ROZDZIAŁ VI

ELEMENTY GEOMETRJI ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI

Def:

Przestrzenią R³ nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych. R³ = {(x,y,z): x,y,z ∈R}

Uwaga:

Przestrzeń R³ będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby:

1. Zbiór wszystkich punktów P=(x,y,z) w przestrzeni. W tej interpretacji elementy przestrzeni R³ nazywamy punktami i oznaczamy dużymi literami.

z

B . . A

y

. C

x

2. 
   
   Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych a = 0P. Wektory te mają wspólny początek O=(0,0,0) i koniec (końce) P = (x,y,z).

z

o y

x

3. Zbiór wszystkich wektorów w swobodnej przestrzeni. Przez wektor swobodny rozumiemy tutaj zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, .zwrot oraz długość.

z

b a

b

y

a

x

Def:

1. Mówimy że punkty A,B,C (wektory a, b ) są współliniowe, jeżeli istnieje prosta, do której należą te punkty (w której zawarte są wektory)

A . B . C . a b

2. Mówimy że punkty A,B,C,D są współpłaszczyznowe (wektory a b c ) jeśli istnieje płaszczyzna, do której należą te punkty (wektory)

B . . C a

b

. A . D c

Def:

Działania na wektorach:

Niech wektor u = [x,y,z] w = [x₁,y₁,z₁] v = [x₂,y₂,z₂] oraz L ∈ R

Sumę wektorów w i v określamy wzorem : w + v = [ x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂]

z

v +w

v

w

y

x

Różnicę wektorów w i v określamy wzorem : w - v = [ x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂]

z

v

w

y

-v w - v

x

Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą L określamy wzorem:

L * u = [L*x, L*y, L*z]

Def:

Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x,y,z, przecinające się w jednym punkcie O które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez O_xyz, proste O_x, O_y, O_z nazywamy osiami układu, a płaszczyzny O_zy, O_xz, O_yx nazywamy płaszczyznami układu współrzędnych.

Def: (Oriętacja układu współrzędnych w przestrzeni)

W zależności od wzajemnego położenia osi O_x, O_y, O_z układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego oriętacje. z z

Układ Prawostronny lewostronny x

y

x y

Def:

Wektory i = [1,0,0] j = [0,1,0] k = [0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio

Oś: O_x,, O_y, O_z

z

k

j

o y

i

x

Def:

Długość wektora v = [x,y,z] jest określona wzorem: IvI =√ x²+y²+z²

Przykład: Obliczyć długość wektora a = [-3,0,4]

A = √(-3)²+0²+4²) = 5

Def:

Niech u, v będą dowolnymi wektorami w R³ to iloczyn skalarny tych wektorów określamy wzorem: u * v ^def= IuI * IvI * cosL

Gdzie L jest kątem między tymi wektorami

z u

L y v

x

Wzór skalarny: Niech u = [x₁,y₁,z₁] oraz v = [x₂,y₂,z₂] będą wektorami R³

u * v = x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂

cosL = u * v

IuI * IvI

Uwaga:

Wektory u i v są prostopadłe gdy u * v = 0

Def:

Iloczyn wektorowy

Niech u, v będą nie współliniowymi wektorami przestrzeni R³.

Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w, który spełnia warunki:

1. Jest prostopadły do wektora u i v u w i v w (kierunek)

2. Jego długość jest równa IwI = IuI*IvI*sinL (długość)

gdzie L- kąt między tymi wektorami

Orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna

z orientacją układu współrzędnych O_xyz (zwrot).

Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u x v

z

u x v

v

u

Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego

b

a

Ia x bI = IaI * IbI * sinL

P = IaI x IbI - Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach

P ½ (

a x b ) - Pole trójkąta zbudowanego na wektorach

Uwaga: i j k

a x b = x₁ y₁ z₁

x₂ y₂ z₂

Przykład Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów a = [-1,2,5] b =[2,0,-3]

i j k 2 5 -1 3 -1 2

a x b = -1 2 5 = i (-1)² 0 -3 + j*(-1)³ 2 -3 + k*(-1)⁴ 2 0 =

2 0 -3

= i (-6) - j(-7) + k(-4) = -6i + 7j - 4k = -6[1,0,0]+7[0,1,0]-4[0,0,1] =[-6,0,0]+[0,7,0]+[0,0,-4]

=[-6,7,-4]

Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: A=(1,2,3) B=(0,-1,2) C=(0,4,0)

C

P = ˝ IAB x ACI

A B

AB = [0-1,-1-2,2-3] = [-1,-3,-1] AC = [0-1,4-2,0-3] = [-1,2,-3]

i j k

AB x AC -1 -3 -1 = [11,-2,-5]

-1 2 -3

P = ˝IAB x ACI = ˝ √11²,(-2)²,(-5)² = ˝√150

---