Wprowadzenie

do algebry wektorów

Wektory:

-wartość liczbowa = długość, moduł (skalar, dodatni)
-kierunek i zwrot
-operacje dodawania - reguła równoległoboku

Symbolika:

wektor:

a, r, a, r

moduł wektora (długość): a, r, a , r , a , r

repr.graficzna

(w skali)

wektory swobodne kolinearne, komplanarne

Dodawanie wektorów

a

b

a+b

a

b

a

b

a+b

lub

czyli długość sumy dwóch wektorów
a i b, tj. wektora (a+b) wynosi

(a+b)

2

= a

2

+b

2

– 2cos(a,b)

Operacje na wektorach

Dodawanie wielu wektorów

Σ

Mnożenie wektora r przez skalar k

= wektor p :

p= k r

kierunek i zwrot zachowane,
moduł (długość) zmieniona k-krotnie

Wersor e

a

wektora a (osi):

|e

a

| = e

a

= 1

a = a e

a

Odejmowanie wektorów

a - b = a + (- b)

e

a

Liniowa zależność wektorów (niekolinearnych):

trzy dowolne wektory komplanarne a,b,c
spełniają zależność:

c= k a + p b,

c

a

b

Liniowa zależność wektorów (niekolinearnych):

trzy dowolne wektory komplanarne a,b,c
spełniają zależność:

c= k a + p b,

c

a

b

Liniowa zależność wektorów (niekolinearnych):

trzy dowolne wektory komplanarne a,b,c
spełniają zależność:

c= k a + p b,

c

a

b

pb

ka

k<0

Liniowa zależność wektorów (niekomplanarnych):
podobnie dowolny wektor d można wyrazić
za pomocą kombinacji liniowej trzech innych:

d = k a + p b + s c

c

a

b

d

Rzut prostopadły

a

l

wektora

a na oś l

Rzut

b

l

sumy wektorów

b

l

= b

1l

+ b

2l

+b

3l

+....

b

1

b

1

a

l

a

l

ϕ

a

l

= a cos

ϕ

przy czym rzut ma znak (+)
gdy kąt |

ϕ

|<½

π

i znak (-) gdy |

ϕ

|>½

π

(jak cos

ϕ

)

Osie układu prostokątnego (kartezjańskiego)

wersory

e

x

, e

y

, e

z

(baza)

dowolny wektor

a = a

x

e

x

+ a

y

e

y

+ a

z

e

z

,

rzuty prostopadłe - składowe wektora a

a

x

= x

,

a

y

= y

,

a

z

= z,

a

2

= x

2

+ y

2

+ z

2

y

x

e

y

e

x

a

x

a

y

a

Ponieważ rzut b

l

sumy wektorów

b

l

= b

1l

+ b

2l

+b

3l

+....

równa się sumie rzutów poszczególnych składowych,

to także dla składowych ortonormalnych (kartezjańskich):

jeśli

a = a

x

e

x

+ a

y

e

y

+ a

z

e

z

,

b = b

x

e

x

+ b

y

e

y

+ b

z

e

z

,

to

a+b = (

a

x

+

b

x

)

e

x

+ (a

y

+

b

y

)

e

y

+ (a

z

+

b

z

)

e

z

Iloczyn skalarny wektorów

a b = ab cos

ϕ

podobnie, w zapisie kartezjańskim

a b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

= b a

skalar!

;

inv(obr)

[stąd np. długość |(a+b)|

2

= |a|

2

+ |b|

2

– 2ab]

Iloczyn wektorowy wektorów

a x b = (ab sin

ϕ) n ,

n - wersor normalny do a i b
a, b, n tworzą układ prawoskrętny

w zapisie kartezjańskim e

x

, e

y

, e

z

a x b = a

x ,

a

y ,

a

z

b

x

, b

y

, b

z

Uwaga:

a x b = - b x a

Pochodna wektora

a(t) = a

x

(t) e

x

+ a

y

(t) e

y

+ a

z

(t) e

z

:

da/dt = (da

x

/dt) e

x

+ (da

y

/dt) e

y

+ (da

z

/dt) e

z

Pochodna wersora e

a

(t)

d{

e

a

(t

)} / dt

d {e

a

(t)} = d

ϕ

|e

a

(t)

|

= d

ϕ

1

d {

e

a

(t

)} / dt = (

d

ϕ/dt

)

e

⊥

(t)

e

a

(t)

e

a

(t+Δt)

Δ

e

a

(t)

e

⊥

(t)

Δϕ

Obroty

ϕ

1

+

ϕ

2

=

ϕ

3

,

(kierunki jak dla wektorów

|

ϕ

1

|+|

ϕ

2

| = |

ϕ

3

|

(ale moduły:

π/2+π/2=π)

|

ϕ

1

|=

π/2

reprezentacja

|

ϕ

2

|=

π/2

|

ϕ

3

|=

π

π/2

π/2

|

ϕ

3

|=

π/√2

Dla wektorów,
z metody
równoległoboku :

ϕ

1

+

ϕ

2

=

ϕ

3

|

ϕ

1

|

2

+|

ϕ

2

|

2

= |

ϕ

3

|

2

Nie-wektorowe
natężenie prądu I

–

wartość, kierunek i zwrot

węzeł

I

2

I

1

I

3

= I

1

+ I

2

R

1

R

2

Wektory osiowe i biegunowe (pseudowektory)

wektory (biegunowe)
niezmiennicze

pseudowektory (wektory osiowe)

zmiana znaku (odwrócenie)

Iloczyn wektorowy wektorów biegunowych

z powodu

umownego wyboru skrętności układu (przestrzeni)

jest

wektorem osiowym

w operacji odbicia ulega odwróceniu (zmiana znaku)

odbicie zwierciadlane

Kinematyka punktu materialnego

Pojęcia i definicje

Tor : linia, po której porusza się punkt materialny (zbiór geometryczny

punktów w których znajduje się poruszające się ciało – punkt - w
kolejnych czasach )

Droga s

12

- odległość między punktami 1,2 wzdłuż toru

Przemieszczenie

Δr

12

: wektor o początku w punkcie 1 i końcu

w punkcie 2,

Δr

12

=

r

2

- r

1

dla

Δt

0,

Δs Δr ds=dr

s

12

Δr

12

y

x

r

1

r

2

1

2

3

r

3

Równanie toru w układzie odniesienia (Oxyz) to

wzajemny,

niezależny od czasu

związek współrzędnych

przestrzennych :

f (x,y,z) = F

Równanie ruchu: zależność czasowa położenia ciała,
np. promień wodzący jako funkcja czasu - r(t) (w układzie Oxyz):

r(t) = r

x

(t) e

x

+ r

y

(t) e

y

+ r

z

(t) e

z

,

lub w postaci parametrycznej:

x

p

= x(t)

y

p

= y(t)

z

p

= z(t)

Parametry ruchu:

prędkość

(szybkość) v = |v| = |dr/dt| = |dr|/dt = ds/dt

(

v

≠ s/t !

)

w układzie Oxyz :

v = v

x

e

x

+ v

y

e

y

+ v

z

e

z

w odniesieniu do toru: v = v

τ

przyspieszenie

a = dv/dt = dr

2

/dt

2

w układzie Oxyz : a = a

x

e

x

+ a

y

e

y

+ a

z

e

z

w odniesieniu do toru a = a

τ

τ + a

n

n

a

τ

= dv/dt,

a

n

= v

2

/

ρ

τ

r(t)

dr

ds

r(t)

a

n

a

t

dr

dt

r

d

v

r

r =

s

Δr

|v|

v

≠ s/t !

n

dt

s

d

v

a

n

dt

d

v

a

dt

d

v

dt

v

d

dt

v

d

a

t

t

r

r

r

r

r

r

r

r

)

/

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ρ

τ

ϕ

τ

τ

τ

τ

+

+

+

=

+

=

=

s

Δr

r

s

Δr

r

s

Δr

r

s

Δr

r

v = |dr|/dt

ale

v

≠ s/t !

v

≠ Δr /t !

Relacje odwrotne

t

2

t

2

Δr

12

=

∫ v(t) dt,

s

12

=

∫ v(t) dt,

t

1

t

1

v

śr

=

<v> = s

12

/t

12

ale nie

:

∫

−

=

2

1

)

(

1

1

2

t

t

śr

dt

t

v

t

t

v

∫

=

2

1

)

(

)

(

t

t

dt

t

a

t

v

r

r

n

v

v

v

v

n

śr

....

2

1

+

+

≠

Parametry ruchu obrotowego

W ruchu obrotowym każdy punkt ciała porusza się po okręgu

Definicja

drogi kątowej

ϕ:

ϕ = s/r;

więc droga liniowa

s = r

ϕ

Porównanie parametrów ruchu liniowego i obrotowego

droga: s =

ϕ

r, prędkość: v =

ω

r, przyspieszenie: a

t

=

α

r

związki skalarne !

droga kątowa

ϕ

Tor

droga s

prędkość kątowa

ω = d

ϕ

/dt

ω = (1/r)

ds/dt

= (1/r)

v =

Przyspieszenie kątowe

α = dω/dt = (1/r)

dv/dt

α = (1/r)

a

t

=

r

v

r

a

t

r

v

Przykład:

Ciało, porusza się po okręgu o promieniu

R

ze stałą prędkością

o wartości v = v

t

tj. ruchem jednostajnym po okręgu.

Opisać ten ruch.

Przyjąć dane: R= 0,5 m, v

t

= 5 m/s

v

t

Przykład:

Równanie ruchu

r(t) = x(t) e

x

+ y(t) e

y

x(t) = ?
y(t) = ?

x

y

v

t

v

x

v

y

Przykład:

Szukamy: równanie ruchu
x(t) = ?
y(t) = ?

dane:
v

x

= v

t

cos

ϕ

v

y

= v

t

sin

ϕ

ϕ = ω t , ω=const

v

x

(t) = v

t

cos (

ω t)

v

y

(t) = v

t

sin (

ω t)

x

y

v

t

v

x

v

y

ϕ

ϕ

Przykład:

Równanie ruchu

(

ω

=const)

Równanie toru

:

(eliminacja czasu z równania ruchu)

x

y

v

t

v

x

v

y

ϕ

ϕ

t

v

dt

t

v

t

y

t

v

dt

t

v

t

x

dt

v

t

y

dt

v

t

x

dt

t

v

t

s

t

t

t

t

t

t

t

y

t

x

t

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

cos

)

sin(

)

(

,

sin

)

cos(

)

(

)

(

,......

)

(

)

(

)

(

2

1

=

−

=

=

=

=

=

⇒

=

∫

∫

∫

∫

∫

ω

ω

ω

ω

ω

ω

t

t

t

t

v

R

promieniu

o

okr

równanie

v

y

x

t

v

t

v

t

y

t

x

=

⇒

=

+

+

=

+

.

.

.

.

)

(

)

(

cos

)

(

)

(

sin

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Wielkości wektorowe ruchu obrotowego

Droga kątowa (kąt obrotu)

ϕ=s/r

reprezentacja kąta

ϕ

:

(o długości

odpowiadającej łukowi

s

i zwrocie osi)

nie jest wektorem

Jednak d

ϕ (o długości odp. przemieszczeniu dr)

jest wielkością wektorową

bo |d

ϕ| = ds/r = |dr|/r

oraz |

dr

3

|

2

= |

dr

1

|

2

+|

dr

2

|

2

|

d

ϕ

3

|

2

=|

d

ϕ

1

|

2

+|

d

ϕ

2

|

2

Zatem prędkość kątowa

ω = dϕ/dt

jest wektorem

skierowanym wzdłuż osi obrotu
oraz przyspieszenie kątowe

α = dω/dt

jest wektorem

|

ϕ|=

s

/r

ϕ

d

ϕ

1

d

ϕ

2

dr

1

dr

2

ω

d

ϕ

d

ϕ

3

r

Transformacja Galileusza

względność ruchu

Układ (Ox

’

y

’

z

’)

porusza się względem układu (Oxyz)

ze stałą prędkością u po prostej,

ruch ciała P opisać można w obu układach; oba opisy wiąże ze sobą

transformacja Galileusza (Oxyz

⇒ Ox

’

y

’

z

’

):

x

y

z

x’

y’

z’

P

r

P

r

P

’

u

Transformacja Galileusza:

opis ruchu w różnych układach odniesienia

x

y

z

x’

y’

z’

P

r

P

r

P

’

u

r

u

-

wektor wodzący ciała P w układzie O

- wektor wodzący ciała P w układzie O’
- wektor wodzący układu O’ w układzie O

rr

u

rr

'

rr

'

r

r

r

u

r

r

r

+

=

Układ (Ox’y’z’) porusza się względem układu (Oxyz)
ze stałą prędkością

u

po prostej,

Prędkość

ciała P możemy obliczyć jako

vr

dt

r

dr

u

v

v

v

v

u

r

r

r

r

r

+

=

+

=

'

'

Układ O’ może dodatkowo wykonywać ruch
rotacyjny. Wówczas do powyższego wzoru
dojdzie czynnik prędkości kątowej:

'

'

r

u

v

v

r

r

r

r

×

+

+

=

ω

transformacja Galileusza (Ox’y’z’

⇒ Oxyz):

u

= const, v = v

’

+

u

,

a = a’ ;

lub: v

x

= v

x

’

+

u

x

; v

y

= v

y

’

+

u

y

; v

z

= v

z

’

+

u

z

;

oraz: x = x

’

+

u

x

t; y = y

’

+

u

y

t ; z = z

’

+

u

z

t ;

Transformacja Galileusza jest wyrazem względności ruchu

dt

v

d

a

r

r =

natomiast przyspieszenie czyli a=a’

Analiza ruchu wymaga pomiaru czasu i odległości

Pomiar czasu

Definicja czasu ?

Wzorzec czasu

⇒ powtarzające się regularnie (okresowe) zjawisko

-puls
-wahadło

(Galileusz)

-astronomia (dzień, rok)

-oscylatory elektroniczne

Wzorzec czasu:

-astronomiczny

-atomowy

Jednostka:

[s] = 1/86400 średniej doby

9 192 631 770 okresów linii

55

133

Cs

obecna dokładność pomiaru czasu 1/1 000 000 000s (10

-9

s)

Δt > h/ΔE

Pomiar drogi

Wzorzec odległości

-antropogenetyczny, dłoń, łokieć
-standaryzowana jednostka, np. pręt
-astronomiczny

(Równik, odl. Ziemia-Słońce, Ziemia-gwiazda)

-atomowy

Metody pomiaru

- porównawcze
-triangulacyjne
-”radarowe”
-dyfrakcyjne

Jednostki

[m] = 1/40 000 000 Równika

- wzorzec w Sevre

-

1 650 763,73

λ pomarańczowej linii

36

86

Kr

Obecna dokładność pomiaru długości 1/10 000 000 000s (10

-10

m)

granica dokładności

Δx > h/Δp