Metody otrzymywania i właściwości optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania

Metody otrzymywania i właściwości optyczne

materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania

Praca dyplomowa magisterska

Milena Dziębaj

Opiekun:
dr hab. inż. Włodzimierz Salejda prof. PWr.

Wrocław 2006

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Serdecznie dziękuję
Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie
za pomoc, cenne uwagi merytoryczne
i wsparcie w trakcie pisania tej pracy

Spis treści

Cel pracy ...........................................................................................................................4
Wykaz ważniejszych oznaczeń i skrótów.........................................................................5

I Wprowadzenie ................................................................................................................6

I.1

Ukryte właściwości równań Maxwella.............................................................. 7

I.2

Ośrodek „dodatni” ........................................................................................... 10

I.3

Ośrodek „ujemny” ........................................................................................... 12

II Wytwarzanie metamateriałów.....................................................................................15

II.1

Pierwsze materiały o ujemnych parametrach .................................................. 15

Powierzchniowy rezonans plazmowy ....................................................... 16

II.2

Tablica długich drutów metalicznych.............................................................. 18

II.3

Rozproszone rezonatory kołowe ..................................................................... 23

II.4

Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania ............................... 26

II.5

Model linii transmisyjnych.............................................................................. 27

Symulacja rzeczywistego dielektryka ....................................................... 28
Symulacja ujemnego współczynnika załamania ....................................... 34

II.6

Nanostruktury z drutów metalicznych............................................................. 37

II.7

Metamateriały dla zakresu widzialnego .......................................................... 40

III Eksperymenty ............................................................................................................44

III.1

Pierwsze dowody eksperymentalne................................................................. 44

Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywistość? ........................................ 47

III.2

Modulacja transmisji fali EM .......................................................................... 50

III.3

Istnienie fal wstecznych................................................................................... 53

III.4

Ujemne załamanie światła ............................................................................... 54

IV Zastosowania .............................................................................................................58

IV.1

Perfekcyjna soczewka...................................................................................... 58

Idealna soczewka płaska............................................................................ 58
Idealna soczewka sferyczna....................................................................... 61

IV.2

Urządzenia mikrofalowe.................................................................................. 62

IV.3

Najnowsze odkrycia ........................................................................................ 63

V Transmitancja warstwowych układów optycznych ....................................................65

V.1

Ujemne załamanie fali EM .............................................................................. 67

V.2

Polaryzacja typu „s” i „p”................................................................................ 68

V.3

Dyspersja współczynnika załamania ............................................................... 69

V.4

Amplitudowe współczynniki transmisji .......................................................... 69

V Podsumowanie ............................................................................................................74

Dodatek A – Iloczyn wektorowy ....................................................................................76
Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy...........................................................76
Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych ........................................................................78
Dodatek D – Formalizm macierzowy.............................................................................82

Bibliografia .....................................................................................................................84

Cel pracy

Zjawisko ujemnego załamania opisane w 1967 roku przez Viktora Veselago wywołało
ożywioną dyskusję w świecie naukowym w dziedzinie, której zjawiska i rządzące nimi
prawa wszyscy traktowali już jak dogmat. Opisane przez niego ukryte właściwości równań
Maxwella wymogły ponowną dogłębną analizę bardzo dobrze znanych już obszarów
fizyki.

Celem pracy była analiza syntetyczna osiągnięć naukowych związanych

ze zjawiskiem ujemnego załamania fali elektromagnetycznej oraz z wytwarzaniem
sztucznych materiałów dielektrycznych (metamateriałów) na przestrzeni lat 1967-2006.
Uzasadnione było to niesłabnącym w ostatnich latach zainteresowaniem naukowców tym
zagadnieniem i mnogością publikacji dotyczących tematu. Ze względu na dość liczne
głosy krytyki podważające sam fakt istnienia zjawiska ujemnego załamania, w pracy
przedstawiono wyniki kilku najbardziej przełomowych eksperymentów, potwierdzających
możliwość przyjmowania przez współczynnik załamania wartości ujemnych, jak również
inne ciekawe właściwości metamateriałów.

Omówione zostały dotychczasowe osiągnięcia w dziedzinie zwanej niekiedy „nową

optyką”. Podstawy fizyczne dotyczące zjawiska ujemnego załamania oraz sposób
rozumowania, który doprowadził Veselago do przełomowych wniosków, przedstawione
zostały w rozdziale I. Rozdział II stanowi przegląd technologii wytwarzania
metamateriałów

począwszy

pierwszych

prób

uzyskania

takiego

ośrodka,

aż do stworzonego w tym miesiącu metamateriału dla zakresu optycznego. Szereg prób
doświadczalnej

weryfikacji

właściwości

projektowanych

ośrodków,

których

te najbardziej udane i o kluczowym znaczeniu dla historii zjawiska ujemnego załamania
zebrane zostały w rozdziale III, otworzył drogę do dyskusji na temat potencjalnych
zastosowań sztucznych ośrodków w życiu mniej lub bardziej codziennym (rozdział IV).
Rozdział V zawiera wyprowadzenie analitycznych wzorów Fresnela na współczynniki
transmitancji i reflektancji dla dwóch warstwowych układów zawierających elementy
ujemne oraz opis zachowania się fali EM na granicy ośrodka dodatniego i ujemnego wraz
ze schematem polaryzacji poszczególnych składowych fali.

Wykaz wa

niejszych oznacze

i skrótów

Skróty
LHM – Left-Handed Material; ośrodek „ujemny”;
RHM – Right-Handed Material, ośrodek „dodatni”;

ALMW

–

Array of Long Metallic Wires, tablica długich drutów metalicznych;

SRR – Split-Ring Resonators, rozszczepione rezonatory kołowe;
CSRR – Crossed Split-Ring Resonators, skrzyżowane rozszczepione rezonatory kołowe;
fala EM – fala elektromagnetyczna;

Oznaczenia

– wektor natężenia pola elektrycznego;

– wektor natężenia pola magnetycznego;

– wektor indukcji elektrycznej;

– wektor indukcji magnetycznej;

– wektor Poyntinga;

– wektor falowy;

– przenikalność elektryczna próżni;

– przenikalność magnetyczna próżni;

– względna przenikalność elektryczna ośrodka;

– względna przenikalność magnetyczna ośrodka;

n – współczynnik załamania światła;
ω

– częstość fali elektromagnetycznej;

f – częstotliwość fali elektromagnetycznej;
c – prędkość światła w próżni;

)

( f

– prędkość fazowa fali;

)

( g

– prędkość grupowa fali;

– grubość warstwy;

, r

– amplitudowe współczynniki odbicia dla polaryzacji s i p;

, t

– amplitudowe współczynniki transmisji dla polaryzacji s i p;

– macierz charakterystyczna ośrodka;

P – macierz propagacji fali w warstwie dielektrycznej;
D – macierz transmisji fali na granicy ośrodków dielektrycznych;
τ

– ślad macierzy 2 x 2;

– antyślad diagonalny macierzy 2 x 2;

– antysymetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2;

– symetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2;

– strumień indukcji elektrycznej;

– strumień indukcji magnetycznej;

j – wektor gęstości prądu.

I Wprowadzenie

W ostatnich kilku latach można zauważyć znaczny wzrost zainteresowania nieznanym
dotąd zjawiskiem tak zwanego ujemnego załamania światła. Za inicjatora tej tendencji
powszechnie uważa się rosyjskiego fizyka Victora Veselago, jednakże zjawisko to było
przedmiotem zainteresowania naukowców o wiele wcześniej, bo już na początku XX
wieku [1]. Veselago jednak był pierwszym, który swoje przewidywania wyraził otwarcie
dodatkowo popierając je spójnym i pełnym uzasadnieniem oczekiwanych zjawisk.

W 1967 roku

Victor Veselago w jednej ze swoich publikacji [1], [2] rozważał

jak zachowywałaby

się

fala

wietlna

padająca

wyimaginowany

ośrodek

charakteryzujący się obiema jednocześnie ujemnymi przenikalnościami – elektryczną
i magnetyczną. Rok później praca ta przetłumaczona została na język angielski [4].
Veselago rozważania swe oparł na wnikliwej analizie równań Maxwella, dzięki czemu
odkrył nowe i nieoczekiwane ich właściwości. Konsekwencją tego była teza o istnieniu
nowej grupy materiałów charakteryzujących się nieznanymi dotychczas właściwościami,
które radykalnie zmieniłyby wiele dobrze znanych – jak się wydawało – zjawisk. Przez
wiele lat temat ten nie był poruszany z uwagi na swój jedynie teoretyczny charakter i brak
praktycznych możliwości realizacji takiego ośrodka. Jednak od końca XX wieku, kiedy
J.B.Pendry i in. po raz pierwszy opisali obiecujące zastosowania hipotezy Veselago
[5]

−

[7], zjawisko tak zwanego ujemnego załamania nieodmiennie skupia uwagę świata

naukowego.

Niniejszy rozdział zawiera obszerne omówienie teorii wysuniętej przez Victora

Veselago. Podkreślone zostały podstawowe różnice między materiałami „dodatnimi”
i „ujemnymi”.

W większości publikacji wymieniany jest jednak błędnie rok 1968 jako data pierwszej publikacji Victora

Veselago na ten temat. Obie prace (w języku rosyjskim z roku 1967 jak i w języku angielskim z roku
1968) dostępne są na stronie autora [3].

I.1 Ukryte wła

ciwo

ci równa

Maxwella

Podstawowymi równaniami elektrodynamiki są równania zaprezentowane w 1873 r. przez
szkockiego matematyka i fizyka Jamesa Clerka Maxwella [8]

−

[10]. Celem Maxwella było

przedstawienie zjawiska elektromagnetyzmu w jak najprostszy i jednolity sposób.
Równania te – znane dziś jako równania Maxwella – mają następujące postacie

Postać

różniczkowa

Postać

całkowa

Sens

fizyczny

⋅

∇

⋅

∫

Prawo Gaussa dla elektryczności –

ródłem pola elektrycznego są ładunki

∂

−

∇

−

⋅

∫

Prawo indukcji Faradaya

– zmienne

w czasie pole magnetyczne wytwarza
wirowe pole elektryczne

∇

∫

⋅

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

– pole

magnetyczne jest bezźródłowe, linie
pola magnetycznego są zamknięte

∂

∇













⋅

∫

Prawo Ampere’a

–Maxwella – zmienne

pole elektryczne oraz przepływający
prąd

wytwarzają

wirowe

pole

magnetyczne

Dodatkowo, równania materiałowe mają postać

(1.1)

(1.2)

Na granicy dwóch ośrodków fala elektromagnetyczna musi spełniać następujące warunki

ciągłości

składowych

stycznych

wektorów

natężenia

pola

elektrycznego

i magnetycznego H

i składowych normalnych wektorów indukcji elektrycznej

(1.1)

i magnetycznej

(1.2)

⊥

(1.3)

gdzie

⊥

to składowe wektora natężenia i indukcji pola elektrycznego

normalne do kierunku propagacji fali elektromagnetycznej odpowiednio dla ośrodka 1 i 2,
analogicznie

⊥

–

składowe

prostopadłe

wektora

indukcji

magnetycznej,

zaś

– składowe styczne.

Spis używanych w pracy oznaczeń znajduje się na stronie 5.

Victor Veselago [4] zauważył dwa dodatkowe rozwiązania znanej równości opisującej
związek współczynnika załamania ośrodka i jego przenikalności elektrycznej
i magnetycznej

⋅

(1.4)

Dopuszczając wartości zespolone, uzyskał cztery możliwe pierwiastki powyższego
równania

⋅

)

(

)

(

−

⋅

−

⋅

−

)

(

)

(

−

⋅

−

(1.5)

Aby sprawdzić, które z powyższych możliwości są dopuszczalne, Vesalago rozpatrzył
równania Maxwella dla monochromatycznej fali płaskiej o postaci

)

(

⋅

−

⋅

(1.6)

)

(

⋅

−

⋅

(1.7)

Równania Maxwella dla takiej fali prowadzą do równości

⋅

(1.8)

⋅

−

(1.9)

gdzie E

– wektor natężenia pola elektrycznego, H

– wektor natężenia pola

magnetycznego, kˆ – wersor na kierunek k

, k

– wektor falowy

⋅

(1.10)

Uwzględniając wzór

(1.10) otrzymujemy następujące równania:

⋅

(1.11)

⋅

−

⋅

(1.12)

z których wynikają następujące cztery możliwe rozwiązania:

•

jeżeli

, to

;

•

jeżeli

, to

;

•

jeżeli

, to

;

•

jeżeli

, to

Następnie zestawiając wszystkie przypadki otrzymujemy tylko dwie możliwości zgodne
z równaniami Maxwella i nie zmieniające ich postaci:

•

gdy

, to

(1.13)

•

gdy

, to

(1.14)

Oznacza to, iż równania Maxwella dopuszczają dwa spośród przytoczonych wcześniej
zespolonych równań na bezwzględny współczynnik załamania ośrodka

⋅

(1.15)

)

(

)

(

−

⋅

−

(1.16)

Pierwsza z powyższych zależności (1.15) odpowiada ośrodkowi określanemu przez
Veselago mianem prawoskrętnego, zaś druga (1.16) tak zwanemu ośrodkowi
lewoskrętnemu.

Opisywane tu materiały, ze względu na swoją krótką historię, nie mają jeszcze

jednoznacznie ustalonej nazwy. W głównych pozycjach literaturowych [4] zauważyć
można pewną dowolność w tej kwestii. Ośrodki charakteryzujące ujemne załamanie
nazywane są na przykład materiałami lewoskrętnymi

, jednak określenie to zostało

już użyte w opisie ośrodków chiralnych [12]. Innym zaproponowanym terminem jest
materiał wsteczny

użyty przez Lindell’a i in. [13], jednak termin ten z góry narzuca

definicję kierunku wstecznego oraz stwarza problemy przy opisie innych niż płaskie czoła
fali. Ziółkowski i Heyman w swojej pracy [14] używają określenia materiał podwójnie
ujemny

, które wyraźnie sugeruje jednoczesną ujemność rzeczywistych składowych

przenikalności elektrycznej i magnetycznej, jednak nie podkreśla dostatecznie znaczenia
efektów rozpraszania. Kolejnymi spotykanymi w wielu publikacjach terminami są materiał
o ujemnym współczynniku załamania

oraz materiał o ujemnej prędkości fazowej

, które

są dość trafnymi nazwami dla tego typu ośrodków. W tej pracy użyte zostały dwa ostatnie
określenia, jak również ośrodek „dodatni” oraz ośrodek „ujemny” intuicyjnie odnoszące
się do dodatniego i ujemnego kąta załamania w omawianych ośrodkach. Ponadto należy
mieć na uwadze, iż używane tu określenie metamateriał domyślnie oznacza sztuczny
materiał ujemnie załamujący fale elektromagnetyczne.

LHM (left-handed medium)

BW (backward medium)

DNG (double negative medium)

NIM (negative index medium)

NPV (negative phase-velocity medium)

I.2 O

rodek „dodatni”

Ośrodki, których współczynnik załamania opisać można wzorem (1.15), zwane przez
Veselago ośrodkami prawoskrętnymi, stanowią dobrze poznaną grupę powszechnie
istniejących materiałów. Propagacja fal elektromagnetycznych przez takie ośrodki
jest przedmiotem zainteresowania między innymi optyki czy akustyki i została już
wielokrotnie i wyczerpująco omówiona [8]

−

[10], [15]. Zachowanie fali EM w takim

ośrodku określają prawa odbicia i załamania [10], zaś wektory

opisujące falę

tworzą prawoskrętną trójkę (Rys. 3).

Szybkość, z jaką fala elektromagnetyczna przemieszcza się w przestrzeni określić

można mierząc jak zmienia się położenie pewnego jej fragmentu, czyli jak szybko
w ośrodku przemieszcza się jej faza [10]. Mówimy wtedy o prędkości fazowej fali

)

(

i taki opis dobrze sprawdza się w przypadku fali monochromatycznej. Jeżeli mamy
do czynienia z falą modulowaną – jaką jest rzeczywista fala elektromagnetyczna – złożoną
z kilku sinusoidalnych fal składowych o różnej częstotliwości, to prędkość propagacji
energii może być inna niż prędkość fazowa fal składowych. Wtedy mówimy o prędkości
przemieszczania się obwiedni lub paczek falowych, czyli o prędkości grupowej fali

)

(

(Rys. 1).

Rys. 1 Dwie fale sinusoidalne y

i y

o zbliżonych częstotliwościach i długościach fal oraz

obwiednia ich sumy (linia przerywana) rozchodzi się z prędkością grupową [16].

Prędkość fazową można opisać zależnością

)

(

⋅

(1.17)

Ponieważ dla fal elektromagnetycznych częstość

zależna jest od wektora falowego

(długości fali)

)

(

)

(

(1.18)

więc prędkość fazowa wyraża się jako

)

(

)

(

(1.19)

gdzie

)

jest współczynnikiem załamania dla danej liczby falowej

Analizując wzór (1.19) można zauważyć, że gdy n<1 prędkość fazowa może

przekroczyć prędkość światła. Nie oznacza to jednak możliwości przekazu informacji
z prędkością większą niż prędkość światła

. Szybkość przepływu informacji określa

prędkość grupowa, rozumiana jako prędkość przemieszczania się fali modulowanej. Jako
ż

e prędkość grupowa zawiera w sobie informację o tempie transportu energii, więc

z punktu widzenia dynamiki ma ona większe znaczenie niż prędkość fazowa.

Prędkość

grupową określa równanie

∂

g )

(

(1.20)

i jest ona mniejsza od prędkości światła c , czyli teoria względności nie zostaje naruszona.

Prędkość grupowa może osiągać małe wartości

)

(

dla

∂

. Mówimy

wówczas o świetle spowolnionym, co jest zagadnieniem intensywnie badanym w ostatnich
latach [17].

Poglądowe symulacje dotyczące prędkości grupowej i fazowej zamieszczone są
w Internecie na stronach [18]

−

[20].

Fala sinusoidalna ma z góry ustaloną postać na początku i na końcu kanału transmisyjnego, więc nie można

w niej zawrzeć żadnej informacji [16].

I.3 O

rodek „ujemny”

Materiał zaproponowany w 1967 r. przez Vesalago [1] był fikcją naukową –
charakteryzował się ujemnym współczynnikiem załamania. Cecha ta powoduje, że faza
fali przechodzącej przez taki ośrodek zmniejsza się zamiast zwiększać, jak to się dzieje
w ośrodkach prawoskrętnych. Vesalago podkreślał, że ta podstawowa różnica między
ośrodkami prawoskrętnymi i lewoskrętnymi ma decydujący wpływ na niemalże wszystkie
zjawiska elektromagnetyczne. Wiele niespotykanych dotąd dla ośrodków prawoskrętnych
efektów badanych jest do dziś [21].

Najłatwiej zauważalnym efektem, wynikającym z ujemnej wartości współczynnika

załamania, jest zmiana kąta ugięcia się fali załamanej na granicy ośrodków o przeciwnych
znakach współczynnika załamania – doznaje ona ugięcia po tej samej stronie normalnej
(Rys. 2). Jeżeli wartości współczynnika załamania obu materiałów są jednakowe, fala
załamana może nie być w ogóle obecna [22].

(f)

(g)

(f)

(g)

> 0

OL
n

< 0

Rys. 2 Załamanie fali elektromagnetycznej na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego.

Jeżeli porównamy przytoczone wcześniej równania Maxwella (1.11) i (1.12)

dla ośrodka prawoskrętnego, któremu odpowiada dodatnia wartość współczynnika
załamania (1.15) oraz dla ośrodka lewoskrętnego o ujemnym współczynniku (1.16),
odkryjemy podstawową różnicę między tymi ośrodkami.

Analizując równania (1.11) i (1.12) dla pierwszej z dopuszczonych możliwości (1.13),
gdzie wszystkie parametry są większe od zera, postać przytoczonych równań nie zmienia
się. Po opuszczeniu wartości skalarnych, można zapisać

(1.21)

(1.22)

co zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego (Dodatek A) oznacza prawoskrętność

trójki wektorów

jak zostało to pokazane na Rys. 3.

Rys. 3 Wzajemne położenie wektorów natężenia pola elektrycznego, magnetycznego,

wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „dodatnich”.

Jeżeli natomiast weźmiemy pod uwagę drugą możliwość (1.14), gdzie wszystkie

parametry są mniejsze od zera, równania (1.11) i (1.12) przyjmą postać

⋅

−

⋅

−

)

(

(1.23)

⋅

−

⋅

−

⋅

−

)

(

)

(

(1.24)

Analogicznie po opuszczeniu wartości skalarnych zapisać można jako

(1.25)

−

(1.26)

Zgodnie ze wspomnianymi już właściwościami iloczynu wektorowego odpowiada

to lewoskrętnej trójce wektorów

(Rys. 4).

Rys. 4

Wzajemne położenie wektorów natężenia pola elektrycznego, magnetycznego,

wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach

„ujemnych”.

Wektor Poyntinga, definiowany jest za pomocą iloczynu wektorowego

(1.27)

gdzie E

i H

są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w danym

punkcie. Po raz pierwszy wprowadzony został przez Johna Henry’ego Poyntinga [8]-[10]
i określa kierunek transportu energii przez falę elektromagnetyczną. Jednostką wektora

Poyntinga w układzie SI jest









. Za jego pomocą opisać można szybkość przepływu

energii płaskiej fali elektromagnetycznej przez jednostkową powierzchnię. Jak widać

na Rys. 3, w ośrodku dodatnim kierunek i zwrot wektora Poyntinga

są takie same

jak wektora falowego k

, co oznacza że energia propaguje się zgodnie z kierunkiem

rozchodzenia się fali. W ośrodku ujemnym (

Rys. 4

) kierunki wektorów

i k

są zgodne,

ale ich zwroty przeciwne, co oznacza wsteczną propagację energii fali. Fakt ten stanowi
kolejną istotną różnicą między ośrodkiem dodatnim i ujemnym. Fala taka określana jest
mianem fali wstecznej

i zjawisko to opisywał już poczynając od roku 1904 H.Lamb [23],

A.Schuster [24], H.C.Pocklington [25], L.I.Mandel’shtam [26], [27] oraz D.V.Sivukhin
[28].

Jak zostało powyżej zaznaczone, za przenoszenie informacji w fali odpowiada

prędkość grupowa, zatem jej zwrot wskazuje kierunek propagacji energii przy przejściu
fali EM przez granicę ośrodków dodatniego i ujemnego. Energia w takim układzie
propaguje się tak samo jak w przypadku układu zbudowanego tylko z materiałów
dodatnich, zatem zwrot prędkości grupowej przy przejściu przez granicę ośrodków nie

zmienia się. Prędkość grupowa

)

(

i prędkość fazowa

)

(

w ośrodku lewoskrętnym

(izotropowym) są równe co do wartości, lecz antyrównoległe. Przechodząc z ośrodka
dodatniego do ujemnego prędkość fazowa zmienia zwrot na przeciwny (Rys. 2).

BW – backward wave

II Wytwarzanie metamateriałów

Rozdział stanowi podsumowanie dotychczasowych dokonań naukowych dotyczących
metod wytwarzania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania począwszy
od pierwszych prób budowy kompozytów o możliwych do projektowania właściwościach
fizycznych aż do najnowszych publikacji związanych z tematem pracy. Omówiono dające
się zauważyć analogie pomiędzy ośrodkami naturalnymi a metamateriałami oraz ewolucję
struktury przestrzennej wytwarzanych kompozytów pozwalającą na rozszerzenie
operacyjnego zakresu częstotliwości aż do zakresu optycznego.

W naturalnych materiałach dielektrycznych lokalne (mikroskopowe) oddziaływania

elektromagnetyczne między tworzącymi je atomami i cząstkami powodują efekty
na większą (makroskopową) skalę w postaci parametrów materiałowych znanych jako
przenikalność elektryczna i przenikalność magnetyczna. Aby parametry te miały znaczenie
praktyczne, wykluczone musi być zjawisko dyfrakcji fali EM na strukturze materiału,
co sprowadza się do warunku

, gdzie d to wymiary elementarnej komórki

tworzącej sieć krystaliczną danego materiału. Dla naturalnych dielektryków i fali z zakresu
widzialnego warunek ten jest spełniony, bowiem długość fali świetlnej jest o wiele rzędów
większa od rozmiaru atomu i komórki elementarnej. Jeżeli rozważymy jednak przypadek
promieniowania rentgenowskiego, którego

≈

, obserwować będziemy efekty

dyfrakcyjne. Początkowo wytworzenie jakiegokolwiek sztucznego materiału mogącego
symulować materiał naturalny wydawało się nieosiągalne właśnie ze względu na skalę,
jaką należy osiągnąć, aby wyeliminować dyfrakcję światła. Jeżeli jednak użyjemy
promieniowania z zakresu mikrofalowego, których długość fali jest rzędu centymetrów,
stworzenie sieci z komórek o rozmiarach mniejszych od długości takich fal nie jest już
abstrakcją. To właśnie miał na myśli Winston E. Kock wprowadzając po raz pierwszy
w 1949 roku w swojej pracy [29] termin „sztuczny dielektryk”. Opisał on
elektromagnetyczne struktury o możliwych praktycznie do wytworzenia rozmiarach,
które naśladowałyby sposób oddziaływania naturalnych kryształów z promieniowaniem
EM. Dwa lata wcześniej w swoich pracach [30], [31] Kock badał wielkogabarytowe
anteny wykorzystujące układ płaskich soczewek metalicznych, początkowo nie zdając
sobie sprawy z analogii zachodzących między jego metalicznymi soczewkami
a naturalnymi dielektrykami. Kiedy jego późniejsze badania sztucznych dielektryków
złożonych

z komponentów

różnych

kształtach

wykazały

liczne

interakcje

z promieniowaniem EM obserwowane w naturalnych kryształach – idea metamateriałów
przestała być jedynie naukową fikcją.

II.1 Pierwsze materiały o ujemnych parametrach

Metamateriał jest to sztucznie wytworzony ośrodek, którego właściwości fizyczne
wynikają nie tylko z rodzaju tworzących go elementów, ale głównie z jego struktury
przestrzennej. Inspiracja metamateriałoznawców i technologów hipotezą Veselago [4]
zaowocowała kilkoma propozycjami takich ośrodków [32]–[37]. Głównym założeniem
było podejście do każdego materiału naturalnie występującego w przyrodzie
jak do kompozytu złożonego z atomów i cząstek, których rodzaj i wzajemne ułożenie mają
decydujący wpływ na elektromagnetyczne właściwości danego ośrodka i sztuczne

Dla kryształu NaCl długość boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm zaś długość fali

promieniowania X jest rzędu 0.1 nm – dla porównania światło żółte ma długość fali równą 589 nm [16].

wytworzenie analogicznego materiału tylko na większą skalę [7]. Struktura taka miałaby
być zbudowana z powtarzających się komórek elementarnych (zwanych także
„fotonicznym

atomem”)

o rozmiarach

znacznie

mniejszych

niż długość

fali

elektromagnetycznej, dzięki czemu można by traktować ją jak materiał jednorodny oraz
miała być bardzo lekka, dzięki użyciu drobnych i cienkich metalowych elementów.
Jednymi z pierwszych propozycji były ośrodki wytworzone przy użyciu tablicy długich
i cienkich drutów metalicznych

[5], [6], której

lub na bazie rozproszonych

rezonatorów kołowych

o bardzo wysokiej polaryzowalności magnetycznej [7], których

(przy częstotliwościach z zakresu mikrofalowego). Zadaniem tak zaprojektowanych

struktur miała być symulacja zachowania plazmy, w której upatrywano klucza
do wytworzenia ujemnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej.

Powierzchniowy rezonans plazmowy

Plazma jest czwartym stanem skupienia obok stałego, ciekłego i gazowego, w jakim może
znaleźć się materia [38]. W stan plazmy przechodzi gaz, jeżeli zostanie podgrzany
do temperatury tak wysokiej, że elektrony uwalniane są z orbit atomowych, czyli następuje
jego jonizacja. Ten sam efekt uzyskać można oddziałując bardzo dużym polem
elektrycznym lub zmiennym polem magnetycznym. Obecność w plazmie swobodnych
ładunków elektrycznych jest przyczyną tego, że plazma jest stanem przewodzącym i silnie
oddziałuje z polem elektromagnetycznym. Cechą charakterystyczną tego stanu jest funkcja
przenikalności elektrycznej, która poniżej pewnej częstotliwości zwanej częstotliwością
plazmową, przyjmuje wartości ujemne, co skutkuje urojoną wartością stałej propagacji
energii. Ta właściwość plazmy zaowocowała zainteresowaniem naukowców możliwością
modelowania ujemnej wartości przenikalności elektrycznej w sztucznych dielektrykach
wykorzystując zjawisko rezonansu plazmowego.

Plazmon jest kwazicząstką powstałą w wyniku kwantyzacji drgań gęstości ładunku

plazmy na powierzchni metalu. Plazmon powierzchniowy jest elektromagnetyczną falą
powierzchniową, o polaryzacji typu p, propagującą się wzdłuż powierzchni styku dwóch
materiałów, których stałe dielektryczne mają przeciwne znaki [10]. Związane z nią jest
zanikające wykładniczo pole elektromagnetyczne prostopadłe do kierunku propagacji fali.
Zmieniając kąt padania lub długość fali promieniowania, które są funkcją współczynnika
załamania, możliwe jest wzbudzenie powierzchniowego rezonansu plazmowego

, czego

rezultatem jest skokowy spadek intensywności promieniowania odbitego. Powierzchniowy
rezonans plazmowy jest zjawiskiem fizycznym mogącym wystąpić, gdy płasko
spolaryzowana fala elektromagnetyczna z zakresu widzialnego lub bliskiego ultrafioletu
pada na powierzchnię metalu przy spełnionych warunkach całkowitego wewnętrznego
odbicia [10]. Wtedy pomimo, iż padające promieniowanie jest całkowicie odbijane przez
powierzchnię metalu, pole elektromagnetyczne fotonów powierzchniowych rozciąga się
poza powierzchnię metalu na odległość około ¼ długości fali promieniowania.

Materiały naturalne, na przykład metale, mogą zostać doprowadzone do stanu

plazmy, jednak dla nich częstość plazmowa jest tak wysoka, że odpowiadające jej
promieniowanie EM charakteryzuje się tak małą długością fali, że zbudowanie komórki
o rozmiarach jeszcze od niej mniejszych jest właściwie niemożliwe. Należało zatem

ALMW – Array of Thin Metallic Wires

SRR – Split Ring Resonator

SPR – Surface Plasmon Resonance

znaleźć materiał, dla którego stan plazmy występuje przy niższej częstości. Zastosowanie
tutaj znalazły opisane przez Kock’a sztuczne dielektryki [29], będące przedmiotem
zainteresowania także kilku innych prac naukowych [39]

−

[41]. Podsumowania historii

dotyczącej rozwoju sztucznych dielektryków dostarcza praca [42].

Symulacji zachowań plazmowych przy użyciu sztucznych dielektryków jako jeden

z pierwszych podjął się w 1962 roku Walter Rotman [43]. Efektem jego pracy był opis
ośrodka dielektrycznego złożonego z drutów zorientowanych zgodnie z kierunkiem
wektora falowego przyłożonego pola EM oraz ośrodek zbudowany z przewodzących
pasków metalu. Analiza charakterystyk dyspersyjnych potwierdziła, iż taki ośrodek jest
dobrą analogią plazmy.

Rys. 5 Schematyczna ilustracja zjawiska powierzchniowego rezonansu plazmowego

(na podstawie: [44], [45]).

Plazmony powierzchniowe traktować można jako powiązane oscylacje przy powierzchni
metalu, których częstotliwość wyznaczona jest przez

)

(

)

(

(2.1)

gdzie

to funkcje dielektryczne na obu płaszczyznach oddziaływania metalu

z promieniowaniem. Jeżeli pierwszym ośrodkiem jest próżnia, a drugim metal i jeżeli
zaniedbamy rozpraszanie, to

(2.2)

gdzie częstość plazmowa

potrzebna do wywołania tego rezonansu zwyczajowo leży

w ultrafiolecie i ma postać

(2.3)

gdzie

−

efektywna masą elektronu, zaś n to gęstość elektronów w pojedynczym drucie.

Częstość plazmowa nie zależy od długości fali padającego promieniowania, więc cechą
charakterystyczną oscylacji plazmowych jest nieskończona prędkość fazowa i zerowa
prędkość grupowa.

Plazmony mają znaczny wpływ na właściwości metalu i jego sposób oddziaływania
z promieniowaniem

elektromagnetycznym,

gdyż

przenikalność

dielektryczna

następująco zależy od częstotliwości plazmowej

)

(

)

(

−

(2.4)

gdzie

to współczynnik rozpraszania energii plazmonu w układzie

. Przenikalność

elektryczna takiej struktury jest silnie ujemna dla częstotliwości mniejszych niż plazmowa.

II.2 Tablica długich drutów metalicznych

W 1996 roku J.B.Pendry i in. [5], [6] zaproponowali sposób na przesunięcie częstotliwości
rezonansowej aktywującej powierzchniowy rezonans plazmowy w metalach nawet o sześć
rzędów wielkości (tj. w zakres GHz). Opisywany przez nich materiał składał się z bardzo
cienkich drutów metalicznych o średnicy rzędu 1

m zestawionych w periodyczną sieć

kubiczną o stałej sieci a (Rys. 6). Struktura taka posiada właściwości nie zaobserwowane
dotąd w paśmie GHz. Ponieważ druty metaliczne użyte do budowy tego materiału
zajmowały znikomą część każdej komórki elementarnej, sieć taka charakteryzowała się
mniejszą koncentracją elektronów, co pozwoliło uzyskać przyrost efektywnej masy
elektronu

m .

Rys. 6 Periodyczna struktura złożona z cienkich drutów metalicznych, połączonych

na krawędziach i ułożonych w kubiczną sieć, (na podstawie: [5])

Równolegle zagadnienie periodycznych struktur sieci metalicznych badała inna

grupa naukowców [46], jednak nie kładli oni szczególnego nacisku na rozmiary
używanych drutów metalicznych, co według Pendry’ego [5], [6] ma kluczowe znaczenie,
bowiem tylko przy takim założeniu, promieniowanie padające na badaną strukturę może

Dla prostych metali jest on pomijalnie mały w porównaniu do częstości plazmowej

wnikać w nią wystarczająco głęboko i jednocześnie nie powodować zjawiska wzajemnej
indukcji między poszczególnymi drutami.

Periodyczne struktury elektromagnetyczne budowane na bazie dielektryków były

kilkukrotnie już opisywane [47]–[50]. Metale natomiast, ze względu na obecne w ich
strukturze elektrony walencyjne umożliwiające sprawne przekazywanie energii,
charakteryzują się specyficzną odpowiedzią na promieniowanie elektromagnetyczne,
wiążącą się z występowaniem na ich powierzchni plazmowego rezonansu gazu
elektronowego. Idealny metal opisać można przy użyciu funkcji dielektrycznej

ideal

−

(2.5)

i wynikająca z niego idealna zależność dyspersyjna przedstawiona została na Rys. 7.
Powyżej częstotliwości plazmowej powstają dwa poprzeczne asymptotyczne mody,
dla częstości równej częstości plazmowej występuje jeden mod podłużny, zaś poniżej
częstości plazmowej obecne są tylko zanikające mody związane z urojoną wartością
wektora falowego i promieniowanie wnika w metal bardzo płytko.

częstość (w jednostkach częstości plazmowej)

Rys. 7 Zależność dyspersyjna dla światła padającego na idealny metal. [6]

Dla metalu rzeczywistego w zależności (2.5) uwzględnić należy uwzględnić tłumienie
wynikające z rezystancji

(

)

−

rzecz

(2.6)

W większości znanych metali (poza nadprzewodnikami) tłumienie przyjmuje znaczące
wielkości dopiero w podczerwieni.

Celem było wytworzenie kompozytowego materiału, który powieliłby charakterystyczne
dla metali oddziaływanie z falą elektromagnetyczną, ale dla zakresu GHz. Pendry
rozpatrzył propagację promieniowania wzdłuż oś OZ i za aktywne uznał tylko druty
do niej równoległe.

Rys. 8 Tablica cienkich drutów metalicznych równoległych do osi z i uporządkowanych

w kwadratową sieć w płaszczyźnie x-y (na podstawie [6])

W takim układzie tylko część przestrzeni wypełniona jest metalem, więc efektywna
gęstość elektronów jest mniejsza niż w metalu jednorodnym i wynosi

(2.7)

gdzie n – gęstość elektronów w pojedynczym drucie, r – promień drutu, a – stała siatki.

Dominujące znaczenie ma fakt, że samoindukcja drutów zależy także od ich

wzajemnego ułożenia przestrzennego i maleje logarytmicznie wraz z odległością od osi
drutu. Natężenie pola magnetycznego wokół każdego drutu w zależności od odległości R
od jego osi opisać można zależnością

nve

)

(

(2.8)

gdzie I to natężenie prądu płynącego przez drut, zaś v to średnia prędkość ruchu
elektronów. Wektorowo pole magnetyczne wokół drutu można opisać jako

)

(

)

(

∇

−

(2.9)

gdzie A to magnetyczny potencjał wektorowy (Dodatek B) równy













)

(

(2.10)

Biorąc pod uwagę dodatkowy wkład elektronów w polu magnetycznym do ich momentu
wektorowego, moment na jednostkę długości drutu wynosi

(

)

(













(2.11)

gdzie

m jest masą efektywną elektronów daną zależnością













(2.12)

Masa efektywna elektronów w badanej przez Pendry’ego strukturze była równa

⋅

−

2,7233

4808

gdzie

m jest masą elektronu a

masą protonu. Tak duża masa efektywna miała wpływ na zmianę wartości częstości
plazmowej

( )

GHz

rad

⋅

−

(2.13)

Realizacja geometryczna badanej struktury przedstawiona została na Rys. 9.

Ze względu na łatwość wytworzenia i cenę, model Pendry’ego składał się
ze skrzyżowanych pod kątem 90

arkuszy polistyrenowych, rozsuniętych na odległość

3 mm, wypełnionych cienkimi, powleczonymi złotem, wolframowymi drutami o średnicy
20

Rys. 9 Realizacja geometryczna struktury o ujemnej przenikalności elektrycznej [6].

Na podstawie równania (2.13) wyjaśnić można dlaczego kluczowe znaczenie
w rozumowaniu Pendry’ego odgrywały małe rozmiary poprzeczne drutów. Gdyby druty
nie były cienkie, czynnik

( )

byłby bliski 1. Wtedy długość fali w próżni przy

częstotliwości plazmowej wynosiłaby

( )

≈















−

zaś głębokość penetracji promieniowania w strukturę byłaby równa

( )

. Zatem

gdyby druty tworzące badany materiał nie miały małego promienia, długość fali

byłaby rzędu stałej siatki i pojawiłyby się efekty dyfrakcyjne, zaś promieniowanie bardzo
płytko wnikałoby do struktury.

Eksperyment

potwierdził

przewidywane

właściwości

trójwymiarowych

struktur

zbudowanych z cienkich drutów metalicznych. Warunkiem koniecznym okazały się
odpowiednie wymiary drutów, które muszą być wystarczająco długie i cienkie. Taka
geometria struktury zaproponowanej przez Pendry’ego [6] pozwoliła na obniżenie
częstości plazmowej.

II.3 Rozproszone rezonatory kołowe

Przedstawiając hipotezę dotyczącą ujemnego załamania fali EM Veselago [2] zdawał sobie
sprawę z tego, że uzyskanie ujemnej przenikalności magnetycznej będzie stwarzało więcej
trudności niż uzyskanie ujemnej przenikalności elektrycznej, czego główną przyczyną jest
brak dowodów na istnienie elementarnej cząstki magnetycznej – monopolu
magnetycznego. Jednak w 1999 roku Pendry i inni [7] opisali sztuczne ośrodki
o niezwykłych właściwościach magnetycznych. Zaprezentowany przez Pendry’ego
posiadał pojemność, która wraz z naturalnie występującą indukcją wynikającą ze struktury
przestrzennej użytych pierścieni, dała efekt w postaci odpowiedzi rezonansowej opisanej
przez efektywną przenikalność magnetyczną

(2.14)

gdzie r – promień pierścienia użytego w SRR, a – odległość między osiami sąsiadujących
SRR leżących w jednej płaszczyźnie, l – odległość między płaszczyznami,

– oporność

metalu, C – pojemność pomiędzy dwoma płaszczyznami metalu.

Z równania (2.14) wynika, że materiał złożony z tablic SRR charakteryzowałby się ujemną
przenikalnością magnetyczną dla częstości bliskich rezonansowym i ograniczony byłby
tylko rezystywnością użytego metalu. Częstość rezonansowa wyraża się wzorem

(2.15)

Jeżeli założymy, że

→

, to ze wzoru (2.14) wynika, że ujemne wartości

eff

przyjmie

wówczas, gdy drugi czynnik w mianowniku będzie większy od 1, co odpowiada częstości
plazmowej wyrażonej jako













−

(2.16)

gdzie

to współczynnik wypełnienia informujący o stopniu wypełnienia komórki

przez SRR.

Umieszczone w powietrzu tablice SRR mają pasmo zabronione w pobliżu zakresu
częstości pomiędzy

co sugerować może, że w tym zakresie przenikalność

magnetyczna przyjmuje wartości ujemne. Jest to zjawisko wąskopasmowe, jednak można
częstość plazmową umieścić w obszarze GHz, powodując tym samym rozszerzenie
wspomnianego wyżej zakresu.

eff

−

Typowe rozproszone rezonatory kołowe (SRR) formowane są z pary

przewodzących pierścieni nadrukowanych na dielektryku (Rys. 10). Mechanizm
powstawania ujemnej przenikalności magnetycznej jest następujący: zmienne w czasie
pole magnetyczne przyłożone wzdłuż osi pierścienia indukuje przepływ prądu, który
w zależności od oporności pierścienia wytwarza przeciwne pole magnetyczne
wzmacniające lub przeciwdziałające polu indukującemu [51]. Pierścienie tworzące SRR
posiadają przerwy, dzięki czemu rezonans może zostać osiągnięty przy użyciu długości fali
wielokrotnie przekraczających średnicę pierścieni (typowe wymiary pierścieni to około
jedna dziesiąta długości fali padającego promieniowania). Celem takiej geometrii układu
jest generacja możliwie największej pojemności magnetycznej w małej przestrzeni
pomiędzy pierścieniami, co pozwala znacząco obniżyć częstotliwość rezonansu
i skoncentrować pole elektryczne w obszarze SRR [32].

Rys. 10

Pojedynczy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany z dwóch niepełnych

pierścieni. Przerwy w pierścieniach zorientowane są przeciwnie.

Odpowiedź SRR bezpośrednio zależy od oddziałującego na pierścienie pola

magnetycznego [52]. Pole elektryczne także może mieć swój wkład do rezonansu,
ale zależy on od jego orientacji względem przerw w pierścieniach tworzących SRR.
Wynika z tego, iż SRR jest w ogólności strukturą anizotropową, a w celu wytworzenia
jednorodnego izotropowego metamateriału, struktury SRR często formowane są
w kubiczne sieci, jak pokazane to zostało na Rys. 11.

Rys. 11

Sześcienna sieć złożona z SRR.

Olivier J.F. Martin opisał pokrewne struktury SRR o lepszych właściwościach

magnetycznych [52]. Strukturą magnetyczną wykazującą jeszcze większą izotropię
są skrzyżowane rozszczepione rezonatory kołowe (CSRR)

zbudowane z dwóch

prostopadle ustawionych SRR. Każdy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany jest
z dwóch aluminiowych pierścieni o średnicy 15 mm i 20 mm, osadzonych na słabo
przewodzącej piance. Zmierzona odpowiedź elektromagnetyczna CSRR okazała się być
idealnie izotropowa w płaszczyźnie poziomej niezależnie od obrotu wokół osi badanej
struktury [52]. Olivier J.F. Martin zasymulował numerycznie trzy różne typy geometrii
CSRR dla dwóch skrzyżowanych elementów SRR Rys. 12 oraz dwa typy geometrii CSRR
dla trzech skrzyżowanych elementów SRR Rys. 13.

Rys. 12

Trzy typy geometrii podwójnego CSRR: (a) przerwy dwóch skrzyżowanych SRR

umieszczone są na tym samym biegunie CSRR; (b) na biegunach przeciwnych;
(c) obrócone o 45

każda w przeciwne strony

Izotropią w płaszczyźnie XY wykazały się struktury CSRR (a) i (b) przedstawione

na Rys. 12, zaś struktura (c) jest izotropowa tylko dla pewnych kierunków propagacji
i nie każdy kierunek propagacji jest w stanie w ogóle wywołać jej rezonans. Przyczyną są
różnice w rozmieszczeniu przerw w pierścieniach tworzących struktury SRR – dla (a) i (b)
ulokowane są one tak, że przepływ ładunku nie jest zaburzony, w przypadku (c) następuje
zwarcie.

Rys. 13

Dwa typy geometrii potrójnego CRSS: (a) z trzech identycznych elementów SRR
wzajemnie prostopadłych; (b) z trzech elementów SRR o różnych rozmiarach.

Potrójne CSRR charakteryzuje idealna izotropia w trzech wymiarach (niezależnie
od kierunku padania fali elektromagnetycznej) dla geometrii przedstawionej na Rys. 13
(b), ale w przypadku (a) każda ze struktur SRR jest zwarta przez pozostałe dwie.

CSRR – Crossed Split Ring Resonators

II.4 Pierwszy o

rodek o ujemnym współczynniku załamania

Pierwszy

metamateriał

ujemnie

załamujący

fale

zaproponowany

został

przez D.R.Smith’a [32]

−

[35]. Materiał miał postać trójwymiarowej tablicy zbudowanej

z komórek zawierających rozproszone rezonatory kołowe [6] i cienkie druty metaliczne [7]
(Rys. 14). Opisane struktury wykorzystują rozproszone rezonatory kołowe do wytworzenia
ujemnej przenikalności magnetycznej i drutów metalicznych do wytworzenia ujemnej
przenikalności elektrycznej w pewnych – częściowo pokrywających się – pasmach
częstotliwości. W ten sposób otrzymano okno częstotliwości, gdzie przenikalności
magnetyczna

i elektryczna

są jednocześnie ujemne.

Użyte przez Smitha rozproszone rezonatory miały postać dwóch kwadratowych

miedzianych pierścieni grubości c = 0,25 mm z przerwą równą g = 0,46 mm, odległych
od siebie o d = 0,3 mm. Zewnętrzny wymiar pojedynczego SRR wynosił w = 2,62 mm,
a użyte druty metaliczne miały długość 1 cm. Komórka elementarna zbudowana była
ze skrzyżowanych, osadzonych na podłożu krzemowym sześciu rozproszonych
rezonatorów kołowych (SRR) i dwóch cienkich drutów metalicznych (ALMW).

Rys. 14

(a) pojedynczy rezonator kołowy (SRR); (b) komórka elementarna metamateriału

o stałej siatki 0,5 cm [35].

Dla takiego materiału Smith użył następujących wzorów opisujących przenikalności

( )

ωγ

eff

−

⋅

−

(2.17)

( )

eff

−

(2.18)

W oparciu o powyższe równania zostało udowodnione [53], że taki ośrodek osadzony
w próżni posiada analogię w postaci modelu opartego na linii transmisyjnej z elementami
indukcyjnymi L, pojemnościowymi C i rezystancyjnymi (Rys. 15).

Rys. 15

Model linii transmisyjnych dla ośrodka zbudowanego z komórek elementarnych

zawierających cienkie druty metaliczne i rozszczepione rezonatory kołowe [65].

Odkrycie tego ośrodka było przełomem w historii metamateriałów. Po weryfikacji

eksperymentalnej [54], która potwierdziła oczekiwania (taki materiał posiada ujemny
współczynnik załamania dla promieniowania mikrofalowego z pewnego zakresu
częstotliwości), coraz śmielej zaczęto wierzyć (choć nie wszyscy [55]), iż zaskakująca
teoria Veselago znajdzie swe zastosowanie praktyczne.

II.5 Model linii transmisyjnych

Zachowanie się fali EM przy przejściu przez dowolny ośrodek opisują dobrze znane już
równania Maxwella

jω

−

∇

(2.19)

∇

(2.20)

które w jednorodnymm izotropowym ośrodku uzupełnione są przez równania materiałowe,
ś

ciśle zależne od częstości padającego promieniowania

)

(

(2.21)

)

(

(2.22)

Nowe podejście do tych dobrze znanych podwalin współczesnej fizyki

zaprezentowali prawie równocześnie w 1944 roku Gabriel Kron [62], przedstawiając
jednocześnie numeryczna procedurę rozwiązywania równań Maxwella w tej nowej postaci
[63] oraz J.R.Whinnery i S.Ramo [64]. Udowodnili oni, że dzięki dyskretyzacji
przestrzennej równań Maxwella można zastosować je dla obwodów RLC, gdzie ich pełną
analogią są równania prądowo-napięciowe Kirchhoffa, co było pierwszym krokiem
w kierunku stworzenia modelu naturalnych ośrodków dielektrycznych opartych
na obwodach RLC.

Kluczem do wytworzenia sztucznego dielektryka było zbudowanie takiego modelu,

który umożliwiałby odnalezienie bezpośrednich analogii do ośrodków spotykanych
w naturze. Podstawowym założeniem, które należy w tym celu poczyniono, było podejście
do każdego materiału – zarówno sztucznego jak i naturalnego – jak do sieci pewnych
podstawowych elementów o bardzo małych wymiarach (w naturalnych materiałach
są to atomy i cząstki). Analogie te powinny dać się także zauważyć w zachowaniu fali
elektromagnetycznej padającej na wytworzony materiał – fale o długości porównywalnej
z wymiarami pojedynczego elementu sieci (atomu, cząstki, komórki elementarnej)
powinny doznawać efektów dyfrakcyjnych takich, jak ma to miejsce w ciałach stałych, zaś
fale o długości odpowiednio większej od wymiarów jednostkowych komórek powinny
załamywać się, a także dawać możliwość zdefiniowania odpowiedniego dla tego
przypadku współczynnika załamania fali elektromagnetycznej.

Symulacja rzeczywistego dielektryka

Model linii transmisyjnych (Dodatek C) mogący reprezentować naturalny ośrodek
przy użyciu sieci rozproszonych reaktancji może być złożony z komórek przedstawionych
na Rys. 16.

{ V

, I

}

Oś Z

Oś

{ V

, I

}

{ V

+dV

, I

+ dI

}

{ V

+dV

, I

+ dI

}

½ Z

Rys. 16

Elementarna komórka modelu linii transmisyjnej dla płaskiego, jednorodnego

ośrodka dielektrycznego.(na podstawie: [65])

Aby podkreślić periodyczność sieci, równania Maxwella (2.19) – (2.22) dla takiego

przypadku rozwiązuje się oddzielnie dla każdej z komórek, dzięki czemu występujące tam
pola elektryczne i magnetyczne można traktować jako statyczne. Zakładamy, że istnieje
jednostkowa komórka w przestrzeni o wymiarach

∆

z (Rys. 17), której wymiary

są pomijalnie małe w porównaniu do długości fali padającego promieniowania, co pozwala
traktować pole E i H jako statyczne.

Rys. 17

Rozkład quasi-statycznych pól w komórce elementarnej (na podstawie: [65])

W przypadku sieci dwuwymiarowej, można przyjąć, że pole elektromagnetyczne

jest stałe w kierunku y czyli

→

∂

. W takim przypadku wszelkie zjawiska

elektromagnetyczne zachodzące w komórce opisać można za pomocą kombinacji modów
TE

i TM

. Jeżeli rozważymy mod TM

, dominującymi składowymi pól elektrycznego

i magnetycznego będą E

, H

i H

)

(

ωµ

−

∂

(2.23)

)

(

ωµ

∂

(2.24)

)

(

ωε

∂

−

∂

(2.25)

Dyskretyzacja przestrzenna równań Maxwella prowadzi do następujących wyrażeń:

∆

−

∆

)

(

)

(

)

(

ωµ

(2.26)

∆

−

∆

)

(

)

(

)

(

ωµ

(2.27)

[

]

[

]

∆

⋅

∆

⋅

∆

⋅

−

∆

−

∆

⋅

−

∆

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(2.28)

Różnicę potencjałów w elementarnej komórce definiuje się jako

∫

⋅

−

(2.29)

zaś natężenie prądu

∫

⋅

(2.30)

gdzie a-a’ to dowolna ścieżka łącząca dolną i górną ścianę sześciennej komórki
elementarnej, zaś C to odpowiednio wybrany zamknięty przekrój przez powierzchnie
dolną i górną. Jako że pole elektromagnetyczne jest lokalnie niezmienne, otrzymujemy

∆

(2.31)

∆

−

(2.32)

∆

(2.33)

natomiast impedancje i admitancje można zdefiniować jako

∆

⋅

∆

)

(

ωµ

(2.34)

∆

⋅

∆

)

(

ωµ

(2.35)

∆

⋅

∆

)

(

ωε

(2.36)

W związku z tym poprzednie równania (2.26)–(2.28) przechodzą do postaci

−

∆

)

(

)

(

(2.37)

−

∆

)

(

)

(

2.38)

[

] [

]

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

∆

−

∆

(2.39)

Równania (2.37) i (2.38) opisujące różnicę potencjałów między odpowiednio przednią
i tylną lub lewą i prawą ścianą sześcianu są wynikiem natężenia prądu wywołanego przez
efektywną impedancję Z

lub Z

. Równanie (2.39) opisujące różnicę potencjałów między

górną i dolną ścianą wynika z natężenia prądu pochodzącym od admitancji Y.

Wartości impedancji i admitancji dla zadanej częstości promieniowania

wyrażają

się zależnościami

∆

⋅

∆

)

(

ωµ

(2.40)

∆

⋅

∆

)

(

ωµ

(2.41)

∆

⋅

∆

)

(

ωε

(2.42)

Ponieważ na obszarze

∆

z komórki elementarnej na przestrzeni jej grubości

∆

występuje jednorodne pole elektryczne, możemy zastosować analogię do kondensatora

okładkowego wypełnionego ośrodkiem o

)

(

)

(

, którego pojemność dana jest

zależnością

∆

)

(

(2.43)

Obecność lokalnie jednorodnego pola magnetycznego związana jest z przeciwnie

skierowanymi prądami w równoległych płaszczyznach (Rys. 17), których wkład
do przepływu sumuje się w płaszczyźnie

∆

z dla prądów płynących wzdłuż

∆

oraz w płaszczyźnie

∆

y dla prądów płynących wzdłuż

∆

z. Z tego względu mamy

do czynienia z indukcjami

∆

⋅

∆

)

(

(dla kierunku x)

(2.44)

∆

⋅

∆

)

(

(dla kierunku z)

(2.45)

Na uwagę zasługuje fakt, że rozproszone pojemność i indukcja są silnie

uzależnione od

)

(

)

(

oraz od wymiarów komórki elementarnej. Jeżeli

rozpatrzymy sieć z komórek elementarnych o pomijalnie małych wymiarach
w porównaniu do długości fali promieniowania zawierających rozproszone L’ i C’, może
ona być traktowana jak ośrodek izotropowy. W związku z tym każdy jednorodny
i bezstratny dielektryk może być (przy zadanej częstotliwości promieniowania) traktowany
jako dyskretna sieć z komórek zawierających tylko cewki i kondensatory natomiast
ośrodek rzeczywisty, obarczony pewnymi stratami transmisyjnymi, modeluje się
uwzględniając w obwodzie szeregową rezystancję.

Oś

Rys. 18

Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o parametrach

)

(

)

(

przy użyciu rozproszonej szeregowej induktancji

i rozproszonej równoległej pojemności (na podstawie: [65]).

Jeżeli rozważamy idealnie sześcienne komórki elementarne (Rys. 18), czyli jeżeli
spełnione są warunki

∆

(2.46)

wspomniane wyżej impedancje i admitancja będą wyrażone zależnościami

)

(

ωµ

(2.47)

)

(

ωε

(2.48)

zaś efektywne stałe materiałowe dla omawianego modelu linii transmisyjnych będą miały
postacie

)

(

)

(

(2.49)

)

(

)

(

(2.50)

Dla tradycyjnego ośrodka – izotropowego, niemagnetycznego i charakteryzującego się
względną przenikalnością elektryczną

otrzymamy

ωµ

(2.51)

ωε

(2.52)

czyli szeregowa impedancja i równoległa pojemność mają wartości

[H]

(2.53)

[F]

(2.54)

Rozproszone wartości L’ i C’ przypadające na jednostkę długości są dodatnie, rzeczywiste
i równe

(2.55)

(2.56)

Z równania falowego dla obwodów

∂

(2.57)

otrzymać można stałą propagacji

równą

−

(2.58)

Powyższa relacja dyspersyjna reprezentuje związek stałej propagacji fali z częstością
promieniowania (Rys. 19).

Rys. 19

Zależności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach

)

(

)

(

(na podstawie: [65])

Wykres

ilustruje zmiany stałej propagacji wzdłuż wyróżnionej osi

na płaszczyźnie x-z w funkcji częstotliwości. Dostarcza informacji o wartości fazy
i prędkości grupowej w ośrodku. Wykres

ilustruje zmiany stałej propagacji

w zależności od kierunku propagacji dla zadanej częstotliwości i przedstawia diagram EFS
(equifrequency surface), czyli powierzchnię równej częstotliwości. Dostarcza informacji
o kierunku fazy i prędkości grupowej w ośrodku. Dla kubicznej, elektrycznie obojętnej
komórki elementarnej taka rozproszona sieć modeluje ośrodek izotropowy i diagram EFS
jest kołowy.

Wartość prędkości fazowej w ośrodku odczytać można z wykresu

jako odcinek

łączący punkty (0,0) i (

) natomiast kierunek z wykresu

jako linię łączącą

punkty (0,0) i (

). Prędkość fazowa definiowana jest jako

(2.59)

Analogicznie odczytujemy z wykresów wartość i zwrot prędkości grupowej zdefiniowanej
jako

−













∂

(2.60)

Z analizy wykresu

wynika, że stała propagacji typowego ośrodka

prawoskrętnego zamodelowanego przy użyciu rozproszonej sieci szeregowych induktancji
i równoległych pojemności jest zależna od częstotliwości padającej fali EM analogicznie
jak ma to miejsce w naturalnych dielektrykach przy niskich częstotliwościach. Na wykres

widać, że prędkości fazowa i grupowa (dla ośrodka bezdyspersyjnego) są równe oraz

równoległe i wyrażają się następująco













∂

−

(2.61)

Obie prędkości w tym przypadku są dodatnie, co jest wynikiem wyboru dodatniego

pierwiastka w równaniu (2.61) odpowiadającego jednej z gałęzi wykresu

więc współczynnik załamania, który definiowany jest jako stosunek prędkości światła
w próżni do prędkości fazowej w ośrodku jest dodatni

(2.62)

Co więcej – tak jak było to oczekiwane – impedancja falowa ośrodka

jest dokładnie

równa użytej impedancji w rozproszonym modelu linii transmisyjnych

(2.63)

Symulacja ujemnego współczynnika załamania

Dalszym etapem stała się próba modelowania za pomocą komórek elementarnych LC
sztucznych ośrodków dielektrycznych – metamateriałów. Fakt, iż przy użyciu modelu linii
transmisyjnych o określonej wartości rozproszonych induktancji L’ i pojemności C’ mamy
wpływ na parametry wytwarzanego ośrodka, pozwala uzyskać materiały nie występujące
w naturze. Ponieważ L’ i C’ są związane z wartościami przenikalności elektrycznej
i magnetycznej, więc wprowadzenie do komórki elementarnej przedstawionej na Rys. 18
ujemnych wartości L’ i C’ pozwala uzyskać ujemny współczynnik załamania n. Z natury
tych elementów wynika jednak, że gdy szeregowa impedancja

−

i równoległa

admitancja

−

mają wartości ujemne, zmienia się ich rola w układzie. W takim

wypadku szeregowa impedancja odgrywa rolę szeregowej admitancji, zaś równoległa
admitancja – równoległej impedancji. Tak zbudowana elementarna komórka
przedstawiona jest na Rys. 20.

Oś

Rys. 20

Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o jednocześnie

ujemnych, dyspersyjnych parametrach

)

(

−

)

(

−

przy użyciu

rozproszonej szeregowej induktancji i rozproszonej równoległej pojemności
(na podstawie: [65]).

Także w tym przypadku wymiary komórki elementarnej mają kluczowy wpływ

na zależności dyspersyjne parametrów uzyskanego w ten sposób ośrodka [66], [67].
Korzystając z równań (2.49) i (2.50) efektywną przenikalność elektryczną i magnetyczną
takiego modelu wyznaczyć można jako

( )

−

(2.64)

( )

−

(2.65)

W odróżnieniu od modelu linii transmisyjnych dla materiałów dodatnich, tutaj parametry
ośrodka są wyraźnie ujemne, a dodatkowo mają charakter dyspersyjny. Uśredniona
po czasie energia elektryczna i magnetyczna zgromadzona w takim materiale jest jednak
dodatnia, więc zasada zachowania energii pozostaje spełniona.

Rozproszone wartości indukcji i pojemności wynoszą dla tego przypadku odpowiednio

⋅

(2.66)

⋅

(2.67)

Cechą charakterystyczną stałej propagacji w powyższym modelu jest odwrotny związek
z częstością

−

(2.68)

zaś odpowiadające temu wykresy

oraz

przedstawione są na Rys. 21.

Rys. 21

Zależności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach

)

(

−

)

(

−

(na podstawie: [65])

W tym przypadku prędkości fazowa i grupowa są antyrównoległe

−













∂

−

(2.69)

Ze względu na to, że prędkości grupowe w modelu linii transmisyjnych ośrodka

dodatniego i ujemnego są antyrównoległe, można spodziewać się ujemnego załamania
fali EM przy przejściu przez granicę tych ośrodków.

Współczynnik załamania takiego ośrodka

( ) ( )

⋅

−

(2.70)

Efektywna impedancja fali

( )

(2.71)

Opisany tu model został zweryfikowany doświadczalnie poprzez zastosowanie

go do badania zdolności skupiających zbudowanej na jego podstawie płaskiej soczewki
o ujemnym współczynniku załamania [67]. Model znalazł też kilka innych zastosowań
w układach i urządzeniach optycznych [68]

−

[70]. Warto zauważyć, że także ten model jest

bezstratny, co oznacza, iż model linii transmisyjnych pozwala na osiągnięcie ujemnego
współczynnika załamania bez konieczności wprowadzania do układu elementów
rezystywnych.

W modelu ośrodka ALMW/SRR (rozdział II.4) efektywna funkcja przenikalności

przyjmowała ujemne wartości w zakresie częstotliwości między

, który

w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15) odpowiada dokładnie zakresowi częstotliwości,
w którym czynna jest szeregowa gałąź. Analogicznie dla przenikalności elektrycznej
zakres częstotliwości dający ujemną jej wartość odpowiadał zakresowi pracy gałęzi
równoległej w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15). W ujęciu linii transmisyjnych
materiał ALMW/SRR wprowadza dodatkowe składowe rezonansowe, co może zostać
wyeliminowane poprzez bezpośrednie zastosowanie indukcji i pojemności. Dzięki temu
możliwe jest osiągnięcie bardzo szerokich pasm częstotliwości, w których współczynnik
załamania utrzymuje swoją ujemną wartość.

II.6 Nanostruktury z drutów metalicznych

Metamateriał będący kompozytem złożonym z par nanodrutów po raz pierwszy opisał
i zasymulował numerycznie Viktor A. Podolskiy [71], [72]. Udowodnił, że zewnętrzne
pole EM oddziałujące na pojedyncze nanodruty może wzmacniać powstający
na powierzchni materiału plazmon powierzchniowy, w wyniku czego lokalne pola EM
mogą zostać wzrosnąć nawet o trzy rzędy wielkości. Ponadto w kompozycie złożonym
z par równoległych nanodrutów występować może rezonans elektryczny i magnetyczny,
co przy

spełnionych

odpowiednich

warunkach,

może

skutkować

ujemnym

współczynnikiem załamania takiego metamateriału.

W odróżnieniu od metamateriału złożonego z cienkich drutów metalicznych

i rozproszonych rezonatorów kołowych, które musiały być projektowane dla konkretnej
częstości padającego promieniowania, zasadniczą zaletą metamateriału z nanodrutów jest
o wiele większa jego uniwersalność. Wzajemne oddziaływania nanodrutów tworzących
kompozyt powoduje powstanie wielu zlokalizowanych plazmonów powierzchniowych
o różnych

częstościach

rezonansowych.

Plazmon

powierzchniowy

pochodzący

od pojedynczego nanodrutu jest stosunkowo wąski (50 nm), jeżeli jednak nanodruty
tworzą kompozyt, zakres częstości rezonansowych jest bardzo duży, co umożliwia
wykorzystanie takiego materiału w bardzo szerokim przedziale częstości ściśle zależnym
od wymiarów nanodrutów.

Komórka elementarna metamateriału zaproponowanego przez Podolskiy’ego

składała się z pary równoległych nanodrutów metalicznych o długości 2b

, średnicy b

rozsuniętych na odległość d (Rys. 22).

Rys. 22

(a) para równoległych nanodrutów; (b) dwuwymiarowy kompozyt zawierający
pary równoległych nanodrutów (na podstawie [71]).

Grupa Podolskiy’ego rozważała przypadek, gdy

. Promień drutu b

musi być dużo mniejszy od długości fali padającego promieniowania i może być
porównywalny z głębokością penetracji promieniowania w strukturę. Długość drutu 2b

może być rzędu długości fali świetlnej. Ze względu na takie wymiary nanodrutów bardzo
trudno było jednoznacznie wyznaczyć rozwiązania równań Maxwella w tym układzie.
Podolskiy zastosował dyskretne przybliżenie dipolowe [73] zastępując nanodruty dużą
liczbą zachodzących na siebie, spolaryzowanych sfer ułożonych w kubiczną sieć (Rys. 23).

Rys. 23

Model pojedynczego nanodrutu w dyskretnym przybliżeniu dipolowym.

Jeżeli stała takiej sieci a i promień R pojedynczej sfery są dużo mniejsze

od długości fali padającego światła, pola EM pochodzące od każdego z dipoli mogą być
traktowane jako kwazistatyczne i są sumą pól zewnętrznych w danym miejscu sieci oraz
pól pochodzących od wszystkich pozostałych dipoli. Podolski udowodnił, że wyniki
symulacji przy użyciu tego przybliżenia silnie zależą od przyjętego współczynnika
pokrywania się sąsiadujących sfer (a/R).

Padająca fala EM rozchodziła się tak, że pole elektryczne było równoległe

do osi nanodrutów, podczas gdy pole magnetyczne było do nich prostopadłe. Składowa
magnetyczna padającego promieniowania EM indukuje w drutach przepływ prądu,
będącego sumą prądów płynących w każdym z nanodrutów oraz prądu przesunięcia
pomiędzy drutami. Wartość odpowiedzi rezonansowej silnie zależy od wymiarów drutów
i maleje wraz ze wzrostem promienia drutu lub odległości d między drutami, gdyż wtedy
straty stają się znaczące. Efekt jest najmocniejszy dla drutów o promieniach b

porównywalnych z głębokością penetracji promieniowania EM (~20nm).

Aby uwzględnić efekt naskórkowy wprowadzono funkcję

( ) ( )

( )

[

]

( )

[

]

∆

⋅

∆

−

∆

(2.72)

gdzie

– wektor gęstości prądu,

∆

πσ

parametr opisujący stosunek

rednicy nanodrutów do głębokości penetracji promieniowania,

przewodność metalu.

Przenikalność magnetyczną

kompozytu wyznaczono posługując się momentem

magnetycznym

dla pojedynczej pary drutów przybliżonej dwoma równoległymi,

nieskończonymi drutami, dzięki czemu możliwe było zastosowanie równania telegrafistów
(Dodatek C). Moment magnetyczny został wyznaczony jako

( )

tan

−

(2.73)

gdzie













pojemność na jednostkę długości,

( )













∆

Padające pole elektryczne jest równoległe do osi drutów, więc wzbudza w nich

równe prądy, które mogą być traktowane jako niezależne. Całkowity moment dipolowy
dla pary nanodrutów dany jest jako

( )

Ω

























∆

cos

(2.74)

gdzie

( )

























Ω

to bezwymiarowa częstość promieniowania.

Podolskiy wyznaczył efektywną stałą dielektryczną i przenikalność magnetyczną

struktury przedstawionej na Rys. 22 jako

(2.75)

gdzie p – gęstość powierzchniowa metalu.

Obszar, w którym taki ośrodek wykazuje ujemną wartość współczynnika załamania

uwarunkowany jest wymiarami nanodrutów, czyli wartościami parametrów b

, b

oraz d.

Ustalając odpowiednio wartości tych parametrów można przesunąć aktywne pasmo
częstotliwości do zakresu optycznego.

Alternatywnym

sposobem

wytworzenie

metamateriału

ujemnym

współczynniku załamania jest zastosowanie stosu warstw z nadrukowanymi pojedynczymi
nanodrutami lub użycie jednej takiej warstwy umieszczonej nad powierzchnią metalu.
W tym drugim wypadku promieniowanie EM powoduje powstanie obrazu nanodrutów
na powierzchni metalu, co prowadzi do powstania wirtualnej pary równoległych
nanodrutów. Powierzchnię pomiędzy metalem i filmem z nanodrutami wypełnia się
dielektrykiem. Zmieniając grubość i parametry dielektryka można regulować odległość d
pomiędzy nanodrutami.

II.7 Metamateriały dla zakresu widzialnego

Ponieważ materiały charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania nie istnieją
w naturze, w ostatnich latach nieustająco trwają prace badawcze nad wytworzeniem
sztucznych materiałów dających ujemną odpowiedź elektryczną i magnetyczną w pewnym
przedziale częstotliwości. Dwa główne podejścia do tematu realizacji zjawiska ujemnego
załamania obejmują zastosowanie metamateriałów oraz kryształów fotonicznych.
W zakresie promieniowania mikrofalowego ujemny współczynnik załamania został
uzyskany w obu typach struktur, podczas gdy dla zakresu widzialnego ostatnio
zastosowanie znalazły kryształy fotoniczne [74], [75]. W zakresie 10 – 100 THz
zaprezentowane niedawno zostały rezonujące struktury magnetyczne charakteryzujące się
ujemną przenikalnością magnetyczną [76]

−

[78]. Jednakże, pomijając prace teoretyczne

i symulacje numeryczne [79], ujemne załamanie fal EM dla zakresu widzialnego
potwierdzone doświadczalnie zostało dopiero pod koniec 2005 roku [80].

Możliwość zastosowania nanometrowych struktur do uzyskania ujemnego

współczynnika załamania dla zakresu widzialnego opisano teoretycznie [81]

−

[83]

w 2002 roku. Pokazano, że pary równoległych nanodrutów lub płytek mogłyby
z powodzeniem zastąpić wykorzystywane dotąd rozszczepione rezonatory kołowe (SRR).
Oczekiwano, że zbudowana z nich struktura będzie charakteryzowała się ujemnym
współczynnikiem załamania nawet, jeżeli komórka elementarna nie będzie zawierała
dodatkowego metalowego drutu. Analogia pomiędzy typowym SRR i parą nanodrutów
przedstawiona została na Rys. 24 i łatwo ją zrozumieć, jeżeli potraktujemy SRR
przedstawiony na Rys. 24 (a) jako obwód LC o induktancji L i pojemności przerwy
pierścienia C.

Rys. 24

Analogia pomiędzy rozszczepionym pierścieniem (SRR) a parą nanodrutów:

kolejne fazy przejścia pomiędzy strukturami (a)-(d) [84].

Zmienne pole magnetyczne prostopadłe do powierzchni SRR indukuje w nim

przepływ prądu, który w pobliżu częstości rezonansowej

wywołuje

moment magnetyczny prostopadły do płaszczyzny SRR i przeciwstawiający się
zewnętrznemu polu magnetycznemu, co powoduje pojawienie się ujemnej przenikalności
magnetycznej

. Jeżeli przerwa w pierścieniu zostanie powiększona (Rys. 24 (b)),

pojemność C zmniejszy się, co spowoduje wzrost częstości

potrzebnej do wzbudzenia

rezonansu w obwodzie. Gdy drut tworzący pierścień SRR zostanie przerwany również
z drugiej strony (Rys. 24 (c)), w obwodzie pojawi się druga szeregowa pojemność C,
co dodatkowo zmniejszy wypadkową pojemność obwodu LC. Kolejnym krokiem jest
całkowite otwarcie pierścienia SRR z obu stron (Rys. 24 (d)), prowadzące do otrzymania
pary równoległych drutów. Spadek pojemności C prowadzi do wyższej częstości

rezonansowej zgodnie ze wzorem

, co oznacza, że długość fali

padającego promieniowania EM potrzebnego do wywołania rezonansu w takim obwodzie
jest coraz mniejsza i może osiągnąć nawet wartości z zakresu promieniowania
widzialnego. Zaletą par równoległych nanodrutów w stosunku do wcześniej stosowanych
komponentów są mniejsze wymagania konstrukcyjne pod względem stosunku wymiarów
komórki elementarnej i długości fali

padającego promieniowania. Dla SRR stosunek ten

musiał być co najmniej rzędu

, aby strukturę można było traktować jak

jednorodną, zaś dla par nanodrutów jest on prawie 5 razy mniejszy (

≈

(a)

(b)

(c)

(d)

Rys. 25

(a) Wymiary pary równoległych nanodrutów tworzących komórkę elementarną;

(b) Schemat wzajemnego rozmieszczenia par nanodrutów w próbce; Wykonane
pod mikroskopem elektronowym zdjęcie (c) dwuwymiarowej tablicy i (d) pojedynczej pary
nanodrutów. (na podstawie: [85]).

W roku 2005 grupa badawcza z Purdue University [80] zaprezentowała

metamateriał zbudowany z par równoległych nanodrutów w kształcie trapezu o różnicy
szerokości podstaw 20 nm. Opisana przez nich periodyczna dwuwymiarowa tablica
z nadrukowanymi parami złotych drutów była stosunkowo prosta do wytworzenia
w nanoskali i wskazała kierunek dalszych prac nad zaprojektowaniem metamateriału
dla zakresu widzialnego. Nanodruty wytworzone zostały przy użyciu litografii

elektronowej na szklanym podłożu pokrytym cienką warstwą Cr, która zapobiegała
naładowaniu się podłoża i została usunięta po zakończeniu procesu. Nanoszenie warstw
powtórzono kilkukrotnie kolejno dla warstw Ti, Au i SiO

, aż do uzyskania struktury

przedstawionej na Rys. 25.

Dwa równoległe druty tworzyły obwód, który zachowywał się jak linia

transmisyjna (Rys. 26). Prądy przesunięcia na końcach drutów powodowały „zamknięcie”
obwodu. Jeżeli na próbkę padało światło spolaryzowane poprzecznie magnetycznie
względem osi nanodrutów, wzbudzany był jednocześnie rezonans elektryczny
i magnetyczny,

co powodowało

powstanie

ujemnej

odpowiedzi elektrycznej

i magnetycznej

w tak zaprojektowanym metamateriale. Zakres częstotliwości fali

elektromagnetycznej, dla której zjawisko to było możliwe uzależniony był od wymiarów
nanodrutów oraz ich wzajemnego rozmieszczenia w tablicy. Współczynnik załamania
w takim materiale powyżej częstości rezonansowej może przyjąć wartości ujemne [71],
[72]. Rezonans plazmowy może być traktowany jak rezonans w obwodzie LC
o induktancji L, zapewnionej przez metalowe druty, i pojemności C zapewnionej przez
przestrzeń pomiędzy nimi.

Rys. 26

(a) Ułożenie nanodrutów w metamateriale; (b) Komórka elementarna zawierająca

parę równoległych nanodrutów (na podstawie: [85]).

Doniesienie literaturowe na temat dalszej miniaturyzacji metamateriałów

i przesunięcia operacyjnej częstości w spektrum widzialne pochodzą z sierpnia 2006 roku
[88]. Grupa naukowców G.Dolling, M.Wegener, C.M.Soukoulis oraz S.Linden
wytworzyła metamateriał zbudowany z par równoległych srebrnych nanodrutów
nadrukowanych na szklanym podłożu, charakteryzujący się ujemnym współczynnikiem
załamania dla światła o długości fali 780 nm (zob. Rys. 27). Dla zakresu widzialnego
srebro charakteryzuje się znacząco mniejszymi stratami w porównaniu do złota [89],
co pozwoliło po raz pierwszy zademonstrować ujemne załamanie światła dla światła
czerwonego.

(c)

Rys. 27

(a) Schemat budowy metamateriału dla zakresu widzialnego; (b) Komórka

elementarna o wymiarach a

= a

= 300 nm, w

= 102 nm, w

= 68 nm, t = 40 nm,

s = 17 nm, e

= e

= e = 8 nm; (c) Zdjęcie pojedynczej pary nanodrutów i

dwuwymiarowej tablicy wykonane pod mikroskopem elektronowym (na
podstawie: [88]).

Stosunek grubości kompozytu 2t+s = 97 nm do szerokości drutu w

= 68 nm przekracza 1,

co stwarzało pewne trudności technologiczne. Grubość drutów zorientowanych wzdłuż
składowej elektrycznej padającego promieniowania musiała zostać zwiększona
do w

= 102 nm. Pozwoliło to na podniesienie efektywnej częstości plazmowej powyżej

częstości operacyjnej, co było konieczne dla osiągnięcia ujemnej przenikalności
elektrycznej

. Do wytworzenia metamateriału wykorzystano fluorek magnezu MgF

którego współczynnik załamania wynosi

MgF

oraz szkło o współczynniku

szkłz

III Eksperymenty

Naturalną koleją rzeczy była chęć eksperymentalnej weryfikacji zjawiska ujemnego
załamania fali elektromagnetycznej we wzbudzających tyle zainteresowania ośrodkach.
Jako pierwsi dokonali tego R.A.Shelby, D.R.Smith i S.Schultz [54] w 2001 roku. Pomimo
wątpliwości niektórych [55], eksperyment grupy Shelby’ego stał się początkiem nowego
rozdziału w historii metamateriałów. Po okresie teoretycznych dyskusji na temat odkrycia
Veselago [1], metamateriały potwierdziły swą wyjątkowość otwierając tym samym drogę
do licznych nowych zastosowań (rozdział III.1).

Kolejny ważny eksperyment wykonany został w 2003 roku przez grupę

I.V. Shadrivov’a [90]. Udowodniono, że wprowadzenie defektów do warstwowej struktury
złożonej z naprzemiennie ułożonych warstw ośrodka o ujemnym współczynniku załamania
i powietrza pozwala na modyfikowanie zakresu częstości, dla którego obserwuje się
ujemne załamanie fali elektromagnetycznej (rozdział III.2) Istnienie fal wstecznych
w ujemnych metamateriałach zbadał G.V.Eleftheriades [102]. Przeprowadzony przez
niego eksperyment udowodnił, że model metamateriału wykorzystujący linie transmisyjne
(rozdział II.5) pozwala na łatwe wykorzystanie zjawiska ujemnego załamania do budowy
wydajniejszych urządzeń mikrofalowych (rozdział III.3). Długo oczekiwane ujemne
załamanie dla fal z zakresu widzialnego zrealizowane w praktyce zostało dopiero w 2006
roku [88].

III.1 Pierwsze dowody eksperymentalne

Przeprowadzony w 2001 roku eksperyment [54] dotyczył rozpraszania fali EM
o częstotliwości z zakresu mikrofalowego na próbce metamateriału charakteryzującego się
pasmem częstotliwości, w którym jego efektywny współczynnik załamania n ma wartość
mniejszą od zera. Mierząc kąt odbicia promienia przechodzącego przez pryzmat wykonany
z takiego metamateriału, określano efektywny współczynnik załamania n zgodny
z prawem Snelliusa [10]. Eksperyment potwierdził przewidywania równań Maxwella,
iż współczynnik załamania n jest równy ujemnemu pierwiastkowi kwadratowemu
z iloczynu przenikalności

dla zakresu częstotliwości, gdzie obie przenikalności

są mniejsze od zera (zob. równanie (1.5)). W doświadczeniu wykorzystano metamateriał
zaproponowany przez D.R.Smitha [32]

−

[35].

Próbka zbudowana była przy wykorzystaniu dwuwymiarowej okresowej tablicy

zawierającej miedziane rozproszone rezonatory kołowe (SRR) i druty metaliczne
(ALMW), wyprodukowanej metodą maski i kwasorytu na podłożu krzemowym o grubości
0,25mm. Metamateriał użyty w tym doświadczeniu zbudowany był z komórek
elementarnych o wymiarach 5mm, co oznacza, że dla badanego zakresu częstotliwości
(8-12 GHz) średnia długośc fali promieniowania

=3cm była 6 razy większa od wymiarów

takiej komórki i materiał mógł być traktowany jako jednorodny. Kąt pomiędzy prostymi
normalnymi do powierzchni padania (nr 1 na Rys. 28) i załamania (nr 2 na Rys. 28) był
równy 18,43

. Aby określić współczynnik załamania, mierzono odchylenie wiązki

promieniowania mikrofalowego przechodzącej przez pryzmat wykonany z takiego
metamateriału. Próbka i absorbent promieniowania mikrofalowego umieszczone były
pomiędzy dwoma kołowymi płytami aluminiowymi o promieniu 15cm. Na obwodzie
wierzchniej płyty zamontowany był ruchomy detektor promieniowania mikrofalowego
pozwalający na pomiar transmitowanej mocy pod dowolnym kątem. Na ścianę pryzmatu,

stanowiąca powierzchnię padania (nr 1), padała wiązka promieniowania mikrofalowego
o poprzecznej polaryzacji magnetycznej. Po przejściu przez pryzmat fala doznawała
ugięcia zgodnego z prawem Snelliusa na płaszczyźnie załamania (nr 2). Aby zmniejszyć
spowodowane dyfrakcją rozmycie kątowe padającego promieniowania, poprowadzone ono
było współosiowym kablem do adaptera falowego, a następnie przechodziło pomiędzy
dwoma aluminiowymi płaszczyznami rozsuniętymi na taką samą odległość jak aluminiowe
koła (1,2 cm), gdzie dodatkowo po bokach ograniczały je rozsunięte na odległość 9,3 cm
płaszczyzny absorbentu promieniowania mikrofalowego. Strzałki na Rys. 28 przedstawiają
bieg fali przy przejściu przez teflonową próbkę kontrolną – kąt

ma tu wartość dodatnią.

Detektor obracany był po obwodzie z krokiem 1,5

, a przechodzące widmo mocy mierzone

w funkcji kąta obrotu

detektora od normalnej do powierzchni padania próbki.

Rys. 28

Schemat układu pomiarowego [54].

Pomiary wykonano dla ośmiu różnych położeń próbki w układzie. Uśrednione

wyniki przedstawiono na wykresach w funkcji kąta (Rys. 29) (po wcześniejszym
znormalizowaniu mocy transmitowanego przez próbkę promieniowania) oraz w funkcji
częstotliwości (Rys. 30). Maksimum mocy transmitowanej występowało przy bardzo
zbliżonych kątach dla każdego z położeń próbki.

Rys. 29

Moc transmitowana jako funkcja kąta [54].

Przy częstotliwości 10,5 GHz, mikrofale były uginane pod dodatnimi kątami

w przypadku teflonu i w przeciwną stronę dla próbki z z metamateriału. Maksimum
zarejestrowanej mocy promieniowania dla próbki teflonowej miało miejsce przy kącie

powietrze

= 27º, co odpowiada wartości współczynnika załamania n

teflon

= 1,4

0,1 i mieści

się w granicach błędu. Natomiast dla próbki z metamateriału zmierzony kąt wyjściowy

powietrze

−

, przy którym moc osiągała maksimum oznacza, że współczynnik

załamania tego ośrodka to n

LHM

−

(2,7

0,1) . Na Rys. 30 przedstawiony został

zmierzony współczynnik w funkcji częstotliwości dla ujemnej próbki (ciągła czarna linia)
i porównany z krzywą teoretyczną (ciągła czerwona linia) oraz wykresem dla teflonu
(ciągła niebieska linia)

LHM
Teflon
LHM (teoria)

-1

-2

-3

Częstotliwość [GHz]

Rys. 30

Współczynnik załamania jako funkcja częstotliwości [54].

Oczekiwano, że współczynnik załamania będzie szybko dążył do wartości mocno

ujemnych przy niskoczęstotliwościowej granicy w badanego obszaru „lewoskrętnego”
(10,2

10,8

GHz),

następnie

osiągnąć

wartość

zerową

dla

granicy

wysokoczęstotliwościowej. Wyniki częściowo potwierdziły rozważania teoretyczne,
jednakże w pewnych obszarach (przerywana czarna linia) współczynnik załamania n był
albo niemożliwy do wykrycia albo zdominowany przez składową urojoną (przerywana
czerwona linia) i nie mógł być wiarygodnie zbadany doświadczalnie. W badanym paśmie
częstotliwości zmierzony współczynnik załamania dla teflonu (linia niebieska na Rys. 30)
jest w przybliżeniu wartością stałą, zaś współczynnik załamania dla badanego
metamateriału jest ujemny i ma charakter silnie dyspersyjny, co zgadza się z teorią.

wyznaczenia

teoretycznej

zależności

współczynnika

załamania

od częstotliwości użyto poniższych ogólnych równań na zależność przenikalności

od częstotliwości

γω

−

)

(

(3.1)

γω

−

)

(

(3.2)

przy wykorzystaniu parametrów f

= 10,95 GHz, f

= 10,05 GHz, f

= 12,8 GHz,

= 10,3 GHz,

= 10 MHz gdzie

– magnetyczna częstość rezonansowa

i plazmowa,

– elektryczna częstość rezonansowa i plazmowa,

−

, f=

/ 2

Istnieją dwa zasadnicze ograniczenia w tym doświadczeniu, które uniemożliwiają

zmierzenie efektywnego współczynnika załamania odpowiadającego krawędziom
„lewoskrętnego” pasma częstotliwości. Po pierwsze, kiedy efektywny współczynnik
załamania osiąga zero, długość fali w ośrodku ujemnym staje się bardzo duża,
przypuszczalnie większa niż wymiary próbki. Nie udało się jednoznacznie określić
współczynnika załamania w zakresie od 10,8GHz do 12GHz, czyli powyżej
„lewoskrętnego” pasma częstotliwości; uzyskane wyniki odpowiadają raczej urojonej
składowej współczynnika, a nie jego dodatniej wartości. To ograniczenie może zostać
częściowo wyeliminowane poprzez zastosowanie grubszych i szerszych próbek. Po drugie,
ponieważ obszar ugięcia jest zawężony do około 18,4

od normalnej, gdy

≥

promieniowanie ulega raczej całkowitemu wewnętrznemu odbiciu niż załamaniu,
co według autorów eksperymentu mogłoby tłumaczyć, dlaczego nie udało się zmierzyć
współczynników załamania o wartościach poniżej -3 i powyżej 3.

Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywisto

ść

Wyniki eksperymentu [54] zakwestionowane zostały przez N.Garcia i M.Nieto-
Vesperinas’a [55], P.M.Valanju [56] i innych [57], co zaowocowało ożywioną dyskusją
w środowisku naukowym na temat zjawiska ujemnego załamania i istnienia ośrodków,
w których byłoby ono możliwe. Podważona została możliwość ujemnego załamania
rzeczywistego promieniowania zawierającego pewne spektrum długości fali [56]. Ujemny
współczynnik załamania występować może jedynie w materiałach dyfrakcyjnych,
co oznacza, że jest uzależniony od częstości padającego promieniowania, czyli także
od jego długości fali. W związku z tym przy przejściu przez metamateriał wiązka
rzeczywistego promieniowania zostałaby raczej rozszczepiona niż ujemnie załamana.
Skrytykowano także sposób przeprowadzenia eksperymentu. Wykorzystany przez
R.A.Shelby’ego, D.R.Smith’a i S.Schultz’a ośrodek [54] charakteryzował się znacznymi
stratami, zaś detektor ustawiony był w niewielkiej odległości od powierzchni pryzmatu,
co było uważane za przyczynę złudzenia, że fala EM została ugięta pod ujemnym kątem.
Twierdzono [56], że gdyby detektor znajdował się w większej odległości od próbki, żadne
promieniowanie nie zostałoby zmierzone. Krytyka wyników eksperymentu grupy
Shelby’ego zmobilizowała zwolenników idei ujemnego załamania do szukania
kontrargumentów. Niecały rok później opublikowane zostały uzyskane niezależnie przez
dwie grupy badawcze [58]-[60] wyniki, wyraźnie potwierdzające, przy zastosowaniu
prawa Snelliusa, istnienie ujemnego załamania promieniowania z zakresu mikrofalowego.

A.Houck i in. z MIT

[58] wykonali dwa doświadczenia, w których odwzorowali

mikrofalowe pole EM przechodzące przez kilka pryzmatów wykonanych z materiałów
dodatnich i ujemnych oraz płaską płytkę z materiału ujemnego.

Materiałem odniesienia

podobnie jak w [54] był teflon, zaś metamateriał ujemny był kompozytem analogicznym
do opisanego w [35]

. Aby ustalić zakres częstotliwości promieniowania, w którym

metamateriał charakteryzuje się ujemnym współczynnikiem załamania, wykonane zostały

Massachusetts Institute of Technology

Metamateriał używany w doświadczeniach zbudowany był z miedzianych drutów o grubości 50

umieszczonych na podłożu o grubości 0,5 mm zestawionych w sieć 6 mm komórek elementarnych.

niezależne pomiary właściwości elektromagnetycznych dla struktur zawierających tylko
prostoliniowe przewodniki oraz tylko przerwane pierścienie. Operacyjna częstotliwość
ustalona została na 10,5 GHz. Ponadto udowodniono, że górna płaszczyzna prowadnicy
falowej nie może dotykać powierzchni próbki, gdyż nie obserwowano wtedy zachowania
ujemnego. Przyczyny tego zjawiska upatrywano w zmianę pojemności metalowych
przewodników, gdy odległość płaszczyzny od próbki była mniejsza niż 1,5 mm.

W ramach pierwszego eksperymentu A.Houck i in. zaproponowali nowy układ

pomiarowy, wykorzystujący zamkniętą i dokładnie izolowaną prowadnicę falową,
zbudowaną z dwóch równoległych metalowych płaszczyzn (górna płaszczyzna była
dwukrotnie większa od dolnej), w całości pokrytych absorbentem promieniowania
mikrofalowego i mogących przesuwać się względem siebie. Umożliwiło to pomiar
rozkładu pola EM w całej przestrzeni wewnątrz prowadnicy. Pomiary wykonane zostały
dla kilku pryzmatów dodatnich (teflon) i ujemnych, o dwóch różnych kątach, dla dwóch
położeń górnej płaszczyzny nad próbką. Zmierzona w ten sposób wartość współczynnika
załamania dla teflonu pokrywała się z wartością rzeczywistą

, co pozwoliło zweryfikować

poprawność układu pomiarowego. Kąty załamania fali EM obserwowane dla próbki
ujemnej, były wyraźnie umieszczone po przeciwnej stronie normalnej do płaszczyzny
załamania pryzmatu w porównaniu do pomiarów dla próbki teflonowej

. Na uwagę

zasługuje fakt, że w przypadku próbki ujemnej, tłumienie fali miało wartość 25dB
(w porównaniu do 5dB dla pryzmatu z teflonu), co wskazuje na duże znaczenie efektów
rozpraszania i absorpcji w metamateriałach.

Drugi eksperyment wykonany przez grupę z MIT dotyczył opisanego wcześniej

teoretycznie przez Pendry’ego [93] i również skrytykowanego [94] zjawiska super-
soczewkowania. Z wytworzonego metamateriału wykonano płasko-równoległa płytkę
o grubości 6 cm i umieszczono ją w prowadnicy falowej w odległości 2 cm
od mikrofalowej anteny nadawczej. Antena odbiorcza po przeciwnej stronie płytki miała
za zadane rejestrować przechodzące promieniowanie EM. Dla konfiguracji układu z górną
płaszczyzną uniesioną na 2 mm, pochodząca z punktowego źródła promieniowania (anteny
mikrofalowej) fala EM padająca na płytkę została skupiona po jej przeciwnej stronie.
Gdy górna płaszczyzna była obniżona, skupienie nie występowało, co potwierdziło, że jest
ono możliwe tylko dla płytki z ujemnym współczynnikiem załamania.

Ponieważ we wszystkich badanych pryzmatach fala EM propagowała się zgodnie

z prawem załamania Snelliusa, eksperyment ten stanowił wyraźne potwierdzenie istnienia
zjawiska ujemnego załamania. Ponadto wyniki przedstawione dla płasko-równoległej
płytki o ujemnym współczynniku załamania były wstępnym potwierdzeniem słuszności
tezy Veselago [2] i Pendry’ego [93]. Kolejne wnioski z wykonanych przez grupę z MIT
doświadczeń dotyczą wytwarzania metamateriałów. Metamateriał może posiadać
właściwości, których nie mają żadne z tworzących go elementów. Ponadto bardzo ważna
jest precyzja wykonania modelu. Zauważono [58], że jeżeli po cięciu ich laserem płytki
z naniesionymi elementami przewodzącymi nie zostały dokładnie wyczyszczone, obecna
na nich cienka warstwa węgla uniemożliwiał obserwację zjawiska ujemnego załamania.

Wartość zmierzona to n= 1,52

0,07, wartość rzeczywista n

teflonu

= 1,5.

Dla pryzmatu o kącie

= 18

kąt załamania wynosił

= – (6,4

2,4º), co odpowiadało wartości

n = – (0,36

0,13), zaś dla pryzmatu o kącie

= 26º kąt załamania

= – (9

2 º) , czyli współczynnik

załamania n = – (0,35

0,08).

Inne podejście eksperymentalne przedstawione zostało w publikacjach [59], [60].

Podobnie jak w doświadczeniu [58] pryzmaty wykonane były z metamateriałów
zbudowanych z równoległych przewodników i pierścieni, jednak komórka elementarna
zawierała dodatkowy metalowy drut, co pozwoliło na rozszerzenie operacyjnego pasma
częstotliwości. Doświadczenia i symulacje

numeryczne przeprowadzone zostały

dla pryzmatów o kątach 12

i 32

w zakresie 10–15 GHz, a ich wyniki były zgodne

z teorią. Ponadto uwzględniono rolę strat związanych z rozpraszaniem promieniowania,
które mają bardzo duże znaczenie, gdy rozważa się możliwości praktycznego zastosowania
metamateriałów. Zidentyfikowano przyczyny strat, zaproponowano sposób wytworzenia
metamateriału,

który

charakteryzuje

się

znacznie

mniejszym

rozpraszaniem

i doświadczalnie sprawdzono jego właściwości [61]. Przyczyną strat była skończona
konduktywność drutów oraz straty pochodzące od dielektrycznego podłoża i użytego
spoiwa, które odgrywają największą rolę przy dużej koncentracji pola EM. Symulacje
komputerowe wykazały, że największa koncentracja pola EM występuje w przerwie
miedzianych pierścieni. Usunięcie dielektryka i spoiwa z tego obszaru spowodowało
poprawę właściwości transmisyjnych metamateriału z 80% do 90% dla próbki o grubości
1cm. Wykazano również, że użycie metalowych elementów nie grubszych niż 3–5
głębokości wnikania promieniowania pozwala zminimalizować straty spowodowane
rozpraszaniem na metalu.

Rys. 31

Komórka elementarna 901 HWD o wymiarach C = 0,025 cm, D = 0,03 cm,

G = 0,046 cm, H = 0,0254 cm, L = 0,33 cm, S = 0,0263 cm, T = 17,0

-4

cm,

W = 0,025 cm, V = 0,255 cm [61].

Tym samym ujemne załamanie zostało dobitnie potwierdzone praktycznymi

pomiarami. Rozpoczęła się faza nasilonych prac nad miniaturyzacją wytworzonych
struktur i przesunięcia przedziału częstotliwości, w którym współczynnik załamania jest
ujemny do zakresu optycznego.

III.2 Modulacja transmisji fali EM

Struktury wielowarstwowe zawierające materiały o ujemnym współczynniku załamania
mogą być traktowane jak sekwencja płasko-równoległych soczewek [90], których
wzajemne efekty pochodzące od płytek materiału ujemnego i przestrzeni materiału
dodatniego (powietrza) znoszą się. Takie struktury periodyczne o uśrednionym
współczynniku załamania równym zero, mają tę właściwość, że transportowana przez nie
fala jest modyfikowana, co ma wpływ na wzmocnienie lub osłabienie transmisji przez taki
układ. Wprowadzając defekt w postaci warstwy o innej grubości zaburzającej
periodyczność układu udowodniono, że można zmieniać sposób rozchodzenia się w nim
promieniowania [90]. Metamateriał utworzony był przez trójwymiarową sieć komórek
elementarnych zbudowanych z drutów i rozproszonych rezonatorów kołowych
analogicznych do tych opisanych w pracach [32],[36], [37] (Rys. 32).

Rys. 32

Schemat wielowarstwowej struktury złożonej z naprzemiennie ułożonych warstw

metamateriału i powietrza o grubości a, zawierający warstwę o grubości b
wprowadzającą defekt do układu; elementarna komórka metamateriału [90].

Główny wkład do efektywnej przenikalności elektrycznej mają druty, zaś do efektywnej
przenikalności magnetycznej rozproszone rezonatory kołowe [5], [92]. Efektywna
przenikalność elektryczna

( )

(

)

−

(3.3)

gdzie













⋅

≈

to efektywna częstość plazmowa,

(3.4)













⋅

to tłumienie przenikalności elektrycznej,

(3.5)

to przewodność drutu, zaś S to efektywny przekrój drutu określony jako

(

)







−

⋅

≈

≥

⋅

dla

(3.6)

gdzie

πσω

to penetracja promieniowania EM w strukturę materiału.

(3.7)

Aby obliczyć efektywną przenikalność magnetyczną sieci złożonej z rozproszonych
rezonatorów kołowych (SRR) ich magnetyzację należy określić jako

(3.8)

gdzie

to liczba SRR przypadająca na jedną komórkę elementarną,

(3.9)

to promień pojedynczego rezonatora kołowego, zaś

to prąd płynący przez rezonator

kołowy.

Rezonator kołowy można traktować jak efektywny obwód oscylujący o indukcji L

i rezystancji drutu R oraz pojemności C przestrzeni wewnątrz SRR. W takim obwodzie siła
elektromotoryczna (

) pochodzi od zmiennego w czasie pola magnetycznego

rozchodzącej się fali elektromagnetycznej. Przy takich założeniach zmiany prądu

w pojedynczym SRR opisać można następująco

∂

(3.10)

gdzie H’ to lokalna (mikroskopowa) wartość pola magnetycznego, różna od wartości
ś

redniej (makroskopowej) pola magnetycznego H, zaś

∂

⋅

(3.13)

Jeżeli liczba SRR przypadających na objętość

d (czyli pojedynczą komórkę elementarną)

jest wystarczająco duża, tablicę SRR traktujemy jako układ dipoli magnetycznych
i zależność między polami magnetycznymi mikroskopowym i makroskopowym opisujemy
jako

−

(3.11)

W efekcie z równań (3.8)

−

(3.11) otrzymujemy wyrażenie na efektywną przenikalność

magnetyczną zależną od częstości promieniowania elektromagnetycznego

( )

(

)

ωγ

(3.12)

gdzie













to współczynnik wypełnienia komórki elementarnej,

(3.13)

to częstość rezonansowa obwodu LC,

(3.14)

to tłumienie przenikalności magnetycznej.

(3.15)

Indukcja L, rezystancja R i pojemność C wynoszą odpowiednio













−













(3.16)

(3.17)

(3.18)

gdzie r to średnica drutu tworzącego rezonator kołowy,

d to szerokość przerwy

w pierścieniu SRR,

to efektywny przekrój drutu tworzącego SRR, definiowany

analogicznie jak (3.6)

(

)









−

≈

≥

dla

(3.19)

Pojemność C jest niezmienna, ponieważ

Dla materiału o parametrach d = 1 cm,

r = 0,05 cm,

= 0,2 cm, r = 0,02 cm,

d = 10

cm,

[ ]

⋅

otrzymano zależność rzeczywistych części przenikalności

( )

oraz

( )

od częstotliwości, których wykresy przedstawia Rys. 33. Częstość

rezonansowa w tym wypadku wynosiła 5,82 GHz, zaś pasmo dla którego występują
jednocześnie ujemne przenikalności elektryczna i magnetyczna zawiera się pomiędzy
5,82 GHz a 5,96 GHz.

Rys. 33

Zależność rzeczywistej składowej przenikalności elektrycznej i magnetycznej

od częstotliwości [90].

Układ tworzyło siedem warstw metamateriału umieszczonych w powietrzu. Liczba

warstw tworzących układ (Rys. 32) została tak wybrana, aby zminimalizować straty.
Periodyczność struktury zaburzał wprowadzony defekt strukturalny w postaci warstwy
ujemnego materiału o innej grubości. Ważną cechą badanej struktury periodycznej, mającą
decydujący wpływ na jej właściwości elektromagnetyczne, był jej uśredniony
współczynnik załamania równy zero <n> = 0. Efekt taki uzyskano dzięki zastosowaniu
metamateriału o n =

−

1, a także optymalnemu wyborowi liczby warstw, ich grubości

i szerokości przerw pomiędzy warstwami. Udowodniono, że przy takiej konfiguracji
w strukturze pojawiają się dodatkowe przerwy wzbronione, które nie występują
w strukturach warstwowych utworzonych wyłącznie z dodatnich materiałów. Zauważono,
ż

e maksimum transmisyjne znajduje się wewnątrz pasma <n> = 0, jeżeli grubość warstw

jest całkowitą wielokrotnością połowy długości fali padającego promieniowania.
Szerokość pasm transmisyjnych zmniejszała się wraz ze wzrostem liczby lub grubości
warstw. Współczynnik transmisji wewnątrz odkrytych przerw wzbronionych mógł zanikać
nawet dla bardzo cienkich warstw materiału, w czym upatrywano możliwości wytworzenia
efektywnych zwierciadeł pracujących w zakresie mikrofalowym.

III.3 Istnienie fal wstecznych

A.Grbic i G.V.Eleftheriades pod koniec roku 2002 zaprezentowali wyniki
przeprowadzonego eksperymentu mającego na celu potwierdzić zjawisko wstecznego
rozchodzenia się fali EM w ośrodkach ujemnych i możliwość zastosowania takich
metamateriałów do budowy anten mikrofalowych [102].

Naładowane cząstki poruszające się w ośrodku z prędkością większą niż prędkość

fazowa światła emitują spójne promieniowanie zwane promieniowaniem Czerenkowa.
Kąt wypromieniowywanego stożkowego frontu falowego zależy od wzajemnego stosunku
prędkości cząstki V i prędkości fazowej fali EM w otaczającym ośrodku (v

(f)

) zgodnie

ze wzorem

)

(

cos

gdzie n

– współczynnik załamania otaczającego ośrodka, c – prędkość światła,

– kąt

pomiędzy wektorem prędkości cząstki a wektorem falowym odbitej fali EM.

Z właściwości funkcji cosinus wynika, że kąt

w ośrodku ujemnym będzie

rozwarty (

> 90

), co oznacza wsteczną propagację frontu falowego emitowanej fali EM.

Jeżeli rozważamy periodyczną strukturę przewodzącą prędkość cząsteczki V zostanie
zastąpiona przez prędkość fazową fali EM w tej strukturze. Wówczas kąt
wypromieniowywania energii wyznaczyć można jako

cos

gdzie n

– współczynnik załamania próbki.

Gdy n

<0, emitowane promieniowanie jest skierowane wstecznie do otaczającego strukturę

ośrodka dodatniego, co oznacza istnienie wstecznej fali, której istnienie przewidział
w 1968 roku Veselago [2].

Zaproponowany model ośrodka ujemnego (opisany za pomocą teorii linii

transmisyjnych) został zastosowany w roli anteny odbiorczej i umieszczony został w polu
anteny nadawczej. Obracając próbkę z krokiem 1

, zbadano rozkład transmitowanej przez

strukturę mocy w zależności od kąta padania z anteny nadawczej. Uzyskany rozkład
promieniowania elektromagnetycznego wokół próbki wyraźnie potwierdził istnienie
ujemnego promieniowania Czerenkowa. Potwierdzono tym samym kolejną możliwość
wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali EM. Obecność fal wstecznych
w ujemnych metamateriałach czyni je dobrymi kandydatami do budowy płaskich,
kompaktowych urządzeń mikrofalowych takich jak mieszacze fal lub soczewki
mikrofalowe. Miniaturyzacja tych urządzeń możliwa dzięki zastosowaniu sztucznych
materiałów umożliwiłaby ich zastosowanie w komunikacji bezprzewodowej, radarach,
monitoringu i bezprzewodowej transmisji mocy.

III.4 Ujemne załamanie

wiatła

Doświadczalnego potwierdzenia właściwości metamateriałów w zakresie optycznym
dostarczyła grupa badawcza z Purdue University [85] Uzyskane przez nich wyniki
dla metamateriału zbudowanego z par złotych nanodrutów, poparte trójwymiarowymi
symulacjami numerycznymi FDTD

. Dzięki użyciu różnych próbek pokazano, że rodzaj

podłoża i współczynnik wypełnienia metalem maja kluczowy wpływ na właściwości
kompozytu: wartość współczynnika załamania i jego znak. Zaprezentowana w [85] metoda
umożliwia bezpośredni pomiar wartości i znaku przesunięcia fazowego dla fali świetlnej
o polaryzacji liniowej „s” i „p” przy przejściu przez badaną próbkę. Czyni to ją bardziej
uniwersalną w porównaniu do metody zaprezentowanej w [86], gdzie mierzono zmiany
fazy bez wykorzystania interferometrów, co wymagało dobrej znajomości próbki przed
pomiarami.

FDTD – Finite Difference Time Domain

Dla transparentnych materiałów optycznych przesunięcie fazy fali przechodzącej

przez próbkę o grubości d wyraża się

trans

⋅

, więc ujemne przesunięcie fazy

trans

oznacza, że ośrodek posiada ujemny współczynnik załamania

W doświadczeniach interferometrycznych przesunięcie fazy w materiale może być
dokładnie zmierzone dzięki wykorzystaniu kontrolnej warstwy powietrza o tej samej

grubości jako

pow

trans

−

, gdzie przesunięcie fazy fali w powietrzu to

pow

zatem n jest ujemne w badanym materiale jeżeli

pow

−

. Płytkę zbudowaną z komórek

zawierających metal i dielektryk charakteryzuje absorpcja i odbicia na powierzchniach
granicznych, więc związek przesunięcia fazy

trans

i współczynnika załamania n jest

bardziej skomplikowany. Z tego względu pomiar przesunięcia fazy fali przechodzącej
przez układ został uzupełniony pomiarami amplitudy fali transmitowanej i odbitej.
Zespolony współczynnik załamania warstwy zawierającej pary nanodrutów został
wyznaczony na podstawie równania

(

)

(

)

cos

−

nkd

gdzie n

to współczynnik załamania podłoża

zaś r,t to amplitudowe współczynniki

reflektanci i transmitancji zmierzone doświadczalnie. W symulacji FDTD do opisania
przenikalności elektrycznej złota wykorzystano model Debye’a oparty na modelu Drudego

(

)

(

)

0027

3673

⋅

−

, gdzie

Amplitudowe współczynniki transmisji

i reflektacji

mierzone były

na spektrofotometrze przy użyciu światła spolaryzowanego liniowo. Spektrum
transmisyjne zmierzono dla normalnego padania światła, spektrum refleksyjne dla światła
padającego pod niewielkim kątem do normalnej – 8

. Ujemny współczynnik załamania

zmierzony został poprzez bezpośrednie pomiary fazy i amplitudy dla promieniowania EM
o częstości z pobliża zakresu telekomunikacyjnego (długość fali 1,5

m) przy

zastosowaniu technik interferencyjnych (Rys. 34).

W interferometrze polaryzacyjnym dwa kanały optyczne mają tę samą drogę

geometryczną i różnią się polaryzacją światła. Różnicę faz pomiędzy ortogonalnie
spolaryzowanymi falami wyznacza się jako

⊥

−

∆

. Drugi interferometr

posiada

dwa kanały optyczne o różnych ścieżkach geometrycznych o tej samej polaryzacji. Wynik
odczytywany jest jako

pow

próbki

δφ

−

i opisuje stosunek zmiany fazy wywoływanej

przez próbkę

próbki

w odniesieniu do zmiany fazy wywołanej przez kontrolną warstwę

powietrza

pow

o jednakowej grubości.

W doświadczeniu [85] wykorzystano szkło o n

= 1,48

Określany w literaturze jako „walk-off interferometer” [85]

Rys. 34

Schemat pomiaru transmisji i odbicia fali EM przy użyciu interferometru

(a) polaryzacyjnego (b) różnicowego (na podstawie [85]).

Efekt rozszczepienia („walk-off”) przez kalcyt jest używany do rozdzielenia dwóch

promieni a następnie do ich złączenia ich, żeby wywołać interferencję jak zostało
to pokazana na Rys. 34 (b). Przesunięcia fazy dla obu polaryzacji światła zmierzone
drugim interferometrem

δφ

⊥

δφ

zostały porównane z otrzymaną z pierwszego typu

interferometru

⊥

−

∆

δφ

. Błąd metody dla interferometru polaryzacyjnego określony

został na

1,7

. Zauważono, że grubość podłoża nie ma wpływu na pomiar różnicy faz

⊥

−

∆

δφ

, co jest typowe dla interferometrów ze wspólną ścieżką promienia.

Dla drugiego interferometru zmiana grubości podłoża jest źródłem dodatkowego błędu
metody i może zwiększyć go do

Metamateriał z równoległych par złotych nanodrutów wykazał ujemny

współczynnik załamania n

≅

−

0,3 dla promieniowania o długości fali 1,3

spolaryzowanego poprzecznie magnetycznie (polaryzacja „p”). W tym przypadku światło
wzbudzało jednocześnie rezonans elektryczny i magnetyczny. Dla innych konfiguracji
współczynnik załamania był bliski zeru, ale cały czas dodatni (najniższy wynosił n = 0,08
dla 1,1

m dla wielowarstwowej struktury analogicznej do tej opisanej w pracy [87]).

Dla światła o polaryzacji „s” wzbudzony został rezonans elektryczny (ujemna
przenikalność elektryczna) dla promieniowania o długości fali 800 nm, jednak nie udało
się dla tak krótkich fal otrzymać ujemnej przenikalności magnetycznej.

Ujemne załamanie światła potwierdzone zostało dopiero niedawno, w sierpniu

2006 roku [88]. Wcześniej dla podobnego zakresu częstotliwości udało się wytworzyć
i zbadać metamateriał o ujemnej przenikalności magnetycznej [89] zbudowany ze słupków
złota o wysokości 85

5 nm i średnicy 100 nm, dla których rezonans magnetyczny

wywoływany był przez falę EM o długości 670 nm. W doświadczeniu G.Dolling’a i in.
[88] do wytworzenia badanego metamateriału (zob. rozdział II.7) użyto srebrnych
nanodrutów, co pozwoliło na znaczne zmniejszenie strat i przesunięcie użytkowego
zakresu częstotliwości w zakres widzialny. W symulacjach FDTD wykorzystano model
Drudego, ponieważ dla częstotliwości z zakresu optycznego pozwala on wystarczająco
dokładnie określić właściwości dielektryczne srebra. Aby bez wątpienia określić parametry
metamateriału pomiary interferometryczne różnicy faz uzupełniono badaniem czułości
fazy.

Rys. 35 Zależność transmitancji i reflektanci badanego metamateriału uzyskana
(a) doświadczalnie i (b) symulacyjnie [88].

Współczynnik załamania dla rozważanej polaryzacji fali EM o długości 780 nm w badanej
próbce przedstawionej na Rys. 27 wyniósł n =

−

0,6.

IV Zastosowania

Ujemne załamanie fali EM, poza swoim czysto teoretycznym charakterem, wzbudza
ogromne zainteresowanie i emocje właściwie od roku 1967. Już Veselago [2] zwrócił
uwagę na pomijane dotąd rozwiązania równań Maxwella i opisał zachowanie się fali
elektromagnetycznej padającej na płytkę o ujemnym współczynniku załamania. Ponad
30 lat później dokładnego i obszernego opisu realizacji takiego materiału dokonała w swej
pracy grupa badawcza z Uniwersytetu Kalifornijskiego w San Diego [32], zaś Pendry
rozwinął koncepcję Veselago opisując sposób działania idealnej soczewki zbudowanej
z płasko-równoległej płytki materiału o ujemnym współczynniku załamania [93]. Artykuł
ten podzielił świat naukowców na dwie grupy: tych, którzy optymistycznie podchodzili
do potencjalnych możliwości, jakie daje zastosowanie metamateriałów we współczesnej
optyce oraz sceptyków tej idei [57], [94]

−

[96].

IV.1 Perfekcyjna soczewka

Jednym z najczęściej stosowanych i najdłużej znanych elementów optycznych jest
soczewka. Może być używana do skupiania bądź kierowania promieniowania, co pozwala
na wykorzystanie jej w ogromnej ilości układów i dla wielu długości fali – od fal
radiowych po optyczne. Jeżeli uświadomimy sobie jak szeroki jest zakres jej zastosowań,
zrozumiemy dlaczego wokół możliwości wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali
elektromagnetycznej w celu wytworzenia soczewki idealnej rozpętała się tak żarliwa
dyskusja pośród naukowców.

Zjawisko załamania stanowi podstawę istnienia soczewek i odwzorowywania

obrazów. Każdy materiał o współczynniku załamania innym niż współczynnik załamania
otoczenia zmienia kierunek biegu fali elektromagnetycznej przy jej przejściu przez granicę
tych dwóch ośrodków. Kiedy fala pada na powierzchnię styku dwóch materiałów
pod przypadkowym kątem, kierunek rozchodzenia się fali po wejściu do drugiego ośrodka
zmienia się o wartość zależną od współczynników załamania obu ośrodków. Ilościowej
zależności pomiędzy kątem padania

i załamania

mierzonymi od normalnej

do powierzchni padania, oraz współczynnikami załamania obu materiałów n

i n

dostarcza

prawo Snelliusa (otrzymane przy żądaniu równości fazy fali padającej i przechodzącej)

sin

Idealna soczewka płaska

Veselago przewidział [2], że materiał o jednocześnie ujemnych względnych
przenikalnościach równych







−

(3.20)

będzie wykazywał ujemny współczynnik załamania

−

, a materiał taki będzie

zachowywał się jak soczewka skupiająca. W roku 2001 istnienie zjawiska ujemnego

załamania fali potwierdzono eksperymentalnie [54] a w kolejnych latach zaprojektowane
zostały materiały, które umożliwiają otrzymanie ujemnych przenikalności elektrycznej
[5]

−

[7], [32] i magnetycznej [6], [7], [32], [97], [98], także przy wykorzystaniu struktur

fotonicznych [99]. Zaproponowaną przez Veselago teorię rozwinął Pendry [93], który
wykazał, że jeżeli warunek (3.20) zostanie spełniony bardzo dokładnie, rozważana
soczewka będzie skupiała padające promieniowanie idealnie punkt w punkt

. Sposób

na realizację takiej soczewki Pendry dostrzegł w metamateriałach wykonanych po raz
pierwszy przez grupę Smith’a [32].

Powszechnie wiadomo, iż zdolności skupiające soczewki, a więc rozdzielczość

obrazu, ograniczona jest przez długość promieniowania padającego na układ. śadna
powszechnie stosowana soczewka nie jest w stanie skupić promienia fali EM na obszarze
mniejszym niż kwadrat długości fali. Wiąże się to z faktem, iż cała informacja
o przedmiocie przenoszona przez falę EM podzielona jest na dwa obszary – bliski i daleki.
Tradycyjne soczewki są w stanie zrekonstruować tylko dalekie składowe pola EM,
zaś informacja zawarta w bliskim polu w postaci zanikających fal przypowierzchniowych
nie może zostać odtworzona i jest bezpowrotnie tracona, co ma decydujący wpływ
na jakość uzyskanego obrazu.

Rys. 36 (a)

Bieg promieni w płytce z materiału o ujemnym współczynniku załamania;

(b)

Płytka z materiału o współczynniku załamania n=-1 załamuje światło pod ujemnym

kątem względem normalnej. Światło skupiane jest dwukrotnie: wewnątrz płytki i poza nią.

Według Pendry’ego alternatywą dla tradycyjnej soczewki jest płasko–równoległa

płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania (Rys. 36). Światło przechodzące
przez płytkę o grubości d

umieszczoną w odległości d

od źródła promieniowania

jest skupiane w odległości z = d

– d

po drugiej stronie płytki. Przenikalność elektryczna

i magnetyczna materiału równe są –1 i współczynnik załamania jest ujemny zgodnie
z równaniem (1.15). Impedancja ośrodka pozostaje w tym przypadku dodatnia

W literaturze zjawisko to określane jest mianem „superskupienia” lub „supersoczewkowania”.

εε

µµ

(4.7)

i jeżeli taka soczewka umieszczona jest w próżni, nie występuje odbicie i promieniowanie
jest w całości transmitowane przez układ.

Pendry rozpatrzył punktowe źródło promieniowania elektromagnetycznego

o częstości

, którego pole

)

exp(

)

(

)

(

−

∑

(4.1)

propaguje się wzdłuż osi z soczewki. Zgodnie z równaniami Maxwella mamy

−

(4.2)

Zadaniem soczewki jest korekta fazy każdej ze składowych Fouriera pola
elektromagnetycznego tak, aby w pewnej odległości od soczewki nastąpiło skupienie
i powstał obraz źródła promieniowania.

Jeżeli

−

(4.3)

fale przypowierzchniowe zanikają ekspotencjalnie wzdłuż osi z i ich amplituda
nie jest odtwarzana. Powstały obraz źródła promieniowania tworzony jest tylko z fal
rozchodzących się wzdłuż osi z. Ponieważ fale te ograniczone są do

(4.4)

więc największa możliwa do uzyskania rozdzielczość to

≈

∆

max

(4.5)

W przypadku tych fal ich zanikanie ma związek z amplitudą, nie zaś z fazą, zatem aby
temu zapobiec konieczne jest ich wzmocnienie, nie zaś korekta fazy. Pendry udowadnia
[93], że fale przypowierzchniowe doznają potrzebnego wzmocnienia w procesie transmisji
przez płytkę o ujemnym współczynniku załamania, zatem metamateriały mają zdolność
zapobiegania zanikaniu fal przypowierzchniowych.

Idealna soczewka sferyczna

Płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania skupia promieniowanie
elektromagnetyczne, jeżeli zaś współczynnik ten równy jest –1 zachowuje się jak idealna
soczewka skupiająca produkując idealny obraz odwzorowywanego przedmiotu. Jednak
powstały w ten sposób obraz jest w skali 1:1 i powiększenie go nie jest możliwe.
Uzyskanie idealnego i powiększonego obrazu przedmiotu wymaga zastosowania soczewki
skupiającej o zakrzywionej powierzchni, co pociąga za sobą konieczność zmiany definicji
przenikalności elektrycznej

i magnetycznej

materiału tak, aby były one funkcjami

położenia.

W roku 2003 Pendry przedstawił sposób na uzyskanie powiększenia

w perfekcyjnych soczewkach [100]. Aby uzyskać idealną soczewkę powiększającą,
powierzchnia materiału musiała być zagięta, przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich
jego właściwości fizycznych. Pendry zaproponował dwie możliwości budowy takiej
soczewki (Rys. 37).

Rys. 37

Soczewka o cylindrach współosiowych (a) i stycznych wewnętrznie (b);

(na podstawie [100])

Deformacja kształtu powierzchni pociągała za sobą zmianę charakteru parametrów

takiego materiału. Zastosowana przez Pendry’ego transformacja między tymi geometrią
planarną i cylindryczną szczegółowo opisana została w [100]. Efektem takiej transformacji
była cylindryczna soczewka, która odtwarzała i powiększała bez zniekształceń zawartość
mniejszego cylindra (o promieniu a) na zewnątrz większego cylindra (o promieniu b)
lub wytwarzała pomniejszony idealny obraz obiektu umieszczonego na zwenątrz
większego cylindra wewnątrz cylindra mniejszego. Współczynnik powiększenia soczewki

. Ponadto jest to soczewka jest krótkoogniskowa i tylko obiekty oddalone od jej

osi o mniej niż

mogą być odwzorowane wewnątrz przestrzeni pomiędzy

cylindrami, zaś obiekty umieszczone w tej przestrzeni jak również te umieszczone bliżej

rodka niż

nie wytworzą obrazu na zewnątrz dużego cylindra. Przenikalności

elektryczna

i magnetyczna

opisanej soczewki muszą być proporcjonalne

do odwrotności kwadratu promienia

[100].

IV.2 Urz

dzenia mikrofalowe

Metamateriały o ujemnym współczynniku załamania znalazły zastosowanie także
w budowie różnego typu urządzeń mikrofalowych. W tym zakresie jednym z najbardziej
aktywnych metamateriałoznawców jest George V. Eleftheriades. Opisany przez niego
model linii transmisyjnych dla metamateriału o ujemnym współczynniku załamania [53],
[65] okazał się być bardzo użyteczny, ze względu na swoją prostotę i łatwość, z jaką
można przy jego użyciu budować dwuwymiarowe obwody mikrofalowe.

Kompaktowy, jednowymiarowy modulator fazy zbudowany z naprzemiennie

ułożonych warstw materiału ujemnego i dodatniego [101] posiada kilka niewątpliwych
zalet w porównaniu do swojego konwencjonalnego odpowiednika. Zastosowanie warstw
o ujemnym

współczynniku

załamania

pozwoliło

zminiaturyzować

modulator

a jednocześnie uniezależnić jego działanie od wymiarów. Ponadto udowodniono,
ż

e odpowiedni

dobór

wartości

poszczególnych

elementów

pojemnościowych

i indukcyjnych w modelu linii transmisyjnych użytego metamateriału pozwala
na osiągnięcie dodatniego, ujemnego lub zerowego przesunięcia fazy fali EM,
przy jednoczesnym zachowaniu niewielkich wymiarów urządzenia. Ze względu na swoje
niewielkie wymiary, planarną geometrię i liniową odpowiedź, modulatory wykorzystujące
ujemne załamanie są łatwe do zintegrowania ich z innymi urządzeniami mikrofalowymi.

Możliwość wykorzystania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania

jako anteny mikrofalowej [102], [103] opisana została pod koniec 2002 roku przez
A.Grbic’a i G.V. Eleftheriades’a. Zarówno symulacje jak i eksperyment potwierdziły
dyspersyjny

charakter

odbiorczej

anteny

mikrofalowej

(zob.

rozdział

III.3)

wykorzystującej ujemne materiały: kąt, pod jakim rozchodziła się emitowana fala
wsteczna jest silnie zależny od częstości użytego padającego promieniowania

zgodnie

z równaniem

−

≈

, gdzie

)

(

≅

IV.3 Najnowsze odkrycia

Najnowszy sposób wykorzystania metamateriałów przedstawiony został przez Pendry’ego,
Schuringa i Smitha [104] w maju 2006 roku. Zaprezentowali oni sposób na dowolne
kształtowanie linii pola EM przy użyciu wydrążonej kuli z metamateriału o ujemnym
współczynniku załamania, do której wnętrza promieniowanie EM o określonej częstości
nie wnika (Rys. 38).

Rys. 38

Bieg promieni wewnątrz układu, widok w dwóch (A) i w trzech wymiarach (B)

[104].

Odpowiednio zaprojektowany metamateriał umożliwia praktycznie dowolne

zniekształcenie

trajektorii

padającego

promieniowania:

można

spowodować,

by promieniowanie ominęło pewną część przestrzeni, a następnie wróciło na swój
pierwotny tor (Rys. 39).

Rys. 39

Linie pola EM pochodzące od punktowego źródła promieniowania zakrzywiają się

wokół obszaru wewnątrz kuli, a następnie wracają na swój pierwotny tor [104].

Dystorsję pola EM opisano stosując transformacje przestrzenną współrzędnych

do określenia wartości przenikalności elektrycznej

i magnetycznej

przy jednoczesnym

spełnieniu równań Maxwella. Aby skompresować pole, które pierwotnie wypełniało

przestrzeń

, do przestrzeni

pomiędzy współśrodkowymi kulami,

zastosowano współrzędne przestrzenne











−

)

(

(4.6)

które następnie wykorzystano do zdefiniowania przenikalności elektrycznej

’ i magnety-

cznej

’ w tym układzie

)

(

)

(

−

(4.7)

Dla kuli wewnętrznej

wartości

’ i

’ mogą być dowolne i nie mają wpływu

na rozpraszanie

promieniowania

EM,

poza

kulą

zewnętrzną

(

)

, zaś na granicy

występuje idealne

dopasowanie opisane warunkami

oraz

(4.8)

Dzięki temu osłona wykonana z takiego metamateriału będzie omijana przez

promieniowanie z zakresu częstotliwości, dla którego został on zaprojektowany.
Co więcej, każdy otoczony nią obiekt, będzie niezauważalny z zewnątrz. Powyższy opis
wyklucza jednak istnienie pola EM wewnątrz obszaru

, co oznacza, że obserwator

znajdujący się wewnątrz niego obserwator również nie będzie widział tego, co znajduje się
po drugiej stronie osłony metamateriałowej. Takie osłony mogłyby być używane
do całkowitej ochrony urządzeń wrażliwych na działanie promieniowania o konkretnej
częstości, a zastosowane dla zakresu widzialnego, stanowiłyby urządzenie kamuflujące.

V Transmitancja warstwowych układów optycznych

Metamateriały o ujemnym współczynniku załamania znajdą zapewne zastosowanie
w konstrukcji wielu urządzeń optycznych bazujących na supersieciach. Ze względu na to,
w tym rozdziale prezentujemy wzory Fresnela dla prostych układów wielowarstwowych
zawierających ośrodki ujemne i dodatnie. Supersieć jest nową klasą materiałów
niemożliwą do wytworzenia za pomocą powszechnie stosowanych metod wzrostu
kryształów. Składa się z ułożonych naprzemiennie co najmniej dwóch rodzajów warstw
materiałów dielektrycznych o grubości kilku atomów. W porównaniu do konwen-
cjonalnych kryształów, supersieci zapewniają większą elastyczność projektowania nowych
materiałów, charakteryzują się lepszą luminescencją kwantową oraz oferują możliwość
projektowania struktury pasmowej materiału. Wszystkie te cechy zawdzięczają ściśle
określonemu rozkładowi współczynnika załamania n, przenikalności elektrycznej

i magnetycznej

uzyskiwanym poprzez ustalony porządek ułożenia poszczególnych

warstw w strukturze supersieci opisany za pomocą wzorów rekurencyjnych.

Do analizy i obliczeń najprostsze są sieci dwuskładnikowe. Transmitancja

wielowarstwowych układów optycznych omówiona została obszernie w [15], [106].
Tutaj natomiast przedstawiona zostanie supersieć binarna, w której jeden z użytych
materiałów jest metamateriałem o ujemnym współczynnikiem załamania n. Rozważane są
dwa układy optyczne złożone z trzech warstw materiałów przedstawione na Rys. 40 i Rys.
41. Dla uproszczenia zakładamy, że współczynnik załamania ośrodka wejściowego
i wyjściowego są jednakowe, czyli płytka środkowa otoczona jest dwoma płytkami
wykonanymi z tego samego metamateriału o ujemnym bądź dodatnim współczynniku
załamania. Drugim poczynionym uproszczeniem jest założenie, iż używamy
bezdyspersyjnych materiałów dodatnich. Rozpatrzone zostaną dwie konfiguracje.
Pierwsza, przedstawiona jest na (Rys. 40), gdzie pomiędzy półpłaszczyznami ośrodka
ujemnego znajduje się ośrodek dodatni i druga (Rys. 41), gdzie ośrodek dodatni otacza
ośrodek ujemny.

Rys. 40

Ośrodek dodatni otoczony półpłaszczyznami z jednakowego, ujemnego

metamateriału.

Rys. 41

Płytka płasko-równoległa wykonana z metamateriału o ujemnym współczynniku

załamania otoczona półpłaszczyznami jednakowego, bezdyspersyjnego ośrodka
dodatniego.

Aby wyeliminować z rozważań przypadki całkowitego wewnętrznego odbicia,

gdy

, wybieramy tylko takie kąty padania, które wynikają z zastosowania prawa

załamania













⋅

sin

⋅

co oznacza, że kąt padania na pierwszą powierzchnię graniczną musi spełniać warunek

sin

Ponieważ na wejściu i wyjściu fali elektromagnetycznej użyty został ten sam

ośrodek i współczynnik załamania wejściowy i wyjściowy są jednakowe, więc kąt wyjścia

fali elektromagnetycznej będzie równy co do wartości kątowi wejścia

co jest zgodne z prawem Snelliusa. Dla rozpatrywanych układów prawo Snelliusa
można zapisać następująco

Dla układu I:

)

sin(

sin

−

⋅

−

dla pierwszej granicy ośrodków

)

sin(

sin

−

⋅

dla drugiej granicy ośrodków

Dla układu II:

)

sin(

sin

−

⋅

−

⋅

dla pierwszej granicy ośrodków

)

sin(

sin

−

⋅

−

dla drugiej granicy ośrodków

Po wykonaniu prostych przekształceń matematycznych wyraźnie widać, iż w każdym
z przypadków kąty są sobie równe co do wartości, czyli

V.1 Ujemne załamanie fali EM

Zachowanie się fali elektromagnetycznej przy przejściu przez granicę ośrodków o różnych
co do wartości i przeciwnych co do znaku współczynnikach załamania ilustruje rysunek

Rys. 42

Fala elektromagnetyczna na granicy ośrodków o przeciwnych znakach

współczynnika załamania.

Zakładamy też, że spełnione są warunki ciągłości linii pola elektromagnetycznego

na granicy dwóch ośrodków (1.3) oraz że częstość drgań fali elektromagnetycznej
jest stała. Wektory falowe leżą wtedy w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną padania
i mają postać

]

sin

cos

[

]

[

(5.1)

gdzie: j = 1,2.

Wykorzystywana tu jest wielkość zwana liczbą falową i definiowana jako

dla propagacji fali elektromagnetycznej w próżni. Wyraża ona całkowitą liczbę długości
fali zawartą w odległości 1 m Zgodnie z prawem odbicia, kąt padania fali EM na granicę

dwóch ośrodków jest równy kątowi odbicia

oraz spełnione jest prawo Snelliusa.

V.2 Polaryzacja typu „s” i „p”

W zależności od typu polaryzacji fali elektromagnetycznej rozkład wektorów pól
oraz wektorów falowych fali EM przy przejściu przez granicę ośrodków o przeciwnych
co do znaku współczynnikach załamania przedstawiony jest na Rys. 43 oraz Rys. 44 [15].

Rys. 43

Polaryzacja typu „s” – wektor pola E = [0 , E

, 0].

Rys. 44

Polaryzacja typu „p” – wektor pola H = [0 , H

, 0].

gdzie:

)

(

to amplituda fali padającej,

)

(

−

to amplituda fali odbitej,

)

(

−

to amplituda

fali załamanej,

)

(

to amplituda fali odbitej od drugiej powierzchni granicznej.

V.3 Dyspersja współczynnika załamania

Ujemny współczynnik załamania metamateriałów ma charakter silnie dyspersyjny,
co oznacza, że jego wartość jest bardzo czuła na zmiany częstości promieniowania
elektromagnetycznego padającego na układ. Zjawisko to opisane jest przez następujące
związki dyspersyjne[22]

( )

⋅

−

( )

⋅

−

(5.2)

gdzie:

– tłumienie dla przenikalności elektrycznej i magnetycznej,

−

Dla ułatwienia analizy zakładamy, że rozpatrujemy tylko częstości bliskie częstości

rezonansowej

co oznacza brak tłumienia, czyli

V.4 Amplitudowe współczynniki transmisji

Na podstawie warunków granicznych (1.3) dla fali elektromagnetycznej, stwierdzić
można, iż ciągłość składowych stycznych pola elektrycznego i magnetycznego zachowana
jest jedynie w punkcie x = 0. Pozwala to zapisać relacje między natężeniami fali padającej
i odbitej oraz padającej i załamanej używając wzorów Fresnela. W ten sposób można
określić amplitudowy współczynnik odbicia r

j,j+1

oraz amplitudowy współczynnik

załamania t

j,j+1

dla obu typów polaryzacji, gdzie indeksy j,j+1 oznaczają numery

sąsiadujących warstw układu optycznego. W rozważanym tutaj przypadku układ składa się
z trzech warstw, co pozwala zapisać wyrażenia na współczynniki transmisji t i odbicia r
dla obu typów polaryzacji w postaci analitycznej.

Jeżeli rozważamy przejście fali EM z ośrodka ujemnego n

<0 do dodatniego n

(pierwsza powierzchnia graniczna na Rys. 40 oraz druga powierzchnia graniczna na Rys.
41), amplitudowe współczynnik odbicia r

i amplitudowy współczynnik transmisji t

dla polaryzacji „s” (poprzeczna polaryzacja elektryczna, Rys. 43) mają postać

Amplitudowy współczynnik odbicia:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

cos

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−













−

(5. 3)

Amplitudowy współczynnik transmisji:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

cos

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅













−

(5. 4)

Korzystamy w tym miejscu (jak również w dalszych wyprowadzeniach)

z zależności dyspersyjnych dla przenikalności elektrycznej i magnetycznej określonych
są wzorami (5.2) oraz wzoru (1.16) na ujemny współczynnik załamania.

Transmisję fali elektromagnetycznej spolaryzowanej poprzecznie magnetycznie

(polaryzacja „p”, Rys. 44) opisują natomiast

Amplitudowy współczynnik odbicia:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

cos

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

























−

(5.5)

Amplitudowy współczynnik transmisji:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

cos

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

























−

(5.6)

Dla przejścia fali EM z ośrodka dodatniego n

>0 do ujemnego n

<0 (druga

powierzchnia graniczna na Rys. 40 oraz pierwsza powierzchnia graniczna na Rys. 41),
poprzez analogię amplitudowe współczynnik odbicia r

i amplitudowy współczynnik

transmisji t

dla polaryzacji „s” określić można jako

Amplitudowy współczynnik odbicia:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−













−

)

(

)

(

cos

(5.7)

Amplitudowy współczynnik transmisji:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

−

⋅

−

⋅

−

⋅













−

)

(

)

(

cos

(5.8)

Dla fali EM o polaryzacji „p” współczynniki wynoszą

Amplitudowy współczynnik odbicia:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

























−

)

(

)

(

)

(

)

(

cos

(5.9)

Amplitudowy współczynnik transmisji:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

−

⋅

−

⋅

−

⋅

























−

)

(

)

(

)

(

)

(

cos

(5.10)

Równania (5. 3)–(5.10) można wykorzystać do opisu propagacji fale elektromagnetycznej
w układzie stosując formalizm macierzowy (Dodatek D).

V Podsumowanie

Zjawisko ujemnego załamania fali elektromagnetycznej jest zagadnieniem nowym i nie do
końca jeszcze poznanym. Sprzeczne z intuicją właściwości, jakie wykazują ośrodki
charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania, wciąż wzbudzają wiele
ożywionych dyskusji w środowisku naukowym.

W ostatnich latach przedstawiono kilka sprzecznych ze sobą opinii [109]. Wydaje

się jednak, że okres najżarliwszych dyskusji metamateriały mają już za sobą. Ich
wyjątkowość potwierdzona została kilkoma wiarygodnymi eksperymentami, których
wyniki trudno zakwestionować. Do najbardziej przełomowych należą doświadczenia
wykonane w sierpniu 2006 roku, których wyniki zostaną wkrótce opublikowane [88],
[107]. Po raz pierwszy efekty eksperymentu przy użyciu układów zawierających
metamateriały można było obserwować w laboratorium gołym okiem.

Nowy rozdział w historii metamateriałów stanowi możliwość ich praktycznego

wykorzystania. Teraz pytanie nie brzmi już „Jak wytworzyć ośrodek o ujemnym
współczynniku załamania?”, ale raczej „Jak go wykorzystać?”. Opisywane w literaturze
zastosowania obejmują zarówno obszary dość dobrze już poznane jak technika
mikrofalowa, poprzez urządzenia wykorzystywane w życiu codziennym na przykład
w medycynie (MRI

– obrazowanie przy użyciu magnetycznego rezonansu jądrowego)

aż po pomysły z pogranicza science fiction jak powodowanie niewidzialności obiektów
[104] lub ich lewitowania [108]. O ile praktyczne zastosowanie tych ostatnich wciąż
jeszcze mieści się poza granicami wyobraźni przeciętnego człowieka, to ulepszenie
metody MRI przyniosłoby bardzo wymierne efekty. Przekroczenie granicy dyfrakcji
(zob. Rozdział IV.1) oznacza możliwość obrazowania wnętrza ciała ludzkiego
z dokładnością większą niż długość fali używanego promieniowania, co pozwoliłby
na wykrywanie już pojedynczych komórek nowotworowych.

Praca stanowi syntezę dokonań w omawianej dziedzinie. Dość szczegółowo

przedstawiono podstawowe idee leżące u podstaw koncepcji Veselago (Rozdział I).
Scharakteryzowano stosowaną w literaturze źródłowej terminologię oraz dokonano
klasyfikacji ośrodków na dodatnie i ujemne.

Zaprezentowano zwięzły rys historyczny dotyczący technologii wytwarzania

metamateriałów, a następnie omówiono rozwiązania technologiczne z przełomu XX i XXI
wieku (Rozdział II). Dużo uwagi poświęcono modelowaniu badanych struktur za pomocą
linii transmisyjnych. Dokładnie omówiono teorię linii transmisyjnych (Dodatek C)
i zasadność stosowania jej w tym przypadku. Praca uwzględnia najnowsze osiągnięcia
technologiczne umożliwiające wytwarzanie metamateriałów dla widzialnego zakresu
widma elektromagnetycznego.

Stosunkowo dużo uwagi poświęcono zebraniu wyników eksperymentów, które

jednoznacznie potwierdziły hipotezę Veselago o istnieniu ośrodków o ujemnym
współczynniku załamania i udowodniły posiadanie przez nie przewidywanych
wyjątkowych właściwości fizycznych (Rozdział III). Zaprezentowano najnowsze
i oczekujące na publikację eksperymenty dla zakresu widzialnego.

MRI

−

Magnetic Resonance Imaging

Opisany został szereg wybranych zastosowań metamateriałów i układów je

zawierających w dzisiejszej technice (Rozdział IV). Dużo uwagi poświęcono dokładnemu
wyjaśnieniu teorii Pendry’ego dotyczącej idealnej soczewki płaskiej i sferycznej.
Szczególny nacisk położony został na zastosowania metamateriałów w widzialnym
zakresie widma elektromagnetycznego – zarówno te już wynalezione jak i zupełnie nowe,
wzbudzające wielkie nadzieje naukowców.

Scharakteryzowana została polaryzacja fali elektromagnetycznej na granicy

ośrodków o przeciwnych współczynnikach załamania, co poparte zostało starannymi
rysunkami (Rozdział V). Wyprowadzono wzory Fresnela dla ośrodków dodatnich
i ujemnych, a także omówiono proste wielowarstwowe układy optyczne zawierające
metamateriały. Zdefiniowano pojęcie supersieci optycznych i zwięźle przedstawiono
ich główne zalety. Omówiono także sposób opisu propagacji fali elektromagnetycznej
przez układy warstwowe przy zastosowaniu formalizmu macierzowego (Dodatek D).
Wyprowadzone w rozdziale V wzory Fresnela mogą być przydatne przy numerycznym
modelowaniu propagacji fali elektormagnetycznej przez supersieci optyczne zawierające
ośrodki ujemne.

W pracy zebrano obszerny spis literatury dotyczącej ujemnego załamania fal

elektromagnetycznych. Zawiera on najważniejsze, wydane ostatnio, pozycje książkowe,
liczne publikacje naukowe powstałe zarówno w początkowym okresie rozwoju tej
dziedziny jak i oczekujące na wydanie, najnowsze odkrycia oraz adresy najbardziej
wartościowych pod względem merytorycznym stron internetowych dotyczących
metamateriałów. Z tych powodów praca może być wykorzystana jako obszerny materiał
ź

ródłowy do celów naukowych i dydaktycznych.

Według najlepszej wiedzy Autorki, praca stanowi obecnie jedyne tak obszerne

opracowanie w języku polskim zagadnień z zakresu podstaw fizycznych i technologii
otrzymywania metamateriałów wykazujących zjawisko ujemnego załamania fal
elektromagnetycznych.

Dodatek A – Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym wektorów

]

[

]

[

jest wektor c

określony jako

]

[

]

[

−

Wektor wynikowy c

ma następujące właściwości:

•

jego wartość jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych razy sinus

kąta zawartego między nimi

)

sin( b

⋅

•

jest on prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe a

•

jego zwrot ustalany jest przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej

Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora przez
długość rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Wektor
zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy lub gdy wyjściowe
wektory są równoległe.

Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy

Przypuśćmy, że mamy wzdłużne wzbudzenie plazmowe w strukturze przedstawionej
na Rys. 8. Wektor falowy jest skierowany wzdłuż osi z a długość fali padającego
promieniowania jest znacznie większa niż stała siatki a.

Wektor indukcji elektrycznej

(

)

[

]

−

⋅

]

[

(B.1)

Zgodnie z prawem Ampere’a-Maxwella przepływający prąd oraz zmienne pole
elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne

∂

∇

(B.2)

Jeżeli zarówno D jak i j mają ten sam rozkład w płaszczyźnie x-y to prawa strona równania
równa jest zero czyli nie ma tam pola magnetycznego. Można się o tym przekonać
obliczając towarzyszący temu gęstość ładunku i gęstość prądu wprowadzone przez
wzdłużne pole.

(

)

[

]

−

⋅

∇

(B.3)

[

]

(

)

[

]

−

⋅

(B.4)

Jeżeli wstawimy równania (B.3) i (B.4) do wzoru (B.2), jego prawa strona będzie

równa zero. Tak dzieje się wewnątrz kondensatora rozładowującego się poprzez

jednorodny dielektryczny rdzeń – pole magnetyczne nie jest generowane. W naszym
przypadku D i j mają inne rozkłady w płaszczyźnie x-y. Prąd jest ograniczony do bardzo
cienkich metalowych drutów, podczas gdy przy zastosowaniu dużej długości fali
padającego promieniowania D jest stałe w płaszczyźnie x-y.

Dlatego też w naszym przypadku pole magnetyczne nie jest zerowe. Jego wartość

w pobliżu drutu obliczyć można stosując następujące przybliżenie: płaszczyznę x-y
dzielimy na kwadratowe komórki tak, aby w każdej komórce w punkcie przecięcia jej
przekątnych znalazł się cienki metalowy drut. Aby obliczyć pole magnetyczne w otoczeniu
drutu przybliżamy każdy kwadrat prostopadłu do drutu kołem o takim samym polu

powierzchni, czyli o promieniu równym

. W każdym punkcie płaszczyzny x-y

badane pole magnetyczne pochodzi tylko od jednego z drutów – tego, który znajduje się
najbliżej. Pole magnetyczne wewnątrz każdego z kół obliczyć można

dla











⋅

−

(B.5)

zaś odpowiadający temu potencjał wektorowy (skierowany wzdłuż osi z)

























−













dla

)

(

(B.6)

Gdzie wykorzystano możliwość wyboru stałej integracji tak że A jest zerem poza

kołem. Powód takiego wyboru był taki, że wektor A jednego koła nie zachodzi w ten
sposób na inne, więc wykluczona jest induktancja wzajemna pomiędzy drutami,
przynajmniej w tym przybliżeniu.

Możemy więc obliczyć wartość A















−





























−













)

(

(B.7)

Przyjęliśmy













≈

)

(

, ponieważ

−



























−

. Resztkowe

pole magnetyczne wynikające z zastosowania przybliżenia komórek sześciennych kołami,
jest znikome ponieważ kwadrat ma poczwórną symetrię, więc korekta pola magnetycznego
byłaby na poziomie R

-4

Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych

W obwodzie elektrycznym długość przewodów łączących ze sobą poszczególne elementy
obwodu nie ma znaczenia tylko w uproszczonych przypadkach, gdy do czynienia mamy
ze stałym napięciem na całej długości przewodu. Jeżeli jednak napięcie w obwodzie
zmienia się z okresem porównywalnym z czasem, jaki potrzebuje sygnał by pokonać
długość przewodu – wpływu jego długości nie da się pominąć i wtedy przewód taki
traktować należy jako linię transmisyjną. Przewód należy traktować jako linię transmisyjną
Mówiąc ogólnie – przewód należy traktować jak linię transmisyjną, jeżeli obwód zawiera
elementy częstotliwościowe operujące na długości fali porównywalnej z długością drutu.

Linia transmisyjna jest to ośrodek lub struktura służąca do transmisji energii

w różnej postaci (np. fali elektromagnetycznej, fali akustycznej, mocy elektrycznej)
z jednego miejsca do drugiego. Może stanowić całość lub część obwodu. Linie
transmisyjne budowane są z drutów, kabli współosiowych, płytek dielektryka, włókien
optycznych lub prowadnic falowych. Opisuje je para równań różnicowych zwanych
równaniami telegrafistów opisanych przez Oliviera Heaviside’a – twórcę modelu linii
transmisyjnej. Zasadniczą ideę linii transmisyjnych można ująć w ten sposób,
ż

e przewodnik złożony jest z nieskończonej liczby małych segmentów, analogicznych jak

ten na rysunku Rys. 45. Równania telegrafistów można traktować jako uproszczony
przypadek równań Maxwella.

Rys. 45

Schemat elementarnej komórki linii transmisyjnej.

Rozproszona rezystancja R przewodnika reprezentowana jest przez równoległy
rezystor R’, którego wartość wyraża się w ohmach na jednostkę długości;

Rozproszona induktancja L (wynikająca z obecności pola magnetycznego wokół
przewodnika z prądem oraz z samoindukcji) reprezentowana jest przez szeregową
cewkę L’ (henry na jednostkę długości);

Pojemność C pomiędzy dwoma przewodnikami reprezentowana jest przez
równoległy kondensator C’ (farad na jednostkę długości);

Konduktancja G dielektryka pomiędzy przewodnikami reprezentowana jest przez
równoległą konduktancję G’ pomiędzy drutem przesyłowym i odbiorczym
(siemens na jednostkę długości).

W przypadku, gdy R i G są bardzo małe ich efekt oddziaływania na układ może być

zaniedbany i wtedy linię transmisyjną uznajemy za idealną i bezstratną. W tym przypadku
model opiera się tylko na elementach L i C i otrzymujemy parę równań różnicowych –
pierwsze opisujące napięcie V, a drugie prąd I wzdłuż linii w zależości od położenia x
i czasu t

( )

∂

−

∂

( )

∂

−

∂

Powyższe równania mogą być przekształcone do postaci dwóch równoważnych równań
falowych

∂

W przypadku statycznym równania redukują się do

( )

⋅

∂

( )

⋅

∂

gdzie ω jest zadaną częstością

Jeżeli linia jest nieskończenie długa lub gdy jest zakończona swoją impedancją
charakterystyczną, równania te opisują falę elektromagnetyczną poruszającą się

z prędkością

. Jeżeli rozważymy współosiową linię transmisyjną wykonaną

z idealnego przewodnika i próżni jako dielektryka, wspomniana prędkość jest prędkością
ś

wiatła.

Kiedy R i G nie można zaniedbać równania telegrafistów opisujące pojedynczą

komórkę mają postać

( )

−

∂

−

∂

( )

−

∂

−

∂

Różniczkując pierwsze równanie po drodze, a drugie po czasie i dokonując kilku
przekształceń algebraicznych otrzymujemy równania różniczkowe z jedną niewiadomą

(

)

GRV

∂

(

)

GRI

∂

Równania można traktować jak jednorodne równania falowe z tym zastrzeżeniem,
ż

e tłumienie w nich objawia się obecnością dodatkowych czynników przy V i I.

Powyższe

równania

falowe

sugerują

dwa

możliwe

rozwiązania

dla przemieszczającej się wzdłuż linii transmisyjnej fali

( )

(

)

(

)

−

gdzie

to liczba falowa (wyrażona w radianach na metr)

jest częstością kołową (wyrażoną w radianach na sekundę)

to dowolna funkcja

prędkość propagacji

Parametr f

reprezentuje falę poruszającą się w prawo (w kierunku dodatnich x), zaś f

reprezentuje falę poruszającą się w lewo (w kierunku ujemnych x). Napięcie sumaryczne
w dowolnym punkcie linii jest sumą napięć pochodzących od tych dwóch fal.

Ponieważ prąd I jest związany z napięciem V poprzez równania telegraficzne, można
zapisać

( )

(

)

(

)

−

gdzie Z

jest impedancją charakterystyczną danej linii transmisyjnej, która dla linii

bezstratnej dana jest jako

Linia transmisyjna zwarta impedancją charakterystyczną nie będzie posiadała fal stojących
ani odbiciowych, zaś stosunek napięcia do prądu przy zadanej częstotliwości będzie
wartością stałą na całej długości linii. Impedancja charakterystyczna dla liniowego,
jednorodnego, izotropowego ośrodka dielektrycznego dana jest relacją

gdzie Z

– to impedancja charakterystyczna

– przenikalność elektryczna ośrodka (wyrażona w faradach na metr)

– przenikalność magnetyczne ośrodka (wyrażona w henrach na metr)

µε

to prędkość fali w ośrodku

Jeżeli rozważanym ośrodkiem jest próżnia c jest prędkością światła w próżni rozumianą

jako

i wtedy impedancja charakterystyczna to

, gdzie µ

–

stała magnetyczna (przenikalność magnetyczna próżni), ε

– stała elektryczna

(przenikalność elektryczna próżni).

Używając zapisu zgodnego z modelem linii transmisyjnych, ogólne wyrażenie

na impedancję charakterystyczną ma postać

i dla linii bezstratnych

to wspomniane już

(bo R i G są pomijalnie małe)

Dla rzeczywistych linii transmisyjnych mamy dwa przypadki:

Dla niskich częstotliwości czyli dla

oraz

mamy

Dla wysokich częstotliwości czyli dla

oraz

mamy

Są dwa rodzaje możliwych charakterystyk dla linii transmisyjnych. Zazwyczaj G

jest bardzo znikome, więc impedancja charakterystyczna przy niskiej częstotliwości ma
dużą wartość, zaś dla wysokiej częstotliwości jest niewielka. Punktami przełomowymi dla

zależności impedancja – częstość jest

oraz

. Jeżeli

to oczywistym jest, że

. Pomiędzy tymi dwoma częstotliwościami impedancja

charakterystyczna w kablu zmienia się jednostajnie.

Dodatek D – Formalizm macierzowy

Propagację fali elektromagnetycznej w wielowarstwowym ośrodku dielektrycznym
o J naprzemiennie ułożonych warstwach dwóch typów o różnych co do wartości i co do
znaku współczynnikach załamania opisać najłatwiej można posługując się formalizmem
macierzowym [106]

























∏

gdzie

,...,

to numery kolejnych ośrodków

Dzięki macierzy charakterystycznej można obliczyć energetyczne współczynniki

transmisji

(transmitancja

ℑ

)

odbicia

(reflektancja

)

ℜ

dla

ośrodka

wielowarstwowego.Poszczególne składowe macierzy charakterystycznej to macierz
propagacji w ośrodku j-tym P

oraz macierz transmisji D

j,j+1

z ośrodka j do j+1. Definiuje

się je następująco

Macierz propagacji P













gdzie

cos

⋅

jest grubością fazową j-tej warstwy układu. Dla warstw dodatnich zakładamy
bezdyspersyjność współczynnika załamania n

i jest on z góry ustalony, natomiast

dla warstw ujemnych określamy go w sposób opisany

Macierz transmisji z ośrodka j do j+1













Elementami macierzy transmisji są amplitudowe współczynniki odbicia i transmisji równe
odpowiednio Transmitancję

ℑ

i reflektancję

ℜ

dla wielowarstwowego ośrodka można

obliczyć ze wzorów

cos

ℑ

ℜ

Jeżeli, tak jak w rozpatrywanym tu przypadku, ośrodek wejściowy i wyjściowy są
identyczne (n

= n

), układ taki ma unimodularną macierz charakterystyczną

czyli

det

. Wtedy wzór transmitancja wyraża się jako

ℑ

Formalizm śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej

W takim przypadku transmitancję można wyrazić także używając formalizmu śladów
i antyśladów jako

ℑ

gdzie

to ślad macierzy, natomiast

−

jest antyśladem diagonalnym,

który dla niediagonalnych wyrazów macierzy charakterystycznej

ma postać

−

antysymetryczny antyślad niediagonalny

symetryczny antyślad niediagonalny

lady macierzy i symetryczne antyślady niediagonalne mają tylko część

rzeczywistą, zaś antyślady diagonslnr i antysymetryczne antyślady diagonalne tylko część
urojoną.

D

la aperiodycznego układu wielowarstwowego złożonego z dwu typów warstw A i B

macierz charakterystyczna

przyjmuje postać

out

gdzie Q jest unimodularną macierzą charakterystyczną opisującą propagację fali
elektromagnetycznej w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym umieszczonym między
dwoma jednorodnymi ośrodkami typu A. Macierz Q jest iloczynem macierzy

opisujących propagację fali EM w każdej z warstw













−





































−

Bibliografia

[1]

www.wave-scattering.com/negative.html

;

[2]

V.G.Veselago, Usp. Fiz. Nauk. 92, 517–526 (1967);

[3]

http://zhurnal.ape.relarn.ru/~vgv/

;

[4]

V.G.Veselago, “The electrodynamics of substances with simultaneously negative
values of

and

”, Sov. Phys. Usp. 10 509–514 (1968);

[5]

J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, I.Youngs, “Extremely low Frequency
Plasmons in Metallic Mesostructures”, Phys. Rev. Lett. 76 4773–4776 (1996)

[6]

J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, W.J.Stewart, “Low frequency plasmons in
thin-wire structures”, J.Phys.: Condens. Matter 10 4785–4809 (1998);

[7]

J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, W.J.Stewart, “Magnetism from conductors and
enhanced nonlinear phenomena”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 47 2075–
2084 (1999);

[8]

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, “Podstawy Fizyki T 2–4”, wydanie pierwsze, PWN
Warszawa (2003);

[9]

R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands, “Feynmana wykłady z fizyki T.2, cz.1”,
wydanie piąte PWN Warszawa (2004);

[10]

M.Born, E.Wolf, “Principles of optics”, wydanie siódme rozszerzone, Pergamon
Press, London 1999;

[11]

A.Lakhtakia, M.W. McCall, W.S.Weiglhofer, J.Gerardin, J.Wang, “On mediums
with negative phase velocity: a brief overview”, arXiv:physics/0205027 v1 (2002);

[12]

A.Lakhtakia, wybrane artykuły na temat naturalnej aktywności optycznej (Milestone
Volume 15) SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, WA, USA (1990);

[13]

I.V.Lindell, S.A.Tretyakov, K.I.Nikoskinen, S.Ilvonen, „BW media – media with
negative parameters, capable of supporting backward waves”, Microw. Opt.
Technol. Lett. 31 129-133 (2001);

[14]

R.W.Ziolkowski, E.Heyman, “Wave propagation in media having negative
permittivity and permeability”, Phys. Rev. E 64 056625 (2001);

[15]

P.Yeh, “Optical Waves in Layered Media”, Rockwell International Science Center,
Thousand Oaks, California (1988);

[16]

http://home.agh.edu.pl/~kakol/efizyka_pl.htm

;

[17]

A.Figotin, I.Vitebskiy, “Slow light in photonic crystals” arXiv:physics/0504112 v3
(2002);

[18]

http://krypton.mnsu.edu/~7364eb/Math113/groupvelocity.html

;

[19]

http://ocw.mit.edu/index.html

;

[20]

http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/Tutorial_files/Web-further-
dispersive.htm

;

[21]

J.B.Pendry, D.R.Smith, “Metamorfoza soczewki”, Świat Nauki, nr8 (180), s.46-53,
(2006);

[22]

J.Q.Shen, “Introduction to the theory of left-handed media”, arXiv:cond-
mat/0402213 v1 (2004);

[23]

H.Lamb, “On group velocity”, Proc. London Math. Soc. vol.1, 473-479, (1904);

[24]

A.Schuster, “An introduction to the theory of optics”, Edward Arnold, London, 313-
318, (1905);

[25]

H.C.Pocklington, “Growth of a wave-group when the group velocity is negative”,
Nature 71, 607-608, (1905);

[26]

L.I.Mandel’shtam, “Lectures on certain problems in the theory of oscillations”,
(1944) tłumaczenie dostępne na stronie

http://ece-www.colorado.edu/~kuester/

;

[27]

L.I.Mandel’shtam, “Group velocity in a crystal lattice”, (1945) tłumaczenie j.w.;

[28]

D.V.Sivukhin, “The energy of electromagnetic waves in dispersive media”, Opt.
Spektrosk. 3, 308

−

312, (1957);

[29]

W.E.Kock “Metallic delay lenses”, Bell Syst. Tech. J., vol.27, 58

−

82, (1948);

[30]

W.E.Kock, “Radio lenses”, Bell Lab Rec., vol.24, 177

−

216, (1946);

[31]

W.E.Kock, “Metal lens antennas”, Proceedings, IRE and Waves and Electrons,
828

−

836, (1946);

[32]

D.R.Smith, W.J.Padilla, D.C.Vier, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Composite
medium with simultaneously negative permeability and permittivity”, Phys.Rev. Lett.
84

4184

−

4187 (2000);

[33]

D.R.Smith, N.Kroll, “Negative refractive index in left-handed materials”, Phys. Rev.
Lett., vol. 84, nr 14 2933

−

2936, (2000);

[34]

D.R.Smith, D.C.Vier, N.Kroll, S.Schultz, “Direct calculation of permeability and
permittivity for a left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett., vol.77, nr 14,
2246

−

2248, (2002);

[35]

R.A.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Microwave transmission
through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett.,
vol.78, nr 4, 489

−

491, (2004);

[36]

M.Bayindir, K.Aydin, E.Ozbay, P.Markoš, C.M.Soukoulis, “Transmission properties
of composite metamaterials in free space”, Appl. Phys. Lett. 81 120–122 (2002);

[37]

K.Li, S.J.McLean, R.B.Greegor, C.G.Parazzoli, M.H.Tanielian, “Free-space focused-
beam characterization of left-handed materials”, Appl. Phys. Lett. 82 2535–2537
(2003);

[38]

http://www.plasmas.org/

;

[39]

S. B. Cohn, “Analysis of the metal-strip delay structure for microwave lenses” J.
Appl. Phys., vol. 20, 257–262, (1949);

[40]

S. B. Cohn, “Experimental verfication of the metal-strip delay-lens theory” J. Appl.
Phys., vol. 24, no. 7,839–841, (1953);

[41]

J. Brown, “Artificial dielectrics” in Progress in dielectrics, vol. 2, 195–225, (1960);

[42]

P.Ikonen, “Artificial dielectrics and magnetics in microwave engineering: A brief
historical

revision”,

http://www.tkk.fi/Yksikot/Sahkomagnetiikka/kurssit/S-

96.4620/reports/artificial_history_pekka.pdf

;

[43]

W.Rotman, “Plasma simulation by artificial dielectrics and parallel-plate media”,
IRE Trans. Antennas Propag., vol.AP-10, nr 10, 82-85, (1962);

[44]

http://www.ifm.liu.se/applphys/sensor/spr.html

;

[45]

http://www.uni-oldenburg.de/biochemie/11906.html

;

[46]

D.F.Sievenpiper, M.E.Sickmiller, E.Yablonovitch, “3D wire mesh photonic
crystals”, Phys. Rev. Lett. 76 2480–2483 (1996);

[47]

E.Yablonovitch, T.J.Gmitter, K.M.Leung, “Photonic band structure: The face-
centered-cubic case employing nonspherical atoms” Phys. Rev. Lett. 67 2295–2298
(1991);

[48]

E.Yablonovitch,

“Photonic band-gap crystals” J.Phys.: Condens. Matter 5 2443–

2460 (1993);

[49]

E.Yablonovitch, “Photonic band-gap structures” JOSA B 10 283 (1993);

[50]

J.B.Pendry, “Calculating photonic band structure”, J.Phys.: Condens. Matter 8
1085

−

1108 (1996);

[51]

http://physics.ucsd.edu/~dav/animae.html

;

[52]

http://www.ifh.ee.ethz.ch/~martin/

;

[53]

G.V.Eleftheriades, O.Siddiqui, A.K.Iyer, “Transmission line models for negative
refractive index media and associated implementations without excess resonators”,
IEEE Microwave Wireless Components Lett., vol.13, nr 2, 51

−

53, (2003);

[54]

R.A.Shelby , D.R.Smith , S.Schultz, “Experimental Verification of Negative Index of
Refraction”, Science 292 77–79 (2001);

[55]

N.Garcia, M.Nieto-Vesperinas, „Is there an experimental verification of negative
index of refraction yet?”, Opt. Lett. Vol.27, nr 11, 885

−

887 (2002);

[56]

P.M.Valanju, R.M.Walser, A.P.Valanju, “Wave Refraction in Negative-Index Media:
Always Positive and Very Inhomogeneous”, Phys.Rev.Lett. vol.88, 187401, (2001);

[57]

J.M.Williams, „Some problems with negative refraction”, Phys. Rev. Lett. vol.87,
249703, (2001);

[58]

A.A.Houck, J.B.Brock, I.L.Chuang, “Experimental observations of a left-handed
material that obeys Snell’s law”, Phys.Rev.Lett. vol.90, nr 13, 137401, (2003);

[59]

C.G.Parazzoli, R.B.Greegor, K.Li, B.E.C.Koltenbah, M.Tanielian,“Experimental
verification and simulation of negative index of refraction using Snell's law”, Phys.
Rev. Lett. vol.90, 107401, (2003);

[60]

C.G.Parazzoli, R.B.Greegor, K.Li, B.E.C.Koltenbah, M.Tanielian,“Experimental
determination and numerical simulation of the properties of negative index of
refraction materials”, Opt.Ex. vol.11, nr 7, s.688

−

695, (2003);

[61]

R.B.Greegor, C.G.Parazzoli, K.Li, M.Tanielian, “Origin of dissipative losses in
negative index of refraction materials”, Appl.Phys.Lett. vol.82, nr 14, 2356

−

(2002);

[62]

G. Kron, „Equivalent circuit of the field equations of Maxwell”, Proc. IRE, vol. 32,

nr 5, s. 289

−

299 (1944);

[63]

G.Kron, “Numerical solution of ordinary and partial differential equations by

means of equivalent circuits”, General Electric Company, Schenectady, New York
(1944);

[64]

J.R.Whinnery, S.Ramo, “A new approach to the solution of high-frequency field

problems”, Proc. IRE, vol. 32, nr 5, s.284

−

288 (1944);

[65]

G.V.Eleftheriades,

K.G.Balmain,

“Nagative-refraction

metamaterials

–

Fundamental Principles and Applications”, IEEE Press (2005);

[66]

A.K.Iyer, G.V.Eleftheriades, “Negative refractive index materials supporting 2-D

waves”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 2, 1067–70
(2002);

[67]

G.V.Eleftheriades, A.K.Iyer, P.C.Kremer, “Planar negative refractive index media

using periodically L-C loaded transmission lines”, IEEE Trans. Microwave Theory
Tech., vol.50, no.12, pp.2702-2712, (2002);

[68]

C.Caloz, H.Okabe, H.Iwai, T.Itoh, “Transmission line approach of left-handed

materials”, USNC/URSI National Radio Science Meeting Digest (2002);

[69]

C.Caloz, T.Itoh, “Novel microwave devices and structures based on the

transmission line approach of metamaterials”, IEEE MTT-S Internationam Microwave
Symposium Digest, vol. 1, pp.195 – 198 (2003);

[70]

A.A.Oliner, “A planar negative-refractive-index medium without resonant

elements”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 1, pp.191
– 194 (2003);

[71]

V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, V.M.Shalaev, “Plasmon modes in metal nanowires
and lefthanded materials”, J. Nonlinear Opt. Phys. Materials 11, 65 (2002);

[72]

V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, V.M.Shalaev, “Plasmon modes and negative
refraction in metal nanowire composites”, Opt.Ex. vol. 11, nr 7, 735, (2003);

[73]

E.M.Purcell, C.R.Pennypacker, “Scattering and absorption of light by nonspherical
dielectric grains”, Astrophys. J. 186, 705, (1973);

[74]

A.Berrier, M.Mulot, M.Swillo, M.Qiu, L.Thylen, A.Talneau, S.Anand, „Negative
refraction at infrared wavelengths in a two-dimensional photonic crystal”, Phys.
Rev. Lett. 93, 073902 (2004);

[75]

E.Schonbrun, M.Tinker, W.Park, J.B.Lee, “Negative Refraction in a Si-Polymer
Photonic Crystal Membrane”, IEEE Phot.Tech.Lett., vol. 17, nr 6, (2005);

[76]

T.J.Yen, W.J.Padilla, N.Fang, D.C.Vier, D.R.Smith, J.B.Pendry, D.N.Basov,
X.Zhang, “Terahertz Magnetic Response from Artificial Materials”, Science 303,
1494-1496, (2004);

[77]

S.Linden, C.Enkrich, M.Wegener, J.Zhou, T.Koschny, C.M.Soukoulis, “Magnetic
Response of Metamaterials at 100 Terahertz”, Science 306, 1351-1353, (2004);

[78]

S.Zhang, W.Fan, B.K.Minhas, A.Frauenglass, K.J.Malloy, S.R.J.Brueck, “Mid-
infrared resonant magnetic nanostructures exhibiting a negative permeability”,
Phys. Rev. Lett. vol.94, 037402 (2005);

[79]

N.-C.Panoiu, R.M.Osgood Jr., “Influence of the dispersive properties of metals on
the transmission characteristics of left-handed materials”, Phys. Rev. E 68, 016611
(2003);

[80]

V.M.Shalaev, W.Cai, U.Chettiar, H.-K.Yuan, A.K.Sarychev, V.P.Drachev,
A.V.Kildishev, „Negative index of refraction In optical metamaterials”, Opt.Lett.
vol.30, nr 24, s.3356-8, (2005);

[81]

A.N.Lagarkov, A. K.Sarychev, “Electromagnetic properties of composites
containing elongated conducting inclusion”, Phys. Rev. B 53, 6318–6336 (1996);

[82]

L.V.Panina, A.N.Grigorenko, D. P. Makhnovskiy, “Optomagnetic composite medium
with conducting nanoelements”, Phys. Rev. B 66, 155411 (2002);

[83]

V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, E.E.Narimanov, V.M.Shalaev, “Resonant light
interactions with plasmonic nanowire systems”, J.Opt.A:Pure Appl.Opt. vol. 7,nr 2,
S32-S37, (2005);

[84]

G.Dolling, C.Enkrich, M.Wegener, J.Zhou, C.M.Soukoulis, S.Linden, “Cut-wire
pairs and plate pairs as magnetic atoms for optical metamaterials”, Opt.Lett., vol.
30

, nr 23, s.3198-3200, (2005);

[85]

V.P.Drachev, W.Cai, U.Chettiar, H.-K.Yuan, A.K.Sarychev, A.V.Kildishev,
G.Klimeck, V.M.Shalaev, „Experimental verification of an optical negative-index
material”, Laser Phys.Lett. vol.3, nr 1, s.49-55, (2006);

[86]

S.Zhang,

W.Fan,

N.C.Panoiu,

K.J.Malloy,

R.M.Osgood,

S.R.J.Brueck,

„Demontsration of near-infrared negative-index-materials”, Phys.Rev.Lett., vol. 95,
nr 13, 137404, (2005);

[87]

D.R.Smith, S.Shultz, P.Markos, C.M.Soukoulis, „Determination of negative
permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission
coefficients”, Phys.Rev.B vol.65, 195104, (2002);

[88]

G.Dolling, M.Wegener, C.M.Soukoulis, S.Linden, “Negative-index metamaterial at
780 nm wavelength”,

http://arXiv:physics/0607135

, (2006);

[89]

A.N.Grigorenko, A.K.Geim, H.F.Gleeson, Y.Zhang, A.A.Firsov, I.Y.Khrushchev,
J.Petrovic, „Nanofabricated media with negative permeability at visible
frequencies”, Nature 438, nr 7066, s.335 (2005);

[90]

I.V.Shadrivov, N.A. Zharova, A.A.Zharov, Y.S.Kivshar, „Defect modes and
transmission properties of left-handed bandgap structures”, Phys. Rev. E vol. 70,
(2004);

[91]

http://www.waves.utoronto.ca/prof/gelefth/publications.html

[92]

A. A. Zharov, I. V. Shadrivov, and Yu. S. Kivshar, “Nonlinear Properties of Left-
Handed Metamaterials”, Phys. Rev. Lett. 91, 037401 (2003)

[93]

J.B.Pendry, “Negative refraction makes a perfect lens”, Phys.Rev.Lett. vol. 85, nr
18, 3966-9 (2000);

[94]

G.W.’t Hooft, “Comment on <Negative refraction makes a perfect lens>”,
Phys.Rev.Lett. vol. 87, nr 24, 249701, (2001);

[95]

N.Garcia, M.Nieto-Vesperinas, „Left-handed materials do not make a perfect lens”,
Phys.Rev.Lett. vol. 88 nr 20, 207403, (2002);

[96]

Long Gen Zheng, Wen Xun Zhang, „Discussion on Negative Refraction and Perfect
Lens”, Progress In Electromagnetics Research Symposium 2005, Hangzhou,
(23-26.08.2005);

[97]

R.F.Broas, D.F.Sieverpiper, E.Yablonovitch, “A high-impedance ground plane
applied to a cell phone handset geometry”, IEEE Trans. Micr. Theory and Tech.
vol.49, 1262-1265, (2001);

[98]

M.C.K.Wiltshire, J.B.Pendry, I.R.Young, D.J.Larkman, D.J.Gilderdale, J.V.Hajnal,
“Microstructured magnetic materials for RF flux guides in magnetic resonance
imaging”, Science 291, 848-851, (2001);

[99]

Chiyan Luo, Steven G. Johnson, J.D.Joannopoulos, J.B.Pendry, “All-angle negative
refraction without negative effective index”, Phys. Rev. Rapid Communications B65,
201104®, (2002);

[100]

J.B.Pendry, “Perfect cylindrical lenses”, Opt.Ex., vol. 11, nr 7, 755, (2003);

[101]

M.A.Antoniades, G.V.Eleftheriades, “Compact linear lead/lag metamaterial phase
shifters for broadband applications”, IEEE Antennas and wireless propagation
letters, vol.2, (2003);

[102]

A.Grbic, G.V.Eleftheriades, “Experimental verification of backward-wave radiation
from a negative refractive index metamaterial”, J.Appl.Phys. vol.92, nr10, 5930-5,
(2002);

[103]

G.V.Eleftheriades, “Enabling RF/Microwave devices using negative-refractive index
transmission-line metamaterials”, Radio Science Bulletin nr 312, (2005);

[104]

J.B.Pendry, D.Schuring, D.R.Smith, “Controlling electromagnetic fields”, Science
vol. 312, 1780 (2006);

[105]

R.A.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Microwave transmission
through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial”, Appl. Phys.
Lett. 78, 489–491 (2001);

[106]

A.Klauzer-Kruszyna, „Propagacja światła spolaryzowanego w wybranych
supersieciach aperiodycznych”, praca doktorska przygotowana pod kierunkiem dr
hab. Włodzimierza Salejdy, prof. nadzw. PWr ;

[107]

J.Zhou, T.Koschny, L.Zhang, G.Tuttle, C.M.Soukoulis, „Experimental verification of
negative index of refraction”,

http://arXiv.org/physics/0608301

;

[108]

U.Leonhardt, T.G.Philbin, “Quantum optics of special transformation media”,

http://arXiv.org/quant-ph/0608115

[109]

Bliokh K.Yu., Bliokh Yu.P.

What are the left-handed media and what is interesting

about them?

Uspekhi Fizicheskikh Nauk, No 4, 439. (Methodological Notes).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Właściwości optyczne i elektryczne materii Pomiar współczynnika załamania światła w funkcji stężenia
Aluminium Metody otrzymywania oraz odzysku z materiałów odpadowych
Metody badania właściwości dielektrycznych materiałów
pomiar współczynnika załamania światła, far, biofizyka, egzamin, materiały na ćwiczenia
76 - WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA SZKŁA ZA POMOCĄ SPEKTROMETRU, Materiały na studia, Fizyka
Metody pomiaru współczynnika załamania światła, Bioinżynieria Produkcji żywności, Fizyka
Wyznaczanie współczynnika załamania i dyspersji pryzmatu za pomocą spektrometru., Materiały na studi
Właściwości fizykochemiczne materiałów i metody ich badania (Magda Szostek)
Właściwości mechaniczne materiałów i metody ich badania (Łukasz Makarowski)
Materiały metalowe, otrzymywanie, właściwości i zastosowanie (Monika Kanik)
10 Metody otrzymywania zwierzat transgenicznychid 10950 ppt
Właściwości fizyczne materiałów budowlanych
3b Właściwości optyczne półprzewodników
31 Metody otrzymywania i pomiaru próżni systematyka, porów
10 Metody otrzymywania sztywnych pianek poliuretanowych
metody otrzymywania soli, ENERGETYKA AGH, sem 2, chemia
metody otrzymywania plynow 1, Kosmetologia, Chemia
Wyznaczanie współczynnika załamania, Pollub MiBM, fizyka sprawozdania

więcej podobnych podstron