Kolokwium nr 2 z matematyki
Wydzia l WILi´
S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010
Zad.1. [3p+4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
a) Dane s¸a dwa szeregi o wyrazach nieujemnych
∞
P
n
=1
a
n
i
∞
P
n
=1
b
n
, o kt´
orych wiemy, ˙ze a
n
≤ b
n
dla ka˙zdego n ∈ N.
Oce´
n prawdziwo´s´c zda´
n (odpowied´z uzasadnij):
- Je˙zeli szerego
∞
P
n
=1
b
n
jest zbie˙zny, to lim
n
→∞
a
n
= 0.
- Je˙zeli lim
n
→∞
n
√
a
n
=
1
8
, to szereg
∞
P
n
=1
b
n
jest zbie˙zny.
- Je˙zeli lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= e, to szereg
∞
P
n
=1
b
n
jest rozbie˙zny.
b) Zbadaj zbie˙zno´s´c szeregu
∞
P
n
=2
1
n
3
√
ln
4
n
.
Zad.2. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Wyznacz promie´
n i ´srodek zbie˙zno´sci, narysuj przedzia l zbie˙zno´sci, zbadaj zbie˙zno´s´c (i okre´sl jej rodzaj) w
lewym kra´
ncu przedzia lu zbie˙zno´sci szeregu
∞
P
n
=2
(−1)
n
(4x−8)
2n
9
n
√
n
Zad.3. [7p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Korzystaj¸ac z w lasno´sci szeregu pot¸egowego oblicz sum¸e szeregu liczbowego
∞
P
n
=2
(−1)
n
n
5
n
Zad.4. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Funkcj¸e f (x) = xe
−x
4
rozwi´
n w szereg Maclaurina a nast¸epnie oblicz:
a) f
(39)
(0),
b) z dok ladno´sci¸a do 0.1 ca lk¸e nieelementarn¸a
1
R
0
xe
−x
4
dx
.