Matematyka A, kolokwium poprawkowe, 16 stycznia 2007, 12:30 — ?
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne
osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza
,
cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n
elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusz-
nik´ow serca.
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (5 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
n→∞
7, 1
n
− 3 ·
√
n
5
· 7
n
+
5
√
n
2
· 7
n
+ 2n!
−2 · n · 7
n+1
+ n! + 13 · 7, 1
n
+ 11 · n
2008
· 7
n
.
2. (5 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
n→∞
ln(5
3
√
n
4
+
7
p
n +
√
n − n)
ln(5n
2
+ 3n + sin(π
√
n
2
+ 1 ))
.
Wyja´sni´c, czy istnieje taka liczba naturalna k > 1 , ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej
n > k zachodzi nier´owno´s´c lim
n→∞
ln(5
3
√
n
4
+
7
p
n +
√
n − n)
ln(5n
2
+ 3n + sin(π
√
n
2
+ 1 ))
>
3
4
.
3. Niech a
n
=
1
4n
+
1
4n + 2
+
1
4n + 4
+
1
4n + 6
+ · · · +
1
6n − 4
+
1
6n − 2
+
1
6n
.
(2 pt.) Obliczy´c a
1
, a
2
i a
3
i wypisa´c je w kolejno´sci maleja
,
cej.
(8 pt.) Wykaza´c, ˙ze cia
,
g (a
n
) ma sko´
nczona
,
granice
,
i ˙ze ta granica jest r´o˙zna od 0 .
4. (10 pt.) Znale´z´c pochodne naste
,
puja
,
cych funkcji:
arctg(x
2
) ,
sin(3x)
cos(2x)
,
ln(tg x + ctg x) + ln(cos x) − ln
x
sin x
okre´slonych na przedziale (0,
π
4
) .
5. Niech f (x) =
3
q
x
4
−
2
x
2
.
(3 pt.) W jakich punktach funkcja f nie ma sko´
nczonej pochodnej (tzn. jest nier´o˙znicz-
kowalna)? Odpowied´z nale˙zy uzasadni´c.
(4 pt.) Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest ´sci´sle rosna
,
ca, na kt´orych jest ´sci´sle
maleja
,
ca.
(3 pt.) Korzystaja
,
c z uzyskanych rezultat´ow naszkicowa´c wykres funkcji f .
Nie bada´c wypuk lo´sci, nie szuka´c asymptot . . .
6. (10 pt.) Znale´z´c promie´
n podstawy i wysoko´s´c tego sto˙zka opisanego na kuli o promie-
niu 1 , kt´ory ma najmniejsza
,
obje
,
to´s´c spo´sr´od wszystkich opisanych na tej kuli.