Kolokwium nr 2 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Zad.1. [3p+4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Dane s¸a dwa szeregi o wyrazach nieujemnych

∞

P

n

=1

a

n

i

∞

P

n

=1

b

n

, o kt´

orych wiemy, ˙ze a

n

≤ b

n

dla ka˙zdego n ∈ N.

Oce´

n prawdziwo´s´c zda´

n (odpowied´z uzasadnij):

- Je˙zeli szerego

∞

P

n

=1

b

n

jest zbie˙zny, to lim

n

→∞

a

n

= 0.

- Je˙zeli lim

n

→∞

n

√

a

n

=

1
8

, to szereg

∞

P

n

=1

b

n

jest zbie˙zny.

- Je˙zeli lim

n

→∞

a

n

+1

a

n

= e, to szereg

∞

P

n

=1

b

n

jest rozbie˙zny.

b) Zbadaj zbie˙zno´s´c szeregu

∞

P

n

=2

1

n

3

√

ln

4

n

.

Zad.2. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznacz promie´

n i ´srodek zbie˙zno´sci, narysuj przedzia l zbie˙zno´sci, zbadaj zbie˙zno´s´c (i okre´sl jej rodzaj) w

lewym kra´

ncu przedzia lu zbie˙zno´sci szeregu

∞

P

n

=2

(−1)

n

(4x−8)

2n

9

n

√

n

Zad.3. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Korzystaj¸ac z w lasno´sci szeregu pot¸egowego oblicz sum¸e szeregu liczbowego

∞

P

n

=2

(−1)

n

n

5

n

Zad.4. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Funkcj¸e f (x) = xe

−x

4

rozwi´

n w szereg Maclaurina a nast¸epnie oblicz:

a) f

(39)

(0),

b) z dok ladno´sci¸a do 0.1 ca lk¸e nieelementarn¸a

1

R

0

xe

−x

4

dx

.