atkowa 1, 2009
Zadanie 1 Rozwi¸
aż zagadnienie
u
tt = uxx + t2 − x2, u = u(x, t), x ∈ R, t > 0
u(x.0) = 0
ut(x, 0) = x2
Zadanie 2 Rozważmy zagadnienie (
ut(x, t) = ∆xu(x, t) + h(x, t), x ∈ Rn, t > 0
u(x, 0) = f (x),
gdzie f i h s¸
a funkcjami ograniczonymi klasy C2. Wykaż, że jeśli funkcje: f oraz h zbiegaj¸
a do zera w normie supremum, to również funkcja u zbiega do zera w normie supremum (ci¸
ag la zależność rozwi¸
azania u od danych).
Zadanie 3 Za lóżmy, że funkcja u : Rn → R spe lnia równanie przewodnictwa:
ut − ∆xu = 0, u = u(x, t), x ∈ Rn, t > 0
i niech dana b¸edzie funkcja g ladka f : R → R. Jaki warunek musi spe lniać funkcja f , aby funkcja
v(x, t) = f (u(x, t))
a) także spe lnia la równanie przewodnictwa vt − ∆xv = 0, b) spe lnia la nierówność różniczkow¸
a vt − ∆xv ≥ 0?
1
Rozwi¸
azania
Zadanie 1 Rozwi¸
azanie jest standardowe. Naj latwiej podtawić: 1
1
u(x, t) = w(x, t) +
t4 +
x4
12
12
i zauważyć że wtedy wtt = wxx.
Do w stosujemy wzór D’Alemberta.
Rozwi¸
azanie:
(x + t)4 + (x − t)4
1
1
x4
t4
u(x, y) = −
+
(x + t)3 −
(x − t)3 +
+
.
24
6
6
12
12
Zadanie 2 Zachodzi zbieżność jednostajna na zbiorach Rn × [0, T ], nato-miast na zbiorze Rn × R nie ma zbieżności. Kontrprzyk lad: u(x, t) = t.
Zadanie 3 a) f musi być liniowa b) f musi być wkl¸es la.
1