Zaliczenie Analizy Matematycznej 1

zestaw przyk÷

adowy

cz.1

1

.

(a) Obliczy´c granice ci ¾

agów:

a

n

=

p

n

2

n

n;

b

n

=

1+(

3
2

)

n

n

p

4

n

+3

n

+5

:

(b) Wykaza´c, ·

ze nie istnieje granica

lim

n!1

(2n+2)!

(2n)!

cos(n ):

2

.

Zbada´c ci ¾

ag÷

o´s´c funkcji f w punkcie x

0

= 0;

f (x) =

8

>

<

>

:

sin(2x)
sin(3x)

;

x < 0;

2
3

;

x = 0;

arctg x

; x > 0:

3

.

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i asymptoty wykresu funkcji f (x) = e

2x

x+3

:

4

.

Obliczy´c granice:

lim

x!+1

(x

2

e

2x

);

lim

x!0

+

x

sin x

:

5

.

(a) Naszkicowa´c wykres funkcji f : R ! R, je´sli f

00

(x) > 0 dla x 2 (0; 4); f

0

(x) < 0 dla x < 2; x

1

= 2 –min. lok.;

x

2

= 0 –pkt przegi ¾

ecia,

lim

x!4

f (x) = 1; lim

x! 1

f (x) = 1.

(b) Oliczy´c pochodn ¾

a funkcji: f (x) = x

3

arcsin

p

x

1)

cos

2

3x:

6

.

(a) Wyznaczy´c punkty przegi ¾

ecia, przedzia÷

y wypuk÷

o´sci i wkl ¾

es÷

o´sci funkcji f (x) = ln(4 + x

2

):

(b) Wyznaczy´c max

x2[ 1;2]

f (x) oraz

min

x2[ 1;2]

f (x):

cz.2

1

.

Obliczy´c ca÷

ki:

(a)

R

x

2

x

2

+4x+4

dx; (b)

R

cos x

p

sin

2

x+3

dx; (c)

R

e

x

cos xdx;

2

.

Obliczy´c d÷

ugo´s´c ÷

uku krzywej opisanej parametrycznie:

x(t) = sin

3

t; y(t) = cos

3

t; t 2 [0; ]:

3

.

Wyznaczy´c pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

y = ln x; y = 1

x; x =

1
e

: