Temat III – geometria 3D (wektory)

- wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

Na zaj¸

eciach rozwi¸

ażemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwi¸

azane na tablicy należy przerobić

samemu w domu.

Ogólne własności wektorów

Zadanie 1.

Znajdź współrz¸edne wektorów:

a) ~

AB

, gdzie A = (2, 3, 1), B = (3, 1, 2),

b) ~

AB

, gdzie A = (2, −1, −7), B = (2, 5, −6).

Zadanie 2.

Oblicz:

a) ~c = ~a − 2~b, gdzie ~a = [3, 0, 7],~b = [−2, −1, 1],
b) ~c = 3~a + 5~b, gdzie ~a = [2, 7, 8],~b = [−1, −2, 2],
c) ~c = 2~i − 3~j + 4~k.

Zadanie 3.

Niech A = (−1, 2, 5) oraz B = (1, 6, −3). Znajdź współrz¸edne środka odcinka AB.

Zadanie 4.

Wiadomo, że punkt P = (0, 0, 0) dzieli odcinek AB w stosunku 1:3. Znajdź współrz¸edne punktu

B

jeżeli A = (−1, 2, 3).

Zadanie 5.

Znajdź długości wektorów:

a) ~u = [−3, 0, 4],

b) ~v = [

√

2,

√

3,

√

31],

c) ~u = 2~i − 3~j + 5~k,

d) ~

AB

, gdzie A = (2, 1, −3), B = (−1, 1, 4),

e) ~

AB

, gdzie A = (1, 2, 3), B = (4, 6, 15).

Zadanie 6.

Znajdź wersory równoległe do:

a) ~u = [4, 0, −2],

b) ~

P Q

, gdzie P = (1, 2, 3), Q = (3, 2, 1).

Iloczyn skalarny

Zadanie 7.

Oblicz iloczyny skalarne:

a) ~a = [−1, 5, 2],~b = [3, 0, 7],

b) ~u = ~i − ~j + ~k, ~v = 3~i − 2~k,

c) ~a = 3~p − 2~q,~b = ~p − 5~q gdzie ~p i ~q s¸a wzajemnie prostopadłymi wersorami.

Zadanie 8.

Odpowiedz na pytania:

a) ile wynosi ~u · ~v jeżeli ~u ⊥ ~v?
b) ile wynosi ~u · ~v jeżeli ~u k ~v?
c) ile wynosi ~u · ~v jeżeli ~u = ~v?

Zadanie 9.

Znajdź długość ~a jeżeli ~a = 5~p − 4~q i ~p oraz ~q s¸a wzajemnie prostopadłymi wersorami.

Zadanie 10.

Oblicz k¸aty mi¸edzy parami wektorów:

a) ~u = [3, −1, 2], ~v = [4, 2, −5],

b) ~u = [3, −1, 2], ~v = [1, 2, 3].

Temat III – geometria 3D (wektory)

- wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

Zadanie 11.

Wiadomo, że ~u = [1, 2, 3] i ~v = [2, 3, a]. Znajdź wartości a dla których:

a) ~u ⊥ ~v,

b) |~u| = |~v|.

Iloczyn wektorowy

Zadanie 12.

Oblicz iloczyny wektorowe:

a) ~a = [−1, 3, 2],~b = [−1, 2, −5],

b) ~p = 2~j + ~k, ~q = ~i − ~j + 3~k,

c) ~u = [−1, 2, 5], ~v = [2, 0, −3],

d) ~a = [1, 2, 3],~b = [2, 4, 6].

Zadanie 13.

Ile wynosi ~u × ~v jeżeli:

a) ~u = ~v,

b) ~u k ~v.

Zadanie 14.

Znajdź pola podanych obszarów:

a) równoległobok rozpi¸ety na wektorach ~u = [0, 3, −2], ~v = [−1, 2, 5],
b) trójk¸at rozpi¸ety na wektorach ~u = [0, 3, −2], ~v = [−1, 2, 5],
c) trójk¸at o wierzchołkach A = (1, 2, 3), B = (0, −1, 2), C = (0, 4, 0),
d) równoległobok o trzech kolejnych wierzchołkach A = (1, 0, 1), B = (3, −1, 5), C = (−1, 5, 0),
e) pole powierzchni równoległościanu rozpi¸etego na wektorach ~u = [2, −1, 1], ~v = [0, 3, 1], ~w = [1, 1, 0],
f) pole powierzchni czworościanu rozpi¸etego na wektorach ~u = [2, −1, 1], ~v = [0, 3, 1], ~w = [1, 1, 0].

Zadanie 15.

Oblicz:

a) |(~a + 2~b) × (4~a −~b)| wiedz¸ac, że |~a ×~b| = 6,
b) |(~a +~b) × (~a −~b)| wiedz¸ac, że |~a ×~b| = 5.

Zadanie 16.

Oblicz pole równoległoboku rozpi¸etego na wektorach ~p i ~q jeżeli wiadomo, że pole równoległoboku

rozpi¸etego na wektorach ~a = 2~p + 4~q i ~b = ~p − ~q wynosi 12.

Zadanie 17.

Wiadomo, że pole równoległoboku rozpi¸etego na wektorach ~p i ~q wynosi 7. Oblicz pole trójk¸ata

rozpi¸etego na wektorach ~a = 2~p + ~q i ~b = ~p − 3~q.

Zadanie 18.

Wiadomo, że ~u = [1, 2, 3] i ~v = [2, 3, a]. Znajdź wartości a, dla których ~u k ~v.

Iloczyn mieszany

Zadanie 19.

Oblicz iloczyny mieszane z definicji:

a) ~u = [1, 1, 0], ~v = [0, 1, 1], ~

w

= [1, 0, 1],

b) ~u = [−2, 1, 3], ~v = [4, 3, −1], ~w = [1, 0, −2].

Zadanie 20.

Oblicz iloczyny mieszane korzystaj¸ac z wyznacznika:

a) ~u = [3, −2, 5], ~v = [1, −1, 3], ~w = [−2, 2, 1],
b) ~u = [1, 4, −1], ~v = [3, 2, 0], ~w = [0, 0, −3].

Temat III – geometria 3D (wektory)

- wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

Zadanie 21.

Wiedz¸ac że (~p, ~q, ~r) = 3, oblicz iloczyn mieszany (~p + ~q, 2~p − ~q, ~r).

Zadanie 22.

Spawdź, czy wektory lub punkty leż¸a wzdłuż tej samej prostej:

a) ~a = [1, −1, 2],~b = [0, 4, −1],~c = [2, 2, 3],
b) P = (1, 1, 1), Q = (0, 1, 2), R = (−1, 3, 0), S = (5, 0, −4).

Zadanie 23.

Znajdź obj¸etości brył:

a) równoległościan rozpi¸ety na wektorach ~a = [1, −1, 2],~b = [0, 3, −2],~c = [−1, 5, 0],
b) równoległościan ABCDEF GH, gdzie:

A

= (1, 0, 3), B = (1, 2, 0), D = (3, 0, 4), E = (0, −1, 3),

c) czworościan o wierzchołkach P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 3), R = (−1, 1, 0), S = (0, 0, 1),
d) czworościan rozpi¸ety na wektorach ~a = [1, 1, 1],~b = [1, −1, 0],~c = [−1, 3, −2].