Kolokwium poprawkowe z matematyki dla student´
ow chemii, 8 lutego 2007
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego, jego nr. indeksu
oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia .
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektronicznych;
je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly udowod-
nione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Zdefiniowa´c log
p
q pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o p i q . Wykaza´c, ˙ze 6 log
10
5 > 4 log
10
11 > 9 log
10
2 + log
10
27 .
2. Rozwia
,
za´c r´ownanie: 2 log
4
sin(ϕ +
π
4
)
= −1 . Zdefiniowa´c sinus i kosinus ka
,
ta α > 0 . Zilustrowa´c roz-
wia
,
zanie tego r´ownania na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
3. Niech A =
√
3
2
−
1
2
1
2
√
3
2
!
. Znale´z´c A
6
= A · A · A · A · A · A oraz A
−3
= A
−1
· A
−1
· A
−1
.
Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy A i macierzy A
−3
.
4. Niech A =
1
3
·
2
2 −1
−1
2
2
2 −1
2
, ~w =
1
1
1
.
Sprawdzi´c, ˙ze wektor ~
w jest wektorem w lasnym macierzy A . Jakiej warto´sci w lasnej on odpowiada?
Znale´z´c pozosta le warto´sci i wektory w lasne macierzy A .
Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x zachodzi r´owno´s´c kA~xk = k~xk .
Niech ~v be
,
dzie wektorem prostopad lym do wektora ~
w . Wykaza´c, ˙ze r´ownie˙z wektor A~v jest prostopad ly do
wektora ~
w . Znale´z´c kosinus ka
,
ta mie
,
dzy wektorami ~v i A~v
Sprawdzi´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x wektory ~
w , 3~x − (~x · ~
w)~
w i ~
w × ~x sa
,
parami prostopad le oraz ˙ze
zachodzi r´owno´s´c A~x =
1
6
2(~x · ~
w)~
w + 3~x − (~x · ~
w)~
w
− 3~
w × ~x
=
1
2
~x +
1
6
(~x · ~
w)~
w −
1
2
~
w × ~x .
W ko´
nc´owce zadania mo˙zna ewentualnie skorzysta´c z tego, ˙ze A(~x
1
+ ~x
2
) = A~x
1
+ A~x
2
oraz je˙zeli
P (~x) =
1
2
~x +
1
6
(~x · ~
w)~
w −
1
2
~
w × ~x , to P (~x
1
+ ~x
2
) = P (~x
1
) + P (~x
2
) . Wtedy wystarczy sprawdzi´c, ˙ze r´owno´s´c
A~x = P (~x) ma miejsce dla trzech odpowiednio wybranych wektor´ow ~x (jak je wybra´c? — nie ka˙zda tr´ojka
jest dobra dla naszych cel´ow).
5. Niech f (x) =
3
14
x
14/3
−
3
11
x
11/3
−
9
8
x
8/3
+
3
5
x
5/3
+ 3x
2/3
.
Istnieja
,
takie liczby x
0
∈ (1,56; 1,57) , p , q , ˙ze p
2
< 4q i dla ka˙zdego x 6= 0 zachodza
,
r´owno´sci:
f
0
(x) =
(x−1)(x−2)(x+1)
2
3
√
x
oraz
f
00
(x) =
11(x+1)(x−x
0
)(x
2
+px+q)
3
3
√
x
4
.
Funkcja f nie ma asymptot.
a. Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna
,
ca i przedzia ly, na kt´orych jest maleja
,
ca; przedzia ly,
na kt´orych funkcja f jest wypuk la i przedzia ly, na kt´orych jest wkle
,
s la.
b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?
d. Znale´z´c punkty przegie
,
cia funkcji f .
e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ±∞ .
f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f
0
(pochodnej funkcji f ) w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow sk lada-
ja
,
cych sie
,
na jej dziedzine
,
.
G. Naszkicowa´c wykres funkcji f uwzgle
,
dniaja
,
c otrzymane rezultaty.
6. Znale´z´c wszystkie takie liczby z ∈ C , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c z
3
= −2 + 2i . Zaznaczy´c odpowiednie
punkty na p laszczy´znie.
