Mediana  i jej wykorzystanie 

Mediana – wartość środkowa 

M

x 

M

e

 

 
 

zagadnienia 

• Określenie 
• Wyznaczanie M

x

 z szeregu prostego 

• Wyznaczanie M

x

z szeregu rozdzielczego 

• Wzory 
• Wady i zalety 
• ćwiczenia  

Mediana – wartość środkowa 

 

• Wariant cechy mierzalnej jaki posiada 

środkowa jednostka uporządkowanego 
szeregu w/g kolejnych wartości cechy 
mierzalnej ( od najmniejszej do największej) 

• Dzieli ona szereg na 2 równe części , tyle samo 

jednostek ma wartość cechy mniejszą niż 
mediana i samo jednostek ma wartość cechy 
większą niż mediana.  

Wyznaczanie z szeregu prostego 

• Należy szereg uporządkować  w/g kolejnych 

wartości cechy mierzalnej  

• Medianą w szeregu o nieparzystej liczbie 

wyrazów jest wartość wyrazu , którego miejsce 
w szeregu jest połową liczby wyrazów 
powiększona o 1 
 
 

• Grupa uczniów pisała test. Oto oceny 5,3,4,2,3,3,5,5,5, 

4,5 wyznacz medianę: 

• Porządkujemy szereg : 2,3,3, 3,4, 4,5,5,5,5,5 i 

podstawiamy do wzoru ( n=11) 

• Szukanym w szeregu uczniem jest  nr 6 wartość oceny 4 

czyli  

• M

x

 = 4 

• Interpretacja mediany. 
• 50% uczniów otrzymało ocenę 4 lub mniej, pozostałe 50% 

otrzymało ocenę 4 lub więcej. 
 

 

Medianą w szeregu o parzystej liczbie 
wyrazów jest średnia arytmetyczna 
wartość dwóch wyrazów środkowych   

 

• Grupa uczniów pisała test. Oto oceny 

5,3,4,3,3,5,5,5, 4,5 wyznacz medianę: 

• Porządkujemy szereg : 3,3,3,4,4,5,5,5,5,5 i 

podstawiamy do wzoru ( n=10) 

• Szukanym w szeregu uczniem jest  nr 5 i 6 

wartość oceny4+5= 4,5 czyli  

• Me = 4,5 
• Interpretacja mediany. 
• 50% uczniów otrzymało ocenę 4,5 lub mniej, 

pozostałe 50% otrzymało ocenę 4,5 lub więcej. 
 

Wyznaczanie z M

x

 szeregów 

punktowych z  cechą skokową   

 

• Dokładne obliczenie nie jest możliwe- 

sprowadza się tylko do określenia klasy , w 
której znajduje się jednostka środkowa lub 2 
jednostki i odczytanie wartość zmiennej 
odpowiadającej tej jednostce  

Wyznaczanie z M

x

 

szeregów punktowych z  
cechą skokową 

Liczba 
sprzedawców w 
sklepie x

i

 

Liczba sklepów n

i

 

1 

5 

2 

12 

3 

18 

4 

10 

ogółem 

45 

Należy utworzyć szereg 
skumulowany liczebności. 
Czynność ta polega na 
kolejnym narastającym 
sumowaniu liczebności 
klas szeregu. Klasę w 
której jest jednostka 
środkowa nazywamy 
klasą mediany 

Liczba 
sprzedawców 
w sklepie x

i

 

Liczba 
sklepów 
n

i

 

Skumulowana 
liczba sklepów S

i

 

 

1 

5 

5 

2 

12 

17 

3 

18 

35 

4 

10 

45 

ogółem 

45 

 
 

M

x

=½(45+1)=23 

 
 
Jednostka środkowa jest w 
klasie trzeciej i odpowiada jej 
wartość 3  czyli połowa 
sklepów ma mniej niż  3 
sprzedawców i połowa ma 
więcej niż 3 sprzedawców 

 
 

Wyznaczanie M

x 

z szeregu 

rozdzielczego z przedziałami  
klasowym 
 

 
 

•          M

x

= 

 X

1

 +(X

2 

 - X

1

) {

 

½n  - S

1

}/ S

2

- S

1

 

 

-Ustala się przedział klasowy w którym 
jest mediana n/2 , 
 -należy utworzyć szereg skumulowany 
liczebności ,  
-należy znaleźć klasę w której jest 
mediana i podstawić do wzoru 
 
X

1

- dolna granica przedziału klasy w 

której jest mediana  
X

2

- górna  granica przedziału klasy w 

której jest mediana  
S

1

- suma liczebności szeregu 

skumulowanego przed medianą  
S

2

- suma liczebności szeregu 

skumulowanego w którym jest 
mediana  
n  - liczebność szeregu 
 

Ćwiczenie  

• Powierzchnia użytkowa 

mieszkań w X w 2012 

Obliczenia 
 
½n=50 
M

x

= 

 X

1

 +(X

2 

 - X

1

) {

 

½n  - S

1

}/ S

2

- S

1 

 
 

M

x

=45+10{(50-40)/80-40}= 

45+10(10/40)=47,5 
 
Połowa mieszkań ma więcej niż 47,5 
m

2 

 

A połowa mniej niż   47,5 m

2

 

 
  
 

Powierzch.
mieszkań  
w m

2

 

x

i

 

Liczba 
mieszkań 
n

i

 

Skumulow. 
liczba 
mieszkań 
S

i

 

25-35 

10 

10 

35-45 

30 

40 

45-55 

40 

80 

55-65 

15 

65 -75 

5 

razem 

100 

Wady i zalety 

 

Wady 
-

wymaga uporządkowania szeregu wg  kolejnych wartości cechy mierzalnej 

-

w szeregach strukturalnych należy tworzyć szereg skumulowany  

-

nie jest dobrą miarą dla szeregów z nieregularnym rozkładem cechy 

-

Średni błąd mediany bywa większy niż średniej arytmetycznej. 

 

 

Zalety 
 

- łatwa  do wyznaczania w szeregach pojedynczych, 

 

- nie maja wpływu na nią wartości skrajne , 

 

- do wyznaczania  nie jest ważna znajomość wszystkich cech 

      -możliwa do wyznaczenia w szeregach z otwartymi przedziałami 

klasowymi,  

 

Graficzna interpolacja mediany 

• Wyznacza się na podstawie wykresu 

przedstawiającego szereg skumulowany. Na 
osi rzędnych znajdujemy n/2 i prowadzimy 
prostą poziomą równoległą do osi OX , w 
prostokącie z mediana rysujemy przekątną.  
Miejsce przecięcia interpolujemy na oś OX  i to 
jest mediana  

Zastosowanie mediany 

   Mediana znalazła szerokie zastosowanie w 

statystyce jako średnia znacznie bardziej 
odporna na elementy odstające niż średnia 
arytmetyczna. Używana jest także w grafice 
komputerowej i przetwarzaniu dźwięku w celu 
odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre 
krawędzie przy jednoczesnym usunięciu 
szumów. 
 

zadania 

• - wiek , rozwody, l.zatrudnionych, str 75