WYKŁAD 5
2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I
WEKTOROWEJ
2.1. Wstęp: metoda współrzędnych
W geometrii analitycznej badamy obiekty geometryczne metodą analityczną.
Najbardziej znaną metodą tego typu jest metoda współrzędnych oparta na
układzie współrzędnych.
2A1 (Definicja: układ współrzędnych). Układ Oxyz współrzędnych w
przestrzeni składa się z trzech (zwykle wzajemnie prostopadłych) prostych Ox,
Oy, Oz z jednostkami mierzenia i ustalonymi kierunkami, przecinających się w
jednym punkcie O. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, płaszczyzny xOy, xOz,
yOz płaszczyznami, punkt O początkiem układu współrzędnych. Zwykle
korzysta się z orientacji układu prawoskrętnego, tzn. jeżeli prawą rękę
umieścimy tak, aby kciuk wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte palce
wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy.
W metodzie współrzędnych każdemu punktowi M przestrzeni odpowiada
uporządkowana trójka (
,
,
M
M
M
x
y
z
) liczb rzeczywistych (współrzędnych tego
punktu) i na odwrót. Wtedy geometryczne obiekty opisujemy przez warunki
(równania, nierówności lub ich układy), które spełniają współrzędne punktów
zawartych w geometrycznych obiektach. Odpowiednie równania nazywamy
równaniami tych obiektów.
Podobnie definiujemy układ współrzędnych na płaszczyźnie.
2A2 (Przykłady).
2.1. Równanie
2
2
2
(
)
(
)
(
)
0
M
M
M
x
x
y
y
z
z
opisuje punkt
(
,
,
)
M
M
M
M x
y
z
o współrzędnych
,
,
M
M
M
x
y
z
w przestrzeni;
2.2. Układ nierówności
1,
0,
0
x
y
x
y
opisuje trójkąt OAB o wierzchołkach O(0,0), A(1,0), B(0,1) na płaszczyźnie.
W geometrii analitycznej rozpatrujemy dwa podstawowych problemy: opisanie
obiektów równaniami otrzymanymi z własności tych obiektów i na odwrót,
badanie własności geometrycznych obiektów przez ich równania.
2.2. Wektory
Pod pojęciem wektora (odcinka skierowanego) a w przestrzeni (lub na
płaszczyźnie) rozumiemy wyłącznie wektor swobodny, tzn. zbiór wszystkich
wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość. Wektor tego zbioru o początku w punkcie O będziemy
nazywali reprezentantem wektora a . Jeżeli A jest końcem tego reprezentanta, to
wektor a można utożsamiać z wektorem OA wodzącym punktu A i z jego
współrzędnymi. Mamy zatem
a = OA =
(
,
,
)
A
A
A
x
y z
=
(
,
,
)
a
a
a
x y z
,
gdzie liczby rzeczywiste
,
,
a
a
a
x y z
są współrzędnymi wektora a .
Wektor
0
(0,0,0)
nazywamy wektorem zerowym, wektor
(
,
,
)
a
a
a
a
x
y
z
wektorem przeciwnym do wektora a .
Podobnie definiujemy wektory na płaszczyźnie.
2A+B3 (Wektory współliniowe). Wektory
,
a b
są współliniowe (równoległe), co
oznaczamy
||
a b
, gdy istnieje jedna lub dwie równoległe proste, w których
zawarte są te wektory. Stąd mamy warunek współliniowości:
||
lub
a
a
a
b
b
b
x
y
z
a b
a
b
b
a
x
y
z
, gdzie jest liczbą .
2A+B4 (Wektory współpłaszczyznowe). Wektory
, ,
a b c
są współpłaszczyznowe,
gdy są zawarte w jednej lub równoległych płaszczyznach. Warunek
0
a
a
a
b
b
b
c
c
c
x
y
z
x
y
z
x
y
z
jest warunkiem współpłaszczyznowości wektorów
, ,
a b c
.
2A5 (Definicja: długość wektora). Długość a wektora a jest określona
wzorem
2
2
2
.
a
a
a
a
x
y
z
2A+B6 (Definicja: rzut wektora). Rzut
b
P a
wektora a na wektor b określamy
wzorem
cos(
)
b
P a
a
ab , gdzie
(
)
a b
oznacza kąt między wektorami a i
b .
Uwaga. Współrzędne wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych.
2B7 (Ćwiczenie). Podać własności długości oraz rzutów wektorów.
2A8 (Definicja: wersory). Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.
Najbardziej znany są wersory
(1,0,0)
i
,
(0,1,0)
j
,
(0,0,1)
k
położone
odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych.
2A+B9 (Podział odcinka w podanym stosunku). Niech C będzie punktem
podziału odcinka AB w stosunku 1: , gdzie
0 , tzn. CB
AC . Wtedy
współrzędne tego punktu wyrażają się wzorami:
,
,
.
1
1
1
A
B
A
B
A
B
C
C
C
x
x
y
y
z
z
x
y
z
W postaci wektorowej mamy
1
(
)
OC
OA OB
. Punkt C jest środkiem odcinka AB w szczególnym
przypadku gdy
1.
Ćwiczenie (B+C). Określić podział odcinka w podanym stosunku dla
.
2A+B10 (Iloczyn skalarny). Iloczyn skalarny
a b
wektorów
(
,
,
)
a
a
a
a
x y z
i
( ,
,
)
b
b
b
b
x y z
określamy wzorem
cos (
)
a b
a b
ab .
Przykłady:
1,
0
i i
j
j
k k
i
j
j k
i k
(tu i dalej wektory
, ,
i j k
oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz. .
Własności iloczynu skalarnego:
1)
a b
b a
; 2)
(
)
(
)
(
)
a
b
a b
a
b
; 3)
2
a a
a ;
4)
(
)
a
b
c
a c
b c
; 5) a b
a b ;
6)
0
a b
wektory
i
a b
są prostopadłe (tu
, ,
a b c
są wektorami,
).
Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu skalarnego:
a
b
a
b
a
b
a b
x x
y y
z z
.
2A+B11 (Iloczyn wektorowy). Niech wektory
(
,
,
)
a
a
a
a
x y z
,
( ,
,
)
b
b
b
b
x y z
,
( ,
,
)
c
c
c
c
x y z
tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu
współrzędnych tzn.
0
a
a
a
b
b
b
c
c
c
x
y
z
x
y
z
x
y
z
. Wtedy wektor c nazywamy iloczynem
wektorowym uporządkowanej pary wektorów
i
a b
, co oznaczamy
c
a b
,
jeżeli spełnione są warunki:
1) wektor c jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach
i
a b
;
2) długość c wektora c jest równa polu równoległoboku rozpiętego na
wektorach
i
a b
:
sin (
)
c
a b
ab ;
3) orientacja wektorów
, ,
a b c
jest zgodna z orientacja układu współrzędnych
Oxyz.
Przykłady:
0,
,
,
i i
j
j
k
k
i
j
k
j i j k
i
k
j k
i
j
i k
.
Własności iloczynu wektorowego:
1)
a b
b a
; 2)
(
)
(
)
(
)
a
b
a b
a
b
; 3)
0
a a
;
4)
(
)
,
(
)
a
b
c
a c
b c
a
b
c
a b
a c
; 5) a b
a b ;
6)
0
a b
wektory
||
a b
wektory
i
a b
są równoległe (tu
, ,
a b c
są
wektorami,
).
Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu wektorowego:
def
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
i
j
k
y
z
x
z
x
y
c
a b
i
j
k
y
z
x
z
x
y
x
y
z
x
y
z
,
gdzie pierwszy „wyznacznik” obliczamy przez rozwinięcie względem
pierwszego wiersza.
2A+B12 (Iloczyn mieszany). Iloczyn mieszany
( , , ) lub
a b c
a b c
wektorów
(
,
,
)
a
a
a
a
x y z
,
( ,
,
)
b
b
b
b
x y z
,
( ,
,
)
c
c
c
c
x y z
określamy wzorem
def
( , , )
(
)
abc
a b c
a b
c .
Własności iloczynu mieszanego:
1)
a b c
b c a
c a b
b a c
c b a
a c b
;
2) interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego: iloczyn mieszany
a b c
wektorów
, ,
a b c
jest równy (z dokładnością do znaku) objętości
równoległościanu D rozpiętego na tych wektorach: D
abc ;
3)
0
a b c
wektory
, ,
a b c
są współpłaszczyznowe;
4) wzór do obliczania iloczynu mieszanego:
a
a
a
b
b
b
c
c
c
a b c
x
y
z
x
y
z
x
y
z
, skąd można otrzymać inne własności iloczynu mieszanego.
2B+C13 (Ćwiczenie: zastosowania rachunku wektorowego). Podać przykłady:
środek masy i momenty bezwładności układu punktów materialnych, moment
siły itd.
Podobnie rozpatrujemy rachunek wektorowy na płaszczyźnie.
Zbiór reprezentantów wszystkich wektorów przestrzeni przez współrzędne tych
reprezentantów można utożsamiać z
3
i ogólniej przestrzeń
n
utożsamiamy
z przestrzenią wektorową n-wymiarową, której elementy będziemy nazywali
wektorami (n-wektorami kolumnowymi). Przy oznaczaniu tych wektorów
strzałki będziemy opuszczali.
2A+B14 (Współrzędne wektora w bazie). Bazą przestrzeni
n
nazywamy zbiór
n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy każdy wektor
przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazy.
Współczynniki tej kombinacji (to jest rozwinięcia wektora w bazie) dla danego
wektora są wyznaczone jednoznacznie i nazywa się współrzędnymi wektora w
tej bazie. Wektory tworzą bazę standardową (kanoniczną) jeżeli macierz o
kolumnach, których elementy są odpowiednio współrzędnymi tych wektorów
jest jednostkowa. Współrzędne wektora w podanej bazie obliczamy jako
współczynniki odpowiedniej kombinacji liniowej w rozwinięciu wektora w tej
bazie, co sprowadza się do rozwiązywania pewnego układa Cramera.
2.3. Płaszczyzna w przestrzeni
Niech w przestrzeni
3
będzie ustalony układ współrzędnych Oxyz. Wtedy
równanie (przy dodatkowych założeniach)
0
,
,
z
y
x
F
jest równaniem powierzchni w tej przestrzeni. Powierzchnię tę określamy jako
zbiór punktów
( , , )
M x y z
w
3
, których współrzędne , ,
x y z spełniają to
równanie. Najprostszą powierzchnią jest płaszczyzna, którą można określić
różnymi sposobami. W zależności od sposobów rozpatrujemy różne równania
płaszczyzny.
2A+B15 (Równania płaszczyzny).
15.1. Równanie normalne płaszczyzny
przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
i prostopadłej do wektora
, ,
0
n
A B C
.
Wektor
, ,
0
n
A B C
nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny jeżeli
jest on prostopadły do tej płaszczyzny tzn. do dowolnego wektora zawartego w
tej płaszczyźnie. Jeżeli wektor n jest wektorem normalnym
to i wektor
C
B
A
n
,
,
będzie normalnym wektorem płaszczyzny
. Niech
z
y
x
M
,
,
będzie dowolnym punktem płaszczyzny
. Wtedy wektor
0
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
jest prostopadły do wektora
C
B
A
n
,
,
skąd
biorąc pod uwagę 2A+B10 otrzymamy równanie płaszczyzny (rys. 1)
C
B
A
n
,
,
z
y
x
M
,
,
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
Rys. 1. Płaszczyzna o równaniu
0
0
0
0
z
z
C
y
y
B
x
x
A
.
przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
i prostopadłej do wektora n :
:
0
0
0
0
z
z
C
y
y
B
x
x
A
, (1)
gdzie
2
2
2
0
A
B
C
.
Uwaga. Przy dowolnych , ,
A B C , gdzie
2
2
2
0
A
B
C
, równanie (1) określa
pęk płaszczyzn przechodzących przez punkt
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
.
Następnie niech
0
,
r r
będą wektorami wodzącymi punktów odpowiednio
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
,
z
y
x
M
,
,
. Wtedy mamy równanie normalne płaszczyzny
w
postaci wektorowej:
: n
(
)
0
o
r
r
. (2)
W równaniu (2) wektor normalny
, ,
n
A B C
zastąpimy wersorem
n
gdzie
2
2
2
1
1
C
B
A
n
i znak wybieramy przeciwny do wyrazu wolnego
D. Wtedy otrzymamy równanie normalne płaszczyzny :
0
cos
cos
cos
p
z
y
x
, (3)
gdzie
,
,
są kątami między normalnym wektorem i wersorami odpowiednio
na osiach Ox, Oy, Oz oraz p jest odległością początku układu współrzędnych od
polszczyzny.
15.2. Równanie ogólne płaszczyzny .
Oznaczamy
0
0
0
Cz
By
Ax
D
. Wtedy równanie (1) płaszczyzny
przyjmuje postać
:
0
D
Cz
By
Ax
, (4)
która jest prostopadła do wektora
, ,
0
n
A B C
(normalnego wektora
płaszczyzny).
Twierdzenie. Przy ustalonym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni
3
liniowe równanie (4) przedstawia płaszczyznę i na odwrót każdą płaszczyznę w
tej przestrzeni można opisać przez równanie (4).
Przykłady:
1)
0
A
czyli
0
D
Cz
By
równanie płaszczyzny równoległej do osi Ox
(wektor normalny
0, ,
0
n
B C
jest prostopadły do osi Ox: n Ox );
2)
0
B
czyli
0
Ax
Cz
D
równanie płaszczyzny równoległej do osi Oy
(
,0,
n
A
C
Oy
);
3)
0
C
czyli
0
D
By
Ax
równanie płaszczyzny równoległej do osi Oz
(
, ,0
n
A B
Oz);
4)
0
D
czyli
0
Cz
By
Ax
równanie płaszczyzny przechodzących przez
początek układu współrzędnych;
5)
0
B
A
czyli
0
D
Cz
równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Oz
(równoległej do płaszczyzny
Oxy
:
C
n
,
0
,
0
||
Oz
);
6)
0
C
A
czyli
0
D
By
równanie płaszczyzny prostopadłej do osi
Oy
(równoległej do płaszczyzny Oxz);
7)
0
C
B
czyli
0
D
Ax
równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Ox
(równoległej do płaszczyzny
Oyz
);
8)
0
D
A
czyli
0
Cz
By
równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś
Ox ;
9)
0
D
B
czyli
0
Cz
Ax
równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś
Oy
;
10)
0
C
czyli
0
By
Ax
równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś
Oz ;
11)
0
D
B
A
czyli
0
Cz
0
z
równanie płaszczyzny pokrywającej
się z płaszczyzną
Oxy
;
12)
0
D
C
A
czyli
0
D
By
0
y
równanie płaszczyzny
pokrywającej się z płaszczyzną Oxz;
13)
0
D
C
B
czyli
0
D
Ax
0
x
równanie płaszczyzny
pokrywającej się z płaszczyzną
Oyz
.
15.3. Równanie odcinkowe płaszczyzny .
Jeżeli
0,
0,
0 oraz D
0
A
B
C
, równanie (4) można sprowadzić do
postaci
:
1
c
z
b
y
a
x
, (5)
gdzie
A
D
a
,
B
D
b
,
C
D
c
. (5) jest wtedy równaniem płaszczyzny
odcinającej na osiach układu współrzędnych odcinki (zorientowane) o
długościach odpowiednio
,
, ,
a b c
.
15.4. Równanie płaszczyzny
przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
1
1
1
1
,
,
z
y
x
M
,
2
2
2
2
,
,
z
y
x
M
,
3
3
3
3
,
,
z
y
x
M
.
Nich
z
y
x
M
,
,
będzie dowolnym punktem płaszczyzny
. Wtedy wektory
1
1
1
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
,
1
2
1
2
1
2
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
,
1
3
1
3
1
3
3
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
są współpłaszczyznowe (rys. 2)..
2
M
M
1
M
3
M
Rys. 2. Płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty.
Korzystając z warunku współpłaszczyznowości wektorów otrzymamy
równanie tej płaszczyzny
0
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
1
1
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
. (6)
15.5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty
1
1
1
1
,
,
z
y
x
M
,
2
2
2
2
,
,
z
y
x
M
i równoległej do wektora
3
2
1
,
,
a
a
a
a
.
Jeżeli wektory a
i
1
2
1
2
1
2
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
nie są współliniowe (rys.
3) to otrzymujemy równanie tej płaszczyzny:
:
0
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
a
a
a
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
(7)
2
M
M
1
M
a
Rys.3. Płaszczyzna równoległa do wektora
a
i przechodzą przez
punkty
1
M
,
2
M
.
15.6. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
1
1
1
1
,
,
z
y
x
M
i
równoległej do dwu niewspółliniowych wektorów
1
2
3
,
,
a
a a a
,
1
2
3
,
,
b
b y z
.
Niech punkt
z
y
x
M
,
,
należy do płaszczyzny . Wtedy wektory (rys. 4)
3
2
1
,
,
a
a
a
a
,
1
2
3
,
,
b
b y z
,
1
1
1
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
są
współpłaszczyznowe. Z warunku 2A+B4 współpłaszczyznowości otrzymamy
:
0
3
2
1
3
2
1
1
1
1
b
b
b
a
a
a
z
z
y
y
x
x
(8)
A M
a
1
M
B
b
Rys.4. Płaszczyzna przechodzą przez punkt
1
M
i równoległa do dwu
niewspółliniowych wektorów
a
i b .
15.7. Równanie parametryczne płaszczyzny .
Niech dowolny punkt
z
y
x
M
,
,
o wektorze wodzącym
r
należy do
płaszczyzny
przechodzącej przez punkt
1
1
1
1
,
,
z
y
x
M
i rozpiętej na
niewspółliniowych wektorach
3
2
1
,
,
a
a
a
a
,
1
2
3
,
,
b
b y z
. Wtedy wektory
a
i b tworzą bazę w
wektor
0
r
r
1
1
1
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
o
wektorze wodzącym
0
r
możemy przedstawić jako kombinację liniową
b
v
a
u
M
M
1
tych wektorów (równanie wektorowe)
:
0
r
r
ua
vb
czyli w rozwiniętej formie (równanie parametryczne
)
:
1
1
1
1
2
2
1
3
3
,
,
,
x
x
ua
vb
y
y
ua
vb
z
z
ua
vb
(9)
gdzie u i v są parametrami.
2A+B16 (Wzajemnie położenie dwu płaszczyzn).
Kąt między płaszczyznami nazywamy kąt ostry między wektorami normalnymi
tych płaszczyzn. Przyjmujemy, że kąt między płaszczyznami równoległymi jest
równy 0.
Kąt między płaszczyznami
1
2
, i
o wektorach normalnych odpowiednio
1
1
1
1
(
,
,
)
n
A B C
i
2
2
2
2
(
,
,
)
n
A B C
wyraża się wzorem
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
cos
A A
B B
C C
A
B
C
A
B
C
lub
1
2
1
2
1
2
( ,
)
arccos
.
n
n
n
n
(10)
Stąd mamy
Twierdzenie. Niech
1
:
0
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
,
2
:
0
2
2
2
2
D
z
C
y
B
x
A
.
Wtedy
1.
1
pokrywa się z
2
1
2
1
2
1
2
1
2
D
D
C
C
B
B
A
A
.
2.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
D
D
C
C
B
B
A
A
tzn.
1
2
n
n
(rys. 8).
3. Płaszczyzny
1
i
2
są nierównolegle
4.
1
2
1
2
B
B
A
A
lub
1
2
1
2
C
C
B
B
, lub
1
2
1
2
C
C
A
A
.
5.
1
2
(rys. 9)
1
n
2
n
0
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
.
1
n
1
2
2
n
2
n
2
1
1
n
Rys. 8.
1
2
. Rys. 9.
1
2
.
2A+B17 (Odległość punktu od płaszczyzny).
Odległość punktu
0
0
0
0
( ,
,
)
M
x y z
od płaszczyzny
:
0,
Ax
By
Cz
D
gdzie
2
2
2
0
A
B
C
, wyraża się wzorem (A):
0
0
0
0
2
2
2
(
, )
.
Ax
By
Cz
D
d M
A
B
C
Odległość punktu M od płaszczyzny jest równa długości odcinka
0
0
'
M M
,
gdzie
'
P jest rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę .
Odległość między płaszczyznami równoległymi
1
i
2
o równaniach
1
1
2
2
:
0,
:
0
Ax
By
Cz
D
Ax
By
Cz
D
wyraża się wzorem (B):
1
2
1
2
2
2
2
( ,
)
.
D
D
d
A
B
C
2A+B18 (Definicja:
rzut punktu na płaszczyznę).
Rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę nazywany punkt
'
M tej
płaszczyzny spełniający warunek:
'
.
MM
2.4. Prosta w przestrzeni
2A+B19 (Równania prostej).
19.1. Równanie parametryczne prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez
punkt
0
0
0
0
( ,
,
)
P
x y z
o wektorze wodzącym
0
r
i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunku
( , , )
v
a b c
ma postać:
0
:
, gdzie
l r
r
tv
t
lub po rozpisaniu na współrzędne:
0
0
0
: ( , , )
( ,
,
)
( , , ), gdzie
.
l
x y z
x y z
t a b c
t
Powyższą zależność nazywany równaniem parametrycznym prostej w postaci
wektorowej. Inny zapis tego równania ma postać
0
0
0
,
:
, gdzie
.
,
x
x
at
l
y
y
bt
t
z
z
ct
Uwaga. Powyższe równania będą przedstawiały półproste lub odcinek, gdy
parametr
t
będzie
przebiegał
odpowiednio
przedziały
(
, ], [ , ) lub [ , ].
19.2. Równanie kierunkowe prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez
punkt
0
0
0
0
( ,
,
)
P
x y z
i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku
( , , )
v
a b c
ma postać
0
0
0
:
.
x
x
y
y
z
z
l
a
b
c
Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem
kierunkowym.
Uwaga (B). Aby nie ograniczyć zakresu stosowania równania kierunkowego
prostej przyjmujemy, że w mianownikach powyższych ułamków mogą wystąpić
zera.
19.3. Równanie krawędziowe prostej. Prostą l , która jest częścią wspólną
dwóch nierównoległych płaszczyzn
1
1
1
1
1
:
0,
A x
B y
C z
D
2
2
2
2
2
:
0
A x
B y
C z
D
, będziemy zapisywać w postaci:
1
1
1
1
2
2
2
2
0,
:
0.
A x
B y
C z
D
l
A x
B y
C z
D
Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.
Uwaga. Wektor kierunkowy prostej
1
1
1
1
2
2
2
2
0,
:
0.
A x
B y
C z
D
l
A x
B y
C z
D
ma postać
1
1
1
2
2
2
(
,
,
) (
,
,
).
v
A B C
A B C
2A+B20
(Rzut punktu na prostą).
Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt '
P tej prostej
spełniający warunek:
'
.
PP
l
Uwaga. W podobny sposób definiuje się rzut ukośny punktu na płaszczyznę lub
na prostą w kierunku ustalonego wektora.
2A+B21 (Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny).
Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny nazywamy kąt
,
2
gdzie
jest kątem ostrym między wektorem normalnym
n płaszczyzny
i
wektorem kierunkowym
v prostej l . Jeżeli prosta jest równoległa do
płaszczyzny, to przyjmujemy, ze kąt jej nachylenia do tej płaszczyzny jest
równy 0.
Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny
o
wektorze normalnym n wyraża się wzorem:
( , )
arcsin
.
n v
l
n v
2A+B22 (Kąt między prostymi).
Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utworzony przez wektory
kierunkowe tych prostych. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi
jest równy 0 .
Kąt między prostymi
1
2
,
l l
o wektorach kierunkowych odpowiednio
1
2
i
v
v
wyraża się wzorem
1
2
( , )
arccos
.
n v
l l
n v
2A+B+C23 (Wzajemnie położenie dwu prostych). Niech
1
1
1
1
2
2
2
2
, ,
,
, ,
v
a b c
v
a b c
będą wektorami kierunkowymi prostych
1
l
i
2
l
przechodzących odpowiednio przez punkty
1
1
1
1
,
,
z
y
x
M
i
2
2
2
2
,
,
M
x y z
.
Wtedy
23.1(A).
1
2
l
l
1
2
v
v
1
1
1
2
2
2
a
b
c
a
b
c
.
23.2(A).
1
2
l
l
1
2
v
v
1 2
1 2
1 2
0
a a
b b
c c
.
23.3(B).
1
l
i
2
l
są zawarte w jednej płaszczyźnie
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
0
x
x
y
y
z
z
a
b
c
a
b
c
.
23.4(C).
1
l
i
2
l
są skośne
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
0
x
x
y
y
z
z
a
b
c
a
b
c
.
2A+B24 (Odległość punktu od prostej). Odległość punktu
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
od
prostej o równaniu
1
1
1
x
x
y
y
z
z
a
b
c
obliczamy ze wzoru
1
0
r
r
v
d
v
,
gdzie
, ,
v
a b c
,
0
r
i
1
r
są wektorami wodzącymi odpowiednio punktów
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
,
1
1
1
1
,
,
M
x y z
(rys. 10).
Odległość d jest równa wysokości równoległoboku rozpiętego na wektorach
0
1
r
r
i v .
a
0
M
0
1
r
r
d
0
r
1
M
1
r
O
Rys. 10. Odległość punktu od prostej.
2B+C25 (Odległość między prostymi).
25.1. Odległość między równoległymi prostymi
1
l
:
1
1
1
1
1
1
x
x
y
y
z
z
a
b
c
i
2
l
:
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
a
b
c
wyraża się wzorem
2
1
1
1
r
r
v
d
v
2
1
2
2
r
r
v
v
.
25.2. Odległość między prostymi skośnymi
1
l
i
2
l
wyraża się wzorem
2
1
1
2
1
2
r
r v v
d
v
v
, gdzie
1
1
1
1
, ,
v
a b c
,
2
2
2
2
,
,
v
a b c
;
2
r
i
1
r
są wektorami
wodzącymi odpowiednio punktów
2
2
2
2
,
,
M
x y z
i
1
1
1
1
,
,
M
x y z
.
Uwaga. Wiemy z 2A+B15 że równanie liniowe (4) w przestrzeni
3
określa
płaszczyznę. Analogiczne równanie liniowe
0
Ax
By
C
, gdzie
2
2
0
A
B
, określa prostą na płaszczyźnie. Więcej informacji o geometrii
analitycznej w płaszczyźnie
2
można przeczytać w skrypcie
Tereza Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1, GiS, Wrocław,
2002, s. 148-159.