1
Filtry analogowe
W³aœciwoœci uk³adów liniowych, funkcja przenoszenia (I)
Z matematycznego punktu widzenia uk³adem liniowym nazywa siê taki uk³ad, który mo¿e byæ opisany
za pomoc¹ liniowych równañ ró¿niczkowych. Istotn¹ w³aœciwoœci¹ uk³adów liniowych jest to, ¿e
spe³niaj¹ one zasadê
i
.
W uk³adzie liniowym zawieraj¹cym sta³e elementy skupione zale¿noœæ miêdzy sygna³ami
wyjœciowym
a wejœciowym
mo¿e byæ opisana za pomoc¹
:
(1)
przy czym:
- wspó³czynniki rzeczywiste;
.
Pierwiastki zespolone
,
s¹, odpowiednio, zerami oraz biegunami funkcji przenoszenia
.
Rozk³ad zer i biegunów na p³aszczyŸnie zmiennej
opisuje w³asnoœci funkcji przenoszenia uk³adu.
Poniewa¿ wspó³czynniki wielomianów
,
s¹ rzeczywiste wiêc zera i bieguny s¹ liczbami
rzeczywistymi albo wystêpuj¹ w parach zespolonych sprzê¿onych.
y(t)
x(t)
Y(s)= {y(t)}; X(s)=
{x(t)}
K(s)
k(t) bêd¹c¹ tzw.
(t)
x(t) = (t) ),
k(t) =
{K(s)}
operatorowej funkcji
przenoszenia
bêd¹c¹ wymiern¹ funkcj¹ zespolonej pulsacji
K(s)
s= +j
d w
K(s)=Y(s) / X(s) = [b s +b
s
+...+b ] / [a s +a s +...+a ]=
= [b (s-z )...(s-z )] / [a (s-s )...(s-s )] = L(s) / M(s)
a , b
z s
K(s)
s
L(s) M(s)
m
m -
1
0
n
n-1
0
m
1
m
n
1
n
j
i
i
j
m
m -
1
n
n-1
L
L
L
Operatorowa funkcja przenoszenia
jest transformat¹ Laplace'a funkcji
odpowiedzi¹ impulsow¹ uk³adu czyli odpowiedzi¹ na pobudzenie w postaci funkcji Diraca
( tzn
kiedy:
co z kolei oznacza, ¿e:
.
d
d
-1
Warunek ten jest spe³niony je¿eli czêœci
rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego
s¹ ujemne, tzn. bieguny funkcji
przenoszenia
le¿¹ w lewej pó³p³aszczyŸnie zmiennej .
M(s)
K(s)
s
superpozycji proporcjonalnoœci
Uk³ad opisany funkcj¹ przenoszenia (1) jest stabilny je¿eli dla wymuszenia
o skoñczonym
czasie trwania odpowiedŸ
zanika do zera.
x(t)
y(t)
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
2
Filtry analogowe
Doprowadzaj¹c na wejœcie uk³adu sygna³ sinusoidalny otrzymuje siê czêstotliwoœciow¹ funkcjê
przenoszenia
, tzn:
(2)
która, bêd¹c zespolon¹ funkcj¹ pulsacji
, mo¿e byæ przedstawiona za pomoc¹ dwóch sk³adowych:
czêœci rzeczywistej
i urojonej
b¹d¿ modu³u
i fazy
. CzeϾ urojona
i
charakterystyka fazowa
s¹ funkcjami nieparzystymi zmiennej
natomiast czêœæ rzeczywista
i charakterystyka amplitudowa
funkcjami parzystymi. Definiuje siê ponadto tzw. opóŸnienie
grupowe
:
(3)
W uk³adach stabilnych sk³adow¹ rzeczywist¹
oraz urojon¹
wi¹¿¹ zale¿noœci ca³kowe
zwane
.
Wa¿n¹ klasê uk³adów liniowych stawnowi¹
dla których danej
charakterystyce
odpowiada minimalna wartoϾ fazy
.
W uk³adach takich charakterystyki amplitudowa i fazowa powi¹zane s¹
zale¿noœciami ca³kowymi zwanymi
.
Dla dowolnej minmalnofazowej funkcji wymiernej
, której licznik i mianownik przedstawiæ mo¿na
zawsze w postaci iloczynów wielomianów I- i II-stopnia, zastosowaæ mo¿na aproksymacjê
charakterystyk czêstotliwoœciowych asymptotycznymi odcinkami prostej otrzymuj¹c tzw.
. Wartoœci na osi rzêdncyh i odciêtych wyra¿ane s¹ tutaj w
skali logarytmicznej. Inaczej mówi¹c, przy opisie uk³adów minimalnofazowych skorzystaæ mo¿na z
w³aœciwoœci superpozycji logarytmicznych charakterystyk amplitudowo fazowych.
K(j )
K(j ) = K(s) |
= A( ) e
= P( )+jQ( )
P( )
Q( )
A( )
( )
Q( )
( )
P( )
A( )
( )
( ) = - d ( )/d
P( )
Q( )
A( )
( )
K(j )
w
w
w
w
w
w
w
w
w
f w
w
f w
w
w
w
t w
t w
f w w
w
w
w
f w
w
s=jw
j ( )
f w
zwi¹zkami Hilberta
tzw. uk³ady minimalnofazowe
Stabilne uk³ady minimalnofazowe
odznaczaj¹ siê tym, ¿e nie tylko bieguny ale i zera funkcji przenoszenia le¿¹ w lewej
pó³p³aszczyŸnie zmiennej .
zwi¹zkami Bodego
charakterystyki asymptotyczne Bodego
s
W³aœciwoœci uk³adów liniowych, funkcja przenoszenia (II)
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
3
Filtry analogowe
W ogólnym przypadku za idealny uk³ad niezniekszta³caj¹cy przyjmuje siê taki uk³ad, którego funkcja
przenoszenia dana jest wzorem:
(4)
czyli:
,
Idealny uk³ad niezniekszta³caj¹cy odznacza siê wiêc niezale¿n¹ od czêstotliwoœci charakterystyk¹
amplitudow¹ oraz liniow¹ charakterystyk¹ fazow¹ (a co za tym idzie, sta³¹ wartoœci¹ opóŸnienia).
Idealna charakterystyka - w sensie wzoru (4) nie mo¿e byæ zrealizowana w oparciu o rzeczywiste
uk³ady liniowe zawieraj¹ce sta³e elementy skupione, dlatego te¿ w procesie projektowania uk³adu
stosuje siê zawê¿one pojêcia charakterystyk idealnych.
Projektowanie uk³adów liniowych polega na aproksymacji pewnych charakterystyk przyjêtych za
idealne za pomoc¹ charakterystyk mo¿liwych do osi¹gniêcia w uk³adach rzeczywistych. Odnosi siê to
zarówno do charakterystyk amplitudowych, jak i fazowych.
Bardzo istotn¹ u¿ytkowo i niezwykle szeroko stosowan¹ klas¹ uk³adów liniowych s¹
bêd¹ce strukturami maj¹cymi zadanie oddzia³ywania na okreœlone sk³adowe czêstotliwoœciowe
sygna³u.
K(j ) = k e
A( ) = k , ( )=-
( ) = -
w
w
f w wt t w
t
0
0
0
0
-jw t
0
filtry analogowe
Jednym z najistotniejszych jest podzia³ filtrów pod k¹tem
w³aœciwoœci czêstotliwoœciowych. Rozró¿nia siê zatem filtry:
.
d o l n o p r z e p u s t o w e ,
g ó r n o p r z e p u s t o w e ,
pasmowoprzepustowe, pasmowozaporowe, mieszane
Aproksymacja idealnych charakterystyk czêstotliwoœciowych,
projektowanie filtrów analogowych (I)
Rys. 1. Charakterystyki
czêstotliwoœciowe
idealnego filtru
dolnoprzepustowego
Rys. 2. Charakterystyki
czêstotliwoœciowe
filtrów rzeczywistych
pasmo zaporowe
w
g
w
-w
g
k
0
pasmo przepustowe
pasmo zaporowe
A( ), ( )
w f w
górnoprzepustowy
pasmowozaporowy
pasmowoprzepustowy
dolnoprzepustowy
w
A( )
w
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
4
Filtry analogowe
Najczêœciej stosowane charakterystyki rzeczywiste
aproksymuj¹ce charakterystyki idealne to:
maksymalnie p³aska (wartoœæ modu³u
) -
Butterwortha
równomiernie falista (wartoœæ modu³u
) -
Czebyszewa
maksymalnie liniowej fazy
A( )
A( )
w
w
S t o s u n k o w o
p r o s t a
w
p r o j e k t o w a n i u
( a p r o k s y m a c j i
matematycznej). W stosunku do innych ma najbardziej plaski
przebieg
w paœmie przepustowym. Osi¹ga siê to kosztem
mniejszej stromoœci charakterystyki w paœmie zaporowym oraz
relatywnie nieliniowej charakterystyki fazowej.
Przy jej opisie wykorzystuje siê tzw. wielomiany Czebyszewa.
Stosunkowo z³o¿ona w projektowaniu (aproksymacji
matematycznej). W paœmie przepustowym charakteryzuje siê
jednakowymi odchy³kami od wartoœci œredniej. Filtr tego typu
odznacza siê dobrymi w³aœciwoœciami pasmowymi i filtracyjnymi.
Odbywa siê to kosztem nieliniowej charakterystyki fazowej i
gorszych w³aœciwoœci impulsowych (odpowiedŸ nieaperiodyczna).
Jest równoznaczna z maksymalnie p³ask¹ charakterystyk¹
opóŸnienia grupowego. Z³o¿ona w projektowaniu (aproksymacji
matematycznej); stosuje siê tutaj czêsto tzw. wielomiany Bessela
(filtr z charakterystyk¹ Thomsona). Odznacza siê równomiernym
przebiegiem charakterystyki fazowej kosztem niezbyt dobrych
w³aœciwoœci pasmowych i filtracyjnych. Filtr taki posiada zbli¿on¹
do aperiodycznej odpowiedŸ jednostkow¹ przez co chêtnie
stosowany jest w uk³adach impulsowych.
Aproksymacja idealnych charakterystyk czêstotliwoœciowych,
projektowanie filtrów analogowych (II)
Rys. 3. Amplitudowe charakterystyki
czêstotliwoœciowe filtrów dolnoprzepustowych
idealna
równomiernie falista
maksymalnie p³aska
w
g
w
k
0
k
0, œ
r
k
0, g
A( )
w
Jakkolwiek charakterystyki idealne i
aproksymacyjne odniesione zosta³y
tutaj do filtru dolnoprzepustowego, to
analogiczne metody aproksymacji
mog¹ byæ stosowane tak¿e przy
projektowaniu filtrów o innego typu
c h a r a k t e r y s t y k a c h
c z ê s t o t l i w o œ c i o w y c h ( n p .
górnoprzepustowych). Wymaga to
odpowiedniego przetransformowania
zmiennej .
w
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
5
Filtry analogowe
Transformacja czêstotliwoœci i metoda
obwiedni
1. Transformacja czêstotliwoœci
Metody te stosowane s¹ do projektowania filtrów
o
r ó ¿ n e g o
t y p u
c h a r a k t e r y s t y k a c h
czêstotliwoœciowych na bazie odpowiednika
dolnoprzepustowego.
Polega na takiej zamianie zmiennej s, po której
pierwotny uk³ad (prototyp) dolnoprzepustowy
ulega przekszta³ceniu w swój odpowiednik np.
œrodkowoprzepustowy, górnoprzepustowy itd.
P r z y k ³ a d .
T r a n s f o r m a c j a
u k ³ a d u
dolnoprzepustowego na œrodkowoprzepustowy
Odpowiednikiem œrdokowoprzepustowym reaktancji
indukcyjnej X = j L jest reaktancja obwodu równa zeru dla
=
i proporcjonalna do przetransformowanej zmiennej
czêstotliwoœciowej
. Takiej transformacji indukcyjnoœci L
odpowiada transformacja zmiennej czêstotliwoœciowej
wg zale¿noœci:
=
-
/
(5)
Ogólnie rzecz bior¹c, operator dolnoprzepustowy s
podlega transformacji na operator œrodkowoprzepustowy
p wg zale¿noœci:
p = s +
/s
(6)
g d z i e :
-
c z ê s t o t l i w o œ æ
œ r o d k o w a
f l t r u
pasmowoprzepustowego - rys. 4.
w
w w
W
W w w w
w
w
0
0
0
2
2
0
Natomiast transformacja odwrotna do (6) nie jest
jednoznaczna !
Dla w¹skiego przedzia³u czêstotliwoœci
:
2(
)
(7)
p 2(s
j
)
(8)
Czynnik 2 uwzglêdnia tutaj przesuniêcie na osi
w
kierunku czêstotliwoœci dodatnich, sk³adowych
ujemnoczêstotliwoœciowych. Wskutek czego
dla
zachowania wartoœci powierzchni pola (a zatem mocy
sygna³u), charakterystyki pasmowoprzepustowe musz¹ byæ
2 -
k r o t n i e
w ê ¿ s z e
o d
i c h
o d p o w i e d n i k ó w
dolnoprzepustowych (rys. 5).
w » w
W » w-w
»
-/+ w
w -
-
0
0
0
Projektowanie filtrów analogowych (III)
Rys. 4. Równowa¿ne
elementy dolno-
i pasmowoprzepustowe
w
0
2
= 1/LC
L
C
R
R
L
C
L
C
Rys. 5. Amplitudowe charakterystyki czêstotliwoœciowe
równowa¿nych uk³adów: dolno- i pasmowoprzepustowego
w
g
w
g
w
0
w
k
0
k
0
Ö
2
A( )
w
Dobroæ filtru:
Q =
/
w w
0
g
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
6
Filtry analogowe
W analogiczny sposób dokonaæ mo¿na transformacji uk³adu dolnoprzepustowego na:
nastêpuje zamiana indukcyjnoœci (pojemnoœci) na pojemnoœci (indukcyjnoœci)
p=1/s
(9)
nastêpuje zamiana indukcyjnoœci (pojemnoœci) na obwód rezonansu równoleg³ego (szeregowego)
p=1/(s+
/s)
(10)
górnoprzepustowy
pasmowozaporowy
w
0
2
Projektowanie filtrów analogowych (IV)
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
7
Filtry analogowe
2. Metoda obwiedni
obwiednia odpowiedzi
odpowiedŸ
oprogramowania
in¿ynierskiego typu CAD
W przypadku uk³adów w¹skopasmowych, dla których s³uszne s¹ zale¿noœci (7), (8) transformacja
czêstotliwoœci - odniesiona do opisu tych samych uk³adów w dziedzinie czasu, prowadzi do tzw. metody
obwiedni.
Je¿eli bowiem
, to funkcja
posiada transformatê
. Wyra¿enie
jest
ogólnym opisem przebiegu sinusoidalnego o czêstotliwoœci równej
zmodulowanego amplitudowo
funkcj¹
- st¹d nazwa metody. A zatem
w¹skopamowego uk³adu
pasmowoprzepustowego na pobudzenie przebiegiem impulsowym jest taka sama jak
pierwotnego uk³adu dolnoprzepustowego, co ilustruje rys. 6.
Filtry projektuje siê obecnie przy
wykorzystaniu
(CAD - ang.
Computer Added Designing), w tym
u d o s t ê p n i a n e g o
n a
w ³ a s n y c h
witrynach WWW przez producentów
mikrouk³adów elektronicznych !
f(t) <-> F(s)
f(t)e
F(s-s )=F(p/2)
f(t)e
f
f(t)
j
t
j
t
w
w
0
0
0
0
Projektowanie filtrów analogowych (V)
y(t)
y (t)
p
t
t
Rys. 6. Odpowiedzi impulsowe
równowa¿nych uk³adów:
a) dolno
,
b) pasmowoprzepustowego
przepustowego
a)
b)
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV
Rys. 7. Górnoprzepustowy f
ze wzmacniaczem operacyjnym
w uk³adzie Sallena-Keya oraz jego podstawowe parametry
iltr aktywny
Dolna czêstotliwoœæ graniczna:
(R =R =R, C =C =C): f
=1/(2 RC)
Wzmocnienie napiêciowe:
k =
Dobroæ:
Q=1/(3-k )
Nachylenie charakterystyki:
12 dB/okt.
1
2
1
2
d.gr.
0
0
p
1+ R /R
3
4
U
we
U
wy
R
1
C
1
R
3
R
2
C
2
R
4
8
Filtry analogowe
Pod wzglêdem
filtry analogowe podzieliæ mo¿na na:
sposobu realizacji
pasywne (RC, LC)
aktywne (RC, LC)
ceramiczne (kwarcowe)
Filtry te buduje siê przy wykorzystaniu wy³¹cznie elementów pasywnych: rezystorów, cewek
(pojedynczych lub sprzê¿onych) oraz kondensatorów. Uk³ady LC wykorzystuje siê przy wysokich i b.
wysokich czêstotliwoœciach (radiowych i telewizyjnych) oraz tam, gdzie istotna jest du¿a sprawnoœæ
energetyczna (filtry energetyczne). Maj¹ one na ogó³ gorsz¹ sta³oœæ parametrów ni¿ realizacje RC ale
pozwalaj¹ osi¹gaæ wartoœci pewnych parametrów (np. dobroci) które s¹ niemo¿liwe do osi¹gniêcia w
realizacjach RC. Filtry LC s¹ trudno przestrajalne.
Filtry te buduje siê przy wykorzystaniu
elementów pasywnych - g³ównie R i C
oraz elementów aktywnych (np.
tranzystorów) lub z³o¿onych uk³adów
elektronicznych (np. wzmacniaczy
operacyjnych - rys. 7).
. Filtry aktywne
LC pracuj¹ zwykle w zakresie w.cz. - w roli wzmacniaczy selektywnych. Znajduj¹ zastosowanie w
technice radiowej, telewizyjnej oraz telekomunikacji. Filtry aktywne s¹ zwykle ³atwiej przestrajalne ni¿
pasywne.
Filtry te charakteryzuj¹ siê wybitnie dobrymi w³aœciwoœciami filtracyjnymi oraz bardzo du¿¹ sta³oœci¹
parametrów w czasie. Ich wad¹ jest praktyczna nieprzestrajalnoœæ. Znajduj¹ zastosowanie w technice
radiowej, telewizyjnej oraz telekomunikacji.
Mog¹
posiadaæ w³aœciwoœci (g³ównie
c h a r a k t e r y s t y k i
czêstotliwoœciowe) nieosi¹galne w
uk³adach pasywnych
Realizacje filtrów analogowych
Elektronika Analogowa i Cyfrowa
MCHT, Sem. IV