1

Indukcja matematyczna. Ci¸

agi.

Przygotowa la Izabela Wardach

Zadania do samodzielnego rozwi¸

azania:

1) Udowodni´

c, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n prawdziwe s¸

a twierdzenia:

a)

1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n+1)

2

b)

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n

2

c)

1

2

+ 3

2

+ 5

2

+ ... + (2n − 1)

2

=

n

3

(4n

2

− 1)

d)

1

1·4

+

1

4·7

+

1

7·10

+ ... +

1

(3n−2)·(3x+1)

=

n

3n+1

e)

1

3

+ 2

3

+ 3

3

+ ... + n

3

=

n(n+1)

2

2

2) Udowodni´

c, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n:

a)

liczba 7

n

− 1 jest podzielna przez 3

b)

liczba 10

3n+1

− 10 · (−1)

n

jest podzielna przez 7

c)

liczba

n

2

(n

2

+ 5) jest podzielna przez 3

3) Udowodni´

c, ˙ze prawdziwe s¸

a nier´

owno´

sci:

a)

2n + 1 < 2

n

dla n ≥ 3

b)

(n + 1)

2

≤ 3

n

dla n ≥ 2

c)

n

2

+ 1 < 2

n−1

dla n ≥ 7

4) Oblicz: a)

5!6!

7!

odp.:

120

7

b)

n!(n+1)!

(n−1)!(n+2)!

odp.:

n

n+2

c)

(n−1)!(n+2)!

(n

2

)!

odp.:

(n+1)(n+2)

n

5) Oblicz:
a)

185
184

odp.: 185

b)

n+2

2

odp.: (n + 1)

(n+2)

2

c)

n+2

n

odp.:

(n+1)(n+2)

2

d)

n+1
n−1

odp.: n

n+1

2

6) Rozwi¸

a˙z:

n

2

+

n+3

1

= 6 odp.: n = 2

7)Udowodni´

c, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi:

P

n
k=0

n
k

= 2

n

8) Wyznacz n z r´

ownania, je˙zeli wiadaomo, ˙ze n, k ∈ N i n ≥ k

n+1
k+1

= n + 1k ·

n−k+1

b

odp.: n = 5

9) Wyznaczy´

c ´

srodkowy wyraz rozwini¸

ecia pot¸

egi:



2
x

−

3

√

x

2



16

odp.: a

9

=

16

8

2

8

3

√

x

8

1

10) Suma wsp´

o lczynnik´

ow trzech pocz¸

atkowych wyraz´

ow rozwini¸

ecia pot¸

egi

x

2

+

1

x

n

jest r´

owna 46. Znale´

z´

c wyraz tego rozwini¸

ecia, w kt´

orym nie wyst¸

epuje x.

odp.: n = 9,

k = 6, a

7

= 84.

11) Znale´

z´

c pi¸

aty wyraz w rozwini¸

ecu Newtona dwumianu



a

√

x

+

√

x

a



n

je´

sli stosunek wsp´

o lczynnika trzeciego do wsp´

o lczynnika wyrazu drugiego jest r´

owny

11

2

odp.: n = 12, a

5

= 495a

4

x

−2

.

12) Zbadaj monotoniczno´

s´

c ci¸

agu:

a)

a

n

=

1−3

n

2

odp: malej¸

acy

b)

a

n

=

√

n + 1

odp: rosn¸

acy

c)

a

n

=

3n+1

n+3

odp: rosn¸

acy

d)

a

n

=

(

3+

1

n

)

2

−3

2

1

n

odp: malej¸

acy

13) Rozwi¸

a˙z r´

ownanie:

a)

5

2

· 5

4

· 5

6

· ... · 5

2

x = (0, 04)

−28

odp: x = 7

b)

1 + 4 + 7 + ... + x = 117

odp: x = 25

c)

(x + 1) + (x + 4) + ... + (x + 28) = 155

odp: x = 1

14) Zbadaj czy dany ci¸

ag jest cie¸

agiem arytmetycznym: a)

a

n

=

1
6

(3n − 1)

odp: tak

a)

a

n

=

n

n+1

odp: nie

15) Napisz trzy pocz¸

atkowe wyrazy ci¸

agu arytmetycznego, w kt´

orym suma n pocz¸

atkowych

wyraz´

ow jest r´

owna: a)

a

n

= 5n

2

+ 3n

odp: 8, 18, 28

a)

a

n

= 7n

2

− 5n

odp: 2, 16, 30

16) Oblicz sum¸e wszystkich liczb naturalnych, kt´

ore s¸

a mniejsze od 100 i kt´

ore przy dzie;eniu

przez 5 daj¸

a reszt¸

e 1.

odp: 969.

17) Oblicz sum¸

e wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3.

odp:

3240.

18) Pomi¸

edzy liczby 1 i 257 wstawi´

c liczby a,b,c tak aby ci¸

ag (1,a,b,c,257) by l arytmety-

czny. odp:

a = 65, b = 29, c = 193.

19) Zbada´

c czy dany ci¸

ag jest geometryczny. Oblicz a

1

i q”:

a)

a

n

= n

2

odp: nie

b)

a

n

= (−2)

n−1

odp: a

1

= 1, q = −2

20) Wyznacz ci¸

ag geometryczny je´

sli wiadomo, ˙ze:

a)

a

2

= 4, a

5

= 4000

odp: a

1

= 0.4, q = 10

b)

q = 3, S

5

= 121

odp: 1, 3, 9, ...

2

21) Wyznacz dodatni¸

a liczb¸

e x, aby ci¸

ag (10; x; 2, 5) by l geometryczny.

odp:x = 5.

22) Oblicz sum¸

e S

n

= 1 + 2a + 3a

2

+ 4a

3

+ ... + na

n−1

odp:

dla a 6= 1

na

n

a−1

−

a

n

−1

(a−1)

2

, dla a = 1

1+n

2

n

23) W rosn¸

acym ci¸

agu geometrycznym suma 2n pocz¸

atkowych wyraz´

ow wynosi 63, a suma

3n pocz¸

atkowych wyraz´

ow 511. Oblicz sum¸

e n pocz¸

atkowych wyraz´

ow. odp: 7

24) Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ci¸

agu geometrycznego wynosi 60. Suma kwadrat´

ow

tych wyraz´

ow jest r´

owna 2952. Znajd´

z iloraz tego ci¸

agu. odp:

1
3

lub -

1
3

25) Oblicz sum¸

e:

a)

2 + 1 +

1
2

+ ...

odp: 4

b)

1 −

2
3

+

4
9

−

8

27

+ ...

odp:

3
5

26) Znale´

z´

c a

1

szeregu geometrycznego, je˙zeli znamy jego sum¸

e S = 2

√

2 + 2 i iloraz q =

1

√

2

.

odp.

√

2

27) Rozwi¸

a˙z r´

ownanie, wiedz¸

ac, ˙ze jego lewa strona to suma szeregu geometrycznego:

a)

x + 4x

2

+ 16x

3

+ ... = 1

odp: x =

1
5

b)

x +

x

2

2

+

x

3

4

+ ... =

3x+1

3

odp: x

1

= −1, x

2

=

2
3

c)

log

8

x + log

2

8

x + ... =

1
2

odp: x = 2

28) Na podstawie definicji granicy ci¸

agu wykaza´

c, ˙ze:

a)

lim

n→∞

3n−1

n+2

= 3

b)

lim

n→∞

2

n

−3

2

n

−1

= 1

c)

lim

n→∞

3n

2

−5n+2

1−n

2

= −3

29) Oblicz:
a)

lim

n→∞

3n−5

1−n

odp:−3

b)

lim

n→∞

100n

n

2

+3

odp:0

c)

lim

n→∞

(n+1)(2n+3)

(3n−2)n+5

odp:

2
3

d)

lim

n→∞

2+4+6+...+2n

n

2

odp:1

e)

lim

n→∞

1+2+3+...+n

√

4n

4

+3n+1

odp:

1
4

f)

lim

n→∞



√

4n

2

+ 17 − 2n



odp:0

g)

lim

n→∞



3

√

n

3

+ n

2

− n



odp:

1
3

h)

lim

n→∞

√

n

2

+2n−n

2n−

√

4n

2

+3n

odp:−

4
3

3

i)

lim

n→∞

sin(n

3

+1)

n

3

+1

odp:0

h)

lim

n→∞

13

n+1

−2(−17)

n

3·15

n

+(−17)

n+1

odp:

2

17

i)

lim

n→∞

n

√

5 · 7

n

+ n

1

0 · 6

n

odp:7

j)

lim

n→∞



2n+1
2n−1



n

odp:e

4