Kolokwium poprawkowe z matematyki dla student´

ow chemii, 8 lutego 2007

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr. indeksu

oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicznych;

je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly udowod-

nione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

p

q pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o p i q . Wykaza´c, ˙ze 6 log

10

5 > 4 log

10

11 > 9 log

10

2 + log

10

27 .

2. Rozwia

,

za´c r´ownanie: 2 log

4

sin(ϕ +

π

4

)

= −1 . Zdefiniowa´c sinus i kosinus ka

,

ta α > 0 . Zilustrowa´c roz-

wia

,

zanie tego r´ownania na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Niech A =

√

3

2

−

1
2

1
2

√

3

2

!

. Znale´z´c A

6

= A · A · A · A · A · A oraz A

−3

= A

−1

· A

−1

· A

−1

.

Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy A i macierzy A

−3

.

4. Niech A =

1
3

·





2

2 −1

−1

2

2

2 −1

2



, ~w =

1

1
1

.

Sprawdzi´c, ˙ze wektor ~

w jest wektorem w lasnym macierzy A . Jakiej warto´sci w lasnej on odpowiada?

Znale´z´c pozosta le warto´sci i wektory w lasne macierzy A .

Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x zachodzi r´owno´s´c kA~xk = k~xk .

Niech ~v be

,

dzie wektorem prostopad lym do wektora ~

w . Wykaza´c, ˙ze r´ownie˙z wektor A~v jest prostopad ly do

wektora ~

w . Znale´z´c kosinus ka

,

ta mie

,

dzy wektorami ~v i A~v

Sprawdzi´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x wektory ~

w , 3~x − (~x · ~

w)~

w i ~

w × ~x sa

,

parami prostopad le oraz ˙ze

zachodzi r´owno´s´c A~x =

1
6

2(~x · ~

w)~

w + 3~x − (~x · ~

w)~

w

− 3~

w × ~x

=

1
2

~x +

1
6

(~x · ~

w)~

w −

1
2

~

w × ~x .

W ko´

nc´owce zadania mo˙zna ewentualnie skorzysta´c z tego, ˙ze A(~x

1

+ ~x

2

) = A~x

1

+ A~x

2

oraz je˙zeli

P (~x) =

1
2

~x +

1
6

(~x · ~

w)~

w −

1
2

~

w × ~x , to P (~x

1

+ ~x

2

) = P (~x

1

) + P (~x

2

) . Wtedy wystarczy sprawdzi´c, ˙ze r´owno´s´c

A~x = P (~x) ma miejsce dla trzech odpowiednio wybranych wektor´ow ~x (jak je wybra´c? — nie ka˙zda tr´ojka

jest dobra dla naszych cel´ow).

5. Niech f (x) =

3

14

x

14/3

−

3

11

x

11/3

−

9
8

x

8/3

+

3
5

x

5/3

+ 3x

2/3

.

Istnieja

,

takie liczby x

0

∈ (1,56; 1,57) , p , q , ˙ze p

2

< 4q i dla ka˙zdego x 6= 0 zachodza

,

r´owno´sci:

f

0

(x) =

(x−1)(x−2)(x+1)

2

3

√

x

oraz

f

00

(x) =

11(x+1)(x−x

0

)(x

2

+px+q)

3

3

√

x

4

.

Funkcja f nie ma asymptot.

a. Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna

,

ca i przedzia ly, na kt´orych jest maleja

,

ca; przedzia ly,

na kt´orych funkcja f jest wypuk la i przedzia ly, na kt´orych jest wkle

,

s la.

b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej.

c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?

d. Znale´z´c punkty przegie

,

cia funkcji f .

e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ±∞ .

f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f

0

(pochodnej funkcji f ) w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow sk lada-

ja

,

cych sie

,

na jej dziedzine

,

.

G. Naszkicowa´c wykres funkcji f uwzgle

,

dniaja

,

c otrzymane rezultaty.

6. Znale´z´c wszystkie takie liczby z ∈ C , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c z

3

= −2 + 2i . Zaznaczy´c odpowiednie

punkty na p laszczy´znie.

Kolokwium poprawkowe z matematyki dla student´

ow chemii, 8 lutego 2007, 13:15 – 14:15

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr. indeksu

oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicznych;

je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly udowod-

nione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

7. Znale´z´c liczby takie liczby a, b, c, d , ˙ze punkty (−1, −9) , (1, −5) , (2, 0) i (3, 23) le˙za

,

na wykresie funkcji

ax

3

+ bx

2

+ cx + d .

8. Rozwia

,

za´c r´ownanie:

1
2

log(x + 11) + log

5x−10

6

= 1 .

9. Obliczy´c:

x

√

9+x

2

00

, e

tg(2x)

0

. Napisa´c r´ownanie stycznej do wykresu funkcji

x

√

9+x

2

w punkcie 4,

4
5

.

Kolokwium poprawkowe z matematyki dla student´

ow chemii, 8 lutego 2007, 13:15 – 14:15

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr. indeksu

oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicznych;

je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly udowod-

nione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

10. Znale´z´c liczby takie liczby a, b, c, d , ˙ze punkty (−1, −9) , (1, −5) , (2, 0) i (3, 23) le˙za

,

na wykresie funkcji

ax

3

+ bx

2

+ cx + d .

11. Rozwia

,

za´c r´ownanie:

1
2

log(x + 11) + log

5x−10

6

= 1 .

12. Obliczy´c:

x

√

9+x

2

00

, e

tg(2x)

0

. Napisa´c r´ownanie stycznej do wykresu funkcji

x

√

9+x

2

w punkcie 4,

4
5

.