Algebra i Analiza Matematyczna, Własnośći wyznaczników


Własności wyznaczników

1) Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz ) złożoną z samych zer jest równy zero np.:

0x08 graphic
0x08 graphic
1 2 3 4

0 0 0 0

-1 2 4 5 = 0

2) Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (kolumny):

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1 2 -3 1 -3 2

2 4 2 = - 2 2 4

0 1 2 0 2 1

0x08 graphic
0x08 graphic

3) Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie kolumny (wiersze ) jednakowe jest równy zero;

0x08 graphic
0x08 graphic
1 -3 -3

1 4 4 = 0

5 2 2

4) Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy. np.:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
3 6 9 1 2 3

4 -1 2 = 3 4 -1 2

3 -2 4 3 -2 4

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
2 4 8 1 2 3

-2 6 4 = 23 -1 3 2

2 -4 10 1 - 2 5

5) Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się jeżeli dodamy do pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1 -2 4 4 1 -2 2 4

2 -1 3 2 = 2 -1 2 2

4 -3 2 1 4 -3 -1 1

4 -1 1 1 4 -1 0 1

6) Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1 2 3 x2 - 1 2 3

4 -2 3 = 2 2 9

4 0 2 4 0 4

MACIERZ ODWROTNA

Def:

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczaną przez A-1, która spełnia warunek A*A-1=A-1-A= Ι

Gdzie Ιjest macierzą jednostkową stopnia n

Def:

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy wyznacznik macierzy

A jest = 0. W przeciwnym przypadku (detA≠0) mówimy, że macierz A jest nieosobliwa

Twierdzenie:

  1. Macierz kwadratowa jest odwrotna gdy jest nieosobliwa wyznacznik A≠0

  2. Jeżeli macierz A =[Aij] stopnia n jest nieosobliwa to :

0x08 graphic
0x08 graphic
A*11 A*12 ... A*1n

A-1 = 1 A*21 A*22 ... A*2n

DetA

A*m1 A*m2 ... A*mn

Gdzie A*ij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A

Uwaga;

Macierz A*ij oznaczamy symbolem AD i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych

A-1 = 1

DetA * (AD)T



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra i Analiza Matematyczna, Pochodne funkcji
Algebra i Analiza Matematyczna, Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni, ROZDZIAŁ VI
Algebra i Analiza Matematyczna, Wielomiany
Algebra i Analiza Matematyczna, Zespolone
Algebra i Analiza Matematyczna, wykład 1, 06 10 2001-10-09
zadania pochodne2 (dr R. Lizak), 2 Semestr, Analiza matematyczna i algebra liniowa, zad mat
Wykład 4 - 2 sem, 2 Semestr, Analiza matematyczna i algebra liniowa
Zadania domowe dotyczące metody podstawiania i całkowania przez części, 2 Semestr, Analiza matematyc
Własności funkcji jednej zmiennej, Analiza matematyczna
zadania pochodne (dr R. Lizak), 2 Semestr, Analiza matematyczna i algebra liniowa, zad mat
algebra analiza, INŻYNIERIA ŚRODOWISKA ZUT, sem II, matematyka
WYKLAD ANALIZA MATEMATYCZNA
Analiza matematyczna, lista analiza 2008 6 szeregi
Ekonomiczna analiza prawa własności w ujęciu szkoły austrackiej
Analiza Matematyczna 1 Gewert Skoczylas zadania

więcej podobnych podstron