EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1B (09.02.06)

IMiR, rok 1C

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj definicje injekcji i surjekcji.
Sprawdź czy funkcja f (x) = ln(x

2

− 1) jest injekcją, surjekcją.

Zadanie 2. Podaj definicję Heinego i Cauchy’ego niewłaściwej granicy prawostron-
nej funkcji w punkcie:

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞.

Oblicz granicę

lim

x→0

+

x

x

√

2.

Zadanie 3. Podaj i udowodnij twierdzenie Lagrange’a.
Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji f (x) = arcctg(

1

x

3

−x

).

Zadanie 4. Jaki związek zachodzi między

Z

b

a

|f (x)| dx a |

Z

b

a

f (x) dx|? Podaj

przykład przedziału < a; b > i funkcji f :< a; b >→ R, dla których

Z

b

a

|f (x)| dx 6= |

Z

b

a

f (x) dx|.

Oblicz całkę nieoznaczoną

Z

p

4x

2

− 16x dx.

Zadanie 5. Podaj wzór de Moivre’a określający postać potęgi z liczby zespolonej.
Oblicz (1 − i)

15

.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1B (09.02.06)

IMiR, rok 1C

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj definicje injekcji i surjekcji.
Sprawdź czy funkcja f (x) = ln(x

2

− 1) jest injekcją, surjekcją.

Zadanie 2. Podaj definicję Heinego i Cauchy’ego niewłaściwej granicy prawostron-
nej funkcji w punkcie:

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞.

Oblicz granicę

lim

x→0

+

x

x

√

2.

Zadanie 3. Podaj i udowodnij twierdzenie Lagrange’a.
Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji f (x) = arcctg(

1

x

3

−x

).

Zadanie 4. Jaki związek zachodzi między

Z

b

a

|f (x)| dx a |

Z

b

a

f (x) dx|? Podaj

przykład przedziału < a; b > i funkcji f :< a; b >→ R, dla których

Z

b

a

|f (x)| dx 6= |

Z

b

a

f (x) dx|.

Oblicz całkę nieoznaczoną

Z

p

4x

2

− 16x dx.

Zadanie 5. Podaj wzór de Moivre’a określający postać potęgi z liczby zespolonej.
Oblicz (1 − i)

15

.