Matematyka A, kolokwium poprawkowe, 16 stycznia 2007, 12:30 — ?

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´ow serca.

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (5 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

n→∞

7, 1

n

− 3 ·

√

n

5

· 7

n

+

5

√

n

2

· 7

n

+ 2n!

−2 · n · 7

n+1

+ n! + 13 · 7, 1

n

+ 11 · n

2008

· 7

n

.

2. (5 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

n→∞

ln(5

3

√

n

4

+

7

p

n +

√

n − n)

ln(5n

2

+ 3n + sin(π

√

n

2

+ 1 ))

.

Wyja´sni´c, czy istnieje taka liczba naturalna k > 1 , ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej

n > k zachodzi nier´owno´s´c lim

n→∞

ln(5

3

√

n

4

+

7

p

n +

√

n − n)

ln(5n

2

+ 3n + sin(π

√

n

2

+ 1 ))

>

3
4

.

3. Niech a

n

=

1

4n

+

1

4n + 2

+

1

4n + 4

+

1

4n + 6

+ · · · +

1

6n − 4

+

1

6n − 2

+

1

6n

.

(2 pt.) Obliczy´c a

1

, a

2

i a

3

i wypisa´c je w kolejno´sci maleja

,

cej.

(8 pt.) Wykaza´c, ˙ze cia

,

g (a

n

) ma sko´

nczona

,

granice

,

i ˙ze ta granica jest r´o˙zna od 0 .

4. (10 pt.) Znale´z´c pochodne naste

,

puja

,

cych funkcji:

arctg(x

2

) ,

sin(3x)

cos(2x)

,

ln(tg x + ctg x) + ln(cos x) − ln

x

sin x

okre´slonych na przedziale (0,

π

4

) .

5. Niech f (x) =

3

q

x

4

−

2

x

2

.

(3 pt.) W jakich punktach funkcja f nie ma sko´

nczonej pochodnej (tzn. jest nier´o˙znicz-

kowalna)? Odpowied´z nale˙zy uzasadni´c.

(4 pt.) Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest ´sci´sle rosna

,

ca, na kt´orych jest ´sci´sle

maleja

,

ca.

(3 pt.) Korzystaja

,

c z uzyskanych rezultat´ow naszkicowa´c wykres funkcji f .

Nie bada´c wypuk lo´sci, nie szuka´c asymptot . . .

6. (10 pt.) Znale´z´c promie´

n podstawy i wysoko´s´c tego sto˙zka opisanego na kuli o promie-

niu 1 , kt´ory ma najmniejsza

,

obje

,

to´s´c spo´sr´od wszystkich opisanych na tej kuli.