Informatyka, Kolokwium I, 21 kwietnia 2010 r.
Grupa I
Zadanie 1. Obliczyć granice
a) lim
n→∞
n
2
+ 3
n
2
+ 1
!
2n
2
+2
,
b) lim
n→∞
1
n
3
n
2
sin (n!),
c) lim
n→∞
3
n
n!
,
d ) lim
n→∞
1 +
n
2n + 1
n+3
.
Zadanie 2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów
a)
P
∞
n=1
n!
n + 1
x
n
,
b)
P
∞
n=1
5
n
n
3
3
n
(n + 1)
(x + 1)
n
.
Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregów
a)
P
∞
n=1
sin
1
n
,
b)
P
∞
n=1
2
n
n!n
n
.
Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych a i b ciągła jest funkcja f : R → R
dana wzorem
f (x) =
(1 + ax)
1/x
,
dla x < 0,
x + 3
x
2
+ 2x + 1
,
dla 0 ¬ x ¬ 1,
sin (x − 1)
b(x − 1)
,
dla x > 1.
Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną następujących ciągów bądź szeregów
funkcyjnych
a) f
n
: (−1, ∞) → R, gdzie f
n
(x) =
1
1 + x
n
,
b) f
n
: R → R, gdzie f
n
(x) =
s
x
2
+
1
n
,
c)
P
∞
n=1
e
−n
2
x
2
n
2
dla x ∈ R.
