Kolokwium 2, grupa pi¸

atkowa 1, 2009

Zadanie 1 Rozwi¸

a˙z zagadnienie











u

tt

= u

xx

+ t

2

− x

2

, u = u(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x.0) = 0

u

t

(x, 0) = x

2

Zadanie 2 Rozwa˙zmy zagadnienie

(

u

t

(x, t) = ∆

x

u(x, t) + h(x, t), x ∈ R

n

, t > 0

u(x, 0) = f (x),

gdzie f i h s¸

a funkcjami ograniczonymi klasy C

2

. Wyka˙z, ˙ze je´sli funkcje: f

oraz h zbiegaj¸

a do zera w normie supremum, to r´

ownie˙z funkcja u zbiega do

zera w normie supremum (ci¸

ag la zale˙zno´s´

c rozwi¸

azania u od danych).

Zadanie 3 Za l´

o˙zmy, ˙ze funkcja u : R

n

→ R spe lnia r´

ownanie przewod-

nictwa:

u

t

− ∆

x

u = 0, u = u(x, t), x ∈ R

n

, t > 0

i niech dana b¸edzie funkcja g ladka f : R → R. Jaki warunek musi spe lnia´

c

funkcja f , aby funkcja

v(x, t) = f (u(x, t))

a) tak˙ze spe lnia la r´

ownanie przewodnictwa v

t

− ∆

x

v = 0,

b) spe lnia la nier´

owno´s´

c r´

o˙zniczkow¸

a v

t

− ∆

x

v ≥ 0?

1

Rozwi¸

azania

Zadanie 1 Rozwi¸

azanie jest standardowe. Naj latwiej podtawi´

c:

u(x, t) = w(x, t) +

1

12

t

4

+

1

12

x

4

i zauwa˙zy´

c ˙ze wtedy w

tt

= w

xx

.

Do w stosujemy wz´

or D’Alemberta.

Rozwi¸

azanie:

u(x, y) = −

(x + t)

4

+ (x − t)

4

24

+

1

6

(x + t)

3

−

1

6

(x − t)

3

+

x

4

12

+

t

4

12

.

Zadanie 2 Zachodzi zbie˙zno´s´

c jednostajna na zbiorach R

n

× [0, T ], nato-

miast na zbiorze R

n

× R nie ma zbie˙zno´sci. Kontrprzyk lad: u



(x, t) = t.

Zadanie 3 a) f musi by´

c liniowa

b) f musi by´

c wkl¸es la.

1