WYKŁAD 5

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I

WEKTOROWEJ

2.1. Wstęp: metoda współrzędnych

W geometrii analitycznej badamy obiekty geometryczne metodą analityczną.
Najbardziej znaną metodą tego typu jest metoda współrzędnych oparta na
układzie współrzędnych.

2A1 (Definicja: układ współrzędnych). Układ Oxyz współrzędnych w
przestrzeni składa się z trzech (zwykle wzajemnie prostopadłych) prostych Ox,
Oy, Oz z jednostkami mierzenia i ustalonymi kierunkami, przecinających się w
jednym punkcie O. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, płaszczyzny xOy, xOz,
yOz płaszczyznami, punkt O początkiem układu współrzędnych. Zwykle
korzysta się z orientacji układu prawoskrętnego, tzn. jeżeli prawą rękę
umieścimy tak, aby kciuk wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte palce
wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy.

W metodzie współrzędnych każdemu punktowi M przestrzeni odpowiada
uporządkowana trójka (

,

,

M

M

M

x

y

z

) liczb rzeczywistych (współrzędnych tego

punktu) i na odwrót. Wtedy geometryczne obiekty opisujemy przez warunki
(równania, nierówności lub ich układy), które spełniają współrzędne punktów
zawartych w geometrycznych obiektach. Odpowiednie równania nazywamy
równaniami tych obiektów.
Podobnie definiujemy układ współrzędnych na płaszczyźnie.

2A2 (Przykłady).
2.1. Równanie

2

2

2

(

)

(

)

(

)

0

M

M

M

x

x

y

y

z

z

opisuje punkt

(

,

,

)

M

M

M

M x

y

z

o współrzędnych

,

,

M

M

M

x

y

z

w przestrzeni;

2.2. Układ nierówności

1,

0,

0

x

y

x

y

opisuje trójkąt OAB o wierzchołkach O(0,0), A(1,0), B(0,1) na płaszczyźnie.

W geometrii analitycznej rozpatrujemy dwa podstawowych problemy: opisanie
obiektów równaniami otrzymanymi z własności tych obiektów i na odwrót,
badanie własności geometrycznych obiektów przez ich równania.

2.2. Wektory

Pod pojęciem wektora (odcinka skierowanego) a w przestrzeni (lub na
płaszczyźnie) rozumiemy wyłącznie wektor swobodny, tzn. zbiór wszystkich
wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość. Wektor tego zbioru o początku w punkcie O będziemy
nazywali reprezentantem wektora a . Jeżeli A jest końcem tego reprezentanta, to

wektor a można utożsamiać z wektorem OA wodzącym punktu A i z jego
współrzędnymi. Mamy zatem

a = OA =

(

,

,

)

A

A

A

x

y z

=

(

,

,

)

a

a

a

x y z

,

gdzie liczby rzeczywiste

,

,

a

a

a

x y z

są współrzędnymi wektora a .

Wektor

0

(0,0,0)

nazywamy wektorem zerowym, wektor

(

,

,

)

a

a

a

a

x

y

z

wektorem przeciwnym do wektora a .
Podobnie definiujemy wektory na płaszczyźnie.

2A+B3 (Wektory współliniowe). Wektory

,

a b

są współliniowe (równoległe), co

oznaczamy

||

a b

, gdy istnieje jedna lub dwie równoległe proste, w których

zawarte są te wektory. Stąd mamy warunek współliniowości:

||

lub

a

a

a

b

b

b

x

y

z

a b

a

b

b

a

x

y

z

, gdzie jest liczbą .

2A+B4 (Wektory współpłaszczyznowe). Wektory

, ,

a b c

są współpłaszczyznowe,

gdy są zawarte w jednej lub równoległych płaszczyznach. Warunek

0

a

a

a

b

b

b

c

c

c

x

y

z

x

y

z

x

y

z

jest warunkiem współpłaszczyznowości wektorów

, ,

a b c

.

2A5 (Definicja: długość wektora). Długość a wektora a jest określona

wzorem

2

2

2

.

a

a

a

a

x

y

z

2A+B6 (Definicja: rzut wektora). Rzut

b

P a

wektora a na wektor b określamy

wzorem

cos(

)

b

P a

a

ab , gdzie

(

)

a b

oznacza kąt między wektorami a i

b .

Uwaga. Współrzędne wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych.

2B7 (Ćwiczenie). Podać własności długości oraz rzutów wektorów.

2A8 (Definicja: wersory). Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.
Najbardziej znany są wersory

(1,0,0)

i

,

(0,1,0)

j

,

(0,0,1)

k

położone

odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych.

2A+B9 (Podział odcinka w podanym stosunku). Niech C będzie punktem
podziału odcinka AB w stosunku 1: , gdzie

0 , tzn. CB

AC . Wtedy

współrzędne tego punktu wyrażają się wzorami:

,

,

.

1

1

1

A

B

A

B

A

B

C

C

C

x

x

y

y

z

z

x

y

z

W postaci wektorowej mamy

1

(

)

OC

OA OB

. Punkt C jest środkiem odcinka AB w szczególnym

przypadku gdy

1.

Ćwiczenie (B+C). Określić podział odcinka w podanym stosunku dla

.

2A+B10 (Iloczyn skalarny). Iloczyn skalarny

a b

wektorów

(

,

,

)

a

a

a

a

x y z

i

( ,

,

)

b

b

b

b

x y z

określamy wzorem

cos (

)

a b

a b

ab .

Przykłady:

1,

0

i i

j

j

k k

i

j

j k

i k

(tu i dalej wektory

, ,

i j k

oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz. .

Własności iloczynu skalarnego:

1)

a b

b a

; 2)

(

)

(

)

(

)

a

b

a b

a

b

; 3)

2

a a

a ;

4)

(

)

a

b

c

a c

b c

; 5) a b

a b ;

6)

0

a b

wektory

i

a b

są prostopadłe (tu

, ,

a b c

są wektorami,

).

Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu skalarnego:

a

b

a

b

a

b

a b

x x

y y

z z

.

2A+B11 (Iloczyn wektorowy). Niech wektory

(

,

,

)

a

a

a

a

x y z

,

( ,

,

)

b

b

b

b

x y z

,

( ,

,

)

c

c

c

c

x y z

tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu

współrzędnych tzn.

0

a

a

a

b

b

b

c

c

c

x

y

z

x

y

z

x

y

z

. Wtedy wektor c nazywamy iloczynem

wektorowym uporządkowanej pary wektorów

i

a b

, co oznaczamy

c

a b

,

jeżeli spełnione są warunki:

1) wektor c jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach

i

a b

;

2) długość c wektora c jest równa polu równoległoboku rozpiętego na

wektorach

i

a b

:

sin (

)

c

a b

ab ;

3) orientacja wektorów

, ,

a b c

jest zgodna z orientacja układu współrzędnych

Oxyz.
Przykłady:

0,

,

,

i i

j

j

k

k

i

j

k

j i j k

i

k

j k

i

j

i k

.

Własności iloczynu wektorowego:
1)

a b

b a

; 2)

(

)

(

)

(

)

a

b

a b

a

b

; 3)

0

a a

;

4)

(

)

,

(

)

a

b

c

a c

b c

a

b

c

a b

a c

; 5) a b

a b ;

6)

0

a b

wektory

||

a b

wektory

i

a b

są równoległe (tu

, ,

a b c

są

wektorami,

).

Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu wektorowego:

def

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

a

a

a

b

b

b

i

j

k

y

z

x

z

x

y

c

a b

i

j

k

y

z

x

z

x

y

x

y

z

x

y

z

,

gdzie pierwszy „wyznacznik” obliczamy przez rozwinięcie względem
pierwszego wiersza.

2A+B12 (Iloczyn mieszany). Iloczyn mieszany

( , , ) lub

a b c

a b c

wektorów

(

,

,

)

a

a

a

a

x y z

,

( ,

,

)

b

b

b

b

x y z

,

( ,

,

)

c

c

c

c

x y z

określamy wzorem

def

( , , )

(

)

abc

a b c

a b

c .

Własności iloczynu mieszanego:
1)

a b c

b c a

c a b

b a c

c b a

a c b

;

2) interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego: iloczyn mieszany

a b c

wektorów

, ,

a b c

jest równy (z dokładnością do znaku) objętości

równoległościanu D rozpiętego na tych wektorach: D

abc ;

3)

0

a b c

wektory

, ,

a b c

są współpłaszczyznowe;

4) wzór do obliczania iloczynu mieszanego:

a

a

a

b

b

b

c

c

c

a b c

x

y

z

x

y

z

x

y

z

, skąd można otrzymać inne własności iloczynu mieszanego.

2B+C13 (Ćwiczenie: zastosowania rachunku wektorowego). Podać przykłady:
środek masy i momenty bezwładności układu punktów materialnych, moment
siły itd.

Podobnie rozpatrujemy rachunek wektorowy na płaszczyźnie.
Zbiór reprezentantów wszystkich wektorów przestrzeni przez współrzędne tych
reprezentantów można utożsamiać z

3

i ogólniej przestrzeń

n

utożsamiamy

z przestrzenią wektorową n-wymiarową, której elementy będziemy nazywali
wektorami (n-wektorami kolumnowymi). Przy oznaczaniu tych wektorów
strzałki będziemy opuszczali.

2A+B14 (Współrzędne wektora w bazie). Bazą przestrzeni

n

nazywamy zbiór

n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy każdy wektor
przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazy.
Współczynniki tej kombinacji (to jest rozwinięcia wektora w bazie) dla danego
wektora są wyznaczone jednoznacznie i nazywa się współrzędnymi wektora w
tej bazie. Wektory tworzą bazę standardową (kanoniczną) jeżeli macierz o
kolumnach, których elementy są odpowiednio współrzędnymi tych wektorów
jest jednostkowa. Współrzędne wektora w podanej bazie obliczamy jako
współczynniki odpowiedniej kombinacji liniowej w rozwinięciu wektora w tej
bazie, co sprowadza się do rozwiązywania pewnego układa Cramera.

2.3. Płaszczyzna w przestrzeni

Niech w przestrzeni

3

będzie ustalony układ współrzędnych Oxyz. Wtedy

równanie (przy dodatkowych założeniach)

0

,

,

z

y

x

F

jest równaniem powierzchni w tej przestrzeni. Powierzchnię tę określamy jako
zbiór punktów

( , , )

M x y z

w

3

, których współrzędne , ,

x y z spełniają to

równanie. Najprostszą powierzchnią jest płaszczyzna, którą można określić
różnymi sposobami. W zależności od sposobów rozpatrujemy różne równania
płaszczyzny.

2A+B15 (Równania płaszczyzny).
15.1. Równanie normalne płaszczyzny

przechodzącej przez punkt

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

i prostopadłej do wektora

, ,

0

n

A B C

.

Wektor

, ,

0

n

A B C

nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny jeżeli

jest on prostopadły do tej płaszczyzny tzn. do dowolnego wektora zawartego w
tej płaszczyźnie. Jeżeli wektor n jest wektorem normalnym

to i wektor

C

B

A

n

,

,



będzie normalnym wektorem płaszczyzny

. Niech

z

y

x

M

,

,

będzie dowolnym punktem płaszczyzny

. Wtedy wektor

0

0

0

0

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

jest prostopadły do wektora

C

B

A

n

,

,



skąd

biorąc pod uwagę 2A+B10 otrzymamy równanie płaszczyzny (rys. 1)

C

B

A

n

,

,



z

y

x

M

,

,

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

Rys. 1. Płaszczyzna o równaniu

0

0

0

0

z

z

C

y

y

B

x

x

A

.

przechodzącej przez punkt

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

i prostopadłej do wektora n :

:

0

0

0

0

z

z

C

y

y

B

x

x

A

, (1)

gdzie

2

2

2

0

A

B

C

.

Uwaga. Przy dowolnych , ,

A B C , gdzie

2

2

2

0

A

B

C

, równanie (1) określa

pęk płaszczyzn przechodzących przez punkt

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

.

Następnie niech

0

,

r r

będą wektorami wodzącymi punktów odpowiednio

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

,

z

y

x

M

,

,

. Wtedy mamy równanie normalne płaszczyzny

w

postaci wektorowej:

: n

(

)

0

o

r

r

. (2)

W równaniu (2) wektor normalny

, ,

n

A B C

zastąpimy wersorem

n

gdzie

2

2

2

1

1

C

B

A

n

i znak wybieramy przeciwny do wyrazu wolnego

D. Wtedy otrzymamy równanie normalne płaszczyzny :

0

cos

cos

cos

p

z

y

x

, (3)

gdzie

,

,

są kątami między normalnym wektorem i wersorami odpowiednio

na osiach Ox, Oy, Oz oraz p jest odległością początku układu współrzędnych od
polszczyzny.
15.2. Równanie ogólne płaszczyzny .

Oznaczamy

0

0

0

Cz

By

Ax

D

. Wtedy równanie (1) płaszczyzny

przyjmuje postać

:

0

D

Cz

By

Ax

, (4)

która jest prostopadła do wektora

, ,

0

n

A B C

(normalnego wektora

płaszczyzny).
Twierdzenie. Przy ustalonym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni

3

liniowe równanie (4) przedstawia płaszczyznę i na odwrót każdą płaszczyznę w
tej przestrzeni można opisać przez równanie (4).
Przykłady:
1)

0

A

czyli

0

D

Cz

By

równanie płaszczyzny równoległej do osi Ox

(wektor normalny

0, ,

0

n

B C

jest prostopadły do osi Ox: n Ox );

2)

0

B

czyli

0

Ax

Cz

D

równanie płaszczyzny równoległej do osi Oy

(

,0,

n

A

C

Oy

);

3)

0

C

czyli

0

D

By

Ax

równanie płaszczyzny równoległej do osi Oz

(

, ,0

n

A B

Oz);

4)

0

D

czyli

0

Cz

By

Ax

równanie płaszczyzny przechodzących przez

początek układu współrzędnych;

5)

0

B

A

czyli

0

D

Cz

równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Oz

(równoległej do płaszczyzny

Oxy

:

C

n

,

0

,

0

||

Oz

);

6)

0

C

A

czyli

0

D

By

równanie płaszczyzny prostopadłej do osi

Oy

(równoległej do płaszczyzny Oxz);
7)

0

C

B

czyli

0

D

Ax

równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Ox

(równoległej do płaszczyzny

Oyz

);

8)

0

D

A

czyli

0

Cz

By

równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś

Ox ;

9)

0

D

B

czyli

0

Cz

Ax

równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś

Oy

;

10)

0

C

czyli

0

By

Ax

równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś

Oz ;

11)

0

D

B

A

czyli

0

Cz

0

z

równanie płaszczyzny pokrywającej

się z płaszczyzną

Oxy

;

12)

0

D

C

A

czyli

0

D

By

0

y

równanie płaszczyzny

pokrywającej się z płaszczyzną Oxz;
13)

0

D

C

B

czyli

0

D

Ax

0

x

równanie płaszczyzny

pokrywającej się z płaszczyzną

Oyz

.

15.3. Równanie odcinkowe płaszczyzny .

Jeżeli

0,

0,

0 oraz D

0

A

B

C

, równanie (4) można sprowadzić do

postaci

:

1

c

z

b

y

a

x

, (5)

gdzie

A

D

a

,

B

D

b

,

C

D

c

. (5) jest wtedy równaniem płaszczyzny

odcinającej na osiach układu współrzędnych odcinki (zorientowane) o
długościach odpowiednio

,

, ,

a b c

.

15.4. Równanie płaszczyzny

przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty

1

1

1

1

,

,

z

y

x

M

,

2

2

2

2

,

,

z

y

x

M

,

3

3

3

3

,

,

z

y

x

M

.

Nich

z

y

x

M

,

,

będzie dowolnym punktem płaszczyzny

. Wtedy wektory

1

1

1

1

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

,

1

2

1

2

1

2

2

1

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

,

1

3

1

3

1

3

3

1

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

są współpłaszczyznowe (rys. 2)..

2

M

M

1

M

3

M

Rys. 2. Płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty.

Korzystając z warunku współpłaszczyznowości wektorów otrzymamy

równanie tej płaszczyzny

0

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1

2

1

1

1

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

. (6)

15.5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty

1

1

1

1

,

,

z

y

x

M

,

2

2

2

2

,

,

z

y

x

M

i równoległej do wektora

3

2

1

,

,

a

a

a

a



.

Jeżeli wektory a



i

1

2

1

2

1

2

2

1

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

nie są współliniowe (rys.

3) to otrzymujemy równanie tej płaszczyzny:

:

0

3

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1

a

a

a

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

(7)

2

M

M

1

M

a



Rys.3. Płaszczyzna równoległa do wektora

a

i przechodzą przez

punkty

1

M

,

2

M

.

15.6. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

1

1

1

1

,

,

z

y

x

M

i

równoległej do dwu niewspółliniowych wektorów

1

2

3

,

,

a

a a a

,

1

2

3

,

,

b

b y z

.

Niech punkt

z

y

x

M

,

,

należy do płaszczyzny . Wtedy wektory (rys. 4)

3

2

1

,

,

a

a

a

a



,

1

2

3

,

,

b

b y z

,

1

1

1

1

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

są

współpłaszczyznowe. Z warunku 2A+B4 współpłaszczyznowości otrzymamy

:

0

3

2

1

3

2

1

1

1

1

b

b

b

a

a

a

z

z

y

y

x

x

(8)

A M

a



1

M

B

b



Rys.4. Płaszczyzna przechodzą przez punkt

1

M

i równoległa do dwu

niewspółliniowych wektorów

a

i b .

15.7. Równanie parametryczne płaszczyzny .

Niech dowolny punkt

z

y

x

M

,

,

o wektorze wodzącym

r

należy do

płaszczyzny

przechodzącej przez punkt

1

1

1

1

,

,

z

y

x

M

i rozpiętej na

niewspółliniowych wektorach

3

2

1

,

,

a

a

a

a



,

1

2

3

,

,

b

b y z

. Wtedy wektory

a

i b tworzą bazę w

wektor

0

r

r

1

1

1

1

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

o

wektorze wodzącym

0

r

możemy przedstawić jako kombinację liniową

b

v

a

u

M

M





1

tych wektorów (równanie wektorowe)

:

0

r

r

ua

vb

czyli w rozwiniętej formie (równanie parametryczne

)

:

1

1

1

1

2

2

1

3

3

,

,

,

x

x

ua

vb

y

y

ua

vb

z

z

ua

vb

(9)

gdzie u i v są parametrami.

2A+B16 (Wzajemnie położenie dwu płaszczyzn).

Kąt między płaszczyznami nazywamy kąt ostry między wektorami normalnymi
tych płaszczyzn. Przyjmujemy, że kąt między płaszczyznami równoległymi jest
równy 0.
Kąt między płaszczyznami

1

2

, i

o wektorach normalnych odpowiednio

1

1

1

1

(

,

,

)

n

A B C

i

2

2

2

2

(

,

,

)

n

A B C

wyraża się wzorem

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

cos

A A

B B

C C

A

B

C

A

B

C

lub

1

2

1

2

1

2

( ,

)

arccos

.

n

n

n

n

(10)

Stąd mamy
Twierdzenie. Niech

1

:

0

1

1

1

1

D

z

C

y

B

x

A

,

2

:

0

2

2

2

2

D

z

C

y

B

x

A

.

Wtedy

1.

1

pokrywa się z

2

1

2

1

2

1

2

1

2

D

D

C

C

B

B

A

A

.

2.

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

D

D

C

C

B

B

A

A

tzn.

1

2

n

n

(rys. 8).

3. Płaszczyzny

1

i

2

są nierównolegle

4.

1

2

1

2

B

B

A

A

lub

1

2

1

2

C

C

B

B

, lub

1

2

1

2

C

C

A

A

.

5.

1

2

(rys. 9)

1

n

2

n

0

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

.

1

n

1

2

2

n

2

n

2

1

1

n

Rys. 8.

1

2

. Rys. 9.

1

2

.

2A+B17 (Odległość punktu od płaszczyzny).
Odległość punktu

0

0

0

0

( ,

,

)

M

x y z

od płaszczyzny

:

0,

Ax

By

Cz

D

gdzie

2

2

2

0

A

B

C

, wyraża się wzorem (A):

0

0

0

0

2

2

2

(

, )

.

Ax

By

Cz

D

d M

A

B

C

Odległość punktu M od płaszczyzny jest równa długości odcinka

0

0

'

M M

,

gdzie

'

P jest rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę .

Odległość między płaszczyznami równoległymi

1

i

2

o równaniach

1

1

2

2

:

0,

:

0

Ax

By

Cz

D

Ax

By

Cz

D

wyraża się wzorem (B):

1

2

1

2

2

2

2

( ,

)

.

D

D

d

A

B

C

2A+B18 (Definicja:

rzut punktu na płaszczyznę).

Rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę nazywany punkt

'

M tej

płaszczyzny spełniający warunek:

'

.

MM

2.4. Prosta w przestrzeni

2A+B19 (Równania prostej).
19.1. Równanie parametryczne prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez
punkt

0

0

0

0

( ,

,

)

P

x y z

o wektorze wodzącym

0

r

i wyznaczonej przez niezerowy

wektor kierunku

( , , )

v

a b c

ma postać:

0

:

, gdzie

l r

r

tv

t

lub po rozpisaniu na współrzędne:

0

0

0

: ( , , )

( ,

,

)

( , , ), gdzie

.

l

x y z

x y z

t a b c

t

Powyższą zależność nazywany równaniem parametrycznym prostej w postaci
wektorowej. Inny zapis tego równania ma postać

0

0

0

,

:

, gdzie

.

,

x

x

at

l

y

y

bt

t

z

z

ct

Uwaga. Powyższe równania będą przedstawiały półproste lub odcinek, gdy
parametr

t

będzie

przebiegał

odpowiednio

przedziały

(

, ], [ , ) lub [ , ].

19.2. Równanie kierunkowe prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez
punkt

0

0

0

0

( ,

,

)

P

x y z

i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku

( , , )

v

a b c

ma postać

0

0

0

:

.

x

x

y

y

z

z

l

a

b

c

Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem
kierunkowym.
Uwaga (B). Aby nie ograniczyć zakresu stosowania równania kierunkowego
prostej przyjmujemy, że w mianownikach powyższych ułamków mogą wystąpić
zera.

19.3. Równanie krawędziowe prostej. Prostą l , która jest częścią wspólną
dwóch nierównoległych płaszczyzn

1

1

1

1

1

:

0,

A x

B y

C z

D

2

2

2

2

2

:

0

A x

B y

C z

D

, będziemy zapisywać w postaci:

1

1

1

1

2

2

2

2

0,

:

0.

A x

B y

C z

D

l

A x

B y

C z

D

Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.
Uwaga. Wektor kierunkowy prostej

1

1

1

1

2

2

2

2

0,

:

0.

A x

B y

C z

D

l

A x

B y

C z

D

ma postać

1

1

1

2

2

2

(

,

,

) (

,

,

).

v

A B C

A B C

2A+B20

(Rzut punktu na prostą).

Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt '

P tej prostej

spełniający warunek:

'

.

PP

l

Uwaga. W podobny sposób definiuje się rzut ukośny punktu na płaszczyznę lub
na prostą w kierunku ustalonego wektora.

2A+B21 (Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny).

Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny nazywamy kąt

,

2

gdzie

jest kątem ostrym między wektorem normalnym

n płaszczyzny

i

wektorem kierunkowym

v prostej l . Jeżeli prosta jest równoległa do

płaszczyzny, to przyjmujemy, ze kąt jej nachylenia do tej płaszczyzny jest
równy 0.
Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny

o

wektorze normalnym n wyraża się wzorem:

( , )

arcsin

.

n v

l

n v

2A+B22 (Kąt między prostymi).

Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utworzony przez wektory
kierunkowe tych prostych. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi
jest równy 0 .
Kąt między prostymi

1

2

,

l l

o wektorach kierunkowych odpowiednio

1

2

i

v

v

wyraża się wzorem

1

2

( , )

arccos

.

n v

l l

n v

2A+B+C23 (Wzajemnie położenie dwu prostych). Niech

1

1

1

1

2

2

2

2

, ,

,

, ,

v

a b c

v

a b c

będą wektorami kierunkowymi prostych

1

l

i

2

l

przechodzących odpowiednio przez punkty

1

1

1

1

,

,

z

y

x

M

i

2

2

2

2

,

,

M

x y z

.

Wtedy

23.1(A).

1

2

l

l

1

2

v

v

1

1

1

2

2

2

a

b

c

a

b

c

.

23.2(A).

1

2

l

l

1

2

v

v

1 2

1 2

1 2

0

a a

b b

c c

.

23.3(B).

1

l

i

2

l

są zawarte w jednej płaszczyźnie

2

1

2

1

2

1

1

1

1

2

2

2

0

x

x

y

y

z

z

a

b

c

a

b

c

.

23.4(C).

1

l

i

2

l

są skośne

2

1

2

1

2

1

1

1

1

2

2

2

0

x

x

y

y

z

z

a

b

c

a

b

c

.

2A+B24 (Odległość punktu od prostej). Odległość punktu

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

od

prostej o równaniu

1

1

1

x

x

y

y

z

z

a

b

c

obliczamy ze wzoru

1

0

r

r

v

d

v

,

gdzie

, ,

v

a b c

,

0

r

i

1

r

są wektorami wodzącymi odpowiednio punktów

0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

,

1

1

1

1

,

,

M

x y z

(rys. 10).

Odległość d jest równa wysokości równoległoboku rozpiętego na wektorach

0

1

r

r

i v .

a

0

M

0

1

r

r

d

0

r

1

M

1

r

O

Rys. 10. Odległość punktu od prostej.

2B+C25 (Odległość między prostymi).
25.1. Odległość między równoległymi prostymi

1

l

:

1

1

1

1

1

1

x

x

y

y

z

z

a

b

c

i

2

l

:

2

2

2

2

2

2

x

x

y

y

z

z

a

b

c

wyraża się wzorem

2

1

1

1

r

r

v

d

v

2

1

2

2

r

r

v

v

.

25.2. Odległość między prostymi skośnymi

1

l

i

2

l

wyraża się wzorem

2

1

1

2

1

2

r

r v v

d

v

v

, gdzie

1

1

1

1

, ,

v

a b c

,

2

2

2

2

,

,

v

a b c

;

2

r

i

1

r

są wektorami

wodzącymi odpowiednio punktów

2

2

2

2

,

,

M

x y z

i

1

1

1

1

,

,

M

x y z

.

Uwaga. Wiemy z 2A+B15 że równanie liniowe (4) w przestrzeni

3

określa

płaszczyznę. Analogiczne równanie liniowe

0

Ax

By

C

, gdzie

2

2

0

A

B

, określa prostą na płaszczyźnie. Więcej informacji o geometrii

analitycznej w płaszczyźnie

2

można przeczytać w skrypcie

Tereza Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1, GiS, Wrocław,
2002, s. 148-159.