1sze Kolokwium z RRC1 grupa A

Imi ¾

e i nazwisko, numer albumu:

nr grupy:

1. Wykorzystuj ¾

ac de…nicj ¾

e granicy wyka·

z, ·

ze

lim

n

!+1

4

3n

2n + 1

=

3
2

:

2. Wyznacz z de…nicji kresy zbioru

A =

2 +

p

n + 1

3

: n 2 N

3. Narysuj podany zbiór i odczytaj jego kresy

f 4; 0; 1g [ [ 3; 1] [ ( 5; 4):

4. Niech f : R ! R b ¾

edzie dana wzorem:

f (x) =

8

<

:

4x

2

;

dla

x < 0

2;

dla

x = 0

x + 4;

dla

x > 0

:

Sprawd´z, czy funkcja jest bijekcj ¾

a i je´sli jest, to wyznacz f

1

.

5. Zbadaj parzysto´s´c i nieparzysto´s´c funkcji f (x) = 2x

2

x

+1

2

x

1

.

6. Zbadaj czy funkcja f : (0; 1) ! (0; 1) dana wzorem f(x) = 2x +

2

x

jest

monotoniczna.

7. Obliczy´c lim

n

!1

1

n

4

(n

2

+ 1) (n + 1) n

p

4

.

8. Obliczy´c lim

n

!1

n

p

2 3

n

+ 2

n

cos

2

n .

9. Korzystaj ¾

ac z twierdzenia o dwóch ci ¾

agach obliczy´c granic ¾

e ci ¾

agu (a

n

)

n

2N

okre´slonego wzorem

a

n

=

8

>

<

>

:

( 1)

n

n

; je·

zeli n

10;

(2 arctg n

5) n

2

; je·

zeli n > 10:

10. Obliczy´c lim

n

!1

8n

3

8n + 3

4n+1

.

1

ZADANIA TEORETYCZNE

1. Podaj de…nicje (opisow ¾

a bez u·

zycia symbolu ") kresu górnego niepustego

podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.

2. Poda´c de…nicj ¾

e podzbioru otwartego zbioru liczb rzeczywistych.

3. Wyja´sni´c na przyk÷

adzie znaczenie zwrotu "wyra·

zenie typu

1

1

jest nieoz-

naczone"

4. Oceni´c prawdziwo´s´c zdania: Je´sli a

n

! 0 i a

n

6= 0 dla n 2 N to

1

a

n

! 1:

5. Dane s ¾

a funkcje f; g : R ! R. Wiadomo, ·

ze funkcja f + g jest ci ¾

ag÷

a. Czy

funkcje f oraz g s ¾

a równie·

z ci ¾

ag÷

e?

6. Poda´c de…nicj ¾

e funkcji "na". Poda´c przyk÷

ad funkcji, która jest "na" i

takiej, która nie jest "na".

7. Dana jest funkcja ci ¾

ag÷

a f : R ! R o takiej w÷asno´sci, ·

ze f (1) < 0 oraz

f (2) > 0. Czy równanie f (x) = 0 posiada rozwi ¾

azanie dla x 2 (1; 2)?

8. Poda´c de…nicj ¾

e jednostajnej ci ¾

ag÷

o´sci i jej zwi ¾

azku z ci ¾

ag÷

o´sci ¾

a dla funkcji

f : R ! R.

9. Poda´c de…nicj ¾

e ci ¾

agu malej ¾

acego. Sformu÷

owa´c i udowodni´c twierdzenie o

zbie·

zno´sci ci ¾

agu malej ¾

acego i ograniczonego.

10. Sformu÷

owa´c lemat Bolzano - podac szkic dowodu.

2