Informatyka, Kolokwium I, 21 kwietnia 2010 r.

Grupa I

Zadanie 1. Obliczyć granice

a) lim

n→∞

n

2

+ 3

n

2

+ 1

!

2n

2

+2

,

b) lim

n→∞

1

n

3



n

2



sin (n!),

c) lim

n→∞

3

n

n!

,

d ) lim

n→∞



1 +

n

2n + 1



n+3

.

Zadanie 2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów

a)

P

∞
n=1

n!

n + 1

x

n

,

b)

P

∞
n=1

5

n

n

3

3

n

(n + 1)

(x + 1)

n

.

Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregów

a)

P

∞
n=1

sin

1

n

,

b)

P

∞
n=1

2

n

n!n

n

.

Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych a i b ciągła jest funkcja f : R → R
dana wzorem

f (x) =



















































(1 + ax)

1/x

,

dla x < 0,

x + 3

x

2

+ 2x + 1

,

dla 0 ¬ x ¬ 1,

sin (x − 1)

b(x − 1)

,

dla x > 1.

Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną następujących ciągów bądź szeregów
funkcyjnych

a) f

n

: (−1, ∞) → R, gdzie f

n

(x) =

1

1 + x

n

,

b) f

n

: R → R, gdzie f

n

(x) =

s

x

2

+

1

n

,

c)

P

∞
n=1

e

−n

2

x

2

n

2

dla x ∈ R.

Informatyka, Kolokwium I, 21 kwietnia 2010 r.

Grupa II

Zadanie 1. Obliczyć granice

a) lim

n→∞

n

2

+ 4

n

2

+ 1

!

3n

2

+1

,

b) lim

n→∞

1

n

4



n

2



sin (n! + 3),

c) lim

n→∞

4

n

n!

,

d ) lim

n→∞



1 +

n

3n + 1



n+3

.

Zadanie 2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów

a)

P

∞
n=1

n!

n + 2

x

n

,

b)

P

∞
n=1

6

n

n

3

4

n

(n + 2)

(x + 1)

n

.

Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregów

a)

P

∞
n=1

sin

1

n

2

,

b)

P

∞
n=1

3

n

n!n

n

.

Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych a i b ciągła jest funkcja f : R → R
dana wzorem

f (x) =















































(1 − x)

a/x

,

dla x < 0,

x + 3

x

2

+ 2x + 1

,

dla 0 ¬ x ¬ 1,

sin (b(x − 1))

x − 1

,

dla x > 1.

Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną następujących ciągów bądź szeregów
funkcyjnych

a) f

n

: (−1, ∞) → R, gdzie f

n

(x) =

1

1 + x

n

,

b) f

n

: R → R, gdzie f

n

(x) =

s

x

2

+

1

n

,

c)

P

∞
n=1

e

−n

3

x

2

n

3

dla x ∈ R.