EAiC materiały wykładowe 4(full permission)

background image

1

Filtry analogowe

W³aœciwoœci uk³adów liniowych, funkcja przenoszenia (I)

Z matematycznego punktu widzenia uk³adem liniowym nazywa siê taki uk³ad, który mo¿e byæ opisany

za pomoc¹ liniowych równañ ró¿niczkowych. Istotn¹ w³aœciwoœci¹ uk³adów liniowych jest to, ¿e

spe³niaj¹ one zasadê

i

.

W uk³adzie liniowym zawieraj¹cym sta³e elementy skupione zale¿noœæ miêdzy sygna³ami

wyjœciowym

a wejœciowym

mo¿e byæ opisana za pomoc¹

:

(1)

przy czym:

- wspó³czynniki rzeczywiste;

.

Pierwiastki zespolone

,

s¹, odpowiednio, zerami oraz biegunami funkcji przenoszenia

.

Rozk³ad zer i biegunów na p³aszczyŸnie zmiennej

opisuje w³asnoœci funkcji przenoszenia uk³adu.

Poniewa¿ wspó³czynniki wielomianów

,

s¹ rzeczywiste wiêc zera i bieguny s¹ liczbami

rzeczywistymi albo wystêpuj¹ w parach zespolonych sprzê¿onych.

y(t)

x(t)

Y(s)= {y(t)}; X(s)=

{x(t)}

K(s)

k(t) bêd¹c¹ tzw.

(t)

x(t) = (t) ),

k(t) =

{K(s)}

operatorowej funkcji

przenoszenia

bêd¹c¹ wymiern¹ funkcj¹ zespolonej pulsacji

K(s)

s= +j

d w

K(s)=Y(s) / X(s) = [b s +b

s

+...+b ] / [a s +a s +...+a ]=

= [b (s-z )...(s-z )] / [a (s-s )...(s-s )] = L(s) / M(s)

a , b

z s

K(s)

s

L(s) M(s)

m

m -

1

0

n

n-1

0

m

1

m

n

1

n

j

i

i

j

m

m -

1

n

n-1

L

L

L

Operatorowa funkcja przenoszenia

jest transformat¹ Laplace'a funkcji

odpowiedzi¹ impulsow¹ uk³adu czyli odpowiedzi¹ na pobudzenie w postaci funkcji Diraca

( tzn

kiedy:

co z kolei oznacza, ¿e:

.

d

d

-1

Warunek ten jest spe³niony je¿eli czêœci

rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego

s¹ ujemne, tzn. bieguny funkcji

przenoszenia

le¿¹ w lewej pó³p³aszczyŸnie zmiennej .

M(s)

K(s)

s

superpozycji proporcjonalnoœci

Uk³ad opisany funkcj¹ przenoszenia (1) jest stabilny je¿eli dla wymuszenia

o skoñczonym

czasie trwania odpowiedŸ

zanika do zera.

x(t)

y(t)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

2

Filtry analogowe

Doprowadzaj¹c na wejœcie uk³adu sygna³ sinusoidalny otrzymuje siê czêstotliwoœciow¹ funkcjê

przenoszenia

, tzn:

(2)

która, bêd¹c zespolon¹ funkcj¹ pulsacji

, mo¿e byæ przedstawiona za pomoc¹ dwóch sk³adowych:

czêœci rzeczywistej

i urojonej

b¹d¿ modu³u

i fazy

. CzeϾ urojona

i

charakterystyka fazowa

s¹ funkcjami nieparzystymi zmiennej

natomiast czêœæ rzeczywista

i charakterystyka amplitudowa

funkcjami parzystymi. Definiuje siê ponadto tzw. opóŸnienie

grupowe

:

(3)

W uk³adach stabilnych sk³adow¹ rzeczywist¹

oraz urojon¹

wi¹¿¹ zale¿noœci ca³kowe

zwane

.

Wa¿n¹ klasê uk³adów liniowych stawnowi¹

dla których danej

charakterystyce

odpowiada minimalna wartoϾ fazy

.

W uk³adach takich charakterystyki amplitudowa i fazowa powi¹zane s¹

zale¿noœciami ca³kowymi zwanymi

.

Dla dowolnej minmalnofazowej funkcji wymiernej

, której licznik i mianownik przedstawiæ mo¿na

zawsze w postaci iloczynów wielomianów I- i II-stopnia, zastosowaæ mo¿na aproksymacjê

charakterystyk czêstotliwoœciowych asymptotycznymi odcinkami prostej otrzymuj¹c tzw.

. Wartoœci na osi rzêdncyh i odciêtych wyra¿ane s¹ tutaj w

skali logarytmicznej. Inaczej mówi¹c, przy opisie uk³adów minimalnofazowych skorzystaæ mo¿na z

w³aœciwoœci superpozycji logarytmicznych charakterystyk amplitudowo fazowych.

K(j )

K(j ) = K(s) |

= A( ) e

= P( )+jQ( )

P( )

Q( )

A( )

( )

Q( )

( )

P( )

A( )

( )

( ) = - d ( )/d

P( )

Q( )

A( )

( )

K(j )

w

w

w

w

w

w

w

w

w

f w

w

f w

w

w

w

t w

t w

f w w

w

w

w

f w

w

s=jw

j ( )

f w

zwi¹zkami Hilberta

tzw. uk³ady minimalnofazowe

Stabilne uk³ady minimalnofazowe

odznaczaj¹ siê tym, ¿e nie tylko bieguny ale i zera funkcji przenoszenia le¿¹ w lewej

pó³p³aszczyŸnie zmiennej .

zwi¹zkami Bodego

charakterystyki asymptotyczne Bodego

s

W³aœciwoœci uk³adów liniowych, funkcja przenoszenia (II)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

3

Filtry analogowe

W ogólnym przypadku za idealny uk³ad niezniekszta³caj¹cy przyjmuje siê taki uk³ad, którego funkcja
przenoszenia dana jest wzorem:

(4)

czyli:

,

Idealny uk³ad niezniekszta³caj¹cy odznacza siê wiêc niezale¿n¹ od czêstotliwoœci charakterystyk¹
amplitudow¹ oraz liniow¹ charakterystyk¹ fazow¹ (a co za tym idzie, sta³¹ wartoœci¹ opóŸnienia).

Idealna charakterystyka - w sensie wzoru (4) nie mo¿e byæ zrealizowana w oparciu o rzeczywiste
uk³ady liniowe zawieraj¹ce sta³e elementy skupione, dlatego te¿ w procesie projektowania uk³adu
stosuje siê zawê¿one pojêcia charakterystyk idealnych.

Projektowanie uk³adów liniowych polega na aproksymacji pewnych charakterystyk przyjêtych za
idealne za pomoc¹ charakterystyk mo¿liwych do osi¹gniêcia w uk³adach rzeczywistych. Odnosi siê to
zarówno do charakterystyk amplitudowych, jak i fazowych.

Bardzo istotn¹ u¿ytkowo i niezwykle szeroko stosowan¹ klas¹ uk³adów liniowych s¹
bêd¹ce strukturami maj¹cymi zadanie oddzia³ywania na okreœlone sk³adowe czêstotliwoœciowe
sygna³u.

K(j ) = k e

A( ) = k , ( )=-

( ) = -

w

w

f w wt t w

t

0

0

0

0

-jw t

0

filtry analogowe

Jednym z najistotniejszych jest podzia³ filtrów pod k¹tem
w³aœciwoœci czêstotliwoœciowych. Rozró¿nia siê zatem filtry:

.

d o l n o p r z e p u s t o w e ,

g ó r n o p r z e p u s t o w e ,

pasmowoprzepustowe, pasmowozaporowe, mieszane

Aproksymacja idealnych charakterystyk czêstotliwoœciowych,

projektowanie filtrów analogowych (I)

Rys. 1. Charakterystyki
czêstotliwoœciowe
idealnego filtru
dolnoprzepustowego

Rys. 2. Charakterystyki
czêstotliwoœciowe
filtrów rzeczywistych

pasmo zaporowe

w

g

w

-w

g

k

0

pasmo przepustowe

pasmo zaporowe

A( ), ( )

w f w

górnoprzepustowy

pasmowozaporowy

pasmowoprzepustowy

dolnoprzepustowy

w

A( )

w

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

4

Filtry analogowe

Najczêœciej stosowane charakterystyki rzeczywiste
aproksymuj¹ce charakterystyki idealne to:

maksymalnie p³aska (wartoœæ modu³u

) -

Butterwortha

równomiernie falista (wartoœæ modu³u

) -

Czebyszewa

maksymalnie liniowej fazy

A( )

A( )

w

w

S t o s u n k o w o

p r o s t a

w

p r o j e k t o w a n i u

( a p r o k s y m a c j i

matematycznej). W stosunku do innych ma najbardziej plaski
przebieg

w paœmie przepustowym. Osi¹ga siê to kosztem

mniejszej stromoœci charakterystyki w paœmie zaporowym oraz
relatywnie nieliniowej charakterystyki fazowej.

Przy jej opisie wykorzystuje siê tzw. wielomiany Czebyszewa.
Stosunkowo z³o¿ona w projektowaniu (aproksymacji
matematycznej). W paœmie przepustowym charakteryzuje siê
jednakowymi odchy³kami od wartoœci œredniej. Filtr tego typu
odznacza siê dobrymi w³aœciwoœciami pasmowymi i filtracyjnymi.
Odbywa siê to kosztem nieliniowej charakterystyki fazowej i
gorszych w³aœciwoœci impulsowych (odpowiedŸ nieaperiodyczna).

Jest równoznaczna z maksymalnie p³ask¹ charakterystyk¹
opóŸnienia grupowego. Z³o¿ona w projektowaniu (aproksymacji
matematycznej); stosuje siê tutaj czêsto tzw. wielomiany Bessela
(filtr z charakterystyk¹ Thomsona). Odznacza siê równomiernym
przebiegiem charakterystyki fazowej kosztem niezbyt dobrych
w³aœciwoœci pasmowych i filtracyjnych. Filtr taki posiada zbli¿on¹
do aperiodycznej odpowiedŸ jednostkow¹ przez co chêtnie
stosowany jest w uk³adach impulsowych.

Aproksymacja idealnych charakterystyk czêstotliwoœciowych,

projektowanie filtrów analogowych (II)

Rys. 3. Amplitudowe charakterystyki

czêstotliwoœciowe filtrów dolnoprzepustowych

idealna

równomiernie falista

maksymalnie p³aska

w

g

w

k

0

k

0, œ

r

k

0, g

A( )

w

Jakkolwiek charakterystyki idealne i

aproksymacyjne odniesione zosta³y
tutaj do filtru dolnoprzepustowego, to
analogiczne metody aproksymacji
mog¹ byæ stosowane tak¿e przy
projektowaniu filtrów o innego typu
c h a r a k t e r y s t y k a c h
c z ê s t o t l i w o œ c i o w y c h ( n p .
górnoprzepustowych). Wymaga to
odpowiedniego przetransformowania
zmiennej .

w

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

5

Filtry analogowe

Transformacja czêstotliwoœci i metoda
obwiedni

1. Transformacja czêstotliwoœci

Metody te stosowane s¹ do projektowania filtrów
o

r ó ¿ n e g o

t y p u

c h a r a k t e r y s t y k a c h

czêstotliwoœciowych na bazie odpowiednika
dolnoprzepustowego.

Polega na takiej zamianie zmiennej s, po której
pierwotny uk³ad (prototyp) dolnoprzepustowy
ulega przekszta³ceniu w swój odpowiednik np.
œrodkowoprzepustowy, górnoprzepustowy itd.

P r z y k ³ a d .

T r a n s f o r m a c j a

u k ³ a d u

dolnoprzepustowego na œrodkowoprzepustowy

Odpowiednikiem œrdokowoprzepustowym reaktancji
indukcyjnej X = j L jest reaktancja obwodu równa zeru dla

=

i proporcjonalna do przetransformowanej zmiennej

czêstotliwoœciowej

. Takiej transformacji indukcyjnoœci L

odpowiada transformacja zmiennej czêstotliwoœciowej
wg zale¿noœci:

=

-

/

(5)

Ogólnie rzecz bior¹c, operator dolnoprzepustowy s
podlega transformacji na operator œrodkowoprzepustowy
p wg zale¿noœci:

p = s +

/s

(6)

g d z i e :

-

c z ê s t o t l i w o œ æ

œ r o d k o w a

f l t r u

pasmowoprzepustowego - rys. 4.

w

w w

W

W w w w

w

w

0

0

0

2

2

0

Natomiast transformacja odwrotna do (6) nie jest
jednoznaczna !

Dla w¹skiego przedzia³u czêstotliwoœci

:

2(

)

(7)

p 2(s

j

)

(8)

Czynnik 2 uwzglêdnia tutaj przesuniêcie na osi

w

kierunku czêstotliwoœci dodatnich, sk³adowych
ujemnoczêstotliwoœciowych. Wskutek czego

dla

zachowania wartoœci powierzchni pola (a zatem mocy
sygna³u), charakterystyki pasmowoprzepustowe musz¹ byæ
2 -

k r o t n i e

w ê ¿ s z e

o d

i c h

o d p o w i e d n i k ó w

dolnoprzepustowych (rys. 5).

w » w

W » w-w

»

-/+ w

w -

-

0

0

0

Projektowanie filtrów analogowych (III)

Rys. 4. Równowa¿ne
elementy dolno-
i pasmowoprzepustowe

w

0

2

= 1/LC

L

C

R

R

L

C

L

C

Rys. 5. Amplitudowe charakterystyki czêstotliwoœciowe

równowa¿nych uk³adów: dolno- i pasmowoprzepustowego

w

g

w

g

w

0

w

k

0

k

0

Ö

2

A( )

w

Dobroæ filtru:
Q =

/

w w

0

g

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

6

Filtry analogowe

W analogiczny sposób dokonaæ mo¿na transformacji uk³adu dolnoprzepustowego na:

nastêpuje zamiana indukcyjnoœci (pojemnoœci) na pojemnoœci (indukcyjnoœci)

p=1/s

(9)

nastêpuje zamiana indukcyjnoœci (pojemnoœci) na obwód rezonansu równoleg³ego (szeregowego)

p=1/(s+

/s)

(10)

górnoprzepustowy

pasmowozaporowy

w

0

2

Projektowanie filtrów analogowych (IV)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

7

Filtry analogowe

2. Metoda obwiedni

obwiednia odpowiedzi

odpowiedŸ

oprogramowania

in¿ynierskiego typu CAD

W przypadku uk³adów w¹skopasmowych, dla których s³uszne s¹ zale¿noœci (7), (8) transformacja

czêstotliwoœci - odniesiona do opisu tych samych uk³adów w dziedzinie czasu, prowadzi do tzw. metody

obwiedni.

Je¿eli bowiem

, to funkcja

posiada transformatê

. Wyra¿enie

jest

ogólnym opisem przebiegu sinusoidalnego o czêstotliwoœci równej

zmodulowanego amplitudowo

funkcj¹

- st¹d nazwa metody. A zatem

w¹skopamowego uk³adu

pasmowoprzepustowego na pobudzenie przebiegiem impulsowym jest taka sama jak

pierwotnego uk³adu dolnoprzepustowego, co ilustruje rys. 6.

Filtry projektuje siê obecnie przy

wykorzystaniu

(CAD - ang.

Computer Added Designing), w tym

u d o s t ê p n i a n e g o

n a

w ³ a s n y c h

witrynach WWW przez producentów

mikrouk³adów elektronicznych !

f(t) <-> F(s)

f(t)e

F(s-s )=F(p/2)

f(t)e

f

f(t)

j

t

j

t

w

w

0

0

0

0

Projektowanie filtrów analogowych (V)

y(t)

y (t)

p

t

t

Rys. 6. Odpowiedzi impulsowe
równowa¿nych uk³adów:
a) dolno

,

b) pasmowoprzepustowego

przepustowego

a)

b)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

background image

Rys. 7. Górnoprzepustowy f

ze wzmacniaczem operacyjnym

w uk³adzie Sallena-Keya oraz jego podstawowe parametry

iltr aktywny

Dolna czêstotliwoœæ graniczna:
(R =R =R, C =C =C): f

=1/(2 RC)

Wzmocnienie napiêciowe:
k =

Dobroæ:
Q=1/(3-k )

Nachylenie charakterystyki:
12 dB/okt.

1

2

1

2

d.gr.

0

0

p

1+ R /R

3

4

U

we

U

wy

R

1

C

1

R

3

R

2

C

2

R

4

8

Filtry analogowe

Pod wzglêdem

filtry analogowe podzieliæ mo¿na na:

sposobu realizacji

pasywne (RC, LC)

aktywne (RC, LC)

ceramiczne (kwarcowe)

Filtry te buduje siê przy wykorzystaniu wy³¹cznie elementów pasywnych: rezystorów, cewek
(pojedynczych lub sprzê¿onych) oraz kondensatorów. Uk³ady LC wykorzystuje siê przy wysokich i b.
wysokich czêstotliwoœciach (radiowych i telewizyjnych) oraz tam, gdzie istotna jest du¿a sprawnoœæ
energetyczna (filtry energetyczne). Maj¹ one na ogó³ gorsz¹ sta³oœæ parametrów ni¿ realizacje RC ale
pozwalaj¹ osi¹gaæ wartoœci pewnych parametrów (np. dobroci) które s¹ niemo¿liwe do osi¹gniêcia w
realizacjach RC. Filtry LC s¹ trudno przestrajalne.

Filtry te buduje siê przy wykorzystaniu
elementów pasywnych - g³ównie R i C
oraz elementów aktywnych (np.
tranzystorów) lub z³o¿onych uk³adów
elektronicznych (np. wzmacniaczy
operacyjnych - rys. 7).

. Filtry aktywne

LC pracuj¹ zwykle w zakresie w.cz. - w roli wzmacniaczy selektywnych. Znajduj¹ zastosowanie w
technice radiowej, telewizyjnej oraz telekomunikacji. Filtry aktywne s¹ zwykle ³atwiej przestrajalne ni¿
pasywne.

Filtry te charakteryzuj¹ siê wybitnie dobrymi w³aœciwoœciami filtracyjnymi oraz bardzo du¿¹ sta³oœci¹
parametrów w czasie. Ich wad¹ jest praktyczna nieprzestrajalnoœæ. Znajduj¹ zastosowanie w technice
radiowej, telewizyjnej oraz telekomunikacji.

Mog¹

posiadaæ w³aœciwoœci (g³ównie
c h a r a k t e r y s t y k i
czêstotliwoœciowe) nieosi¹galne w
uk³adach pasywnych

Realizacje filtrów analogowych

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
EAiC materiały wykładowe 3(full permission)
EAiC materiały wykładowe 2(full permission)
EAiC materiały wykładowe 5(full permission)
EAiC materiały wykładowe 3(full permission)
EAiC materiały wykładowe 1B serw(full permission)
EAiC materiały wykładowe 1A serw(full permission)
oddzialywanie promieniowania slonecznego z atmosfera(full permission)
14 materiały wykład I
23 materiały wykład II
Mięśnie grzbietu, Pierwsza pomoc, materiały, wykłady itp, Anatomia
Materiały z wykładu strategie marketingu
Techniki Negocjacji i Mediacji kompletny materiał z wykładów
11 materiały wykład II
25 materiały wykład II
19 materiały wykład I
EiE materiały wykładowe 4 serw decrypted
10 Programowa obsługa sygnałów analogowych materiały wykładowe
13 materiały wykład I
02 materiały wykład II

więcej podobnych podstron