Kolokwium 1

Zadania przykładowe

1. Rozwiązać nadokreślony układ równań

7

3

,

2

/

5

,

6

3

2

=

−

=

=

+

y

x

y

x

y

x

metodą najmniejszych kwadratów. Problem i jego rozwiązanie przedstawić graficznie.

2. Dana jest macierz





















0

2

41

12

13

2

1

12

0

. Obliczyć normy

i Euklidesa tej macierzy.

3. Dokonać rozkładu macierzy













−

−

=

5

1

1

2

A

na czynniki trójkątne LU. Obliczyć wyznacznik oraz

rozwiązać układ równań

7

5

,

5

2

=

+

−

−

=

−

y

x

y

x

metodą Gaussa.

4. Podać algorytm iteracyjnego rozwiązania układu równań

2

2

2

)

2

/

5

(

2

,

2

)

2

(

)

1

(

−

=

=

−

+

−

x

y

y

x

metodą Newtona-Raphsona. Startując z punktu (3/4,1) wykonać dwa kroki iteracji. Oszacować błąd
otrzymanego rozwiązania w normie Euklidesa.

5. Podać schematy iteracyjne rozwiązania równania

16

2

2

/

3

5

=

−

y

y

metodami:

(i) iteracji prostej, (ii) bisekcji, (iii) Newtona, (iv) siecznych, (v) regula falsi.

6. Zadanie 5 rozwiązać metodą Newtona. Przyjąć punkt startowy

4

/

3

0

=

y

. Wykonać dwa kroki

iteracji. Po dwu krokach określić błąd rozwiązania.

7. Wartości własne macierzy F wynoszą

λ

1

=0.2,

λ

2

= - 2.5,

λ

3

= - 3.3,

λ

4

= - 4.6. Do której wartości

własnej

λ

k

, k=1,2,3,4 będą zbieżne metody potęgowa i odwrotna przy przesunięciu widma macierzy F

o wartość 19/4, -9/5, 4/6, 0 ?

8. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy













10

3

3

10

−

korzystając z definicji problemu własnego

−

metodą potęgową i odwrotną. Oszacować błędy takiego rozwiązania po dwóch krokach iteracji.

Przyjąć wektor startowy {-1, 1}

−

dokonać oszacowania widma wartości własnych metodą Gerszgorina.

9. Udowodnić, że rzutowanie wektora na prostą jest tensorem. Podać macierz reprezentującą ten tensor.

10. Wartości własne macierzy

A wynoszą 1, 2, 4, 5. Obliczyć wartości własne macierzy

C = - 2 A

3

+ 4

A

2

+ 5

A – 3 I.

Przykªado

w

e

zadania

do

k

olokwium

2

1.

Zapisa¢

wzory

na

in

terp

ola je

Lagrange'a

wprost

i

o

dwrotn¡

dla

dyskretn

y

h

argumen

tó

w

i

w

arto± i

(1,2),

(3,4),

(4,5).

Spra

wdzi¢

zy

te

in

terp

olan

t

y

s¡

funk

jami

wza

jemnie

o

dwrotn

ymi.

2.

Dok

ona¢

na

jlepszej

aproksyma ji

(funk

j¡

linio

w

¡,

a

nastpnie

wykªadni z¡,

eksp

onen jaln¡

p

osta i

a

+ be

x

)

dla

dan

y

h

z

p

oprzedniego

zadania.

3.

W

ypro

w

adzi¢

wzory

ró»ni o

w

e

dla

3

w

zªó

w

x

i−1

< x

i

< x

i

+1

na

pierwsz¡

p

o

ho

dn¡

f

′

i

≈

α

1

f

i−1

+ α

2

f

i

+ α

3

f

i

+1

oraz

drug¡

p

o

ho

dn¡

f

′′

i

≈

β

1

f

i−1

+ β

2

f

i

+ β

3

f

i

+1

.

Zastoso

w

a¢

meto

dy

in

terp

ola ji

Lagrange'a

oraz

wsp

óª zynnik

ó

w

nieozna zon

y

h.

4.

Zastoso

w

a¢

wzory

z

zad.

3

do

obli zenia

pierwszej

i

drugiej

p

o

ho

dnej

funk

ji

f

(x) =

sin x

x

w

punk

ie

x

= 5

.

Zastoso

w

a¢

ró»ne

p

oªo»enia

w

zªó

w

x

i−1

,

x

i

+1

.

Obli zy¢

bª¡d

uzysk

an

y

h

wynik

ó

w.

5.

Zastoso

w

a¢

p

oznane

kw

adratury

(Newtona-Cotesa

oraz

Gaussa)

do

obli zenia

R

π

0

sin x

d

x

dziel¡

przedziaª

aªk

o

w

ania

na

dw

a

p

o

dprzedziaªy

.

Obli zy¢

bªdy

uzysk

an

y

h

wynik

ó

w.

6.

Zastoso

w

a¢

meto

d

Eulera,

Rungego-Kutt

y

I

I

i

IV

rzdu

oraz

wybran¡

meto

d

predyktor-k

orektor

do

aproksyma ji

rozwi¡zania

p

oni»szego

zagadnienia

p

o

z¡tk

o

w

ego

z

krokiem

0.1

dy
dx

= x

3

−

2y

3

,

y

(0) = 1

Osza o

w

a¢

bªdy

otrzyman

y

h

wynik

ó

w.

7.

Zapisa¢

i

rozwi¡za¢

ukªad

ró

wna«

algebrai zn

y

h

MRS

dla

zagadnienia

brzego

w

ego

u

′′

+ u

′

+ u = x

2

,

x ∈

(0, 3)

u

′

(0) = 1

u

(3) = 2

Dla

wszystki

h

p

o

ho

dn

y

h

zastoso

w

a¢

en

tralne

wzory

ró»ni o

w

e

3-w

zªo

w

e.

8.

Zapisa¢

ukªad

ró

wna«

algebrai zn

y

h

MRS

p

o

dyskret

yza ji

4

w

zªami

zy zn

ymi

(w

rozw

a»an

ym

obszarze

i

na

jego

brzegu)

oraz

o

dp

o

wiednimi

k

yjn

ymi

dla

b

elki

PSfrag

repla emen

ts

10

kN/m

100

kN

3

m

Zastoso

w

a¢

en

tralne

wzory

ró»ni o

w

e

5- io

w

zªo

w

e.

Zapisa¢

wzory

ró»ni o

w

e

do

obli zenia

reak

ji.