się na końcach oraz
(elementy z kwadratową aproksymacją przemieszczeń) w środku elementu. Każdy węzeł ma
sześć kinematycznych stopni swobody – podobnie jak w elementach 2D. Podpieranie konstrukcji
1D jest analogiczne do konstrukcji 2D. Wymaga to określenia trzech przemieszczeń i trzech
obrotów każdego węzła.

Model 1D jest bardzo prosty geometrycznie w sensie globalnym, gdyż jest to tylko siatka
łatwych do narysowania linii. Linie te wymagają dodatkowo podania rodzaju, orientacji i
wymiarów przekroju. Zwykle przekroje 1D to prostokąty lub elipsy (koła). Prostokąt wymaga
wskazania orientacji w przestrzeni jednego boku przekroju. Elipsa wymaga wskazania kierunku
jednej osi elipsy. Nadto muszą być podane wymiary obu boków.

Modele powierzchniowe (2D) łatwo łączą się z modelami prętowymi (1D), gdyż mają te same
stopnie swobody (trzy przemieszczenia i trzy obroty węzła). Umożliwia to łatwe tworzenie
konstrukcji powierzchniowych użebrowanych, oraz prętowo-powierzchniowych, np. płytowo-
słupowych.

Model 3D jest bardziej 'naturalny' od 1D i 2D, gdyż wszystkie ciała są trójwymiarowe. Jest on
dokładniejszy od modeli 2D i 1D: nie zawiera uproszczeń geometrycznych w węzłach konstrukcji
(połączenia prętów i/lub płyt) i nie zakłada uproszczonego, zgodnego z zasadą płaskich
przekrojów zachowania się konstrukcji. Węzły obliczeniowe (nody) w modelu 3D mają tylko trzy
(translacyjne) stopnie swobody, w odróżnieniu od nodów 1D i 2D, gdzie stopni swobody jest
sześć (trzy przemieszczenia i trzy rotacje). Model 3D daje najdokładniejsze wyniki i może służyć
do sprawdzenia wyników modeli 1D i 2D. Dokładny obraz pracy konstrukcji w skomplikowanych
węzłach konstrukcji można uzyskać tylko w modelu 3D; stosowanie w tych miejscach zasady
płaskich przekrojów jest błędne.

W przypadku obiektów o nieskomplikowanej geometrii, ciał bryłowych, ale także prostych płyt i
powłok należy stosować model 3D. Modelowanie nie będzie trudne a obliczenia będą szybkie.
W przypadku konstrukcji złożonych, np. kratownic przestrzennych, modelowanie 3D geometrii
może być bardzo trudne (złożone przestrzenne węzły, duża liczba takich węzłów) a czas obliczeń
znaczny. Zmiany takiego modelu, nieuniknione w projektowaniu twórczym, będą także bardzo

trudne, gdyż wymagają zmiany każdego detalu. Zgodnie z zasadą Saint-Venanta, detal nie ma
istotnego wpływu na zachowanie globalne – wiele różnych w detalu węzłów da takie same
zachowanie całościowe konstrukcji w dużej skali (ugięcia, podstawowe częstości drgań, siły
wewnętrzne). Ważne jest czy węzeł jest sztywny czy przegubowy – ta różnica może mięć duże
znaczenie dla zachowania także całej konstrukcji. Ale różnice pomiędzy odmianami węzłów
sztywnych nie są istotne dla pracy całości konstrukcji. Dlatego architekt poszukujący właściwej
formy konstrukcyjnej w dużej skali nie powinien wnikać – w tym momencie, pracy nad całością
formy – w detal węzła. Nie należy – w tym samym czasie – patrzeć na całość i na szczegół, w ten
sposób nic się nie zobaczy. W modelach obliczeniowych jest analogicznie – mieszanie zachowań
globalnych z lokalnymi (w czasie i w przestrzeni) się nie sprawdza. Modele takie są kosztowne i
niedokładne. W złożonej konstrukcji prętowej (1D), powierzchniowej (2D) lub mieszanej (1D+2D,
np. powłoka użebrowana), efektywne – proste i szybkie – jest modelowanie 1D/2D, jako
modelowanie globalne. Modelowanie 3D można od tego oddzielić, jako modelowanie lokalne,
badając szczegółowo model 3D np. jednego węzła kratownicy lub ramy  – inne węzły zachowają
się podobnie.

3. Podstawowe rodzaje analiz

Zjawiska fizyczne występujące w konstrukcjach budowlanych są liczne i złożone. Wynika stąd
wielość dostępnych rodzajów obliczeń. Najważniejsze są trzy rodzaje analiz-obliczeń, ułożone
poniżej w kolejności ich wykonywania w procesie twórczego, eksperymentalnego,
symulacyjnego projektowania konstrukcji, poszukiwania właściwej formy konstrukcyjnej, przez
architekta/konstruktora:
- analiza drgań własnych (ang. frequency analysis)
- analiza wyboczenia (ang. buckling analysis)
- analiza statyczna (ang. static analysis).

Konstrukcje mogą ulec zniszczeniu (w krótkim czasie, nie wskutek długotrwałej degeneracji,
wywołanej np. korozją) zasadniczo na trzy sposoby:
* przez przekroczenie wytrzymałości materiału (zerwanie liny lub pręta rozciąganego,
zmiażdżenie ściskanego słupa lub ściany, złamanie zginane belki lub płyty, skręcenie pręta);
zapewnienie właściwej wytrzymałości wymaga analizy statycznej i sprawdzenia, czy naprężenia
nie przekraczają wytrzymałości materiału (tj. naprężeń dopuszczalnych).
W ramach analizy statycznej sprawdza się też obroty i przemieszczenia konstrukcji.
Przekroczenie dopuszczalnych obrotów lub przemieszczeń zwykle tylko utrudnia użytkowanie
konstrukcji, np. krzywa podłoga i sufit wskutek nadmiernego obrotu płyty stropowej. Duże
obroty mogą jednak grozić katastrofą budowlaną – np. nadmiernie ugięta płyta stropowe może
spaść ze ścian.

* przez utratę stateczności (wyboczenie), czyli ucieczkę od projektowanego sposobu pracy (np.
słup ściskany) do innego sposobu pracy (zgięcie słupa ściskanego);
zapewnienie stateczności wymaga analizy wyboczenia i sprawdzenia czy obciążenie nie
przekracza obciążenia krytycznego, przy którym konstrukcja traci stateczność (wybacza się);
* przez narastające oscylacje/drgania wskutek działania obciążenia zmiennego w czasie (wiatr,
ruch pojazdów, drgania maszyn) pulsującego w tym samym rytmie, co drgania własne
konstrukcji (zjawisko rezonansu);
uniknięcie rezonansu wymaga analizy drgań własnych i sprawdzenia czy częstości drgań
własnych konstrukcji nie są bliskie częstościom obciążeń zmiennych w czasie (dynamicznych).

W rutynowej praktyce projektowej, w zastosowaniu do dobrze znanych i rozumianych form
konstrukcyjnych, dominuje analiza statyczna. W dokumentacji projektowej rutynowo wszelkie
obliczenia nazywane są statycznymi, nawet jeśli korzysta się tam z analizy drgań i analizy
wyboczenia. Choć drgania własne i wyboczenie to zjawiska spektralne, nieskończone ciągi
zachowań o coraz większej subtelności, w rutynowej analizie statycznej redukuje się je do
znajomości dwóch liczb. Z analizy drgań własnych bierze się pierwszą, najmniejszą (podstawową
lub fundamentalną) częstość drgań własnych. Wielkość tę wykorzystuje się do określenia
wrażliwości dynamicznej konstrukcji, tj. wrażliwości na obciążenia zmienne w czasie (np. wiatr).
Obciążenia dynamiczne zastępowane są statycznymi, odpowiednio powiększonymi. Podobnie z
analizy wyboczenia wybiera się jedną liczbę, tzw. współczynnik wyboczeniowy, przez który
mnoży się obciążenie. Samo zjawisko wyboczenia, zwłaszcza jego formy i spektrum, zostaje
faktycznie zignorowane.

Most Millenium Bridge w Londynie, oddany do użytku z okazji roku 2000, okazał się bardzo
podatny na drgania pomostu w kierunku poziomym, wywołane ruchem pieszych. Projektanci
mostu tej słabości nie wykryli na etapie projektowania. Analiza spektrum drgań własnych winna
wskazać tę słabość konstrukcji.

Kilka lat wcześniej, w czasie tzw. testu łosia, czyli przejazdu slalomem między pachołkami
ustawionymi w linii prostej, wywrócił się samochód mercedes klasy A. Samochód ten był
nowością w gamie Mercedesa: był wąski, wysoki i lekki; tradycyjne Mercedesy były duże, płaskie
i ciężkie. Analiza drań własnych z pewnością pokazałaby wrażliwość pojazdu na ruchy
poprzeczne, a więc zagrożenie wywrotką.

W roku 1940 zawalił się spektakularnie w Kanadzie most Tacoma Narrows Bridge, zginając się
(galopowanie) i skręcając pod wpływem silnego wiatru. Słabości te były wyraźnie odczuwane już

w trakcie budowy. Komputerowa analiza drgań własnych umożliwia dziś wykrycie słabych
zachowań konstrukcji na etapie jej projektowania.

4. Analiza statyczna

Analiza statyczna polega na obliczeniu przemieszczeń i naprężeń konstrukcji w stanie
równowagi, poddanej zadanym przez projektanta, określonym w normach obciążeniom (ciężar
własny, śnieg, statyczny wiatr – z mnożnikiem dynamicznym, obciążenia użytkowe). Równowaga
obejmuje równowagę globalną – obciążeń i reakcji, oraz równowagę lokalną – równowagę
wszystkich węzłów dyskretnego modelu konstrukcji.

Analiza statyczna konstrukcji, której podparcie umożliwia ruchy sztywne zgodne z obciążeniem,
które nie jest samozrównoważone, nie ma sensu. W zależności od algorytmu matematycznego
mogą wystąpić dwie sytuacje. W wariancie pierwszym algorytm sygnalizuje błąd i nie oblicza
pozbawionych sensu przemieszeń i naprężeń. Jest to wariant korzystny dla użytkownika, który
nie jest wprowadzany w błąd przez fikcyjne wyniki. W wariancie drugim algorytm nie sygnalizuje
błędu, obliczając pozbawione sensu pola przemieszczeń i naprężeń. Wariant ten jest
niekorzystny dla użytkownika, który musi sam wykryć nonsensy analizując wartości i mapy
przemieszczeń i naprężeń. Animacja przemieszczeń pozwala wykryć, czy konstrukcja wykonuje
ruch sztywny, bez deformacji, a więc nie pracuje. Duże przemieszczenia – w stosunku do
rozmiarów konstrukcji – są także sygnałem alarmowym. Mapy naprężeń konstrukcji
niepracującej wskutek złego podparcia są zwykle chaotycznymi plamami, co zdradza ich
niefizyczny, przypadkowy charakter. Trajektorie przypadkowych naprężeń nie respektują
symetrii konstrukcji i obciążenia.

Analiza statyczna konstrukcji niedostatecznie podpartej, mogącej wykonywać ruchy sztywne, ale
obciążonej w sposób samozrównoważony, daje poprawne wartości naprężeń i odkształceń. Jej
przemieszczenia są jednak niewiarygodne, i niebezpieczne, gdyż mogą zawierać ruch sztywny, z
dowolną amplitudą, dodany do deformacji. Przykładem jest prosty pręt lub łańcuch ściskany
przeciwnym siłami na końcach. Konstrukcja taka jest w rzeczywistości ruchomym
mechanizmem, który się zawali przy drobnym zaburzeniu obciążenia lub geometrii. Analiza
statyczna jest tutaj skrajnie myląca – obliczenie kończy się sukcesem, konstrukcja pracuje,
przenosi obciążenie, choć jest to domek z kart.

Z tego powodu należy bezwzględnie wykonać analizę drgań własnych przed analizą statyczną.
W drganiach własnych domek z kart się złoży. W analizie statycznej możemy tego nie wykryć.
Analizować statycznie domki z kart, przykładając do nich rozmaite obciążenia, co jest

pracochłonne, nie warto. Konstrukcja bowiem ma być nie tylko w równowadze, ale równowaga
ta musi być odporna na zaburzenia, czyli musi to być równowaga (konstrukcja) stateczna.

Stateczność to nie tylko brak ruchów sztywnych. To także niezbyt duża smukłość, dostateczna
krępość. Sprawdzeniu stateczności służy specjalna analiza stateczności, prowadzona dla
konkretnego obciążenia.

Jeśli przemieszczenia i naprężenia uzyskane w analizie statycznej nie przekraczają wartości
dopuszczalnych (określonych w normach), konstrukcja może być poprawna (dodatkowo trzeba
jeszcze sprawdzić stateczność i wykluczyć drgania rezonansowe). Jeśli przemieszczenia i/lub
naprężenia za zbyt duże, zwiększa się wymiary przekrojów elementów konstrukcji, lub zmienia
materiał na wytrzymalszy. Zwykle dąży się do tzw. wykorzystania naprężeń, tak by osiągały
wysoki (np. 95%) procent wartości dopuszczalnej, oszczędzając w ten sposób materiał.

Wszystkie te działania są potrzebne, ale nie jako pierwszy, tylko ostatni etap analizy i
projektowania. Projektowanie nie sprowadza się bowiem do określenie wielkości przekrojów
(tzw. wymiarowanie). W podręcznikach i poradnikach projektanta regułą jest redukcja
projektowania do wymiarowania. Tymczasem konstrukcja poprawnie zwymiarowana może być
skrajnie nieefektywna a nawet niebezpieczna.

Po pierwsze, wymiarowanie ignoruje zupełnie podstawową decyzję projektową (projektowanie
to proces decyzyjny; decyzja, to wybór między co najmniej dwiema alternatywami), jaką jest
wybór między konstrukcją nieprzesztywnioną, mogącą się adaptować do zmian otoczenia
(zmiany temperatury, ruchy podpór), a konstrukcją przesztywnioną, do adaptacji niezdolną.
Zmiany temperatury, osiadanie podpór, trzęsienie ziemi, zniszczą konstrukcją zbyt sztywną.
Konstrukcja podatna w tych samych warunkach przetrwa. W stabilnym środowisku konstrukcja
przesztywnioną będzie bardziej bezpieczna, gdyż zniszczenie pojedynczych elementów nie musi
powodować awarii całości. Analiza statyczna nie pokazuje tego wszystkiego. Służy ona
cyzelowaniu wielkości przekrojów.

Analiza statyczna dotyczy jednego lub kilku założonych przypadków obciążenia. Badana jest
równowaga konstrukcji w tych tylko przypadkach. Analiza statycznie nie mówi czy konstrukcja
jest wrażliwe na obciążenie, lub kombinację obciążeń, której nie przewidzieliśmy. W projektach
nowatorskich nasza zdolność przewidywania jest bardzo ułomna, ryzyko przeoczenia zagrożeń
jest duże. Szczególnie ograniczona jest nasza zdolność wyobrażania sobie wszelkich możliwych
obciążeń, a w analizie statycznej obciążenie musimy zadać.

Analiza statyczna ma dwie odmiany: geometrycznie liniową i geometrycznie nieliniową. W
konstrukcjach krępych wystarczająco dokładna jest analiza geometrycznie liniowa. W
konstrukcjach smukłych, wiotkich, cienkich konieczna może być analiza geometrycznie
nieliniowa.

Analiza liniowa zakłada, że zachowanie konstrukcji zależy liniowo (prostoliniowo,
proporcjonalnie) od wielkości obciążenia. N-krotne zwiększenie obciążenia spowoduje N-krotne
zwiększenie przemieszczeń i naprężeń. Rozwiązanie zadania z jedną wartością obciążenia daje
więc rozwiązanie dla wszystkich innych wartości – odpowiedź konstrukcji zmienia się
proporcjonalnie do obciążenia.

W praktyce analiza liniowa jest prawidłowa, gdy przemieszczenia konstrukcji są małe w stosunku
do wszystkich wymiarów konstrukcji. Konstrukcje bryłowate, ze sztywnego materiału (nie
gumowe), np. piramidy, nie mogą mieć dużych przemieszczeń. Są one tak sztywne, że ich
materiał zniszczy się przy bardzo małych, gołym okiem niewidocznych przemieszczeniach.

W konstrukcjach cienkościennych (belki, płyty, powłoki) możliwe są duże obroty i
przemieszczenia, czego przykładem jest zwijanie (zginanie) kartki papieru w rulon.
Przemieszczenie uznaje się za małe, gdy jest ono kilka razy mniejsze od grubości konstrukcji
cienkościennej. Ugięcie płyty stropowej o grubości 10cm jest więc małe, gdy wynosi ono 2cm,
ale nie jest małe, gdy wynosi 20cm. Ugięcie belki mostowej o grubości 100cm jest małe gdy
wynosi 20cm, ale nie jest małe gdy wynosi 200cm.

W przypadku dużych ugięć, analiza statyczna geometrycznie liniowa jest niewiarygodna
ilościowo. W analizie tej zakłada się, iż ciało zdeformowane przez obciążenie różni się tak mało
od ciała niezdeformowanego, że równowaga może być badana dla ciała niezdeformowanego
(tzw. zasada zesztywnienia). Założenie to prowadzi do wyników absurdalnych, gdy np. cienki,
pierwotnie poziomy wspornik, wygnie się tak mocno pod obciążeniem, że jego długość skróci się
o połowę; wedle zasady zesztywnienia skrócenie to zostaje zignorowane – oblicza się
równowagę wspornika poziomego, o formie niezdeformowanej. Gdy wynikiem analizy liniowej
są duże (nieliniowe) przemieszczenia wynik ten jest jednak jakościowo (rozkład przemieszczeń)
poprawny i przydatny – przemieszczenia na pewno są duże, a więc niedopuszczalne w
konstrukcjach budowlanych. Konkretne wartości przemieszczeń nie są wiarygodne, ale też w
przypadku niedopuszczalnie dużych przemieszczeń wartości te są bez znaczenia.

Gdy przemieszczenia są ( lub mogą być) duże należy wykonać analizę statyczną geometrycznie
nieliniową. Analiza ta polega podziale obciążenia na tak małe części, by analiza liniowa miała
sens dla każdej z tych części z osobna. Każdy krok, jako liniowy, daje odcinek linii prostej, ale

kolejne odcinki mogą zmieniać kierunek, tworząc linię krzywą, a więc analizę nieliniową (tj.
nieprostoliniową, nieproporcjonalną). Zasada zesztywnienia obowiązuje tu tylko w ramach
danego, małego kroku, ale konstrukcja stopniowo zmienia kształt i w kolejnych krokach
równania równowagi są układane dla konstrukcji o zmieniającej się wskutek deformacji
geometrii.

Analiza nieliniowa geometrycznie, jak każda analiza nieliniowa, jest trudna do kontrolowania,
nieprzewidywalna i kosztowna obliczeniowo. Może się zakończyć niepowodzeniem (tzw. brak
zbieżności) – nie znalezieniem stanu równowagi. Może trwać bardzo długo. Konieczny jest
odpowiednio drobny podział obciążenia na małe części. Programy analizy nieliniowej
geometrycznie standardowo dobierają – zgadują – stosowne parametry, ale sukces nie jest tu
gwarantowany.

Analiza nieliniowa geometrycznie jest w stanie zasymulować zjawisko przeskoku niskiego łuku –
przejścia od postaci wygiętej do góry, przez formę poziomą, wyprostowaną, do postaci wiszącej
liny, wygiętej do dołu. W analizie liniowej geometrycznie, z uwagi na stosowanie zasady
zesztywnienia, łuk będzie z założenia zawsze wygięty do góry w momencie badanie jego
równowagi.

Efekt nieliniowości geometrycznej może działać zarówno na korzyść konstrukcji - większa
nośność niż wynikałoby to z analizy liniowej - jak też nie niekorzyść. Np. wiotki wspornik zginany
wytrzyma większe obciążenie, niż to wynika z analizy liniowej, gdyż mocno się wyginając ulega
skróceniu, co zmniejsza ramię obciążenia względem punktu utwierdzenia wspornika, a więc
redukuje moment zginający od obciążenia. Przeciwnie, niski cienki łuk staje się pod obciążeniem
jeszcze niższy, co wydłuża trójkąt sił, zwiększa siły wewnętrzne, skutkując niepohamowanym
narastaniem przemieszczeń i sił, czyli zjawiskiem przeskoku - od formy wypukłego ściskanego
łuku do formy wklęsłej, rozciąganej liny.

Większość tradycyjnych konstrukcji budowlanych (belki, płyty) jest tak gruba wobec długości
(1/10, 1/20), że zachowanie geometrycznie nieliniowe jest niemożliwe. Konstrukcje powłokowe
są znaczenie cieńsze, ale ich zakrzywienie powoduje olbrzymi wzrost sztywności, ugięcia są więc
małe. W konstrukcjach linowych, namiotowych, prętowo-linowych (tzw. tensegrity),
pneumatycznych, zachowanie geometrycznie nieliniowe – duże przemieszczenia - jest regułą.

Naprężenia to siły wewnętrzne podzielone przez (małe) pole powierzchni, na którą te siły
działają. Na każdej powierzchni mamy siła normalną (prostopadłą) do powierzchni oraz dwie siły
styczne do powierzchni. W przestrzeni trójwymiarowej, z układem współrzędnych kartezjańskich
(prostopadłych) x,y,z mamy trzy naprężenia normalne S

, S

, działające w kierunkach x,y,z –

naprężenia te rozciągają/ściskają konstrukcję. Na trzech powierzchniach, z normalnymi x,y,z,
działa też sześć naprężeń stycznych do tych trzech powierzchni, po dwa naprężenia na każdej
powierzchni. Na powierzchni z normalną x działają naprężenia styczne S

oraz S

, w kierunkach

y oraz z. Na powierzchni z normalną y działają naprężenia styczne S

i S

, w kierunkach x oraz z.

Na powierzchni z normalną (z) działają naprężenia S

i S

, w kierunkach x oraz y. Z trzech

równań równowagi obrotowej względem osi x,y,z, małego sześcianu wyciętego z konstrukcji
wynika, że trzy pary naprężeń stycznych są równe, S

, S

. Jest to równość

wielkości naprężeń, ale nie identyczność kierunku płaszczyzny i kierunku działania. Liczbowo,
mamy tylko trzy różne naprężenia styczne, np. S

, S

W rutynowym projektowaniu konstrukcji – wymiarowaniu, czyli sprawdzaniu wytrzymałości na
ściskanie, rozciąganie, ścinanie, używa się naprężeń S

, S

, Sxy, S

, S

. W projektowaniu

koncepcyjnym, eksperymentalnym wielkości te są mało użyteczne. Po pierwsze, jest ich aż sześć.
Po drugie są to wielkości działające w narzuconych przez nas kierunkach współrzędnych x,y,z.
Kierunki te w przypadku prostego pręta lub płyty mają sens: np. z wzdłuż pręta albo w kierunku
grubości płyty, x,y w przekroju poprzecznym pręta lub w płaszczyźnie płyty. W przypadku
konstrukcji o ciekawszej formie (np. powłoka) kierunki te przestają mieć fizyczne uzasadnienie.

Znacznie prostszy i bardziej użyteczny obraz naprężeń dają tzw. naprężenia główne. Są one tylko
trzy, S

, S

. Są to naprężenia prostopadłe do siebie i normalne do przekrojów, a więc są to

ściskania lub rozciągania. Nie ma tu naprężeń stycznych, z reguły w konstrukcjach budowlanych
znacznie mniejszych, a więc mniej interesujących od naprężeń normalnych.

Naprężenia główne są posortowane, od największych (S

) do najmniejszych (S

). Naprężenia są

określane głównymi, gdyż w danym punkcie konstrukcji w żadnym kierunku nie ma naprężenia
większego niż S

i mniejszego niż S

. Ekstremalne naprężenia styczne działają w kierunkach

nachylonych pod kątem 45 stopnie do kierunków głównych – znając więc kierunki naprężeń
głównych normalnych, znamy więc automatycznie kierunki maksymalnych naprężeń stycznych (
i odwrotnie).

Naprężenia główne tworzą tzw. trajektorie naprężeń głównych, łatwe do przedstawienia w
postaci wektorów o zmiennym kierunku i zmiennej długości, reprezentującej wielkość naprężeń.
Trajektorie naprężeń głównych są 'przyklejone' do konstrukcji, zupełnie nie zależąc od
przyjętego przez nas układu współrzędnych x,y,z. Obliczenia z dowolnym układem
współrzędnych dają identyczne wartości i trajektorie naprężeń głównych. Są to więc wielkości
inwariantne, naturalne, niezależne od punktu widzenia jakim jest układ współrzędnych.

Trajektorie pokazują jak obciążenie przepływa po konstrukcji do podpór. Trajektorie sugerują
gdzie należy konstrukcję wzmocnić, np. pogrubić (duże naprężenia) i w którym kierunku należy
ją wzmocnić, zbrojeniem lub żebrami (wzdłuż trajektorii). Inżynier NERVI projektował słynne
stropy z naturalnym, zakrzywionym użebrowaniem, przebiegającym wzdłuż trajektorii naprężeń
głównych.

Optymalizując formę konstrukcji, by była możliwie najmocniejsza, należy dążyć do
wyrównywania naprężeń głównych.

W prętach ściskanych (słupy, łuki) trajektorie naprężeń głównych biegną wzdłuż pręta, a
wartości naprężeń są stałe w całym przekroju. Stąd bierze się efektywność konstrukcji
ściskanych – cały przekrój jest jednakowo wytężony, brak miejsc niepracujących.

W smukłych belkach zginanych trajektorie także biegną wzdłuż konstrukcji. Naprężenia nie są
jednak stałe w przekroju – gdyż jedna krawędź jest mocno ściskana, krawędź przeciwległa jest
mocno rozciągana, ale środek (oś, powierzchnia obojętna) w ogóle nie pracuje, czyniąc
konstrukcje zginane znacznie mniej efektywnymi od ściskanych i rozciąganych. Jeszcze
ważniejszy powód nieefektywności konstrukcji zginanych to fakt, że konstrukcje te działają jak
wzmacniacze obciążenia, dźwignie dające obciążeniu i reakcjom podporowym duże ramię,
proporcjonalne do długości konstrukcji. W konstrukcjach ściskanych efektu wzmacniania
obciążenia przez konstrukcję nie ma (wyjątkiem są bardzo spłaszczone łuki lub kraty trójkątne o
spłaszczonych oczkach).

W prętach skręcanych naprężenia główne są największe na powierzchni zewnętrznej, stąd
ekonomiczne przekroje są rurowe, puste w środku. Trajektorie naprężeń oplatają powierzchnię
zewnętrzną w dwóch prostopadłych kierunkach pod kątem 45 stopni do osi podłużnej.
Przecięcie podłużne rury przerywa ten oplot, rujnując nośność przekroju. W rurze nieprzeciętej
siły wewnętrzne, dające moment skręcający, tworzą pary o dużym ramieniu, takim jak średnica
przekroju. W rurze przeciętej, lub cienkim przekroju nierurowym, np . prostokątnym, ramiona sił
wewnętrznych są takie jak grubość ścianki, a więc drastycznie mniejsze niż średnica rury.

W dobrze zaprojektowanych - forma, podparcie, rozkład materiału - konstrukcjach
cienkościennych (prętowe, płytowe, powłokowe, mieszane) trajektorie naprężeń głównych
przebiegają stycznie do konstrukcji. Konstrukcja 'najeżona' naprężeniami głównymi wymaga
wzmocnienia (pogrubienie, użebrowanie, dozbrojenie) w miejscach najeżenia. Jeśli najeżone są
duże obszary, konstrukcja jest nieefektywna, ma formę nienaturalną, bardziej abstrakcyjnie
rzeźbiarską niż strukturalną.

Najprostszą, syntetyczną informację o stanie naprężenia konstrukcji dają naprężenia von
Misesa, opisane wzorem:

S

= (1/2) ((S

-S

)

+(S

-S

)

+(S

-S

)

Naprężenia te to pole liczbowe (skalarne) bez znaku, zastępujące trzy naprężenia główne. Wedle
wzoru von Misesa stan naprężenia jest tym groźniejszy, im większe są różnice między
naprężeniami głównymi. Stan idealny to równość wszystkich trzech naprężeń głównych,
S

, kiedy to naprężenia von Misesa stają się zerowe. Stan ten odpowiada tzw. ciśnieniu

hydrostatycznemu, gdy materiał jest ze wszystkich stron ściskany jednakowym ciśnieniem. W
stanie hydrostatycznym materiał jest niezniszczalny. Stan hydrostatyczny wystąpi w kuli lub
sześcianie zanurzonym pod wodą na znacznej głębokości. Praktyczne konstrukcje budowlane nie
są obciążone hydrostatycznie.

W słupie ściskanym naprężenia poprzeczne do słupa są praktycznie równe zeru, S

=0, więc

słup taki zmiażdżą naprężenia działające wzdłuż słupa, S

. Naprężenia von Misesa, S

są bliskie

naprężeniom S

. Stan naprężenia jest daleki od hydrostatycznego.

W belce zginanej naprężenia poprzeczne są także małe względem naprężeń podłużnych, a więc
panuje stan niehydrostatyczny.

Słup betonowy włożony do okrągłej stalowej rury i ściśnięty naprężeniami podłużnymi S

wytworzy duże poprzeczne naprężenia ściskające S

, S

w betonie. Różnice naprężeń S

, S

są

małe, więc małe są naprężenia S

, w stosunku do S

, S

. Słup taki jest trudno zniszczyć.

Beton jest biski stanu hydrostatycznego. Rura stalowa jest daleka od stanu hydrostatycznego,
gdyż rozrywają ją naprężenia obwodowe wywołane odśrodkowym ciśnieniem betonu. Stal jest
jednak materiałem o wysokiej wytrzymałości na rozciąganie.

Betonowe słupy uzwojone, opasane spiralą zbrojenia, także realizują ideę podnoszenia nośności
słupa przez wytworzenie w betonie naprężeń poprzecznych ściskających, wyrównując trzy
naprężenia główne, zbliżając stan do hydrostatycznego, redukując naprężenia von Misesa.

W rutynowej praktyce projektowej - wymiarowaniu konstrukcji budowlanych – naprężeń von
Misesa się nie używa. W projektowaniu koncepcyjnym, eksploracyjnym, zastąpienie sześciu
składowych naprężeń normalnych i stycznych (sześć map) lub trzech map (trajektorii) naprężeń
głównych jedną mapą naprężeń von Misesa jest bezcenne. Mapa von Misesa natychmiast
pokazuje, gdzie konstrukcja jest przeciążona, a gdzie ma rezerwy, wskazując obszary do

poszerzenia lub pogrubienia lub dozbrojenia przekroju i obszary, które można osłabić, usuwając
z nich materiał.

W prętach/płytach ściskanych naprężenia von Misesa będą wszędzie jednakowe. W
prętach/płytach zginanych lub skręcanych naprężenia tę będą duże na powierzchniach skrajnych
i małe wewnątrz, w okolicy powierzchni obojętnej, co wskazuje na efektywność przy zginaniu i
skręcaniu przekrojów rurowych, skrzynkowych o pustym wnętrzu. W okolicach otworów, naroży
wewnętrznych, żeber, skoków grubości, podpór naprężenia von Misesa będą silnie wzrastały,
sygnalizując koncentrację naprężeń. Koncentracja naprężeń wymaga łagodzenia kantów i/lub
wzmacniania okolic naroży i otworów zbrojeniem lub żebrami.

5. Analiza drgań własnych

Analiza drgań własnych polega, obrazowo, na potrząsaniu konstrukcją na wszelkie możliwe
sposoby. Konstrukcja jest traktowana jak instrument. Analiza drgań wydobywa spektrum jego
brzmień (częstości drgań) i stowarzyszonych z nimi form drgań (modów).

Częstość drgań to liczba drgań w jednostce czasu, np. liczba cykli drgań na sekundę. Okres drgań
to odwrotność częstości drgań, to jest czas trwania jednego cyklu (np. w sekundach).
Konstrukcja, która porusza się nie drgając (np. oddalający się samolot lub obracający się wirnik)
ma zerową częstość drgań i nieskończony okres drgań.

Analiza drgań własnych daje spektrum częstości drgań, posortowane od najmniejszej do
największej.  W konstrukcji ciągłej spektrum zawiera nieskończenie wiele częstości i modów. W
metodzie elementów skończonych konstrukcja ciągła jest reprezentowana przez wartości
przemieszczeń w skończonej liczbie węzłów. Model obliczeniowy jest więc skończony
(dyskretny) i skończone staje się spektrum drgań. Dokładnie jest ich tyle, ile konstrukcja ma
stopni swobody.

Program analizy drgań własnych oblicza tyle częstości, ile zażądamy. Gdy konstrukcja jest
nowatorska, gdy nie znamy jej zachowania, celowe jest obliczenie i obejrzenie nawet
kilkudziesięciu modów drgań. W rutynowych obliczeniach konstrukcji znanego typu wystarczy
znajomość kilku pierwszych modów, zwykle odpowiadających typowym w budownictwie
obciążeniom (pionowa grawitacja, poziomy wiatr w dwóch kierunkach).

Najważniejsza jest pierwsza, podstawowa, minimalna częstość drgań i związana z nią forma
drgań. Formie tej odpowiada najsłabsze z możliwych zachowanie się konstrukcji. Tak

zachowująca się (tak pracująca) konstrukcja stawia najmniejszy opór obciążeniu, jest najmniej
sztywna.

Konstrukcja drgająca może być niepodparta (np. satelita w przestrzeni), zamocowana
nieruchomo lub podparta częściowo (np. obracająca się klamka w drzwiach, lub drzwi na
zawiasach). Konstrukcja może być zbudowana z jednego lub kilku materiałów. Forma konstrukcji
może być dowolna. Konstrukcja może być nieobciążona, a więc odprężona, lub może mięć
naprężenia wstępne – jak np. naprężona struna lub ściśnięty słup.

Drgania własne konstrukcji zależą od materiału – musi to być materiał liniowo sprężysty,
podlegający prawu Hooke'a, obdarzony masą. Moduł Younga materiału (E) określa jego
sztywność. Większa sztywność materiału to większa sztywność konstrukcji, a więc szybsze
drgania. Większa masa (g) spowalnia drgania konstrukcji.

Dla oceny jakości materiału z punktu widzenia drgań decydujący jest stosunek sztywności
materiału do gęstości masy, E/g. Dla stali, drewna i betonu stosunek ten wynosi odpowiednio
3.e6, 2.e6 i 1.e6  (orientacyjnie). Zatem stal jest najbardziej efektywnym materiałem, drewno
jest drugie w kolejności, a beton to materiał najmniej efektywny. Konstrukcje betonowe są
relatywnie ciężkie – tak też wyglądają. Konstrukcje stalowe są lekkie, ażurowe, cienkościenne.
Konstrukcje drewniane nie są tak lekkie jak stalowe, ale są lżejsze od betonowych.  'Ażurowość'
drewna jest ukryta we włóknistej strukturze materiału.

Wstępne naprężenia wpływają na spektrum drgań, podwyższając lub obniżając sztywność, a
więc zmieniając częstości w stosunku do konstrukcji bez naprężeń wstępnych. Rozciągana struna
lub lina jest tym sztywniejsza im wyższe jest jej napięcie, tym wyższe są też jej częstości drgań.
Ściskany słup, łuk lub sklepienie traci sztywność pod obciążeniem, jego częstości drgań maleją
więc ze wzrostem obciążenia. Osiągnięcie zerowej częstości drgań oznacza całkowitą utratę
sztywności i wyboczenie konstrukcji, a więc katastrofę.

Drgania wolniejsze, o mniejszej częstości (dłuższym okresie), mniejszej energii odpowiadają
dźwiękom niskim i długim falom drgań (np. struny), obejmującym całą konstrukcję. Drgania
szybsze, o większej energii, większej częstości ( i krótszym okresie) odpowiadają dźwiękom
wyższym i krótszym falom drgań – na konstrukcji mieści się wiele takich krótkich fal.

Fale dłuższe, o niższej częstości, mniejszej energii,  odpowiadają konstrukcjom mniej sztywnym,
które łatwiej odkształcić używając mniejszej pracy. Fale krótsze odpowiadają konstrukcją
bardziej sztywnym, trudniej się odkształcającym, wymagającym większego wkładu pracy.

Fale długie odpowiadają obciążeniom równomiernym, niezmieniającym kierunku na całej
konstrukcji. Fale krótkie odpowiadają obciążeniom zmieniającym kierunek przy przejściu z
jednego odcinka fali na kolejny. W praktyce te zmiany obciążenia są reakcjami dodatkowych
podpór pośrednich.

Fale długie, o niskich częstościach, charakteryzują konstrukcję jako całość, jej cechy globalne.
Fale krótsze, szybsze pokazują zachowania lokalne, detale zachowania, tym drobniejsze im
wyższa częstość drgań. Miejsca stałe fal krótkich wskazują, gdzie konstrukcję należy dodatkowo
podeprzeć, by zachowywała się zgodnie z danym modem, a więc by stała się dzięki podporom
sztywniejsza.

Z dwóch konstrukcji o tej samej wielkości i masie, ale różnych formach lub podparciach,
sztywniejsza jest konstrukcja o wyższej minimalnej (pierwszej) częstości drgań.

Wydłużanie konstrukcji (np. pręta, płyty, powłoki) bez zmiany jej przekroju zwiększa smukłość
konstrukcji, obniża jej sztywność geometryczną (smukłe proporcje) i podnosi masę, a więc
obniża minimalną częstość drgań wskutek zgodnego działania obu czynników.

Jednoczesne powiększanie konstrukcji we wszystkich wymiarach (skalowanie równomierne)
obniża jej podstawową (pierwszą) częstość drgań własnych, wydłuża okres drgań. Wielkie
konstrukcje (mosty, budynki wysokie) drgają powoli – okres drgań to nawet kilka lub kilkanaście
sekund. Jest tzw. dynamiczny efekt skali. Efekt skali widać w naturze: małe mrówki na smukłych
nóżkach dźwigają ciężary dużo większe niż waga mrówki; wielki słoń ledwo dźwiga własny ciężar
na klocowatych nogach. Pchła jest w stanie skoczyć bardzo wysoko i daleko w stosunku do jej
wymiarów. Słoń nie jest w stanie skakać. Efekt skali wskazuje na generalnie wyższą efektywność
konstrukcji małych niż konstrukcji dużych w tym sensie, że im większa konstrukcja, tym mniejsze
będzie jej obciążenie użytkowe w relacji do jej ciężaru. Maksymalnie wielkie konstrukcje
przenoszą tylko ciężar własny.

Słabość wielkich konstrukcji wynika z szybszego wzrostu masy (ciężaru) niż wzrost sztywności. W
przypadku krępego sześcianu masa rośnie jak objętość, sztywność zaś – na ściskanie,
rozciąganie, ścinanie - jak pole ściany. Stosunek objętości do pola do bok sześcianu rośnie
nieograniczenie ze wzrostem skali konstrukcji. Konstrukcje smukłe, o proporcjach prętów lub
płyt, są jeszcze mniej sztywne, gdyż ich długi wymiar działa jak dźwignia wzmacniająca
obciążenie poprzeczne, co skutkuje łatwym zginaniem.

Konstrukcja swobodna, zupełnie niepodparta, będąca jednym ciałem, ma sześć zerowych
częstości drgań, stowarzyszonych z sześcioma ruchami (modami) sztywnymi. Zerowej częstości
drgań odpowiada nieskończony okres drgań.

Ciało sztywne swobodne ma, jako całość, sześć sztywnych (niedeformacyjnych) stopni swobody:
trzy przesunięcia dowolnego punktu i trzy obroty. Animacja modów (ruchów) sztywnych
pokazuje zazwyczaj sześć ‘nieczystych' ruchów będących kombinacjami przesunięć i obrotów.
Nie jest to błąd – istotne jest by owe sześć ruchów było od siebie niezależnych, czyli by żaden
mod nie był kombinacją liniową modów pozostałych. Np. w płaszczyźnie dwa przesunięcia w
kierunkach równoległych są zależne – różnią się o stały mnożnik. Dwa przesunięcia w kierunkach
nierównoległych są niezależne. Trzy przesunięcia w płaszczyźnie są zależne: jedno (dowolne) jest
kombinacją pozostałych dwóch.

Dla człowieka szukającego prostoty interpretacji, czyste ruchy sztywne to trzy przesunięcia i trzy
obroty. Programy analizy drgań wie tylko tyle, że mody drgań własnych są od siebie niezależne
(ortogonalne w odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej) i że dla zerowej częstość drgań modów jest
sześć. Program znajduje jakiekolwiek sześć niezależnych ruchów z nieskończonej liczby ruchów
sztywnych ciała w przestrzeni.

Dwa niezależne ciała swobodne, np. Ziemia i księżyc, będą miały 12 niezależnych ruchów
sztywnych, po 6 na każde ciało. N ciał swobodnych będzie miało 6N ruchów sztywnych, a więc w
spektrum drgań swobodnych takiego układu ciał będzie 6N zerowych częstości drgań i tyleż
modów.

Mody sztywne mogą mieć wskutek nieuniknionej niedokładności obliczeń na liczbach
rzeczywistych (czyli, ciągłych, a więc niedokładnych wskutek obcięcia do długości obsługiwanej
przez komputer cyfrowy!) niezerowe częstości drgań. Animacja ujawnia, że są to mody sztywne,
konstrukcja się nie odkształca. Częstość takich drgań, choć niezerowa, jest bardzo mała, np.
1/e6=1.e-6 czyli jedna milionowa, w stosunku do częstości pierwszego modu niesztywnego,
deformacyjnego. W mechanice budowli - nie w mechanice kwantowej, obiektów atomowych i
cząstek elementarnych - wielkość milion razy mniejsza w stosunku do innej wielkości jest
praktycznie zerowa. Jest to szmer, losowe zakłócenie, które bezwzględnie należy pominąć przy
interpretacji wyników obliczeń i podejmowaniu decyzji projektowych.

Ciało podparte w jednym punkcie, który działa jak przegub kulisty, będzie miało trzy zerowe
częstości drgań, reprezentujące trzy sztywne obroty, wokół trzech osi nieleżących w jednej
płaszczyźnie, przechodzących przez punkt zamocowania.

Ciało podparte w dwóch punktach, które łącznie działają jak zawias, będzie miało jedną zerową
częstość drgań, odpowiadającą sztywnemu obrotowi ciała w zawiasie (jak drzwi). Podparcie na
dowolnej liczbie punktów na jednej linii prostej działa jak zawias.

Ciało podparte w trzech punktach, nieleżących na jednej prostej, jest ciałem zamocowanym
sztywno. W jego spektrum drgań nie będzie żadnej zerowej częstości drgań.

Jeśli trzy punkty zamocowania będą leżeć blisko jednej prostej (odchylać się mało od tej prostej,
mało względem rozmiarów ciała), w spektrum drgań pojawi się mała niezerowa częstość drgań,
odpowiadająca prawie sztywnemu obrotowi ciała względem wspomnianej prostej, pracującej
jako nieidealny (zardzewiały) zawias.

Jeśli trzy punkty podparcia będą leżeć blisko siebie, tworzyć mały trójkąt względem rozmiarów
ciała, to spektrum drgań będzie zawierać trzy małe, niezerowe częstości, odpowiadające trzem
prawie sztywnym obrotom ciała względem obszaru podparcia, tworzącego nieidealny
(zardzewiały) przegub kulisty.

Pewne, sztywne podparcie ciała wymaga minimum trzech punktów, tworzących trójkąt, który
nie jest mały względem rozmiarów ciała i nie jest wydłużony. Analiza drgań własnych pozwala
wykryć czy ciało jest podparte czy nie, czy jest to podparcie solidne czy słabe.

Mody deformacyjne reprezentują konstrukcję pracującą, stawiającą opór obciążeniu.
Obciążeniem są siły masowe, wynikające z ruchu drgającego (siła to masa razy przyśpieszenie).
Im wyższy mod, wyższa częstość drgań, tym opór ten jest większy.

Mody z jedną półfalą deformacji odpowiadają obciążeniom o stałym kierunku na całej
konstrukcji, podobnym do działania grawitacji i wiatru. Są to zatem mody podstawowe,
najważniejsze w przypadku konstrukcji budowlanych. Najwolniejszy mod deformacyjny, o
najniższej częstości, pokazuje najsłabszą stronę konstrukcji.

W przypadku cienkiej płyty wspornikowej podstawowy mod to zginanie w kierunku grubości. W
przypadku prostokątnej belki wspornikowej, będzie to zginanie w kierunku krótszego boku
przekroju. W przypadku kwadratowej w przekroju belki wspornikowej, są to dwie identyczne
częstości, odpowiadające dwóm podobnym zginaniom, wzdłuż różnych boków przekroju.

Wśród kolejnych modów belki o przekroju kwadratowym znajdziemy skręcanie, a potem
ściskanie/rozciąganie. Mody drgań pokazują więc wszystkie możliwe rodzaje zachowań –

deformacji pręta jako całości: zginania w różnych kierunkach, skręcanie oraz
ściskanie/rozciąganie.

Pręt kwadratowy najłatwiej jest zgiąć, trudniej skręcić, najtrudniej ścisnąć (rozciągnąć).
Najbardziej efektywne jest zatem użycia pręta jako słupa (ściskanie) lub wieszaka (rozciąganie),
lub jako ściskanego/rozciąganego elementu kratownicy. Tak pracujący pręt przeniesie
największe obciążenie. Efektywnie pracujący pręt jest jednocześnie zagrożony utratą
stateczności, polegającą na ucieczce od założonego (ściskanie) sposobu pracy, do sposobu –
deformacji wymagającej najmniejszej energii, czyli do zginania. Pręt ściskany jest też zagrożony
ucieczką w skręcanie, lub kombinację zginania i skręcania.

Pręt zginany, lub cienka płyta, jako pracujący wedle najsłabszego modu, działa z jednej strony
bardzo nieefektywnie, ma duże przemieszczenia i naprężenia, ale z drugiej strony praktycznie
nie grozi mu wyboczenie. Zachodzi tu analogia: będąc na samym dnie doliny nie można spaść
niżej, jest to położenie stabilne, odporne na zakłócenia; położenie na szczycie góry jest
niestabilne, nieodporne na zakłócenia.  Brak praktycznego zagrożenia wyboczeniem oznacza, że
konstrukcja traci wytrzymałość (np. łamie się) przy obciążeniu mniejszym niż obciążenie
powodujące wyboczenie. Teoretycznie, wyboczenie prawie zawsze jest możliwe –program
analizy wyboczeniowej znajduje je prawie zawsze. Wyboczenie jest teoretycznie (i praktycznie)
niemożliwe tylko w przypadku konstrukcji rozciąganych, takich jak wieszaki i łańcuchy.
Konstrukcje te po małym zaburzeniu równowagi zawsze samoczynnie wracają do pozycji
początkowej.

Zasady efektywności obowiązują dla dowolnych konstrukcji, nie tylko prostych prętów: łuków,
kratownic, ram, płyt, powłok (łupin). Konstrukcje efektywne, które mogą być bardzo lekkie, to
konstrukcje pracujące na ściskanie/rozciąganie, a więc niedoznające obrotów. Konstrukcje
nieefektywne, relatywnie ciężkie, to konstrukcje pracujące na zginanie lub skręcanie, a więc
konstrukcje, których przekroje doznają obrotów. Konstrukcjom efektywnym zagraża utrata
stateczności (wyboczenie), polegające na przejściu do nieefektywnego rodzaju pracy, przejście
ze ściskania do zginania/skręcania (konstrukcje rozciągane nie wybaczają się). Konstrukcjom
nieefektywnym, pracującym w najgorszy możliwy sposób, utrata stateczności nie zagraża.
Efektywność jest więc obarczona ryzykiem awarii. Nieefektywność pracy konstrukcji jest
materiałochłonna, ale bezpieczna.

Wśród kilkudziesięciu pierwszych modów wspornika o przekroju kwadratowym lub
prostokątnym nie ma modów, w których przekroje poprzeczne ulegałyby widocznemu
odkształceniu. Przekroje te poruszają się, przemieszczają i obracają, jak ciała sztywne.

Potwierdza to przyjmowaną od czasów Bernoulliego zasadę sztywnych płaskich przekrojów,
stosowaną w technicznych, elementarnych teoriach belek, płyt i powłok.

Modelowanie 1D oraz 2D w metodzie elementów skończonych wykorzystuje zasadę płaskich
przekrojów. Dla inżyniera projektującego konstrukcje cienkościenne (słupy, belki, ramy, kraty,
ściany, płyty, powłoki) istotny jest fakt, że w efektywnych, sztywnych konstrukcjach -
modelowanych w wersji 3D - przekroje zachowują się zgodnie z tą zasadą. Jeśli animacja
przemieszczeń konstrukcji pokazuje istotne odstępstwo od zasady płaskich sztywnych
przekrojów, to konstrukcja jest słaba, np. rozwarstwiona lub źle skratowana. Dodanie
elementów wymuszających zachowanie zgodne z zasadą płaskich przekrojów jest metoda
wzmacniania konstrukcji. Modele 1D oraz 2D, jako modele uproszczone, z wbudowaną zasadą
płaskich przekrojów, nie nadają się do sprawdzania, czy konstrukcja podlega tej zasadzie. Do
tego celu należy użyć modelu 3D.

Wśród wysokich modów pręta o pełnym przekroju kwadratowym lub prostokątnym, około
modu nr. 50, znajdziemy mody z silną deformacją przekroju. Może to być deplanacja przekroju
(przestaje być płaski) lub owalizacja (kwadratowy brzeg staje się elipsą).

Mody deformujące przekrój pełny mają bardzo wysoką częstość drgań, w stosunku do modów
wcześniejszych - globalnych, są więc bardzo sztywne. Oznacza to, że konstrukcji prętowej o
przekroju pełnego kwadratu lub krępego prostokąta zupełnie nie zagraża zniszczenie przez
utratę stateczności formy przekroju. Z drugiej strony oznacza to, że przekroje pełne, solidne,
choć bardzo bezpieczne, są bardzo nieefektywne.

Inaczej jest w przypadku przekrojów cienkościennych prętów, płyt i powłok - przekrojów
płaskownikowych, kątowych, teowych, dwuteowych, przekrojów H, ceowników, zetowników i
rur. Jeśli ścianki takiego przekroju będą dostatecznie cienkie, mody deformujące przekrój
(deplanacja, owalizacja) będą pierwszymi modami deformacyjnymi, poprzedzającymi
deformacje globalne (zginanie, skręcanie, ściskanie/rozciąganie). Oznacza to, że konstrukcje
cienkościenne są efektywne, ale zagraża im (zginanym belkom, skręcanym belkom i ściskanym
prętom – słupom i łukom) zniszczenie przez niestateczność przekroju.

Drgania własne cienkościennych przekrojów otwartych (płaskownik, kątownik, teownik,
ceownik, zetownik, dwuteownik, krzyż) pokazują, że przekroje te są bardzo słabe na skręcanie –
jest to pierwszy lub jeden z pierwszych modów deformacyjnych. Efektywne na skręcanie są rury,
kwadratowe lub okrągłe, a więc przekroje zamknięte.

Podłużne przecięcie rury oznacza otwarcie jej przekroju i dramatyczne obniżenie sztywności
skrętnej. Dzieje się tak, gdyż w otwartych cienkościennych przekrojach skręcanych siły
wewnętrzne tworzą pary działające na bardzo małym ramieniu, nieprzekraczającym grubości
ściany. W przekroju rurowym, zamkniętym, siły wewnętrzne maja ramię tak duże, jak minimalna
średnica przekroju – zwykle kilkadziesiąt razy większa od grubości ściany.

Rury wydłużone owalne lub w kształcie wydłużonego prostokąta nie są efektywne na skręcanie,
gdyż ich minimalna średnica jest mała względem średnicy maksymalnej. W efekcie pary sił
wewnętrznych dających sztywność skrętną mają małe ramię. Z kolei pary na dużym ramieniu,
jakim jest średnica maksymalna, łatwo deformują wąski przekrój, nie dają więc istotnego wkładu
w sztywność skrętną.

W smukłych kratowych konstrukcjach prętowych (słupy, belki, płyty, powłoki) mamy do
czynienia z konstrukcją smukłą na dwóch poziomach: globalnym, całej konstrukcji, i lokalnym,
poszczególnych prętów. W starszych konstrukcjach mostów stalowych często występował trzeci
poziom: belka mostu była wielką kratą, o długości kilkudziesięciu metrów, zbudowaną z
mniejszych kratownic o długości kilku metrów, złożonych z elementów niekratowych o długości
kilkudziesięciu centymetrów.

Spektrum drgań pręta skratowanego zawiera mieszaninę czterech typów modów
deformacyjnych:
(1) deformacja osi pręta na poziomie globalnym (zginanie, skręcanie, ściskanie/rozciąganie),
(2) deformacja osi pręta lokalnego,
(3) deformacja przekroju na poziomie globalnym (deplanacja, owalizacja),
(4) deformacja przekroju pręta lokalnego.

Jeśli pręty lokalne będą zbyt słabe, to mody lokalne wystąpią w spektrum przed globalnymi i
będą miały dużo mniejsze częstości. Awaria pręta lokalnego (np. wyboczenie) grozi zniszczeniem
całej konstrukcji. Jeżeli pręty lokalne będą zbyt mocne, to mody lokalne wystąpią po globalnych i
będą miały znacznie wyższe częstości drgań. Konstrukcja taka będzie zabezpieczona przed
awarią lokalną, ale nieefektywna materiałowo. Racjonalną kombinację bezpieczeństwa i
efektywności konstrukcji uzyskamy wyrównując częstości modów lokalnych i globalnych.

Mody drgań własnych mogą być wykorzystane w poszukiwaniu inspirujących, nowych form
konstrukcyjnych. Mody giętne i skrętne prostego pręta podpowiadają  formy konstrukcji
prętowych  falistych i skręconych wokół osi podłużnej. Mody drgań giętnych i skrętnych płaskich
płyt stanowią niewyczerpane źródło zakrzywionych konstrukcji powłokowych, od najprostszych
(walce, sfery, siodła), do subtelnie pofałdowanych.

6. Analiza wyboczenia

Wyboczenie lub utrata stateczności to ucieczka obciążonej statycznie konstrukcji od
planowanego sposobu pracy pod ustalonym obciążeniem do deformacji, nowego jakościowo,
niepożądanego typu. Np. ściskany prosty słup tracąc stateczność wygina się. W budownictwie
utrata stateczności z reguły oznacza zniszczenie konstrukcji. W konstrukcjach bardzo
elastycznych, obciążonych dynamicznie, chwilowa utrata stateczności po krótkim przeciążeniu
może być dopuszczalna, jeśli po zmniejszeniu obciążenia konstrukcja powraca do stanu
równowagi (np. konstrukcje lotnicze).

Konstrukcja obciążona statycznie winna być w stanie równowagi, to jest spełniać równania
równowagi całej konstrukcji i wszystkich jej elementów. Dodatkowo równowaga musi być
stateczna. Stateczność oznacza odporność na zaburzenia, zawsze w praktyce obecne:

* geometrii - krzywa oś belki prostej belki, nieidealny przekrój, niedokładne podparcie,
deformacja termiczna, skurcz betonu, pęcznienie drewna,
* materiału - niejednorodność, różne własności w różnych miejscach,
* obciążenia - odchylenia od planowanego kierunku, nieprzewidziane kombinacje obciążeń.

Prostym modelem konstrukcji w stanie równowagi statecznej jest kulka na dnie sferycznego
naczynia, poddana grawitacji. Zaburzenie położenia kulki - popychanie jej, potrząsanie
naczyniem - jest chwilowe. Kulka jest stateczna, odporna, wracając samoczynnie po usunięciu
czynnika zaburzającego do położenia równowagi na dole naczynia. Kulka umieszczona na
szczycie sfery nie jest w stanie równowagi statecznej (stabilnej): lekko potrącona spadnie ze
szczytu.

Stateczna jest piramida, niestateczna jest piramida odwrócona. Układy mogące wykonywać
ruchy sztywne są generalnie niestateczne. Np. łańcuch nie może być użyty do budowy słupa lub
łuku, czyli konstrukcji ściskanej.

Łańcuch może być użyty do konstrukcji wiszącej. Dzieje się tak z powodu panującego w nich
rozciągania. Konstrukcje rozciągane są zawsze stateczne. Nie ulegają wyboczeniu. Wytrącone ze
stanu równowagi zawsze do niego samoczynnie wracają, jak potrącona struna gitary, albo
wahadło zegara.

Tylko konstrukcje rozciągane są zawsze stateczne. Pozostałe konstrukcje - ściskane, zginane,
skręcane, ścinane - są narażone na wyboczenie.

Źródłem niestateczności jest we wszystkich przypadkach ściskanie. Ściskając podłużnie lekko
zakrzywiony pręt zwiększamy jego zakrzywienie. Przyłożone siły mają bowiem ramię względem
niedokładnie prostej osi pręta, a siła na ramieniu staje się momentem i wywołuje zginanie.
Powstaje tu pozytywne sprzężenie zwrotne: zginanie zwiększa ramię siły, większe ramię to
większy moment zginający, większy moment to jeszcze większe zginanie i większe ramię siły.
Ściskanie powoduje powiększanie niedokładności geometrii. Rozciąganie zmniejsza
niedokładności geometrii, prostuje zakrzywione pręty - z tego powodu jest stateczne.

Ściskanie jest obecne jako składnik w zginaniu: mamy tu parę sił wewnętrznych, jedna jest
ściskająca a druga rozciągająca. Ściskanie jest obecne w skręcaniu: spiralne trajektorie naprężeń
ściskających oplatają pręt skręcany; druga, prostopadła do pierwszej spirala to naprężenia
rozciągające. Skręcając mokry ręcznik wyciśniemy z niego wodę, co wskazuje na obecność
ściskania. Ściskanie jest obecne w ścinaniu: ścinanie jest równoważne kombinacji ściskania z
rozciąganiem, w kierunkach obróconych o 45 stopni wobec kierunku sił ścinających.

Jeśli deformacja zawiera ściskanie, stateczność może być zagrożona. Algorytm analizy
wyboczenia zawsze znajdzie rozwiązanie matematyczne zadania. Czy zagrożenie wyboczeniem
jest realne, zależy od:

* sztywności materiału konstrukcji (moduł Younga),
* wytrzymałości materiału,
* smukłości konstrukcji; smukłość to stosunek długości do minimalnej średnicy przekroju pręta
lub do grubości płyty/powłoki.

Konstrukcje krępe, np. sześcian ściskany, lub zginany, albo skręcany, nigdy się w praktyce nie
wyboczą. Ściskany sześcian zmiażdży się przy obciążeniu znacznie mniejszym niż obciążenie
wyboczeniowe. Do momentu zmiażdżenia sześcian będzie cały czas ściskany, nie ucieknie do
innego sposobu pracy (deformacji).

Konstrukcje smukłe - cienkie pręty, płyty i powłoki z wytrzymałych materiałów - wyboczą się,
dramatycznie zmieniając swoją formę i swój sposób pracy, przy obciążeniu mniejszym niż
obciążenie wymagane do zniszczenia materiału, wynikające z analizy statycznej. Zatem
połączenie wysokiej wytrzymałości, smukłości i ściskania jest wymagane do realnego
wystąpienia wyboczenia.

Wyboczenie jest zjawiskiem progowym, tj. pojawia się przy odpowiednio dużym obciążeniu,
zwanym obciążeniem krytycznym. Poniżej obciążenia krytycznego konstrukcja pracuje w
założony sposób, zgodny z obciążeniem: ściskana się ściska, zginana się zgina, skręcana się
skręca. Pod obciążeniem krytycznym (i większym) założona praca staje się niemożliwa,
konstrukcja gwałtownie ucieka do innego, niepożądanego, niszczącego rodzaju deformacji.

Słup ściskany wybacza się przechodząc do zginania lub zginania ze skręcaniem – porusza się w
bok; stąd słowo 'wyboczenie'. Ściskana ściana w momencie wyboczenia gwałtownie zgina się.
Ściskany wąski łuk leżący w płaszczyźnie wygina się z tej płaszczyzny, lub zgina się w tej
płaszczyźnie. Ściskane sklepienie walcowe w momencie wyboczenia wygina się. Zginana w swej
płaszczyźnie wysoka belka w momencie wyboczenia skręca się i wygina poprzecznie do
pierwotnej płaszczyzny – jest to tzw. zwichrzenie belki. Cienka ściana krótkiej, ściskanej, zginanej
lub skręcanej rury w momencie wyboczenia wygina się poprzecznie; rura traci pierwotny kształt
przekroju.

Wyboczenie zagraża konstrukcjom i/lub ich elementom o formie efektywnej - wedle statycznej
analizy przemieszczeń i naprężeń. Konstrukcje pracujące efektywnie nie doznają obrotów, albo
obroty są małe. Forma konstrukcji efektywnej statycznie jest dopasowana do kierunku i
rozkładu obciążenia. Nadmierne dostosowanie czyni konstrukcję wrażliwą na zaburzenia
równowagi.

Smukły ściskany słup lub łuk jest bardzo efektywny – wybaczając się przechodzi on do bardzo
nieefektywnego zginania. Następuje przejście od zerowych lub małych obrotów do obrotów
narastających nieograniczenie.

Wysoka, wąska belka prostokątna jest efektywna przy zginaniu w kierunku wysokości, w którym
duże ramiona sił wewnętrznych skutkują odpornością na obroty. Belka wybacza się przechodząc
do zginania w kierunku, w którym jest wąska, a więc nieefektywna. Wąska belka prostokątna
jest też nieefektywna przy skręcaniu, które także się pojawia w momencie wyboczenia.

Zginanie wąskiej belki prostokątnej lub płyty w kierunku małego wymiaru, czyli zginanie
nieefektywne z punktu widzenia analizy statycznej, nie grozi wyboczeniem. Ruch w bok byłby
ruchem w kierunku dużej sztywności, w którym ponadto konstrukcja nie jest obciążona. Ruch
taki jest praktycznie niemożliwy.

Używanie (obciążanie) konstrukcji w sposób efektywny jest zatem ekonomiczne, ale grozi
wyboczeniem. Obciążanie konstrukcji w sposób nieefektywny jest nieekonomiczne, ale usuwa
groźbę wyboczenia.

Wynikiem analizy wyboczenia jest spektrum obciążeń krytycznych, powodujących wyboczenie i
odpowiadających im form wyboczenia (modów), uporządkowanych od obciążenia
najmniejszego do największego. Analiza wyboczenia jest zagadnieniem spektralnym,
matematycznie bardzo podobnym do zagadnienia analizy drgań własnych. Liczba żądanych do
obliczenia obciążeń i modów jest określana przez projektanta.

W zadaniach rutynowych, dotyczących konstrukcji o jakościowo znanym zachowaniu, wystarczy
obliczyć pierwsze, najmniejsze obciążenie krytyczne. Realna konstrukcja wyboczyć się może
praktycznie tylko wedle pierwszego modu i tylko wtedy, gdy rzeczywiste obciążenie konstrukcji
jest większe od obciążenia krytycznego.

W projektowaniu twórczym, badawczym, eksperymentalnym, gdy chcemy poznać możliwie
dużo możliwych zachowań konstrukcji, warto przeanalizować więcej modów wyboczenia.
Wyższe mody odpowiadają większej odporności wyboczeniowej konstrukcji. Wyższe obciążenie
krytyczne pokazuje jak znacznie można podnieść odporność na wyboczenie względem
pierwszego, najsłabszego modu. Wyższe mody pokazują też jak odporność na wyboczenia
podnieść - dodatkowo podpierając konstrukcję w punktach nieruchomych (węzły) wyższego
modu. Np. ściskany słup wspornikowy wedle pierwszego modu wybacza się z maksymalnym
przemieszczeniem poprzecznym swobodnego końcu wspornika. W modach wyższych,
przemieszczenia tego nie ma, słup ma znacznie wyższą nośność wyboczeniową. Podpierając
koniec słupa wymuszamy takie zachowanie przy wyboczeniu, uzyskując podwyższoną nośność.

Reasumując - wszystkie trzy rodzaje analizy konstrukcji - w projektowaniu twórczym,
eksperymentalnym, poszukującym nowych form, należy wykonać najpierw (1) analizę drgań z
wieloma modami, potem (2) analizę wyboczenia z wieloma modami oraz, na końcu (3) analizę
statyczną.

Analiza drgań pokazuje (1) czy konstrukcja jest właściwie podparta (wykryje ruchy sztywne), (2)
jakie są jej słabe strony (pierwsze mody deformacyjne) i (3) jak konstrukcję wzmocnić
dodatkowymi podporami (wyższe mody deformacyjne), a także (4) jakie są jej częstości
rezonansowe. W analizie tej projektant nie zadaje obciążenia, algorytm bada tu automatycznie
wszelkie możliwe obciążenia i kombinacje obciążeń. Jest to analiza najbardziej fundamentalna,
najwięcej mówiąca, najwięcej ucząca. Jeśli konstrukcja wykonuje niepożądane ruchy, należy
zmienić jej topologię (układ połączeń) i/lub formę. Zmieniając formę należy dopasować
spektrum częstości do planowanego sposobu pracy. Należy zmierzać do tego, by konstrukcja
była sztywniejsza (drgała szybciej) w modach związanych z kierunkami większych obciążeń. Np.

w budynkach wysokich wiatr jest duży a grawitacja relatywnie mała. W płaskich przekrycia dużej
rozpiętości występuje duży ciężar grawitacyjny i relatywnie małe obciążenie wiatrem.

Analiza wyboczenia, druga w kolejności, dotyczy już konkretnych obciążeń (grawitacja, wiatr),
które przewidujemy i zadajemy. Analiza ta pokazuje, czy konstrukcja nie jest zagrożona
nieoczekiwaną i gwałtowną ucieczką od zadanego sposobu pracy. Wyższe mody wyboczenia
pokazują, jak ewentualnie podnieść odporność konstrukcji na wyboczenie, np. dodatkowymi
podporami.

Analiza statyczna winna być wykonywana na końcu, po upewnieniu się za pomocą analizy drgań
i analizy wyboczenia, że konstrukcja ma właściwe podparcie i sensowną formę, niezagrożoną
wyboczeniem. Analiza statyczna pozwala sprawdzić, czy materiał konstrukcji wytrzyma zadane
obciążenia i czy obroty i ugięcia konstrukcji nie są nadmierne. Jeśli naprężenia i/lub
przemieszczenia są zbyt duże, należy zwiększyć przekroje lub dać lepsze materiały. Analiza
statyczna służy więc tzw. wymiarowaniu przekrojów.

Projektowanie rutynowe, konstrukcji typowych, o znanym zachowaniu, można ograniczyć do
analizy statycznej, a więc wymiarowania. Wrażliwość na drgania zastępuje się tu tzw.
współczynnikiem dynamicznym, zwiększającym obciążenia statyczne. Wrażliwość na wyboczenie
uwzględnia się za pomocą tzw. współczynnika wyboczeniowego, zwiększającego obciążenie
statyczne, co daje zapas odporności na wyboczenie.

Projektowanie rutynowe można dziś całkowicie zautomatyzować. Człowiek nie jest tu
potrzebny. Projektowania twórczego zautomatyzować się nie da. Co prawda obliczenia drgań
własnych i wyboczenia wykonywane są algorytmicznie, maszynowo, ale ocena wyników
obliczeń, zwłaszcza wizualna ocena modów drgań i wyboczenia i podejmowanie na tej
podstawie zmian projektu, pozostają domeną człowieka.

Modelowanie obciążeń
Analiza statyczna i analiza wyboczenia wymagają zadania konkretnych obciążeń, np. ciężar
własny, śnieg, wiatr, obciążenia użytkowe na stropach.

Najłatwiejsze jest modelowanie obciążeń grawitacyjnych, gdyż programy metody elementów
skończonych obliczają te obciążenia automatycznie, na podstawie geometrii konstrukcji i
gęstości materiału i przyśpieszenia grawitacyjnego. Obciążenie grawitacyjne to obciążenie siłami
masowymi, działającymi w całej objętości konstrukcji, tj. we wszystkich węzłach jej modelu
dyskretnego. Zgodnie z prawem Newtona, siła grawitacyjna jest iloczynem masy konstrukcji i
przyśpieszenia. Konstrukcja zamocowana na ziemi, choć się nie porusza względem ziemi,

doznaje przyśpieszenia ziemskiego, w kierunku środka ziemi. Konstrukcja zamocowana na
księżycu ziemi, nie poruszająca się względem księżyca, doznaje przyśpieszenia w kierunku
środka księżyca. Przyśpieszenie to jest sześciokrotnie mniejsze od ziemskiego, z powodu
mniejszej masy księżyca w porównaniu z masą ziemi. Konstrukcja spadająca swobodnie w
kierunku ziemi lub księżyca, choć porusza się ruchem przyśpieszonym, jest nieważka! (do
moment uderzenia w ziemię). Konstrukcja rakiety rozpędzającej się w kosmosie (lub hamującej)
jest poddana siłom wynikającym z przyśpieszenia rakiety. Konstrukcja obracająca się lub
orbitująca wokół jakiejś osi, np. karuzela lub huśtawka, doznaje przyśpieszenia odśrodkowego i
odczuwa stosowne obciążenie.

Obciążenia zewnętrzne, jak śnieg i wiatr, to obciążenia powierzchniowe, przyłożone do
powierzchni konstrukcji. Modelowanie tych obciążeń jest trudniejsze niż modelowanie
wszechobecnych obciążeń masowych, gdyż wymaga wskazania, które powierzchnie są
obciążone i wybierania wartości obciążeń ze skomplikowanych norm obciążeń. W modelowaniu
wstępnym, eksperymentalnym, twórczym dokładna znajomość obciążeń nie jest potrzebna.
Nadto obciążenia rzeczywiste, zwłaszcza wiatr, charakteryzuje bardzo duża zmienność a tzw.
wartości normowe obciążeń zewnętrznych to bardzo uproszczone wartości średnie.

W modelowaniu wstępnym warto zastąpić wszystkie obciążenia powierzchniowe znacznie
prostszymi obciążeniami grawitacyjnymi, skierowanymi w kierunku działania ciężaru własnego,
śniegu, wiatru. Dodatkowo, tak postępując odnosimy wszystkie wyniki obliczeń do ciężaru
własnego konstrukcji, do czegoś obiektywnego, właściwego dla konkretnej konstrukcji i łatwego
do interpretacji.

Analiza wyboczenia daje nam krytyczny mnożnik obciążenia (ang. buckling factor) odniesiony do
ciężaru własnego konstrukcji. Jeżeli mnożnik jest mniejszy od jedności, to konstrukcja wybacza
się pod obciążeniem mniejszym niż jej ciężar własny. Konstrukcje stateczne, niezagrożone
wyboczeniem pod ciężarem własnym, mają mnożnik obciążenia większy od jedności. Im większy
jest mnożnik, tym większy jest zapas bezpieczeństwa na wyboczenie.

Grawitacja skierowana poziomo reprezentuje wiatr. Wyboczeniowy mnożnik obciążenia
wiatrem nie musi być większy od jedności. Jeśli jest mniejszy od jedności, oznacza to tylko, że
bezpieczna wypadkowa obciążenia wiatrem musi być mniejsza od ciężaru konstrukcji.
Modelując wszystkie obciążenia jako grawitacyjne, możemy łatwo porównać efektywność
wyboczeniową konstrukcji dla obciążeń działających w różnych kierunkach.

W analizie statycznej także warto ze względu na łatwość modelowania i prosty sens fizyczny
wyników stosować tylko obciążenie grawitacyjne. Kierując grawitację pionowo modelujemy

ciężar własny, śnieg, obciążenia użytkowe na stropach. Grawitacja pozioma reprezentuje wiatr,
siły hamowania suwnic i dźwigów. Porównując naprężenia (przemieszczenia) dla obciążenia
grawitacyjnego w różnych kierunkach, otrzymujemy ocenę efektywności konstrukcji pracującej
w różnych kierunkach z tym samym obciążeniem. Np. prosty wspornik z grawitacją wzdłuż jest
ściskany (efektywny, małe przemieszczenia i naprężenia) a z grawitacją poprzeczną zginany
(nieefektywny, duże przemieszczenia i naprężenia).

W konstrukcjach sztywnych, których przemieszczenia są małe w stosunku do minimalnego
wymiaru konstrukcji (grubości), analiza statyczna wykonana dla obciążenia grawitacyjnego daje
pełną informację o obciążeniach n-krotnie większych (lub mniejszych) – przemieszczenia,
deformacje, naprężenia, reakcje podpór są n-krotnie większe (lub mniejsze) niż w przypadku
obciążenia grawitacyjnego.

W konstrukcjach cienkościennych (pręty, płyty, powłoki, kraty, ramy) maksymalne naprężenia i
przemieszczenia praktycznie nie zależą od tego czy obciążenie jest przyłożone do powierzchni,
czy też jest siłą masową. Ważny jest kierunek obciążenia i jego rozkład. Dlatego zastępowanie
obciążeń powierzchniowych obciążeniami grawitacyjnymi (masowymi), jest bardzo cennym
uproszczeniem, wprowadzającym małe błędy w wartościach maksymalnych przemieszczeń i
naprężeń.

Optymalizacja konstrukcji
Projektowanie to proces decyzyjny. Definicja ta pochodzi z cybernetyki i obejmuje wszelkie
procesy projektowania, od projektowania algorytmów i systemów informatycznych, do
projektowania architektonicznego.

Decyzja to wybór między co najmniej dwiema alternatywami - dwie formy, dwa materiały, dwa
sposoby podparcia. Jeden projekt to brak alternatywy, zero decyzji, a więc brak projektowania.
Im więcej rozważamy alternatyw, tym większa jest wartość informacyjna podjętej decyzji i tym
trudniejsza, bardziej subtelna i precyzyjna jest decyzja.

Optymalizacja konstrukcji to poszukiwanie najlepszej konstrukcji w zbiorze konstrukcji
dopuszczalnych, najlepszej z punktu widzenia założonego celu. Typowe cele to minimalizacja
ciężaru, maksymalizacja sztywności, minimalizacja kosztu.

Najłatwiejszym sposobem generowania alternatywnych projektów, z jednego prostego projektu,
jest analiza drgań własnych. Daje nam ona bowiem spektrum możliwych modów zachowań
konstrukcji wyjściowej. Mody to zarazem nowe konstrukcje,  jeśli zostaną podparte zgodnie z
ruchem konstrukcji w danym modzie i ewentualnie zakrzywione w sposób sugerowany przez

mod. Nie musimy przy tym zadawać żadnego obciążenia, automatycznie i łatwo eksplorując
przestrzeń hierarchicznie uporządkowanych zachowań konstrukcji.

Podobnie do analizy drgań, analiza spektrum modów wyboczeniowych prostego projektu
pokazuje serię możliwych nowych projektów, podpartych zgodnie z modami. Tu jednak, w
odróżnieniu od analizy drgań, musimy zadać konkretne obciążenie. Najłatwiej jest posługiwać
się obciążeniem grawitacyjnym, generowanym automatycznie.

Poszukując konstrukcji efektywnych warto badać różne formy konstrukcji o tej samej masie,
objętości materiału. Dowiadujemy się w ten sposób, jakie formy konstrukcji i rodzaje podparcia
wykorzystują materiał bardziej ekonomicznie.

Projekt: sześcian swobodny, niepodparty – analiza spektrum drgań własnych

Specyfikacja
Zbadać kilkanaście pierwszych częstości i modów drgań własnych swobodnego, niepodpartego
sześcianu. Scharakteryzować częstości/mody sztywne. Ustalić liczbę sztywnych stopni swobody
w przestrzeni. Ustalić typologię i hierarchię częstości/modów deformacyjnych.
Geometria: sześcian o boku 1m
Materiał – stal. Liniowo sprężysty, jednorodny, izotropowy:
* sztywność (moduł Younga) 2.1e10 kG/m

* współczynnik Poissona 0.3
* gęstość masy 7.8e3 kg/m

Model obliczeniowy
Model 3D.
Każdy węzeł ma trzy stopnie swobody – trzy przemieszczenia.
Elementy skończone sześcienne.
Rodzaje analizy: drgania własne, pierwsze 16 modów i częstości.

Analiza
Mody #1,2,3,4,6 drgań płyty kwadratowej to ruchy sztywne – przesunięcia i/lub obroty. Mody
od #7 do #16 to mody deformacyjne.

Częstości drgań sztywnych są zerowe. Oznacza to nieskończony okres drgań – konstrukcja
szybuje w przestrzeni, nigdy nie wracając do punktu wyjścia. Animacja ruchów sztywnych,
sugerująca drganie wokół położenia równowagi, jest tu myląca. Prawdziwy jest tylko sztywny

charakter ruchów, ich liczba i fakt, że są niezależne od siebie. Żaden ruch nie jest kombinacją
pozostałych.

Liczba modów sztywnych jest zgodna z liczbą stopni swobody ciała sztywnego w przestrzeni 3D.
Jest to liczba ruchów, które należy ograniczyć podpierając ciało. Ciało częściowo podparte
będzie miało mniej niż 6 modów sztywnych. Np. przytrzymane przegubowo za jeden punkt
będzie miało trzy mody sztywne – obroty wokół punku podparcia. Przytrzymane za dwa punkty
będzie miało jeden ruch sztywny – obrót wokół linii podpór. Przytrzymane za trzy punkty,
nieleżące na jednej prostej, ciało będzie całkowicie unieruchomione.

Mody sztywne, lub prawie sztywne - o znikomych częstościach w stosunku do modów
deformacyjnych – są sygnałem, że konstrukcja nie jest właściwie podparta, jest mechanizmem,
albo jest domkiem z kart. Animacja ruchów sztywnych jest ważna, gdyż sugeruje, jak
poszczególne ruchy wyeliminować łącząc części konstrukcji ze sobą i/lub z podporami.

Mody deformacyjne mają niezerowe częstości drgań. Wyższe mody mają wyższe częstości.
Częstość jest miarą sztywności konstrukcji. Im wyższa jest częstość, tym trudniej jest
zdeformować konstrukcję w sposób określony przez mod danej częstości.

Dwie lub więcej identycznych częstości w spektrum drgań pojawia się w konstrukcjach
symetrycznych. Są to identyczne drgania wykonywane w różnych kierunkach.

Mody #7 i 8 – dwa pierwsze, najsłabsze mody deformacyjne, o najniższych niezerowych
częstościach – to skręcanie. Są dwa takie mody, z uwagi na symetrię sześcianu. Skręcanie
sześcianu pozostawia wszystkie krawędzie praktycznie proste i dwie równoległe ściany
praktycznie płaskie. Ściany te obracając się względem siebie wokół osi do nich prostopadłej,
przechodzącej przez ich środek. Pozostałe cztery ściany skręcają się (wyginają) w powierzchnie
siodłowe o prostych krawędziach.

Mody #9,10 i 11 to zginanie. Częstości zginania są wyższe niż skręcania. Zginanie jest więc
trudniejsze, sztywniejsze, od skręcania. Z powodu symetrii są trzy identyczne zginania, w
różnych płaszczyznach. W zginaniu dwie równoległe kwadratowe ściany sześcianu deformują się
w symetryczne trapezy. Jedna krawędź kwadratu skraca się, krawędź równoległa wydłuża się.
Pozostałe dwie krawędzie obracają się z zachowaniem symetrii.

Mody #12, 13 i 14 to odkształcenia postaciowe, tzw. ścinające. Dwie równoległe ściany
sześcianu deformują się z kwadratów w romby, wydłużając się wzdłuż jednej przekątnej

kwadratu i skracając wzdłuż drugiej. Częstości ścinania są wyższe do częstości zginania. Ścinanie
jest więc sztywniejsze od zginania, trudniejsze do wymuszenia.

Mody #15 i 16 to osiowe ściskanie/rozciąganie. Częstość ściskania osiowego jest wyższa od
częstości ścinania. Ściskanie/rozciąganie jest więc sztywniejsze od ścinania.

Reasumując hierarchię globalnych, najprostszych modów deformacyjnych drgań sześcianu:
najłatwiejsze jest skręcanie, trudniejsze jest zginanie, jeszcze trudniejsze jest ścinanie, a
najtrudniejsze jest osiowe ściskanie/rozciąganie. Tylko ściskanie/rozciąganie nie powoduje
wzajemnych obrotów krawędzi i ścian sześcianu. Wcześniejsze, słabsze mody deformacyjne
zawierają obroty. Jest to ogólna cecha wszelkich konstrukcji, nie tylko krępych sześcianów, także
konstrukcji płaskich i prętowych: mody związane z obrotami (zginanie, skręcanie, ścinanie) są
słabsze od ściskania/rozciągania, które nie wywołuje obrotów. Efektywne, sztywne konstrukcje
mają małe obroty w porównaniu do konstrukcji nieefektywnych.

Projekt: kwadratowa płyta swobodna – analiza spektrum drgań własnych

Specyfikacja
Zbadać kilkanaście pierwszych modów drgań własnych swobodnej płyty kwadratowej. Ustalić
możliwe formy deformacji i ich hierarchię. Rozważyć sposoby wykorzystania modów drgań do
projektowania ulepszonych konstrukcji płytowych i powłokowych.
Płyta kwadratowa 1x1m.
Grubość 0.1m.
Materiał – stal. Liniowo sprężysty, jednorodny, izotropowy:
* sztywność (moduł Younga) 2.1e10 kG/m

* współczynnik Poissona 0.3
* gęstość masy 7.8e3 kg/m

Model obliczeniowy
Modelowanie uproszczone 2D, oparte na zasadzie sztywnych płaskich przekrojów – właściwej
dla konstrukcji powierzchniowych.
Każdy węzeł ma sześć stopni swobody – trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Elementy skończone kwadratowe.
Rodzaje analizy: drgania własne, pierwsze 16 modów i częstości.

Analiza
Mody #1,2,3,4,6 drgań płyty kwadratowej to ruchy sztywne – przesunięcia i/lub obroty. Mody
od #7 do #16 to mody deformacyjne.

Częstości drgań sztywnych płyty nie są dokładnie zerowe, gdyż obliczenia nie są nieskończenie
dokładne. Sztywność tych ruchów, brak deformacji pokazuje animacja. W liczbach, stosunek
pierwszej częstości deformacyjnej, #7, do ostatniej częstości sztywnej, #6, jest rzędu miliona. W
konstrukcjach budowlanych wartość parametru milion razy mniejsza od innej wartości jest
praktycznie zerowa. Formalnie niezerowe częstości pierwszych sześciu modów drgań są więc
faktycznie zerowe – reprezentują ruchy sztywne.

Liczba modów sztywnych (6) jest zgodna z liczbą stopni swobody ciała sztywnego w przestrzeni
3D. Jest to liczba ruchów, które należy ograniczyć podpierając ciało.

Mod #7 – pierwszy, najsłabszy mod deformacyjny – to skręcanie tworzące powierzchnię
siodłową o praktycznie prostych krawędziach. Skręcanie polega na przeciwnym obrocie
równoległych krawędzi płyty. Wszystkie linie równoległe do krawędzi pozostają proste. Siodło
jest więc powierzchnią prostokreślną. Linie przekątne płyty wyginają się w przeciwnych
kierunkach. Siodło jest zatem powierzchnią dwukrzywiznową, wypukło-wklęsłą.

Mod #8 to zginanie w powierzchnię siodłową o zakrzywionych krawędziach. Jedna para
krawędzi równoległych wygina się w przeciwnym kierunku do drugiej pary. Linie diagonalne
siodła są proste.

Mod #9 to zginanie sferyczne. Wszystkie cztery krawędzie wyginają się w jednym kierunku.

Mody #10, 11, ...,16 to mody złożone z siodeł i/lub sfer. Im wyższy mod, tym bardziej
pofałdowany, z coraz większa liczbą coraz drobniejszych siodeł/sfer.

Hierarchia modów deformacyjnych swobodnej płyty kwadratowej, zaczynając do modu
najsłabszego, to: siodło o prostych krawędziach, siodło o zakrzywionych krawędziach i sfera.
Mody wyższego rzędu to mozaiki siodeł i sfer o coraz mniejszych rozmiarach. Fakt ten dowodzi,
że płyta mniejsza jest sztywniejsza od płyty większej. Zatem bardziej gęsta siatka podpór
zwiększa sztywność płyty.

Hierarchia sztywności modów drgań płyty (siodła, sfera) obwiązuje także przypadku konstrukcji
powłokowych o formie siodła i sfery. Sfera na najsztywniejsza powłoka. Siodło i sfera są to
powierzchnie nierozwijalne, w odróżnieniu od walca, który łatwo jest rozpłaszczyć. Siodło jest
jednak – odmiennie od sfery – prostokreślne: zawiera dwie wzajemnie ortogonalne rodziny
prostych. By uzyskać siodło nie trzeba krzywić wszystkiego – niektóre linie mogą pozostać
proste. To czyni siodło słabszym od sfery, na której nie ma w żadnym kierunku linii prostych.

Projekt: belka swobodna o przekroju kwadratowym – analiza spektrum drgań własnych

Specyfikacja
Zbadać kilkanaście pierwszych modów drgań własnych swobodnej belki o przekroju
kwadratowym. Ustalić możliwe formy deformacji i ich hierarchię. Rozważyć sposoby
wykorzystania modów drgań do projektowania ulepszonych konstrukcji belkowych.
Belka o długość 10m.
Przekrój kwadratowy 1x1m.
Materiał – stal. Liniowo sprężysty, jednorodny, izotropowy:
* sztywność (moduł Younga) 2.1e10 kG/m

* współczynnik Poissona 0.3
* gęstość masy 7.8e3 kg/m

Model obliczeniowy
Modelowanie uproszczone 1D, oparte na zasadzie sztywnych płaskich przekrojów – właściwej
dla cienkich konstrukcji prętowych.
Każdy węzeł ma sześć stopni swobody – trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Elementy skończone kwadratowe.
Rodzaje analizy: drgania własne, pierwsze 16 modów i częstości.

Analiza
Mody #1,2,3,4,6 drgań belki to ruchy sztywne – przesunięcia i/lub obroty. Mody od #7 do #16 to
mody deformacyjne.

Pierwsze dwa mody deformacyjne, #7 i 8, to zginanie z jedną półfalą (dwa takie mody to
identyczne ruchy tylko w różnych płaszczyznach – rezultat symetrii zadania). Kolejne dwa mody
deformacyjne, #9 i 10, to zginanie z dwiema półfalami na długości belki – zginanie w postać S.

Mod #11 to skręcanie. Mody #12 i 13 to zginanie z trzema półfalami. Mod #14 to
ściskanie/rozciąganie. Mod #15 to skręcanie z dwiema pófalami. Mod #16 to zginanie z
czterema półfalami.

Hierarcha modów pokazuje, że belkę jest bardzo podatna na zginanie. Nawet skrócenie jej o
połowę przez podparcie na obu końcach i w środku, zgodnie z modami #9 i 10, pozostawia
zginanie najsłabszym zachowaniem. Belkę trudniej jest skręcić. Najtrudniejsze z modów
globalnych, całościowych, jest jej ściskanie/rozciąganie. Użycie belki kwadratowej jako ściskany
słup jest więc wysoce efektywne, związane z dużą sztywnością. Mody z większą od jeden liczbą

półfal pokazują, poprzez szybko rosnące częstości drgań, że belki krótsze są dużo sztywniejsze
od dłuższych (na zginanie, skręcanie i ściskanie). Podpieranie belek, prowadzące do ich skracania
między podporami, jest zatem efektywnym sposobem zwiększania sztywności.

Projekt: stropy żelbetowe naturalnie użebrowane (Nervi'ego)

Specyfikacja
Zaprojektować układ żeber w kwadratowym stropie żelbetowym, naturalnie przebiegających,
dla różnych warunków podparcia. Sporządzić mapy rodzajów deformacji: walcowej, sferycznej,
siodłowej. Rozważyć podpory krawędziowe, na jednej, dwóch, trzech i czterech krawędziach,
przegubowe i sztywne. Rozważyć podpory punktowe, na słupach: centralnym, narożnych, w
środkach boków.
Płyta kwadratowa 6x6m.
Grubość płyty 0.15m.
Materiał – żelbet. Beton klasy B20.
* sztywność (moduł Younga) 3.e9 kG/m

* gęstość masy 2.5e3 kg/m

Obciążenie: ciężar własny, prostopadły do stropu.

Model obliczeniowy
Modelowanie uproszczone 2D, oparte na zasadzie sztywnych płaskich przekrojów – właściwej
dla konstrukcji powierzchniowych.
Każdy węzeł ma sześć stopni swobody – trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Elementy skończone kwadratowe.
Podpory krawędziowe przegubowe lub sztywne.
Podpory punktowe (słupy) na całych elementach skończonych, by uniknąć koncentracji
naprężeń.
Rodzaj analizy: statyczna liniowa, trajektorie naprężeń głównych, deformacja powierzchni,
animacja przemieszczeń. Wartości liczbowe przemieszczeń i naprężeń zbędne. Istotny rodzaj
deformacji i kierunki trajektorii.

Teoria
Naturalne użebrowanie płyty zginanej przebiega wzdłuż trajektorii naprężeń głównych. W
cienkiej płycie zginanej interesujące są jedna (zginanie walcowe, jednokierunkowe) lub dwie
rodziny (zginanie dwukierunkowe, siodłowe lub sferyczne) trajektorii, biegnące po powierzchni
płyty. Trajektorie te reprezentują ekstremalne naprężenia rozciągające/ściskające, styczne do
płyty, wywołane zginaniem. W kierunkach odchylonych od trajektorii konstrukcja jest mniej
wytężona.

Trajektorie respektują symetrie płyty i podparcia.
Na ogół linie trajektorii są zakrzywione.
Trajektorie jednej rodziny są do siebie w przybliżeniu równoległe.
Trajektorie jednej rodziny są prostopadłe do trajektorii drugiej rodziny.
Z tego powodu mapa jednej rodziny jednoznacznie odkreśla mapę drugiej rodziny.
W płycie zginanej walcowo (jednokierunkowo) trajektorie są proste i biegną w kierunku
zginania. Naprężenia drugiej rodziny są małe, więc żebra w tym kierunku są zbędne.
Trajektorie biegną wzdłuż prostego brzegu swobodnego (niepodpartego). Naprężenia rodziny
prostopadłej do brzegu są małe, więc żebra w tym kierunku są zbędne.
Trajektorie biegną prostopadle do brzegu sztywno zamocowanego (zginanie walcowe).
Naprężenia rodziny wzdłuż brzegu są małe, więc żebra w tym kierunku są zbędne.
W płycie zginanej dwukierunkowo sferycznie trajektorie biegną promieniście (proste) i
obwodowo (okręgi).
W płycie zginanej dwukierunkowo siodłowo trajektorie biegną prosto w obu prostopadłych
kierunkach zginania.
W zginaniu dwukierunkowym często jedna rodzina trajektorii jest dominująca: naprężenia
drugiej rodziny są nieco mniejsze, ale są one niepomijalne.

Analiza numeryczna

Płyta sztywno zamocowana na jednej krawędzi lub dwóch krawędziach równoległych
Zginanie walcowe w kierunku prostopadłym do krawędzi zamocowanych. Trajektorie w tym
kierunku. Naprężenia prostopadłe pomijalnie małe.

Płyta oparta przegubowo na dwóch krawędziach sąsiednich
Zginanie siodłowe (dwukierunkowe). Trajektorie dominujące są proste i łączą dwie krawędzie
podparte, dochodząc do nich pod kątem 45 stopni. W kierunkach dominujących góra płyty
ściskana, dół rozciągany. Kierunku prostopadłym do dominującego, drugorzędnym, góra płyty
rozciągana a dół ściskany.

Płyta zamocowana sztywno na dwóch krawędziach sąsiednich
Zginanie walcowe prostopadłe do krawędzi zamocowanych, z rozciąganiem góry. Wzdłuż
krawędzi zamocowanych naprężenia pomijalne. Siodło w obszarze pozostałym, takie jak dla
mniejszej płyty kwadratowej opartej przegubowo na dwóch krawędziach, równoległych do
krawędzi uwtierdzonych

Płyta oparta przegubowo na trzech krawędziach

Zginanie walcowe wzdłuż krawędzi swobodnej, z rozciąganiem dołu. Dwa symetryczne siodła w
narożach podpartych, takie jak w przypadku płyty opartej przegubowo na dwóch sąsiednich
krawędziach.

Płyta zamocowana sztywno na trzech krawędziach
Zginanie walcowe prostopadłe do krawędzi zamocowanych, z rozciąganiem góry. Zginanie
walcowe wzdłuż krawędzi swobodnej. Dwa symetryczne siodła w obszarze pozostałym, takie jak
dla płyty podpartej przegubowo na dwóch sąsiednich krawędziach.

Płyta oparta przegubowo na czterech krawędziach
Cztery duże identyczne siodła narożne. Zginanie sferyczne w centrum: krzyż trajektorii,
skierowanych prostopadle do boków płyty, rozciągany dół.

Płyta zamocowana na czterech krawędziach
Zginanie walcowe prostopadłe do krawędzi zamocowanych, rozciągana góra. Wnętrze jak w
przypadku płyty opartej przegubowo na czterech krawędziach.

Płyta na słupie centralnym
Zginanie sferyczne. Rozciągana góra. W centrum trajektorie dominujące promieniste. Poza
centrum trajektorie dominujące obwodowe.

Płyta na czterech słupach narożnych
Zginanie sferyczne nad słupami: rozciągana góra, dominujący kierunek promienisty. Zginanie
sferyczne w centrum: rozciągany dół, trajektorie skrzyżowane, równoległe do boków płyty.
Zginanie walcowe wzdłuż krawędzi, między słupami, rozciągany dół.

Płyta na czterech słupach w środkach boków
Zginanie sferyczne na słupach, rozciągana góra, dominujący kierunek promienisty. Cztery duże
siodła w mniejszym kwadracie, między słupami, takie jak w płycie opartej przegubowo na dwóch
sąsiednich krawędziach. Analogiczne cztery mniejsze siodła w narożach swobodnych plyty. W
centrum zginanie sferyczne, rozciągany dół, trajektorie skrzyżowane, prostopadłe do boków
płyty.

Projekt: żelbetowe budynki wysokie

Specyfikacja

Porównać projekty cienkościennych budynków wysokich o przekrojach otwartych i zamkniętych
z symetrią wielokąta foremnego, wykonanych z żelbetu. Ustalić hierarchię jakości przekrojów
pod względem sztywności i wytrzymałości. Zweryfikować uproszczone modele budynków
wysokich oparte na elementarnej teorii zginanie belek (zasada płaskich przekrojów).

Wysokość budynków 100m. Przekroje wpisane w koło o średnicy 10m. Objętość materiału
identyczna we wszystkich budynkach. Grubość ścianki rury kołowej 0.1m. Grubość ścianki innych
przekrojów wynikająca z warunku jednakowej objętości.
Przekrój

Grubość ścianki

rura kołowa

0.1m

rura kwadratowa

0.1107m

rura trójkątna

0.1209m

krzyż czteroramienny 0.1571m

Materiał – żelbet. Beton klasy B20.
* sztywność (moduł Younga) 3.e9 kG/m

* gęstość masy 2.5e3 kg/m

* wytrzymałość na ściskanie 1.e6 kG/m

Model obliczeniowy
Modelowanie uproszczone 2D, oparte na zasadzie sztywnych płaskich przekrojów – właściwej
dla cienkich konstrukcji powierzchniowych.
Model jest mniej dokładny niż 3D, ale dokładniejszy niż 1D.
Model 2D umożliwia wykrycie utraty formy przekroju cienkościennego, co jest niemożliwe w 1D.
Elementy powłokowe płaskie, czworokątne, z kwadratową aproksymacją przemieszczeń.
Osiem węzłów w elemencie: w narożach i środkach boków.
Każdy węzeł ma sześć stopni swobody – trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Dolna krawędź budynków zamocowana sztywno – zerowe wszystkie 6 stopni swobody.
Rodzaje analiz:
* drgania własne – początkowe częstości i mody
* wyboczenie – pierwszy mod i mnożnik obciążenia
* statyka liniowa – przemieszczenia maksymalne, naprężenia Misesa i główne, z trajektoriami
naprężeń
- dopuszczalne ugięcie (kąt obrotu) wspornika 1/150 rozpiętości, tj. 100/150 =0.67m
- dopuszczalne naprężenia: 1.e6 kG/m

- dla betonu

Obciążenia: wiatr, modelowany w przybliżeniu jako poziome obciążenie masowe.
Przekroczenie dopuszczalnych przemieszczeń lub naprężeń oznacza, że dopuszczalne obciążenie
wiatrem jest odpowiednio mniejsze od ciężaru własnego działającego w kierunku wiatru.

Teoria
W budynku wysokim podstawowe problemy wynikają z działania wiatru.
Budynek musi mieć odpowiednio małe ugięcie, czyli odpowiednio dużą sztywność na zginanie.
Budynek musi mieć wymaganą wytrzymałość na zginanie.
Budynek musi mieć dostatecznie wysoką częstość drgań własnych, by nie rezonował z
podmuchami wiatru i nie powodował choroby lokomocyjnej użytkowników.

Oczekiwana praca budynku to jego zginanie, jako długiego pręta.
Inny rodzaj pracy, np. skręcanie albo deformacja przekroju, jest niedopuszczalny.
Kluczowy parametr opisujący zachowanie pręta zginanego to sztywność giętna D:

D = E J,
J = k A h

gdzie
E – to moduł Younga (sztywność) materiału,
J – sztywność geometryczna (niezależna od materiału), tzw. moment bezwładności przekroju
k – to współczynnik kształtu przekroju,
A – to pole przekroju,
h – to średnica przekroju (średnica okręgu, w który wpisany jest przekrój).

Ugięcia są odwrotnie proporcjonalne do sztywności D.
Częstości drgań własnych (giętnych) są proporcjonalne do D, czyli pierwiastka kwadratowego
sztywności.
Sztywność D jest w przypadku rozważanych przekrojów o symetrii wielokąta foremnego
identyczna dla zginania we wszystkich kierunkach. Oznacza to, że nie zależą od kierunku zginania
(1) ugięcia statyczne, (2) częstości i mody giętnych drgań własnych, (3) mnożniki wyboczeniowe
obciążenia i formy wyboczenia giętnego. Zachowania inne niż zginanie, np. drgania skrętne lub
wyboczenie skrętne, oczywiście nie zależą od sztywności giętnej przekroju D.

O wytrzymałości statycznej na zginanie decyduje tzw. wskaźnik wytrzymałości przekroju W:

W = J/r,

gdzie r jest odległością od osi obojętnej przekroju zginanego do prostej równoległej
przecinającej przekrój, maksymalnie oddalonej od osi. Maksymalne naprężenia w przekroju są
odwrotnie proporcjonalne do wskaźnika wytrzymałości. Naprężenia te występują w punktach

najbardziej odległych od środka przekroju. W przypadku wielokąta lub krzyża wielokątnego owe
punkty to wierzchołki wielokąta. W środkach boków wielokąta naprężenia są mniejsze, gdyż
punkty te leżą bliżej środka przekroju.

Wytrzymałość przekroju rośnie, gdy rośnie jego geometryczna sztywność na zginanie J.
Wytrzymałość przekroju maleje, gdy przekrój jest – dla ustalonego J – bardziej rozciągnięty w
kierunku zginania.

Rozważane przekroje wielokątne lub wpisane w wielokąt są maksymalnie rozciągnięte w
kierunkach naroży wielokąta. Wszystkie one są wpisane w koło o promieniu h/2, więc ich
maksymalne rozciągniecie to max(r) = h/2. Minimalna wytrzymałość rozważanych przekrojów
W

min

wynosi zatem

min

= 2k A h

Jest to wytrzymałość przy zginaniu w kierunku naroży wielokąta, trójkąta, kwadratu, itd.
Wytrzymałość różnych przekrojów zależy od ich współczynnika kształtu k, tego samego, który
określa sztywność przekroju.

Badane przekroje są minimalnie rozciągnięte wzdłuż boków trójkąta/kwadratu. W tym kierunku
wytrzymałość jest maksymalna. Wytrzymałość maksymalną można zapisać w postaci

W

max

= p W

min

gdzie mnożnik p, p>=1, jest stosunkiem wytrzymałości maksymalnej do minimalnej przekroju.
Jest to stosunek promienia trójkąta/kwadratu/koła do połowy boku trójkąta/kwadratu. Dla
trójkąta p=2/3, dla kwadratu p=2. Współczynnik p maleje ze wzrostem liczby boków
wielokąta. Dla okręgu p=1. Jest to wartość minimalna p. Wytrzymałość okręgu jest identyczna
we wszystkich kierunkach.

Badane przekroje różnią się tylko współczynnikiem kształtu k oraz mnożnikiem p. Wartości tych
dwóch parametrów zestawiono w poniższej tablicy. Przekroje uporządkowano od najgorszego
do najlepszego. W nagłówku podano jak poszczególne cechy konstrukcji zależą od parametrów k
oraz p.

------------------------------------------------------------------------------------

sztywność,

wytrzymałość min,

wytrzymałość max

kwadrat częstości drgań

------------------------------------------------------------------------------------
forma

24k

24k p

====================================================

krzyż 4

2=1.41

------------------------------------------------------------------------------------
trójkąt

3/2=1.5

2/3=1.15

3=1.73

kwadrat

2=1.41

22=2.82

okrąg

Mamy tu dwa rodzaje przekrojów: otwarty krzyż i zamknięte rury. Rury są zdecydowanie lepsze
pod każdym względem (sztywność statyczna, wytrzymałość minimalna i maksymalna, kwadrat
częstości drgań własnych). Najlepsze rura – okrągła – jest trzykrotnie lepsza od krzyża pod
wszystkimi względami, z wyjątkiem wytrzymałości maksymalnej, gdzie jej przewaga jest
mniejsza.

Jakość rury rośnie ze wzrostem liczby boków wielokąta. Ideałem jest rura okrągła. Pod
względem sztywności, wytrzymałości minimalnej i kwadratu częstości drgań rura okrągła jest
dwa razy lepsze od rury trójkątnej i półtorakrotnie lepsza od rury kwadratowej. Pod względem
wytrzymałości maksymalnej, odpowiadającej najkorzystniejszemu kierunkowi obciążenia,
przewaga rury okrągłej na kwadratową jest znacznie mniejsza (3 do 2.82). Jednak obciążenie
wiatrem budynku wysokiego jest zwykle identyczne we wszystkich kierunkach. Budynku
kwadratowego nie da się wtedy ustawić bokiem do wiatru, w kierunku maksymalnej
wytrzymałości kwadratu.

W świetle powyższego budynki wysokie winne być rurami. Najlepsza jest rura okrągła – jak
wieże Petronas w Singapurze. Druga pod względem jakości rura to kwadrat – jak wieże World
Trade Center w Nowym Jorku. Trzecia jest rura trójkątna – jak wieżowiec w Szanghaju.

Pojawiające się propozycje budynków wysokich o przekroju krzyża nie mają uzasadnienia
konstrukcyjnego. Ich sztywność i wytrzymałość jest niska wobec rur.

Analiza numeryczna

Obliczenia zasadniczo potwierdzają oczekiwania teoretyczne, oparte na elementarnej teorii
zginania belek (1D). Zastosowany dokładniejszy model obliczeń (2D) wskazuje też na zachowania
konstrukcji, których model 1D nie jest w stanie pokazać, zachowania nie polegające na zginaniu
pręta. Zachowania te dotyczą drgań własnych i wyboczenia budynków krzyżowych oraz
wyboczenia budynków rurowych.

Pierwszy, najważniejszy i najsłabszy mod drgań własnych wszystkich rur to zginanie całego
budynku, zgodne z elementarną teorią belek. Obciążenie wiatrem, podstawowe obciążenie w
budynkach wysokich, jest zgodne z tym modem drgań. Konstrukcja obciążona wedle
najsłabszego modu drgań nie jest co prawda efektywna wytrzymałościowo, ale nie grożą jej
niespodziewane zachowania w postaci wyboczenia.

Wyboczenie badanych rur jest czysto teoretyczne, gdyż obciążenie wybaczające jest ponad 100
razy większe od obciążenia wiatrem, które budynek złamie. Wyboczenie polega na lokalnym
pofałdowaniu ścian rury (tzw. owalizacja przekroju), czemu w praktyce przeciwdziałają płyty
stropowe budynku. Owalizacja nie zagraża rurze trójkątnej – trójkąt jest bowiem geometrycznie
sztywny.  Rury o większej liczbie boków są zagrożone. Rurowe łodygi roślin (bambus, zboża)
zapobiegają owalizacji za pomocą zgrubień (tzw. kolanka) lub przepon. Efektu owalizacji
przekroju nie da się wykryć w modelu 1D, gdyż zakłada on, że przekroje poprzeczne są sztywne.

Przekrój krzyżowy w pierwszym modzie drgań skręca się. Dopiero drugi mod drgań, dwa razy
szybszy od pierwszego, to zginanie całej budowli jak pręta obciążonego wiatrem. Ta kolejność
modów wskazuje, jak słabe są przekroje krzyżowe na skręcanie.

Analiza drgań i wyboczenia dyskwalifikuje przekroje krzyżowe w konstrukcji budynków
wysokich, przede wszystkim z uwagi na ich skłonność do skręcania. Konieczne jest stosowanie
przekrojów rurowych, odpornych na skręcanie.

Analiza drgań giętnych jest w pełni zgodna z elementarną teorią belek. Kwadraty częstości drgań
własnych rosną jak współczynnik kształtu k przekroju. Same częstości rosną jak pierwiastek
kwadratowy współczynnika kształtu, k. Krzyż drga najwolniej. Rury trójkątna, kwadratowa i
okrągła drgają coraz szybciej. Najszybsza, najsztywniejsza rura okrągła wykonuje około 0.2 drgań
na sekundę, czyli jedno wahnięcie trwa 5 sekund. Tak długi okres drgań byłby nie do przyjęcia w
przypadku małego mebla. W wielkiej budowli powolne drgania są nieuniknione (tzw. efekt skali
–im większa konstrukcja, tym wolniej drga).

Najsłabszy krzyż drga 3=1.73 razy wolniej niż najmocniejsza rura kołowa. Najsłabsza rura –
trójkątna – drga 2=1.41 razy wolniej niż rura kołowa. Jak widać zmiany kształtu przekroju w

niewielkim stopniu wpływają na częstość drgań giętnych budynku wysokiego. Paradoksalnie,
znaczące, np. 10-krotne pogrubienie ścian w ogóle nie zmienia częstości drgań własnych. Rośnie
wtedy co prawda pole przekroju A, co usztywnia przekrój proporcjonalnie do A przyśpieszając
drgania, ale w równym stopniu rośnie masa przekroju, opóźniająca drgania. Skuteczne
podwyższenie częstości drgań wymaga użycia wyraźnie lepszego materiału, o dużej sztywności
(moduł Younga E) i zarazem lekkiego (mała gęstość masy). Sprężanie konstrukcji, tak jak
naprężanie struny, także podnosi częstość drgań. Zupełnie innym podejściem jest tłumienie
drgań, rozpraszanie ich energii.

Analiza statyczna rozważanych budynków wysokich, zginanych obciążeniem wiatrem, jest w
pełni zgodna z elementarną teorią zginania belek. Sztywność i wytrzymałość minimalna rosną
jak współczynnik kształtu przekroju k, co objawia się zmniejszaniem się przemieszczeń i
naprężeń proporcjonalnie do wzrostu k. Hierarchia przekrojów odpowiada teorii. Ugięcia i
naprężenia przekroju najgorszego, krzyża, są 3 razy większe od wartości dla przekroju
najlepszego – rury kołowej.

Wytrzymałość rury kołowej jest identyczna we wszystkich kierunkach zginania. Przekroje o
symetrii wielokąta są wytrzymalsze (o współczynnik p) na zginanie wzdłuż boku niż na zginanie
w kierunku wierzchołka wielokąta. Rura kwadratowa i krzyż czteroramienny mają maksymalną
wytrzymałość p=2=1.41 razy większą od wytrzymałości minimalnej (stosunek przekątnej do
boku kwadratu). Z tego powodu belek kwadratowych, rurowych, pełnych i krzyżowych, z
dowolnego materiału i dowolnej wielkości, nie należy zginać w kierunku przekątnej kwadratu
lecz wzdłuż boku. Rura trójkątna (i krzyż trójramienny) mają wytrzymałość p=2/3=1.15 razy
większą dla zginania wzdłuż boku niż prostopadle do boku. Wzrost wytrzymałości związany z
kierunkiem obciążenia jest nieosiągalny w przypadku budynków wysokich, gdy wiatr działa we
wszystkich kierunkach. Gdyby wiatr był wyraźnie silniejszy w ustalonym kierunku, budynek o
symetrii trójkąta i kwadratu (rury, krzyże) należy ustawiać bokiem, a nie przekątną wielokąta w
kierunku wiatru.

Wnioski
Budynki wysokie winny być rurami, a nie krzyżami w przekroju poprzecznym. Krzyże
dyskwalifikuje słabość na skręcanie, objawiająca się przy drganiach i wyboczeniu. Najlepsza pod
każdym względem (drgania, wytrzymałość, sztywność, wyboczenie) jest rura okrągła. Druga w
kolejności jest rura kwadratowa. Najsłabsza jest rura trójkątna.

Znaczny wzrost sztywności i wytrzymałości budynku wysokiego można uzyskać zastępując rurę
cylindryczną rurą o kształcie piramidy, szerszej u podstawy niż cylinder. Odwrócone piramidy nie
mają oczywiście sensu praktycznego. Pewną poprawę sztywności, ale nie wytrzymałości, w

stosunku do cylindra daje kształt baryłki (ogórka), różniącej się od cylindra powiększeniem
średnicy budowli w jej części środkowej, ponad podstawą. Przykładem takiego budynku jest
projekt wieżowiec projektu Normana Fostera w Londynie.

Wszystkie zachowanie giętne (statyka, wyboczenie, drgania) rurowych budynków wysokich
można modelować elementarną teorią belek zginanych (1D). Model dokładniejszy, 2D, jest
niezbędny do badania zjawiska owalizacji przekroju, które jest formą wyboczenia cienkich rur,
oraz zjawiska skręcania budynków krzyżowych.

Projekt: żelbetowe przekrycia płytowe i powłokowe dużej rozpiętości na planie kwadratowym

Specyfikacja
Zaprojektować przekrycie żelbetowe dużej rozpiętości, na planie kwadratu 100x100 metrów.
Podparcie w narożach na słupach wysokości od 10 do 20 metrów. Rozważyć konstrukcje płaskie
i zakrzywione. Zbadać możliwe rodzaje zakrzywienia: jednokrzywiznowe (walec)),
dwukrzywiznowe wypukłe (sfera), dwukrzywiznowe wypukło-wklęsłe (siodło). Zbadać celowość
stosowania żeber, ściągów, słupów przyporowych.
Materiał – żelbet. Beton klasy B20.
* sztywność (moduł Younga) 3.e9 kG/m

* gęstość masy 2.5e3 kg/m

– elementy pełnościenne

* gęstość masy 0.5e3 kg/m

– elementy skrzynkowe

* wytrzymałość na ściskanie 1.e6 kG/m

* wytrzymałość na rozciąganie/ścinanie zapewnia stal

Model obliczeniowy
Modelowanie uproszczone 2D/1D, oparte na zasadzie sztywnych płaskich przekrojów –
właściwej dla konstrukcji powierzchniowych i prętowych.
Powierzchnie zakrzywione – cienkie, ściskane/rozciągane, bezmomentowe powłoki mają
przekroje pełne.
Grube, zginane, kilkumetrowe w przekroju, płyty i belki mają w praktyce przekroje skrzynkowe,
cienkościenne. Można je modelować w przybliżeniu jako przekroje pełne, ale z lekkiego
materiału.
Powierzchnia przekrycia 2D, z płaskich czworokątnych elementów powłokowych.
Kwadratowa aproksymacja przemieszczeń w elementach.
Osiem węzłów w elemencie.
Węzły w narożach i środkach boków.
Słupy i belki 1D, z elementów belkowych.

Kwadratowa aproksymacja przemieszczeń w elementach.
Trzy węzły w elemencie: na końcach i w środku elementu.
Ściągi 1D, z nieważkich elementów sprężynowych.  Cały ściąg jest jednym elementem
skończonym.
Każdy węzeł ma sześć stopni swobody – trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Wszystkie połączenia sztywne.
Powierzchnie tworzone z czterech krawędzi, prostych lub zakrzywionych – łaty Coonsa.
Krawędzie proste tworzone z dwóch punktów końcowych.
Krawędzie zakrzywione – łuki okręgów w płaszczyznach pionowych,  tworzone z dwóch punktów
końcowych i środka krzywizny.
Rozpiętość łuków 100m.
Środki łuków w odległości 100m od cięciwy łuków.
Rodzaje analiz:
*  statyka liniowa – przemieszczenia maksymalne; naprężenia Misesa i główne
- dopuszczalne przemieszczenia pionowe: 30 cm; 1/300 rozpiętości
- dopuszczalne naprężenia: 1.e6 kG/m

- dla betonu

*  wyboczenie –  pierwszy mod i mnożnik obciążenia
* drgania własne – w celu sprawdzenia poprawności modelu obliczeniowego (podparcie,
ciągłość)
Obciążenia: tylko ciężar własny – podstawowe obciążenie dla dużych rozpiętości.
Naprężenia należy oceniać na dużych połaciach przekryć.
Lokalnie duże naprężenia w okolicach skomplikowanych węzłów konstrukcji wymagają analizy
dokładniejszej – 3D.

Przekrycie wariant 1: płaska płyta skrzynkowa grubości 2m, na obwodzie żebra kwadratowe
skrzynkowe  5x5m, w narożach słupy kwadratowe o wysokości 20m i przekroju 5x5m

Grubość belki, 5m przyjęto jako 1/20 rozpiętości – typowa wartość dla elementów zginanych,
niezależna od materiału.
Grubość płyty, 2m przyjęto jako 1/50 rozpiętości – typowa wartość dla  elementów
dwukierunkowo zginanych, niezależna od materiału.
Płyta może być smuklejsza od belek, gdyż pracuje dwukierunkowo.
Ponadto pasma płyty, pracujące jak belki, zbierają obciążenie z mniejszej powierzchni niż belki.

Analiza
Ugięcie statyczne, obrót i zakrzywienie konstrukcji pod ciężarem własnym, nie jest widoczne
gołym okiem – jest małe, dopuszczalne. Także naprężenia w płycie nie przekraczają wartości
dopuszczalnej – wytrzymałości betonu na ściskanie. Konstrukcji nie grozi wyboczenie pod

własnym ciężarem – zapas jest ponad stukrotny. Brak zagrożenia wyboczeniem jest typowy dla
konstrukcji statycznie (wytrzymałościowo) nieefektywnych.

Wnioski
Mimo znacznej grubości płyty i żeber konstrukcja nie jest zbyt ciężka dzięki zastosowaniu
przekrojów skrzynkowych. Jej proporcje są prawidłowe.

Płaska zginana konstrukcja działa jak wzmacniacz obciążenia. Stopień wzmocnienia – stosunek
sił wewnętrznych do obciążenia -  jest taki jak stosunek długości do grubości konstrukcji. Wynika
to z równowagi momentowej: obciążenia działają na dużych ramionach, takich jak rozpiętość
konstrukcji, siły wewnętrzne zaś mają ramiona małe, takie jak grubość konstrukcji. Równowaga
wymaga by siły na małych ramionach były duże. Dla rozważanych belek wzmocnienie jest 20-
krotne a dla płyty 50-krotne. Belki i płyty nie mogą być cienkie, gdyż pocienianie powiększa
dramatycznie siły wewnętrzne.

Przekrycie wariant 2a: powłoka walcowa grubości 10cm na słupach narożnych wysokości 10m o
przekroju kwadratowym 1x1m.

Powłoka walcowa może być potraktowana jako rodzina równoległych łuków. Łuk pod ciężarem
własnym może pracować na ściskanie, pod warunkiem właściwego podparcia. Z trójkąta sił łuku
wynika, że wysoki łuk nie wzmacnia obciążenia. Powłoka walcowa może więc być bardzo cienka.
Przyjęta grubość 10cm odpowiada stosunkowi grubości do rozpiętości 1/1000. Jest to realna
wartość dla powłok pracujących bezmomentowo, membranowo, bez zginania. Ponieważ badana
powłoka jest 20 razy cieńsza od płyty, a więc dużo lżejsza, słupy podpierające powłokę przyjęto
jako dużo cieńsze od słupów podpierających płytę.

Analiza
Przemieszczenie powłoki walcowej pod własnym ciężarem jest bardzo duże, łatwo widoczne
gołym okiem.  Maksymalne ugięcie to prawie 5m – wartość  12-krotnie większa od
przemieszczenia dopuszczalnego, 0.3m.  Łuki powłoki rozpłaszczają się, cienkie słupy rozchylają
się od rozporu łuków, a proste krawędzie powłoki wyginają się pod ciężarem i rozporem łuków
wewnętrznych. Konstrukcja nie ma dostatecznej sztywności.

Wnioski
Konstrukcja niewłaściwie podpiera łuki walca. Łuki wewnętrzne nie mają w ogóle podparcia na
końcach. Łuki skrajne stoją na słupach zbyt cienkich by przenieść rozpór.

Przekrycie wariant 2b: powłoka walcowa grubości 10cm z prostymi żebrami o przekroju
skrzynkowym kwadratowym 4x4m, na słupach narożnych 4x1m

Belki o przekroju kwadratowym 4x4m zapewniają podparcie łuków w kierunku pionowym
(ciężar powłoki) i poziomym (rozpór). Smukłość tych belek to 4/100=1/25, a więc proporcje
właściwe dla elementów zginanych. Słupy poszerzono do 4m w kierunku rozporu łuków.

Analiza
Przemieszczenia nie są praktycznie widoczne gołym okiem – są w granicach dopuszczalnych.
Także naprężenia w powłoce i w belkach są dopuszczalne.
Naprężenia główne są identyczne na górnej i dolnej powierzchni powłoki (ten sam kolor).
Oznacza to, że powłoka pracuje na ściskanie wzdłuż łuków. Jest to więc efektywna powłoka
bezmomentowa, membranowa.
Łuki powłoki są właściwie podparte, pionowo i poziomo, na zginanych belkach krawędziowych.
Powłoce nie zagraża bezpośrednio wyboczenie pod własnym ciężarem. Zapas nośności jest
jednak niewielki, poniżej 30%. Bliskość wyboczenia jest typowa dla konstrukcji efektywnych
wytrzymałościowo.
Wyboczenie polega na antysymetrycznym zginaniu łuków: połowa łuku przemieszcza się do
dołu, druga połowa do góry, a ruch poziomy obu stron jest identyczny. Jest to typowe
wyboczenie łuków/sklepień o przeciętnej wyniosłości.

Wnioski
Konstrukcja jest prawidłowa – sztywna i wytrzymała. Powłoka pracuje bezmomentowo, bez
zginania. Z tego powodu może być bardzo cienka. Elementy zginane – belki krawędziowe i słupy
muszą być grube.

Przekrycie wariant 3a: powłoka sferyczna grubości 10cm na słupach narożnych 1x1m

Powłoka walcowa pracuje efektywnie, na ściskanie, ale tylko w kierunku łuków. W kierunku
prostopadłym, wzdłuż tworzących walca naprężenia są bardzo małe. Materiał, a jest go bardzo
dużo, jest niewykorzystany do przenoszenia obciążeń w jednym z kierunków.

Powłoka sferyczna ma łuki we wszystkich płaszczyznach pionowych. Oglądana z boku wygląda
jak gruby łuk, pozostając konstrukcją cienkościenną. Łukami są krawędzie powłoki, przekroje
diagonalne i przekroje równoległe do boków kwadratowego planu. Łuki wewnętrzne mogą się
oprzeć na łukach krawędziowych.

Wszystkie symetrie planu kwadratowego są symetriami powłoki sferycznej. Łupina sferyczna jest
w stanie maksymalnie wykorzystać symetrie planu do równomiernego przekazywania
obciążenia na podpory. Powłoka walcowa miała mniej symetrii niż kwadratowy plan.

Analiza
Ugięcie rozważanej powłoki sferycznej jest duże, widoczne gołym okiem. Przekracza 10-krotnie
wartość dopuszczalną, wynoszącą 0.3m. Powłoka rozpłaszcza się pod własnym ciężarem,
rozpychając zbyt cienkie słupy w kierunkach przekątnych kwadratowego planu, na zewnątrz.

Wnioski
Problemem jest rozpieranie słupów przez powłokę. Problem ten można rozwiązać na trzy
sposoby. Pierwszy sposób to poszerzenie słupów w kierunku przekątnych przekrycia. Drugi
sposób to dodanie do konstrukcji dwóch diagonalnych, krzyżujących się ściągów. Wadą tego
sposobu jest zajmowanie przestrzeni pod przekryciem. Trzeci sposób to dodanie czterech
ściągów na obwodzie. Sposób ten wydaje się najbardziej elegancki, funkcjonalny i lekki. Słupy
pozostaję cienkie. Wnętrze pod przekryciem jest niezakłócone.

Przekrycie wariant 3a: powłoka sferyczna grubości 10cm, na słupach narożnych 1x1m, ze
ściągami obwodowymi

Analiza
Ściągi obwodowe muszą być na tyle sztywne, by powłoka się nie rozjeżdżała. Eksperymentalnie
dobrano współczynnik sztywności 1.e8. Większe wartości nie dają lepszej pracy powłoki.

Powłoka spełnia wszystkie wymagania. Maksymalne ugięcie jest nieco mniejsze od
dopuszczalnego, wynoszącego 0.3m. Naprężenia w powłoce, z wyjątkiem wąskich naroży przy
słupach, mają wartości równe wytrzymałości betonu. Potrzebny większy zapas wytrzymałości
można łatwo uzyskać stosując beton wyższej klasy i więcej zbrojenia. Powłoka pracuje
bezmomentowo, na ściskanie w dwóch kierunkach. Zapas odporności na wyboczenie jest prawie
dwukrotny. Wyboczenie ma typową dla łuków i sklepień formę antysymetryczną

Wnioski
Powłoka sferyczna ze ściągami to konstrukcja doskonała. Ściągi uniemożliwiają rozpieranie się
łuków. Łupina pracuje membranowo, bezmomentowo, przenosząc obciążenie na słupy i ściągi za
pomocą trzech typów łuków. Łuki diagonalne są oparte bezpośrednio na słupach. Łuki
wewnętrzne, równoległe do boków kwadratowego planu, przenoszą obciążenie na łuki
krawędziowe. Wszystkie te "łuki" to w rzeczywistości trajektorie naprężeń w cienkiej powłoce.
Wzdłuż tych trajektorii nie są potrzebne żadne fizyczne łuki-żebra, często widoczne w

budowlach historycznych. Żebra diagonalne i krawędziowe mają sens w konstrukcji murowanej,
gdzie bardzo ważna jest kolejność wznoszenia: najpierw żebra, potem wypełnienie reszty
powierzchni między żebrami.

Przekrycie wariant 4a: powłoka siodłowa grubości 10cm z zakrzywionymi krawędziami, na
czterech słupach narożnych wysokości 20m, o przekroju kwadratowym

Dwie równoległe krawędzie powłoki to wypukłe do góry łuki, dwie pozostałe to wypukłe do dołu
liny. Wnętrze siodła także składa się z łuków, opartych na krawędziowych linach, oraz z lin,
opartych na krawędziowych łukach. W celu przeniesienie sił poziomych od krawędziowych
łuków (rozpór) i lin (ściąganie) powłokę oparto na grubych słupach o przekroju kwadratowym,
8x8m.

Analiza
Powłoka dosłownie zapada się pod własnym ciężarem. Przemieszczenie w jej środku to
kilkadziesiąt metrów. Wartość ta ma sens dwojaki. Jakościowo jest poprawna – przemieszczenia
są z pewnością bardzo duże, dyskwalifikując konstrukcję jako budowlę. Ilościowo nie jest to
wartość wiarygodna, gdyż obliczeniowy model konstrukcji był oparty na założeniu małych
przemieszczeń, wielokrotnie mniejszych od grubości konstrukcji, wynoszącej 10cm. Jest to tzw.
liniowy lub proporcjonalny model pracy konstrukcji.  Ilościowo wiarygodne duże
przemieszczenia trzeba obliczać metodą wielu małych kroków, każdy z których odpowiada
małemu przyrostowi obciążenia, tak małemu by przyrost przemieszczenia był mały. Jest to tzw.
analiza geometrycznie nieliniowa. Analizę tę warto i trzeba wykonywać w przypadku konstrukcji
wiotkich: linowych, namiotowych, pneumatycznych, tensegrity. Konstrukcje żelbetowe nie
należą do tej kategorii. Nie są one w stanie wytrzymać dużych przemieszczeń. Wystarczy dla
nich analiza statyczna liniowa. Jeśli obliczone liniowo przemieszczenia okażą się duże,
konstrukcję należy poprawić lub odciążyć. Obliczenia nieliniowe są bezużyteczne.

Animacja przemieszczeń badanej konstrukcji pokazuje, że wewnętrzne kable i łuki powłoki
siodłowej nie mają właściwego podparcia na krawędziach. Przemieszczenia poziome krawędzi
siodła są duże. Wewnętrzne liny ściągają prostopadłe do nich krawędzie do środka planu.
Wewnętrzne łuki rozpychają prostopadłe do nich krawędzie na zewnątrz. Krawędzie muszą być
wzmocnione – np. silnymi żebrami. Potężne słupy narożne nie są bez żeber krawędziowych
wystarczające.

Wnioski
Siodło jest powierzchnią dwukrzywiznową, a więc nierozwijalną, co sugeruje dużą naturalną
sztywność. Podparte tylko w narożach, nawet nieprzesuwnych, siodło o krzywych krawędziach

nie ma jednak sztywności. Jego wewnętrzne łuki i liny wymagają oparcia na solidnych
krawędziach.

Przekrycie wariant 4a: powłoka siodłowa grubości 10cm z zakrzywionymi krawędziami, z
kwadratowymi skrzynkowymi żebrami krawędziowymi 4x4m, na czterech słupach narożnych
wysokości 20m, o przekroju kwadratowym 8x8m

Analiza
Powłoka pracuje bardzo dobrze. Przemieszczenia i naprężenia statyczne nie przekraczają
wielkości dopuszczalnych. Stan naprężeń w powłoce jest bezmomentowy. Powłoka pracuje jak
rodzina ściskanych łuków i rodzina prostopadłych do łuków rozciąganych lin. Łuki i liny opierają
się na silnych żebrach krawędziowych, przenoszących siły pionowe i poziome. Konstrukcja ma
duży, ponad 40-krotny zapas nośności wyboczeniowej. Wyboczenie powłok ma formę lokalnych
wybrzuszeń. Lokalność jest wizualną wskazówką dużej sztywości.

Wnioski
Siodło z mocnymi belkami krawędziowymi okazuje się powłoką bardzo sztywną i wytrzymałą,
nawet w przypadku słabego betonu B20.

Przekrycie wariant 5a: powłoka siodłowa grubości 10cm o prostych krawędziach, oparta w
dwóch dolnych narożach

Siodło o prostych krawędziach powstaje przez podniesienie dwóch naroży kwadratu i
wypełnienie powstałego, niepłaskiego obramowania łatą Coonsa. Utworzona powierzchnia jest
dwukrzywiznowa. Linie diagonalne, rozpięte między dwoma podniesionymi wierzchołkami to
wypukłe do dołu liny. Linie diagonalne prostopadłe do lin to wypukłe do góry łuki. Podwójne
zakrzywienie umożliwia powłoce siodłowej pracę bezmomentową, pod warunkiem właściwego
podparcia.
Powierzchnia siodłowa jest podwójnie translacyjna i podwójnie prostokreślna. Można ją
utworzyć za pomocą translacji (przesunięcie) prostej krawędzi (prostokreślność) wzdłuż
krawędzi prostopadłych. Betonowe siodło można więc łatwo wylać na przesuwnym, płaskim
deskowaniu.
W badanym przekryciu o rozpiętości 100m przyjęto podniesienie o 20m. Przekrycie oparto na
dwóch dolnych narożach. Patrząc w kierunku łączącym te naroża przekrycie wygląda jak dwa
wznoszące się w przeciwnych kierunkach wsporniki. Widoczna wysokość przekroju wsporników
jest duża w utwierdzeniu i maleje parabolicznie w stronę końców.

Analiza

Krytyczna dla oceny powłoki jest analiza wyboczenia. Przekrycie wybacza się przy obciążeniu
kilkadziesiąt razy mniejszym od ciężaru własnego. Wynik liczbowy jest katastrofalny, ale forma
wyboczenia nie. Krawędzie przekrycia silnie się zginają w kierunku pionowym, a więc wymagają
wzmocnienia, np. żebrami. Jednak oba uniesione narożniki zachowują się jakby były podparte.
Widać tu silne usztywniające zakrzywienia powłoki w dwóch kierunkach.

Statyczne ugięcie przekrycia pod ciężarem własnym jest zbyt duże, widoczne gołym okiem,
przekraczające 6m, ale jakościowo obiecujące.

Wnioski
Konstrukcja ma kilkudziesięciokrotnie za niską odporność na wyboczenie pod ciężarem
własnym. Ugięcia statyczne są kilkanaście razy za duże. ‘Liny’ powłoki nie maja oparcia na
krawędziach konstrukcji – potrzebne są tam żebra.

Przekrycie wariant 5b: powłoka siodłowa grubości 10cm o prostych krawędziach, ze
skrzynkowymi żebrami o przekroju kwadratowym 4x4m, oparta w dwóch dolnych narożach

Dodane żebra są wspornikami o długości 100m i wysokości 4m. Daje to smukłość 100/4=25. Jest
to smukłość właściwa dla belek podpartych na obu końcach, ale dwukrotnie za duża dla
wsporników. Wspornik pracuje bowiem jak połowa belki podpartej na obu końcach.
Jednak dodane żebra maja ograniczone zadania, mogą więc być tak smukłe. Po pierwsze, żebra
mają usztywnić krawędzie na wyboczenie, a walka z wyboczeniem nie wymaga dużych
przekrojów. Elementy zapobiegające wyboczeniu w przybliżeniu projektuje się jakby miały
przenieść 1/100 rzeczywistego obciążenia. Po drugie, żebra służą zawieszeniu ‘lin’ powłoki. Liny
te są praktycznie styczne do żeber, więc nie zginają ich silnie w płaszczyźnie pionowej.

Analiza
Siodło z lekkimi żebrami spełnia z nawiązką wszystkie wymagania. Zapas nośności na
wyboczenie pod ciężarem własnym jest kilkudziesięciokrotny. Jest to olbrzymi wzrost nośności
w stosunku do siodła bez żeber. Ugięcie swobodnych końców jest w granicach dopuszczalnych.
Także naprężenia w powłoce są mniejsze od wytrzymałości materiału. Przekrycie działa jak para
wielkich wsporników, zginanych ciężarem własnym. Górna część wsporników to pracująca na
rozciąganie powłoka. Dolna część wsporników to pracujące na ściskanie żebra krawędziowe.

Projekt: tradycyjne więźby dachowe drewniane

Specyfikacja

Celem jest zaprojektowanie dachu możliwie sztywnego i wytrzymałego na działanie obciążeń
pionowych (ciężar własny, śnieg) oraz poziomych (wiatr w poprzek połaci i wiatr wzdłuż połaci),
przy zastosowaniu możliwie niewielu elementów, zajmujących możliwie mało przestrzeni pod
dachem. Należy zbadać celowość stosowania płatwi kalenicowej, wiatrownic, jętek, słupków,
płatwi pośrednich.

Dach trójkątny w przekroju poprzecznym, symetryczny, wysokość 3m.
Plan dachu prostokątny, szerokość 6m, długość 8m –  9 par krokwi co 1 m.
Dach oparty na żelbetowym stropie, umożliwiającym oparcie w dowolnym miejscu elementów
więźby dachowej, przenoszącym siły pionowe i poziomy rozpór.
Wszystkie elementy dachu o przekroju kwadratowym 10x10cm.
Wszystkie węzły sztywne, uniemożliwiające obroty.
Własności drewna:
* sztywność wzdłuż włókien (moduł Younga) 1.e9 kG/m

* gęstość masy 0.6e3 kg/m

* wytrzymałość na ściskanie/rozciąganie wzdłuż włókien 1.e6 kG/m

Model obliczeniowy
Model 1D, oparty na założeniu sztywnych płaskich przekrojów prętów.
Elementy belkowe, z kwadratową aproksymacją przemieszczeń.
Element ma trzy węzły, dwa końcowe i środkowy.
Węzeł ma sześć stopni swobody – trzy przemieszczenia i trzy obroty.
Rodzaje analiz:
* drgania własne – spektrum początkowe
*  wyboczenie –  pierwszy mod
*  statyka – przemieszczenia wypadkowe i naprężenia Misesa i główne
Obciążenia:
* ciężar pionowy
* wiatr w poprzek połaci
* wiatr wzdłuż połaci
Wszystkie obciążenia modelowane w uproszczeniu jako siły masowe, pochodzące od krokwi.
Inne elementy konstrukcji traktowane jako nieważkie.

Dach wariant 1 - najprostszy: krokwie - 9 par, co 1 metr

Analiza

Pierwszy, najsłabszy mod drgań, to zginanie jednej pary krokwi wzdłuż kalenicy. Odpowiada to
działaniu wiatru wzdłuż połaci. Jest łącznie 9 takich modów – w każdym drga pojedynczo inna
para krokwi. Więźba dachowa zachowuje się nie jak harmonijny zespół, ale jak grupa
niewspółpracujących ze sobą drzew w lesie. Jest to więc bardzo słaba, prymitywna formacja dla
obciążenia wiatrem wzdłuż kalenicy.

Mod dziesiąty i następne mają częstość kilkakrotnie wyższą od modów wcześniejszych. Są to
deformacje par krokwi w ich płaszczyźnie. Odpowiadają one obciążeniu wiatrem w poprzek
połaci. Skokowy wzrost częstości drgań oznacz skokowy wzrost sztywności.

Znaczna różnica sztywności w poprzek i wzdłuż dachu wynika z różnych typów konstrukcji w tych
kierunkach. W kierunku poprzecznym para krokwi jest trójkątem, a więc kratownicą. W kierunku
podłużnym para krokwi jest belką wspornikową. Obciążenie rozłożone zgina i kratę i wspornik,
ale długości fal deformacji są zasadniczo różne. W kratownicy szczyt trójkąta praktycznie się nie
porusza, zachowuje się jakby był podparty. Długość fali deformacji jest więc orientacyjnie taka
jak długość krokwi. We wsporniku szczyt swobodnie się przemieszcza, a długość fali deformacji
to podwojona wysokość dachu. Porównując długości fal deformacji widzimy, że wspornik zgina
się jakby był dwa razy dłuższy od pręta kraty.

Z teorii belek zginanych wiadomo, że przy obciążeniu równomiernym:
* momenty zginające i wywołane przez nie naprężenia rosną jak druga potęga długości, L

* kąty obrotu rosną jak trzecia potęga długości, L

* ugięcia rosną jak czwarta potęga długości, L

Wspornik w dachu, efektywnie dwa razy dłuższy niż krata, winien mieć cztery razy większe
naprężenia (2

=4), osiem razy większe obroty (2

=8) i szesnaście razy większe ugięcia (2

=16).

W przybliżeniu takie są wyniki analizy statycznej badanego dachu dla obciążenia pionowego
(krata), obciążenia wiatrem poprzecznym do połaci (krata) i obciążenia wiatrem wzdłuż dachu
(wspornik).

Z dwóch zachowań kratowych – od obciążenia pionowego i obciążenia poziomego wiatrem
poprzecznym do połaci – nieco lepsze jest to pierwsze. Obciążenie pionowe jest symetryczne,
wskutek czego szczyt dachu nie obraca się. Symetria ogranicza obroty i skraca falę deformacji.
Obciążenie wiatrem jest antysymetryczne (parcie na jednej połaci i ssanie na drugiej), nie
ogranicza więc obrotu węzła i nie skraca fali deformacji.

Analiza statyczne pokazuje, że pracując jak krata dach ma kilkudziesięciokrotny zapas
wytrzymałości  (stosunek wytrzymałości drewna do maksymalnych naprężeń) i sztywności
(stosunek dopuszczalnych normowo obrotów, 1/300, do obrotów rzeczywistych).

Analiza wyboczenia pokazuje, że dach traci stateczność przy obciążeniach wielokrotnie
większych od obciążeń naruszających wytrzymałość materiału, wynikających z analizy statycznej.
Konstrukcja nie jest zatem praktycznie zagrożona wyboczeniem. Przeciążona konstrukcja
połamie się, a nie wyboczy.

Rozważany dach można zaliczyć do konstrukcji krępych. Konstrukcję krępe nie wybaczają się.
Zniszczenie ma charakter wytrzymałościowy – złamanie, zmiażdżenie, zerwanie. Konstrukcje
smukłe niszczą się przez wyboczenie, bez przekroczenia wytrzymałości materiału.

Wszystkie rozważane dachy okazują się konstrukcjami krępymi, niezagrożonymi wyboczeniem.

Wnioski
Analiza spektrum drgań ujawnia wyraźną słabość pracy konstrukcji w kierunku podłużnym w
porównaniu z pracą w kierunku poprzecznym do kalenicy. W kierunku podłużnym dach jest
lasem niepowiązanych, silnie zginanych wsporników. W kierunku poprzecznych mamy do
czynienia ze znacznie sztywniejszą kratą w postaci trójkąta.

Należy dążyć do uzyskania pracy kratowej także w kierunku podłużnym. Pierwszy krok to
połączenie par krokwi płatwią kalenicową.

Dach wariant 2: dodana płatew kalenicowa

Analiza
Pierwszy mod drgań własnych to ruch belki kalenicowej w kierunku podłużnym. Wszystkie pary
krokwi zginają się teraz razem, w formie S, ale częstość drgań jest niewiele większa niż w dachu
bez płatwi kalenicowej. Kolejne mody mają częstości kilka razy większe niż pierwszy mod. Są to
deformacje w kierunku poprzecznym do kalenicy. Nadal więc, jak w przypadku dachu bez belki
kalenicowej, konstrukcja jest dużo słabsza w kierunku podłużnym w analizie drgań. Także
wytrzymałość i sztywność na wiatr wzdłuż kalenicy jest wielokrotnie mniejsza niż wytrzymałość i
sztywność na wiatr poprzeczny i na obciążenie pionowe. Dzieje się tak, gdyż wzdłuż dachu mamy
konstrukcję ramową o wielu przęsłach (krokwie to słupy, płatew to rygiel). W kierunku
poprzecznym dach jest kratą trójkątną. Konstrukcja ramowa ma przesuwny rygiel, jest więc
znacznie mniej sztywna od kraty, której węzły są nieprzesuwne.

Dach jest konstrukcją krępą, w praktyce niezagrożoną wyboczeniem.

Wnioski
Dach jest wyraźnie słabszy w kierunku podłużnym w porównaniu do kierunku poprzecznego.
Ramową połać dachu należy zamienić na kratownicę, dodając ukośną wiatrownicę.

Dach wariant 3: dodana wiatrownica – ukośny pręt łączący kalenicę z podstawą krokwi

Analiza
Znika skok częstości na początku spektrum drgań, obecny w dachach bez wiatrownicy. Spektrum
się wyrównuje, a więc konstrukcja nie ma modu pracy wyraźnie słabszego od modów
sąsiednich. Praca we wszystkich kierunkach – śnieg, wiatr poprzeczny, wiatr podłużny – jest
podobnie efektywna. Potwierdza to analiza statyczna: konstrukcja ma kilkudziesięciokrotny
zapas wytrzymałości i sztywności dla wszystkich obciążeń. Jeszcze większy jest zapas odporności
na wyboczenie.

Wyrównana praca we wszystkich kierunkach wynika z podobnego charakteru konstrukcji w tych
kierunkach. W każdym kierunku obciążenia dach pracuje jak trójkątna kratownica. Jej węzły
praktycznie się nie przemieszczają. Obciążenie zgina belki między węzłami.

Wiatrownica nie wpływa praktycznie na pracę więźby na obciążenie pionowe i na wiatr
poprzeczny do połaci.

Wnioski
Omawiana więźba dachowa jest kratownicą trójkątną dla wszystkich trzech obciążeń:
pionowego (ciężar własny, śnieg), wiatru poprzecznego do połaci i wiatru podłużnego. Jest to
zatem konstrukcja harmonijna, tego samego typu w trzech kierunkach.

Praca konstrukcji jest wyrównana ilościowo (częstości drgań, przemieszczenia, naprężenia) we
wszystkich kierunkach. Ma to sens, gdy obciążenia w trzech kierunkach mają podobną wielkość,
co założyliśmy modelując obciążenia jako siły masowe. Jeśli jakiś kierunek obciążenia jest
dominujący, konstrukcja winna być wzmocniona w tym kierunku. Można to osiągnąć zmieniając
proporcje przekrojów – z kwadratowych na prostokątne, wydłużone w płaszczyźnie obciążenia.

Omawiana konstrukcja zapewnia maksymalną przestrzeń poddasza, w porównaniu z więźbami
zawierającymi jętki i/lub słupki. W dachach o większej rozpiętości konstrukcja ta może być
niewystarczająca.

Dach wariant 4: dodane jętki – poziome pręty w płaszczyznach par krowi, w połowie wysokości
dachu

W ciężkim dachu, np. krytym dachówką, największym obciążeniem może być ciężar połaci,
powodujący silne zginanie krokwi. Zginanie krokwi narasta też bardzo szybko ze wzrostem
rozpiętości dachu. Wówczas celowe jest podparcie krokwi w połowie rozpiętości. Jednym ze
sposobów podparcia krokwi jest połączenie pary krokwi poziomą jętką. Pod obciążeniem
pionowym krokwie zbliżają się do siebie. Jętka to uniemożliwia.

Analiza
Spektrum drgań, pierwsze 9 modów dachu jętkowego jest podobne do zachowania dachu bez
jętki. Częstości drgań są wyrównane, nieco wyższe niż w dachu bez jętki. Formy drgań
odpowiadają wiatrowi podłużnemu i poprzecznemu. Jętka nie wzmacnia zatem dachu w istotny
sposób na obciążenie wiatrem w obu kierunkach.

Zasadnicze wzmocnienie objawia w analizie statycznej się przy obciążeniu pionowym.
Naprężenia maleją kilkakrotnie w stosunku do dachu bez jętki, a przemieszczenia redukują się
jeszcze bardziej. Krokiew wygina się do dołu w dwie półfale, jętka podpiera więc krokiew w
środku. Dach działa jak kratownica trójkątna z prętami o połowę krótszymi niż w dachu bez jętki.

Wiatr poprzeczny, parcie na jednej połaci i ssanie na drugiej, tylko przesuwa jętkę w kierunku
zgodnego ruchu obu krokwi. Jętka nie jest ściskana (ani rozciągana). Jętka nie stanowi zatem
dodatkowej podpory dla krokwi w tym przypadku obciążenia.

Wnioski
Więźba jętkowa jest bardzo efektywna dla obciążeń pionowych. Jest wtedy kratownicą o
krótkich prętach. Krokwie pracują jak belki dwuprzęsłowe a jętka jest ściskana. Jętka jest
praktycznie nieprzydatna w przenoszeniu obciążenia wiatrem.

Dach wariant 5: jętka i jeden słupek w co drugiej parze krokwi, płatwie pośrednie

Jętka podparta na jednym końcu słupkiem czyni dach w przekroju poprzecznym kratą trójkątną
o krótkich prętach. Dotyczy to przenoszenia obciążenia pionowego i wiatru. Krata ta składa się z
trzech trójkątów. Pierwszy tworzy dolna część krokwi i słupek. Drugi, oparty na pierwszym,
tworzy jętka i dolna część drugiej krokwi. Trzeci, oparty na pierwszym i drugim, tworzą górne
części obu krokwi. Drugi trójkąt jest wydłużony w kierunku poziomym. Z tego powodu jest on
słabszy od pozostałych trójkątów, które są krępe. Słabość dotyczy obciążenia pionowego,

poprzecznego do długości trójkąta. Na obciążenia poziome, wzdłuż trójkąta, płaski trójkąt jest
sztywny.
Aby pary jętka/słupek zajmowały mniej miejsca, można je rozrzedzić, umieszczając je np. tylko w
co drugiej parze krokwi. Wzdłuż połaci należy wtedy umieścić płatwie, podpierające krokwie,
które nie mają oparcia na słupkach/jętkach. Płatwie przenoszą obciążenie z krokwi na
słupki/jętki.

Analiza
Wszystkie początkowe, najsłabsze mody drgań własnych to zginanie wzdłuż kalenicy. Brak
modów odpowiadających zginaniu porzecznemu - pionowemu i poziomemu – wykazuje
wyraźnie wyższą sztywność dachu w płaszczyźnie poprzecznej dachu.

Analiza statyczna to potwierdza. Naprężenia krokwi od obciążenia pionowego i wiatru
poprzecznego są kilkakrotnie mniejsze od naprężeń wywołanych wiatrem podłużnym.
Przemieszczenia poprzeczne są jeszcze mniejsze od podłużnych.

W kierunku podłużnym dach jest słabszy, gdyż krokwie nie mają podparcia w środku w tym
kierunku. Połać dachu jest kratą, ale o prętach tak długich jak wysokość dachu. W kierunku
poprzecznym pracuje krata o dwukrotnie krótszych prętach. Widać to na linii ugięcia krokwi i
animacji przemieszczeń – krokwie pracują jak belki dwuprzęsłowe.

Animacja przemieszczeń w płaszczyźnie poprzecznej (śnieg, wiatr poprzeczny) pokazuje, że
krokiew podparta słupkiem doznaje mniejszych przemieszczeń od krokwi podpartej jętką. Ta
strona dachu jest nieco mniej sztywna od strony przeciwnej, gdyż pracuje tu wydłużono
poziomo trójkąt. Duże ugięcia płatwi, w porównaniu z przemieszczeniami w miejscach
występowania słupków/jętek, wskazują, że przyjęte przekroje płatwi są zbyt małe.

Wnioski
Dach z jętką i słupkiem jest zdecydowanie, kilkakrotnie wytrzymalszy od dachu jętkowego dla
obciążenia wiatrem w poprzek połaci. Pod obciążeniem pionowym pracuje on podobnie do
dachu jętkowego. Dach z jętką i słupkiem zajmuje stosunkowo mało przestrzeni, gdyż z jednej
strony nie ma słupka. Pewną wadą jest niesymetryczna praca krokwi – krokiew bez słupka jest
słabsza od krokwi podpartej słupkiem.

Dach wariant 6: para pionowych słupków podpierających co drugą parę krowi w połowie,
płatwie pośrednie

Dach z dwoma słupkami umożliwia symetryczne podparcie każdej krokwi w połowie. Dach jest
kratą złożoną z trzech trójkątów. Trójkąt lewy dolny tworzy lewy słupek i dolna połowa płatwi.
Po prawej stronie jest identyczny trójkąt. Na tych dwóch trójkątach spoczywa trzeci trójkąt,
utworzony przez górne połówki krokwi. Wszystkie trójkąty są krępe, a więc geometrycznie
sztywne.

Analiza
Pierwsze dziewięć modów drgań własnych to ruchy wzdłuż połaci. Nieobecność modów
poprzecznych dowodzi sztywności dachu w płaszczyźnie poprzecznej. Analiza statyczna pokazuje
kilkakrotnie mniejsze naprężenia i jeszcze mniejsze przemieszczenia w płaszczyźnie poprzecznej
w stosunku do płaszczyzny podłużnej. Krata w płaszczyźnie poprzecznej jest bardzo sztywna.
Pod obciążeniem pionowym i wiatrem środki krokwi, podparte słupkami, praktycznie się nie
przemieszczają.

Wnioski
Więźba z dwoma słupkami to konstrukcja znakomita. Dzięki pracy kratowej w płaszczyźnie
poprzecznej doskonale przenosi obciążenie pionowe i wiatr poprzeczny. Wszystkie trójkąty są
zwarte, co gwarantuje efektywne przenoszenie sił. Jest to konstrukcja funkcjonalna,
zostawiająca dużo wolnej przestrzeni w środku dachu.
Dodanie jętki do dwóch słupków nie ma sensu. Jętka nie wzmocni w istotny sposób konstrukcji
słupkowej, zajmie natomiast cenną przestrzeń.

Podsumowanie – wszystkie dachy
Konstrukcja pierwsza, dach czysto krokwiowy, często dziś w Polsce spotykany, to konstrukcja
najprostsza, ale bardzo słaba na działanie wiatru wzdłuż kalenicy. Pary krokwi stoją obok siebie
jak drzewa w lesie, nie udzielając sobie żadnego wsparcia. Przy obciążeniu pionowym i wietrze w
poprzek połaci konstrukcja jest dość sztywna i wytrzymała, dzięki sztywności trójkątnych par
krokwi. Szczyt dachu zachowuje się jak węzeł podparty. Dla obciążenia pionowego,
symetrycznego, jest to podpora sztywna – węzeł się nie obraca. Dla obciążenia poziomego,
wiatrem poprzecznym, jest to podpora przegubowa – węzeł się obraca. Dach jest więc nieco
sztywniejszy i wytrzymalszy dla obciążenia pionowego – dzięki krótszej fali deformacji giętnej.

Konstrukcja druga, dach z płatwią kalenicową, jest niewiele lepsza od konstrukcji pierwszej.
Wiatr wzdłuż kalenicy powoduje silne zginanie krokwi, gdyż nie tworzą one z płatwią układu
kratowego, pracując jak przesuwna zginana rama.

Konstrukcje pierwsza i druga są tak słabe wzdłuż kalenicy, iż należy ich unikać, zwłaszcza w
sytuacji pojawiających się coraz częściej w Polsce silnych wichur.

Konstrukcja trzecia, z wiatrownicą sięgającą kalenicy, to najprostsza efektywna konstrukcja
dachu. Dach pracuje jak trójkątna krata i w płaszczyźnie poprzecznej do połaci (śnieg, wiatr
poprzeczny) i w kierunku podłużnym (wiatr). Dużą sztywność podłużną daje już jedna
wiatrownica, jeśli sięga ona kalenicy. Większa liczba wiatrownic, najlepiej rozmieszczonych
symetrycznie, jest pożądana.

Konstrukcja czwarta, dach z jętką, bardzo podnosi nośność krokwi i zmniejsza ich ugięcia pod
obciążeniem pionowym. Jętka podpiera krokwie. Pracują one jak belki dwuprzęsłowe. Jętka nie
poprawia konstrukcji dla obciążenia wiatrem.

Konstrukcja piąta, z jednym słupkiem i jętką, jest kratownicą o krótkich prętach przy obciążeniu
pionowym i wietrze poprzecznym do połaci. Dach jest więc bardzo sztywny w płaszczyźnie
poprzecznej na oba obciążenia. Krokwie pracują jak belki dwuprzęsłowe. Jeden słupek nie
zajmuje dużo miejsca w przestrzeni pod dachem. Pewną słabością jest niesymetryczna praca
dachu – strona bez słupka jest nieco słabsza od strony podparte słupkiem.

Konstrukcja szósta, z dwoma słupkami, pracuje jak krata zarówno pod obciążeniem pionowym,
jak też obciążeniem wiatrem w poprzek połaci. Jest to konstrukcja symetryczna, bardzo
wytrzymała i sztywna, najlepsza z rozważanych. Wszystkie trójkąty tej kraty są zwarte,
nierozciągnięte i przez to sztywne. Uzupełnianie tej konstrukcji jętką, często stosowane, jest
zbędne.

Płatwie pośrednie służą podparciu tych krokwi, które nie są oparte bezpośrednio na
słupkach/jętkach.