Egzamin z matematyki dla student´

ow chemii, 8 lutego 2007, 10:10 – 12:45

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr. indeksu

oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicznych;

je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly udowod-

nione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

p

q pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o p i q .

Wykaza´c, ˙ze 6 log

10

5 > 4 log

10

11 > 9 log

10

2 + log

10

27 .

2. Poda´c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c: | cos t + sin t| <

1+

√

3

2

. Zilustrowa´c

jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Niech f (x) =

3

p

(x + 2)

5

(x

2

− 1) .

Dla x 6= −2, ±1 zachodza

,

r´owno´sci

f

0

(x) =

1
3

(x + 2)

2/3

(x

2

− 1)

−2/3

(7x

2

+ 4x − 5) oraz

f

00

(x) =

2
9

(x + 2)

−1/3

(x

2

− 1)

−5/3

(14x

4

+ 16x

3

− 27x

2

− 32x − 7) .

Wielomian 7x

2

+ 4x − 5 ma dwa pierwiastki: x

1

=

1
7

(−2 −

√

39) ≈ −1,18 i x

2

=

1
7

(−2 +

√

39) ≈ 0,61 .

Wielomian 14x

4

+ 16x

3

− 27x

2

− 32x − 7 ma cztery pierwiastki rzeczywiste x

3

≈ −1,57 , x

4

≈ −0,70 ,

x

5

≈ −0,31 i x

6

≈ 1,45 .

Poda´c definicje

,

pochodnej funkcji f w punkcie p i wyja´sni´c, w jakich punktach funkcja f jest r´o˙zniczkowalna

(tzn. ma sko´

nczona

,

pochodna

,

I rze

,

du)?

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle

,

s la.

Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

0

w ko´

ncach przedzia l´ow, na kt´orych funkcja f

jest r´o˙zniczkowalna.

Znale´z´c takie liczby a, b , ˙ze lim

x→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0 , o ile istnieja

,

lub wykaza´c, ˙ze takich liczb a, b nie ma.

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Niech A :=





0

1

1

7

−4 −3

−16

12

9



, ~v =



1

2

−1



.

Poda´c definicje

,

wektora w lasnego i warto´sci w lasnej.

Obliczy´c A · ~v .

Znale´z´c wyznacznik macierzy A , jej warto´sci w lasne (nierzeczywiste te˙z) i odpowiadaja

,

ce im wektory w lasne.

Znale´z´c macierze A

−1

i A

T

oraz ich wyznaczniki.

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

2

.

5. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 =

−−−−→

[0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .

Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow utworzonych przez p laszczyzne

,

ABC i p laszczyzne

,

o r´ownaniu x + y + z = 1 .

6. Znale´z´c sto˙zek o najwie

,

kszej obje

,

to´sci spo´sr´od sto˙zk´ow wpisanych w kule

,

o promieniu 1 .

Informacje po˙zyteczne lub zbe

,

dne: 5

5

= 3125 , 5

7

= 78125 , 11 = 10 + 1 , 2

10

= 1024 , 6

5

= 7776 , (a + b)

2

=

=a

2

+ 2ab + b

2

, (a + b)

3

= a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

+ b

3

, (a + b)

4

= a

4

+ 4a

3

b + 6a

2

b

2

+ 4ab

3

+ b

4

.