Matematyka A, kolokwium, 23 maja 2012, 18:05 — 20:00

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (7 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania x

0

(t) = −4 tg t x(t) + 8 tg t (2 + cos

2

t) na przedziale

otwartym (−

π

2

,

π

2

) .

(3 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie zagadnienia pocza

,

tkowego



x

0

(t) = −4 tg t x(t) + 8 tg t (2 + cos

2

t),

x(

π

4

) = 7.

2. (1 pt.)

Rozwia

,

za´c r´ownanie λ

2

− 4λ − 21 = 0 .

(1 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − 4x

0

(t) − 21x(t) = 0 .

(8 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − 4x

0

(t) − 21x(t) = (300t

2

− 1)e

7t

+ 24e

3t

− 174 cos 3t .

3. Niech M =





0 1 −1
1 0 −1
0 1

0



, v =





2

−1

1



.

(1 pt.)

Znale´z´c iloczyn M · v .

(5 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne uk ladu r´owna´

n x

0

(t) = M · x(t) .

(1 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n x

0

(t) = M · x(t) spe lniaja

,

ce warunek x(0) =





2

−1

1



.

(3 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n x

0

(t) = M · x(t) spe lniaja

,

ce warunek x(0) =





1
1
2



.

4. (3 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + 6x

0

(t) + 25x(t) = 0 .

(5 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + 6x

0

(t) + 25x(t) = 600e

−3t

cos(4t) + 600e

3t

cos(4t) + 600e

−3t

+ 600 .

(2 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie zagadnienia pocza

,

tkowego







x

00

(t) + 6x

0

(t) + 25x(t) = 600e

−3t

cos(4t) + 600e

3t

cos(4t) + 600e

−3t

+ 600,

x(0) = 60.
x

0

(0) = 0.

5. (5 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + 6x

0

(t) + 9x(t) = 0 .

(5 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + 6x

0

(t) + 9x(t) =

1

t+1

e

−3t

.