Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Arkusz II (dla poziomu rozszerzonego)

Czas pracy: 150 minut

Zadanie 11.
Dany jest układ równań:









=

−

−

=

−

+

0

1

0

1

x

y

y

x

a)

Rozwiąż dany układ.

b)

Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zilustruj dany układ i zbiór jego
rozwiązań.

Zadanie 12.
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej

n

liczba

12

3

+

−

n

n

jest podzielna przez 6.

Zadanie 13.
Dziedziną funkcji f jest przedział

0

,

10

−

i jest ona określona następująco:

( )







−

<

≤

−

−

−

≤

≤

−

+

+

=

3

10

dla

10

2

0

3

dla

5

6

2

x

x

x

x

x

x

f

Naszkicuj wykres funkcji f i następnie uzasadnij, że:

a)

Funkcja f jest ciągła w przedziale

(

)

0

,

10

−

,

b)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

10

,

4

−

,

c)

Funkcja f nie jest różnowartościowa.

Zadanie 14.
Na początku roku kalendarzowego lokujemy w banku kapitał

a

zł. Umowa z bankiem przewiduje,

ż

e oprocentowanie lokaty będzie stałe i wyniesie 3% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek

będzie coroczna. Bank odprowadza po każdej kapitalizacji 20% naliczonych odsetek do Urzędu
Skarbowego.

a)

Na ile co najmniej lat powinniśmy zawrzeć umowę z bankiem, aby po upływie tego okresu
naliczone odsetki stanowiły nie mniej niż 12,5% ulokowanego kapitału?

b)

Ile najmniej złotych powinniśmy ulokować w banku, jeśli chcemy by przy spełnieniu wa-
runków powyższej umowy i po upływie okresu obliczonego w punkcie a) zysk z lokaty wy-
niósł co najmniej 2000 zł?

Zadanie 15.
Samochód przebył w pewnym czasie drogę 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h
większą, to czas przejazdu skróciłby się o 0,5 godziny. Jaka była średnia prędkość samochodu?

Zadanie 16.
W trójkącie prostokątnym stosunek sumy przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy

2

6

. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

Zadanie 17.
Wyznacz zbiór tych wszystkich

x

, dla których funkcja

( )

(

)

(

)

3

log

5

log

2

1

2

1

+

−

−

=

x

x

x

f

przyjmuje

wartości dodatnie.

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadanie18.
Poniższy diagram przedstawia wyniki testu z matematyki składającego się z 14 zadań, przeprowa-
dzonego w trzeciej klasie pewnego liceum, przy 100% obecności uczniów. Zadania testu były
punktowane w skali 0 – 1, a nauczyciel matematyki zali-
czał uczniowi test, jeśli zdobył on co najmniej 50% moż-
liwych do zdobycia punktów. Oblicz:

a)

medianę liczb punktów zdobytych przez poszcze-
gólnych uczniów;

b)

ś

rednią liczbę punktów przypadających na jedne-

go ucznia;

c)

prawdopodobieństwo tego, że losując z listy
uczniów tej klasy kolejno dwie osoby, jako drugą
wylosujemy osobę, która zaliczyła test, pod wa-
runkiem, że pierwsza z wylosowanych osób też
zaliczyła test.

Zadanie 19.
Kąt między dwoma wektorami

v

u

r

r

,

jest równy

o

120

, a długości tych wektorów są równe odpo-

wiednio 1 i 2. Oblicz:

a)

długość wektora

v

u

w

r

r

r

+

=

,

b)

kosinus kąta między wektorami w

r

i v

r

.

Zadanie 20.
Z drutu długości 72 dm chcemy sporządzić szkieletowy model prostopadłościanu, który będzie miał
możliwie największą objętość i w którym jedna z krawędzi będzie dwa razy dłuższa od innej jego
krawędzi. Jakie wymiary będzie miał ten prostopadłościan?

W yniki te stu z mate matyki

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

licz ba punktów

li

c

z

b

a

u

c

z

n

ió

w

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi do ARKUSZA II

11. a) Dany układ spełniają współrzędne każdego punktu, który należy do domkniętego odcinka

o końcach

(

)

0

,

1

−

i

( )

1

,

0

.

12. Teza wynika z tego, że wśród liczb

1

−

n

,

n

i

1

+

n

jest co najmniej jedna liczba parzysta i jedna

liczba podzielna przez 3.

13. a) Wskazówka. Uzasadnij, że funkcja jest ciągła w punkcie

3

−

=

x

.

b) Teza wynika z tego, że funkcja jest ciągła i jej największą wartością jest 10, a najmniej-
szą

−

4.

c) np.

0

)

5

(

)

1

(

=

−

=

−

f

f

, pomimo tego, że

5

1

−

≠

−

.

14. a) Co najmniej na 5 lat; b) 15886 zł.
15. 60 km/h
16.

75

°

i

°

15

17.

5

>

x

18. a) Mediana jest równa 9; b) średnia jest równa ok. 9,36; c)

32

29

19. a)

7

=

w

b)

14

7

5

cos

=

α

20. Prostopadłościan będzie miał wymiary 4 dm, 8 dm i 6 dm.