Laboratorium Modelowania w Elektrotechnice

1

Rdzen ruchomy

,

Mosiadz

Srednia droga stru-
mienia magnetycznego

,

Powierzchnia
czolowa A

q

d

.

x

Stal rdze-
nia stojana

Rysunek 1: Budowa przetwornika elektromechanicznego

4

Modelowanie przetworników elektromechanicznych

Przykład 1. Urządzenie przedstawione na rysunku 1 jest prostym siłownikiem elektromechanicznym. Przepływ
prądu przez uzwojenie powoduje, że rdzeń ruchomy przesuwa się w górę pociągając obciążenie mechaniczne,
które jest z nim połączone. Urządzenie umożliwia sterowanie przesunięcia mechanicznego za pomocą sygnału
elektrycznego. Połączenie rdzenia ruchomego z dźwignią zaworu hydraulicznego lub pneumatycznego umożliwia
zdalne elektryczne sterowanie zaworu. Jeżeli na stojanie i na rdzeniu umieścimy styki elektryczne, to urzą-
dzenie będzie zwykłym przekaźnikiem elektrycznym. Korzystając z zasady działania urządzenia z rysunku 1,
zbudowano wiele powszechnie stosowanych urządzeń.

Rdzeń ruchomy ustawiony pionowo podparto sprężyną, która w stanie spoczynku rdzenia pokonuje siłę

przyciągania ziemskiego. Sprężyna ma podatność K. Ruchowi rdzenia i sprężyny przeciwdziała siła tarcia pro-
porcjonalna do prędkości ruchu ze współczynnikiem D. Należy wyznaczyć równania modelu korzystając przy
tym z zasady najmniejszego działania. Założono, że przenikalność magnetyczna mosiądzu jest równa przenikal-
ności powietrza. Należy także pominąć zagięcie linii sił pola na krawędzi nabiegunników, gdyż szerokość szczeliny
powietrznej x i grubość d mosiądzu są małe w porównaniu z promieniem rdzenia ruchomego. Na rysunku 2
przedstawiono elektryczny schemat zastępczy przetwornika. Do zacisków cewki o rezystancji R

c

dołączono źró-

dło napięcia o rezystancji wewnętrznej R

s

i napięciu U . W uzwojeniu płynie prąd i =

dq

dt

. Budowa modeli

matematycznych układów elektrycznych, mechanicznych lub elektromechanicznych może przebiegać przy za-
stosowaniu zasady Hamiltona, która jest także nazywana zasadą najmniejszego działania. Układ opisuje się za
pomocą skalarnej funkcji L zmiennych i prędkości uogólnionych. Funkcja ta nazywana jest funkcją Lagrange’a.
Funkcja Lagrange’a jest różnicą całkowitej koenergii kinetycznej układu i całkowitej energii potencjalnej układu.

L(x, ˙

x, q, ˙

q) = E

0

k

(x, ˙

x, ˙

q) − E

p

(x, q),

(1)

gdzie

x – położenie rdzenia ruchomego

q – ładunek elektryczny.

Funkcja koenergii układu składa się z mechanicznych koenergii kinetycznych i funkcji stanu koenergii elektrycz-
nych, w danym przypadku określona następująco:

E

0

k

(x, ˙

x, ˙

q) =

1

2

m ˙

x

2

+

1

2

a

d + x

˙

q

2

(2)

Laboratorium Modelowania w Elektrotechnice

2

U

Rs

Rc

q

x

mg
Sila grawitacji

Sprezyna K

Tlumik D

Cewka o N
zwojach

Masa rdzenia
ruchomego m

.

.

Rysunek 2: Schemat przetwornika elektromechanicznego

Współczynnik a jest związany z obwodem magnetycznym i wynosi

a = µ

0

N

2

A

gdzie

µ

0

– przenikalność magnetyczna próżni,

N – liczba zwojów uzwojenia cewki,

A – powierzchnia przekroju poprzecznego rdzenia ruchomego.

Funkcja energii układu składa się z mechanicznych energii potencjalnych i funkcji stanu energii elektrycznych,
w danym przypadku określona następująco:

E

p

(x, q) = E

p

(x) =

(x − b)

2

2K

(3)

gdzie b – położenie sprężyny w stanie swobodnym. Gdyby w układzie występowały kondensatory połączone
z uzwojeniem cewki w obwodzie zewnętrznym, lub gdyby należało uwzględnić pojemność uzwojeń cewki, to
w ostatnim wyrażeniu wystąpiłby składnik związany z energią zmagazynowaną w kondensatorze. Model opisany
jest następującymi równaniami Lagrange’a

d

dt



∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

x



−

∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂x

+

∂F ( ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

x

= Q

x

(4)

d

dt



∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

q



−

∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂q

+

∂F ( ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

q

= Q

q

(5)

gdzie

F – funkcja dyssypacji Rayleigh’a określona wzorem

F ( ˙

x, ˙

q) =

1

2

D ˙

x

2

+

1

2

(R

s

+ R

c

) ˙

q

2

Q

x

– siła zewnętrzna mechaniczna w kierunku osi x. W danym przypadku siła grawitacji,

Laboratorium Modelowania w Elektrotechnice

3

Q

q

– siła zewnętrzna elektryczna

Q

q

= u(t).

Znak dodatni napięcia jest zgodny z kierunkiem obiegu oczka. Równanie równowagi mechanicznej wyznacza się
z równania Lagrange’a (4). Odpowiednie pochodne cząstkowe wynoszą:

d

dt



∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

x



=

d

dt

(m ˙

x) = m¨

x

(6)

∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂x

= −

1

2

a

(d + x)

2

˙

q

2

−

x − b

K

(7)

∂F ( ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

x

= D ˙

x

(8)

Równanie równowagi mechanicznej będzie zatem określone następująco

m¨

x + D ˙

x +

x − b

K

+

1

2

a ˙

q

2

(d + x)

2

= mg

(9)

Równanie równowagi elektrycznej otrzymuje się w podobny sposób z równania (5). Odpowiednie pochodne
cząstkowe wynoszą:

d

dt



∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

q



=

d

dt



a ˙

q

d + x



=

a

d + x

¨

q −

a ˙

q ˙

x

(d + x)

2

(10)

∂L(x, ˙

x, ˙

q)

∂q

= 0

(11)

∂F ( ˙

x, ˙

q)

∂ ˙

q

= (R

s

+ R

c

) ˙

q

(12)

Równanie równowagi elektrycznej uzyska po uporządkowaniu postać

a

d + x

¨

q + (R

s

+ R

c

) ˙

q −

a ˙

q ˙

x

(d + x)

2

= u

(13)

Przeanalizujemy poszczególne człony równania. Człon pierwszy przedstawia indukcyjny spadek napięcia na
uzwojeniu cewki wywołany zmieniającym się w czasie prądem oczkowym. Drugi człon lewej strony równania
jest spadkiem napięcia na obu rezystancjach oczka. Trzeci człon dotyczy napięcia indukowanego w uzwojeniu
na skutek ruchu rdzenia stalowego z prędkością ˙

x.

Ponieważ w równaniach nie występuje jawnie ładunek, możemy – oznaczając i ≡ ˙

q przepisać równania

w postaci:



















m¨

x + D ˙

x +

x − b

K

+

1

2

ai

2

(d + x)

2

= mg

a

d + x

˙i + (R

s

+ R

c

)i −

ai ˙

x

(d + x)

2

= u

(14)

Na użytek symulacji komputerowych, równania należy w większości przypadków zapisać w postaci rozwikłanej
względem najwyższych pochodnych:



















¨

x = g −

D

m

˙

x −

x − b

mK

−

1

2m

ai

2

(d + x)

2

˙i =

d + x

a

u −

(d + x)(R

s

+ R

c

)

a

i +

i ˙

x

d + x

(15)

Dla wyznaczonego modelu matematycznego należy narysować schemat blokowy przy użyciu edytora pro-

gramu Simulink. Potrzebne parametry ustawić i przeprowadzić niezbędne obliczenia w pliku skryptowym
Matlab’a, uruchamianym przed symulacją w Simulink’u.

Należy zbadać działanie przetwornika dla dwóch przypadków:
a) wymuszenia napięciowego,
b) wymuszenia prądowego.
Dla przypadku b) narysować następny uproszczony schemat blokowy, korzystając ze schematu narysowanego

dla przypadku pierwszego.

Laboratorium Modelowania w Elektrotechnice

4

Przyjąć następujące dane:

m = 40 · 10

−3

kg – masa rdzenia ruchomego i elementów z nim związanych,

K = 13 · 10

−4

m/N – podatność zawieszeń,

D = 2.4 kg/s – współczynnik tarcia lepkiego w zawieszeniach,

D

r

= 2 · 10

−2

m – średnica rdzenia,

A – powierzchnia przekroju rdzenia,

l = 2 · 10

−2

m – długość cewki,

d

d

= 0.22 · 10

−3

m – średnica drutu w izolacji,

N = 1000 – wstępnie założona liczba zwojów,

ρ = 18 · 10

−9

Ωm – rezystancja właściwa miedzi,

d

e

= 0.02 · 10

−3

m – grubość emalii przewodu,

µ

0

= 4.0 · 10

−7

π H/m – przenikalność magnetyczna próżni,

d = 0.2 · 10

−3

m – grubość podkładki mosiężnej,

g = 9.81 m/s

2

– przyspieszenie ziemskie,

R

s

= 0.1 Ω – rezystancja źródła napięcia.

Dla założonej wstępnie liczby przewodów policzyć liczbę przewodów w warstwie i ilość warstw zaokrąglając te
liczby do najbliższej mniejszej liczby całkowitej. Określić rzeczywistą liczbę nawiniętych przewodów i rezystancję
cewki, stosując oznaczenia

N

1

– liczba przewodów w warstwie,

w – liczba warstw uzwojenia,

D

1

– średnica uzwojenia cewki,

l

śr

– średnia długość zwoju,

R

c

– rezystancja cewki,

s

p

– powierzchnia przekroju miedzi przewodu.

Program symulacji:

1. Przyjmując napięcie zasilania równe u = 1 V oraz położenie rdzenia, gdy sprężyna nie jest napięta

b = 0.002m oraz jego położenie początkowe x

0

= 0.00225 m, wyznaczyć przebieg położenia rdzenia

ruchomego w układzie z wymuszeniem napięciowym w postaci sygnału skokowego.

2. Wyznaczyć położenia równowagi rdzenia (położenia w stanie ustalonym) dla podanych wartości i przeanali-

zować możliwość ich występowania. W celu wyznaczenia położeń równowagi ułożyć równania przetwornika
dla stanu ustalonego i rozwiązać je.

3. Sprawdzić na podstawie badań symulacyjnych dla jakiego napięcia przetwornik może być zastosowany

jako napęd styków przekaźnika (rdzeń ruchomy styka się trwale ze rdzeniem nieruchomym).

4. Zlinearyzować równania przetwornika wokół wybranego punktu pracy i wyznaczyć charakterystyki loga-

rytmiczne przetwornika dla wymuszenia napięciowego i prądowego.

5. Porównać odpowiedzi na sygnał sinusoidalny układów pełnego (nieliniowego) i liniowego dla kilku wybra-

nych pulsacji i amplitud sygnału wymuszającego dla dwóch przypadków pracy (rodzajów wymuszeń).