Mediana i jej wykorzystanie

Mediana – wartość środkowa

M

x

M

e

zagadnienia

• Określenie
• Wyznaczanie M

x

z szeregu prostego

• Wyznaczanie M

x

z szeregu rozdzielczego

• Wzory
• Wady i zalety
• ćwiczenia

Mediana – wartość środkowa

• Wariant cechy mierzalnej jaki posiada

środkowa jednostka uporządkowanego
szeregu w/g kolejnych wartości cechy
mierzalnej ( od najmniejszej do największej)

• Dzieli ona szereg na 2 równe części , tyle samo

jednostek ma wartość cechy mniejszą niż
mediana i samo jednostek ma wartość cechy
większą niż mediana.

Wyznaczanie z szeregu prostego

• Należy szereg uporządkować w/g kolejnych

wartości cechy mierzalnej

• Medianą w szeregu o nieparzystej liczbie

wyrazów jest wartość wyrazu , którego miejsce
w szeregu jest połową liczby wyrazów
powiększona o 1

• Grupa uczniów pisała test. Oto oceny 5,3,4,2,3,3,5,5,5,

4,5 wyznacz medianę:

• Porządkujemy szereg : 2,3,3, 3,4, 4,5,5,5,5,5 i

podstawiamy do wzoru ( n=11)

• Szukanym w szeregu uczniem jest nr 6 wartość oceny 4

czyli

• M

x

= 4

• Interpretacja mediany.
• 50% uczniów otrzymało ocenę 4 lub mniej, pozostałe 50%

otrzymało ocenę 4 lub więcej.

Medianą w szeregu o parzystej liczbie
wyrazów jest średnia arytmetyczna
wartość dwóch wyrazów środkowych

• Grupa uczniów pisała test. Oto oceny

5,3,4,3,3,5,5,5, 4,5 wyznacz medianę:

• Porządkujemy szereg : 3,3,3,4,4,5,5,5,5,5 i

podstawiamy do wzoru ( n=10)

• Szukanym w szeregu uczniem jest nr 5 i 6

wartość oceny4+5= 4,5 czyli

• Me = 4,5
• Interpretacja mediany.
• 50% uczniów otrzymało ocenę 4,5 lub mniej,

pozostałe 50% otrzymało ocenę 4,5 lub więcej.

Wyznaczanie z M

x

szeregów

punktowych z cechą skokową

• Dokładne obliczenie nie jest możliwe-

sprowadza się tylko do określenia klasy , w
której znajduje się jednostka środkowa lub 2
jednostki i odczytanie wartość zmiennej
odpowiadającej tej jednostce

Wyznaczanie z M

x

szeregów punktowych z
cechą skokową

Liczba
sprzedawców w
sklepie x

i

Liczba sklepów n

i

1

5

2

12

3

18

4

10

ogółem

45

Należy utworzyć szereg
skumulowany liczebności.
Czynność ta polega na
kolejnym narastającym
sumowaniu liczebności
klas szeregu. Klasę w
której jest jednostka
środkowa nazywamy
klasą mediany

Liczba
sprzedawców
w sklepie x

i

Liczba
sklepów
n

i

Skumulowana
liczba sklepów S

i

1

5

5

2

12

17

3

18

35

4

10

45

ogółem

45

M

x

=½(45+1)=23

Jednostka środkowa jest w
klasie trzeciej i odpowiada jej
wartość 3 czyli połowa
sklepów ma mniej niż 3
sprzedawców i połowa ma
więcej niż 3 sprzedawców

Wyznaczanie M

x

z szeregu

rozdzielczego z przedziałami
klasowym

• M

x

=

X

1

+(X

2

- X

1

) {

½n - S

1

}/ S

2

- S

1

-Ustala się przedział klasowy w którym
jest mediana n/2 ,
-należy utworzyć szereg skumulowany
liczebności ,
-należy znaleźć klasę w której jest
mediana i podstawić do wzoru

X

1

- dolna granica przedziału klasy w

której jest mediana
X

2

- górna granica przedziału klasy w

której jest mediana
S

1

- suma liczebności szeregu

skumulowanego przed medianą
S

2

- suma liczebności szeregu

skumulowanego w którym jest
mediana
n - liczebność szeregu

Ćwiczenie

• Powierzchnia użytkowa

mieszkań w X w 2012

Obliczenia

½n=50
M

x

=

X

1

+(X

2

- X

1

) {

½n - S

1

}/ S

2

- S

1

M

x

=45+10{(50-40)/80-40}=

45+10(10/40)=47,5

Połowa mieszkań ma więcej niż 47,5
m

2

A połowa mniej niż 47,5 m

2

Powierzch.
mieszkań
w m

2

x

i

Liczba
mieszkań
n

i

Skumulow.
liczba
mieszkań
S

i

25-35

10

10

35-45

30

40

45-55

40

80

55-65

15

65 -75

5

razem

100

Wady i zalety

Wady
-

wymaga uporządkowania szeregu wg kolejnych wartości cechy mierzalnej

-

w szeregach strukturalnych należy tworzyć szereg skumulowany

-

nie jest dobrą miarą dla szeregów z nieregularnym rozkładem cechy

-

Średni błąd mediany bywa większy niż średniej arytmetycznej.

Zalety

- łatwa do wyznaczania w szeregach pojedynczych,

- nie maja wpływu na nią wartości skrajne ,

- do wyznaczania nie jest ważna znajomość wszystkich cech

-możliwa do wyznaczenia w szeregach z otwartymi przedziałami

klasowymi,

Graficzna interpolacja mediany

• Wyznacza się na podstawie wykresu

przedstawiającego szereg skumulowany. Na
osi rzędnych znajdujemy n/2 i prowadzimy
prostą poziomą równoległą do osi OX , w
prostokącie z mediana rysujemy przekątną.
Miejsce przecięcia interpolujemy na oś OX i to
jest mediana

Zastosowanie mediany

Mediana znalazła szerokie zastosowanie w

statystyce jako średnia znacznie bardziej
odporna na elementy odstające niż średnia
arytmetyczna. Używana jest także w grafice
komputerowej i przetwarzaniu dźwięku w celu
odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre
krawędzie przy jednoczesnym usunięciu
szumów.

zadania

• - wiek , rozwody, l.zatrudnionych, str 75