PŁASZCZYZNA

1. Określić położenie płaszczyzny względem układu współrzędnych.

(a)

0

2

3

4

z

y

(b)

0

1

7

2

y

x

(c)

0

9

2 y

(d)

0

12

3z

2. Znaleźć równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny

2

3

4

1

0

x

y

z

przechodzącej przez punkt

)

1

,

4

,

2

(

P

.

3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

)

2

,

1

,

3

(

P

, prostopadłej do

wektora



w

2 2

1

, ,

.

4. Znaleźć równanie ogólne płaszczyzny, przecinającej osie układu współrzędnych w punktach

)

0

,

0

,

3

(

,

)

0

,

2

,

0

(

,

)

5

,

0

,

0

(

.

5. Znaleźć punkty przecięcia osi układu współrzędnych przez płaszczyznę o równaniu

0

9

3

2

z

y

x

6. Znaleźć płaszczyznę przechodzącą przez punkty

)

4

,

5

,

12

(

P

,

)

0

,

1

,

0

(

1

A

,

)

2

,

0

,

0

(

2

A

.

7. Przez punkt

)

1

,

1

,

1

(

1

P

poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzn

0

1

2

:

1

z

y

x

H

i

0

1

2

:

2

z

y

x

H

.

8. Na osi Oz znaleźć punkt jednakowo odległy od płaszczyzn

1

H i

2

H .

9. Znaleźć odległość punktu

)

3

,

2

,

1

(

1

P

od płaszczyzny

0

3

:

1

z

y

x

H

10. Dana jest płaszczyzna

0

1

:

1

z

y

x

H

. Wyznaczyć płaszczyznę

H

prostopadłą do

1

H

zawierającą punkty

)

1

,

3

,

1

(

P

i

)

3

,

2

,

1

(

Q

.

11. Dane są punkty

A

1

2

3

1 1 2

3 1 3

2

2 1

( ,

, ),

( , , ),

( ,

, )

A

A

. Znaleźć przedstawienie parametryczne

oraz równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty

A

1

2

3

,

,

A A

.

12. Znaleźć równanie ogólne płaszczyzny, dane jest jej przedstawienie parametryczne:

R

t

t

s

z

t

s

y

t

s

x

s,

,

2

3

2

2

2

1

.

.

Odpowiedzi.

1. (a) równoległa do osi Ox

(b) równoległa do osi Oz

(c) prostopadła do osi Oy

(d) prostopadła do osi Oz

2.

2

3

4

12

0

x

y

z

3.

0

6

2

2

z

y

x

4.

0

30

6

15

10

z

y

x

5.

)

0

,

0

,

9

(

,

)

0

,

;

0

(

2

9

,

)

3

,

0

;

0

(

6.

1

2

1

3

z

y

x

,

0

6

3

6

2

z

y

x

7.

0

1

z

y

x

8.

)

2

,

0

,

0

(

,

)

0

,

0

,

0

(

9.

11

11

4

10.

0

4

3

2

z

y

x

11.

x

y

z

3

4

12

0

,

R

t

t

s

z

t

s

y

t

s

x

s,

,

2

2

1

2

1

12.

3

2

4

13

0

x

y

z