Własności wyznaczników
1) Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz ) złożoną z samych zer jest równy zero np.:
1 2 3 4
0 0 0 0
-1 2 4 5 = 0
3 1 2
2) Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (kolumny):
1 2 -3 1 -3 2
2 4 2 = - 2 2 4
0 1 2 0 2 1
3) Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie kolumny (wiersze ) jednakowe jest równy zero;
1 -3 -3
1 4 4 = 0
5 2 2
4) Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy. np.:
3 6 9 1 2 3
4 -1 2 = 3 4 -1 2
3 -2 4 3 -2 4
2 4 8 1 2 3
-2 6 4 = 23 -1 3 2
2 -4 10 1 - 2 5
5) Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się jeżeli dodamy do pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny)
1 -2 4 4 1 -2 2 4
2 -1 3 2 = 2 -1 2 2
4 -3 2 1 4 -3 -1 1
4 -1 1 1 4 -1 0 1
6) Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę
1 2 3 x2 - 1 2 3
4 -2 3 = 2 2 9
4 0 2 4 0 4
MACIERZ ODWROTNA
Def:
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczaną przez A-1, która spełnia warunek A*A-1=A-1-A= Ι
Gdzie Ιjest macierzą jednostkową stopnia n
Def:
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy wyznacznik macierzy
A jest = 0. W przeciwnym przypadku (detA≠0) mówimy, że macierz A jest nieosobliwa
Twierdzenie:
Macierz kwadratowa jest odwrotna gdy jest nieosobliwa wyznacznik A≠0
Jeżeli macierz A =[Aij] stopnia n jest nieosobliwa to :
A*11 A*12 ... A*1n
A-1 = 1 A*21 A*22 ... A*2n
DetA
A*m1 A*m2 ... A*mn
Gdzie A*ij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A
Uwaga;
Macierz A*ij oznaczamy symbolem AD i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych
A-1 = 1
DetA * (AD)T