EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1B (09.02.06)
IMiR, rok 1C
Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj definicje injekcji i surjekcji.
Sprawdź czy funkcja f (x) = ln(x
2
− 1) jest injekcją, surjekcją.
Zadanie 2. Podaj definicję Heinego i Cauchy’ego niewłaściwej granicy prawostron-
nej funkcji w punkcie:
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞.
Oblicz granicę
lim
x→0
+
x
x
√
2.
Zadanie 3. Podaj i udowodnij twierdzenie Lagrange’a.
Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji f (x) = arcctg(
1
x
3
−x
).
Zadanie 4. Jaki związek zachodzi między
Z
b
a
|f (x)| dx a |
Z
b
a
f (x) dx|? Podaj
przykład przedziału < a; b > i funkcji f :< a; b >→ R, dla których
Z
b
a
|f (x)| dx 6= |
Z
b
a
f (x) dx|.
Oblicz całkę nieoznaczoną
Z
p
4x
2
− 16x dx.
Zadanie 5. Podaj wzór de Moivre’a określający postać potęgi z liczby zespolonej.
Oblicz (1 − i)
15
.
EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1B (09.02.06)
IMiR, rok 1C
Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj definicje injekcji i surjekcji.
Sprawdź czy funkcja f (x) = ln(x
2
− 1) jest injekcją, surjekcją.
Zadanie 2. Podaj definicję Heinego i Cauchy’ego niewłaściwej granicy prawostron-
nej funkcji w punkcie:
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞.
Oblicz granicę
lim
x→0
+
x
x
√
2.
Zadanie 3. Podaj i udowodnij twierdzenie Lagrange’a.
Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji f (x) = arcctg(
1
x
3
−x
).
Zadanie 4. Jaki związek zachodzi między
Z
b
a
|f (x)| dx a |
Z
b
a
f (x) dx|? Podaj
przykład przedziału < a; b > i funkcji f :< a; b >→ R, dla których
Z
b
a
|f (x)| dx 6= |
Z
b
a
f (x) dx|.
Oblicz całkę nieoznaczoną
Z
p
4x
2
− 16x dx.
Zadanie 5. Podaj wzór de Moivre’a określający postać potęgi z liczby zespolonej.
Oblicz (1 − i)
15
.