Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywą.

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Zestaw VI Planimetria

Zadanie 1.
W trójkącie ABC, w którym kąt ACB jest prosty, a kąt ABC ma 60

°

, poprowadzono dwusieczną kąta

ABC, przecinającą

AC

w punkcie D. Następnie przez punkt D poprowadzono prostopadłą do pro-

stej AB, przecinającą ją w punkcie E. Uzasadnij, że:

a)

AC

ED

3

1

=

,

b)

E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 2.

Czworokąt KLMN, w który można wpisać okrąg, ma obwód 26,4 cm. Bok KL tego czworokąta jest

krótszy od boku LM o 3,8 cm, natomiast bok

MN

jest dłuższy od boku ML o 6 mm. Oblicz dłu-

gości boków czworokąta KLMN.

Zadanie 3.
Wierzchołki czworokąta KLMN, wpisanego w okrąg o promieniu 12 cm, podzieliły ten okrąg na
łuki KN, NM, ML i LK, których długości są w stosunku 1 : 5 : 3 : 9. Oblicz:

a)

miary kątów wewnętrznych czworokąta,

b)

długość boku ML.

Zadanie 4.
Jeden z boków trójkąta ma długość 18 cm, kąty przy tym boku mają 30

°

i 45

°

. Oblicz pole i obwód

tego trójkąta.

Zadanie 5.
Mając dane koło K i prostą m (patrz rysunek), skonstruuj:

K

a)

koło K

′

m

b)

prostą m

′

tak, aby w przypadku a) figura złożona z prostej m oraz kół K i K

′

, zaś w przypadku b) z prostych m

i m

′

oraz koła K miała jednocześnie oś symetrii i środek symetrii. Wskaż tę oś i ten środek.

Zadanie 6.
Przedłużenia ramion KN i ML trapezu KLMN przecinają się w punkcie O. Mając dane:

5

=

KN

cm,

6

=

MN

cm,

4

,

4

=

ML

cm i

10

=

KL

cm, oblicz obwód trójkąta KOL.

Zadanie 7.
Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma długość 7 cm, przekątna tego trapezu ma długość
13 cm, a jeden z kątów wewnętrznych ma 120

°

. Oblicz:

a)

pole trapezu,

b)

pole koła opisanego na trapezie.

Zadanie 8.
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby a trójkąt o bokach długości 2a cm, 3a cm i 4a cm jest trój-
kątem rozwartokątnym. Ile, w przybliżeniu, stopni ma kąt rozwarty takiego trójkąta?

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadanie 9.
Uzasadnij, że wszystkie przekątne pięciokąta foremnego mają tę samą długość i oblicz miarę kąta
między dwiema przekątnymi wychodzącymi z tego samego wierzchołka.

Zadanie 10.
Punkty A, B, C, D, E i F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Wyraź sumę

FC

AD

+

za pomocą wektora

AC

.

Zadanie 11.
Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O w ten sposób, że

DO

CO

BO

AO

⋅

=

⋅

. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem i wskaż jego podstawy.

Zadanie 12.
W dany wycinek kołowy OAB (patrz rysunek) wpisz okrąg tak, aby był on styczny do OA i do OB
oraz do łuku AB.

A

O

B

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi:

1.

a) Wskazówka: Skorzystaj z własności dwusiecznej i z własności trójkąta prostokątnego o ką-
tach

°

°

60

i

30

b) Wskazówka: Najpierw uzasadnij, że BD = AD

2.

KL

= 4,4 cm, LM = 8,2 cm, MN = 8,8 cm, KN = 5 cm

3.

a) kąt KLM =

°

60

, kąt LMN =

°

100 , kąt MNK =

°

120 , kąt LKN =

°

80

b) ML = 12 cm

4.

pole

(

)

1

3

81

−

cm

2

, obwód

)

2

6

3

2

(

9

−

+

cm

5.

a) Koło K

′

jest kołem symetrycznym do koła K względem prostej m. Środkiem symetrii jest

punkt wspólny prostej łączącej środki kół i prostej m.
b) Prosta m

′

jest obrazem prostej w symetrii względem środka koła K. Osią symetrii tych trzech

figur jest prosta równoległa do m i przechodząca przez środek koła K.

6.

33,5 cm

7.

a)

4

3

95

cm

2

b)

9

169

π

cm

2

8.

ok.

°

105

9.

°

36

10.

AC

FC

AD

2

=

+

11.

Wsk

azówka: Zapisz podaną równość w postaci proporcji, a następnie uzasadnij, że trójkąty AOD

i COB są podobne. Podstawami trapezu są odcinki AD i BC.

12.

Wsk

azówka: Najpierw skonstruuj okrąg styczny do OA i do OB., a następnie przekształć go od-

powiednio przez jednokładność o środku O.