Analiza I

Kolokwium, 22 listopada 2008

UWAGA:

Każde zadanie oddajemy na oddzielnej kartce. Wszystkie kartki należy czytel-

nie podpisać imieniem, nazwiskiem, numerem potoku, numerem grupy oraz nazwiskiem
prowadzącego ćwiczenia. Prosimy o czytelne pisanie rozwiązań – prace nieczytelne nie
będą sprawdzane.

Zadanie 1: Znaleźć kresy inf A oraz sup A następującego zbioru A

A

=

½

2

n

+ k

2

n

! + k

2

:

k, n

∈ N

¾

.

Zadanie 2: Obliczyć granice następujących ciągów

a.) a

n

=

1

√

n+1

+

1

√

n+2

+···+

1

√

2n

√

n

,

b.) b

n

=

n

2

q

n

5

n

+

1

n

2

n

2

.

Zadanie 3: Niech a

1

= a ∈ (0, 1), a

n+1

= a

n

− a

3
n

.

a.) Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu a

n

.

b.) Pokazać, że szereg

P

∞
n=1

a

4
n

jest zbieżny i

P

∞
n=1

a

4
n

< a

.

Zadanie 4: Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

√

n

2

+ 3 − n

3

√

n

+ 1

.

Zadanie 5: Niech ( e

C

) będzie następującym warunkiem na ciąg x

n

∀

ε>0

∃

N

∀

n>N

∀

n<m<2n

|x

n

− x

m

| < ε.

( e

C

)

Pokazać, że ciąg zbieżny spełnia warunek ( e

C

). Pokazać, że z warunku ( e

C

) nie wynika

zbieżność, a więc istnieje ciąg rozbieżny, spełniający warunek ( e

C

).