14 Astrometria na plaszczyznie sty (2)

Rozdział 14

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

14.1

Streszczenie

By wyznaczy´c poło˙zenia ciał niebieskich posługujemy si˛e metodami absolutnymi lub wzgl˛ed-
nymi. Do tych ostatnich nale˙z ˛

a techniki obserwacyjne, w których wycinek sfery niebieskiej

odwzorowywany jest zgodnie z projekcj ˛

a centraln ˛

a na płaszczy´znie płyty fotograficznej b ˛

ad´z na

płaszczy´znie macierzy pikseli kamery CCD.
Projekcja centralna to idealizacja, w której sferyczne poło˙zenie ciała niebieskiego rzutowane jest
na płaszczyzn˛e tangencjaln ˛

a — styczn ˛

a do sfery w punkcie przebicia sfery przez o´s optyczn ˛

a as-

trografu (´srodek optyczny). Para współrz˛ednych sferycznych (

;

) zast˛epowana jest par ˛

a współ-

rz˛ednych tangencjalnych (

;

) na płaszczy´znie stycznej.

W rzeczywisto´sci mamy do czynienia z ró˙znej natury zniekształceniami wsopółrz˛ednych sfer-
ycznych a wi˛ec i tangencjalnych. Do najwa˙zniejszych nale˙z ˛

a zniekształcenia spowodowane niez-

najomo´sci ˛

a współrz˛ednych ´srodka optycznego oraz wpływami refrakcji astronomicznej i aberracji

rocznej.
W celu wyznaczenia poło˙zenia nieznanego obiektu, tradycyjne metody wzgl˛edne bazuj ˛

a na

znalezieniu dla grupy gwiazd oporowych, transformacji pomi˛edzy ich współrz˛ednymi tangencjal-
nymi i ich współrz˛ednymi zmierzonymi na kliszy. Znaleziona transformacja ł ˛

acznie z współrz˛ed-

nymi mierzonymi badanego obiektu, słu˙zy do wyznaczenia odpowiadaj ˛

acych im współrz˛ednych

tangencjalnych.
Do tradycyjnych metod astrometrii fotograficznej nale˙zy metoda Turner’a i metoda dependensów.
W nowocze´sniejszych sposobach redukcji obserwacji fotograficznych zrezygnowano z koncepcji
współrz˛ednych tangencjalnych na korzy´s´c formalizmu wektorowego. Cen ˛

a takiego podej´scia jest

konieczno´s´c iterowania rozwi ˛

azania, co poci ˛

aga wyra´zne komplikacje rachunkowe.

Słowa kluczowe: porojekcja centralna, ´srodek optyczny, współrz˛edne tangencjalne, współrz˛edne
standardowe, metoda Turner’a, metoda dependensów, miejsce astrometryczne planety.

184

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

Plaszczyzna styczna

Obiektyw

Plyta fotograficzna

Rysunek 14.1: Projekcja centralna. Odwzorowanie wycinka sfery niebieskiej na pałszczy´znie
stycznej do sfery i na płaszczy´znie ogniskowej teleskopu.

14.2

Wst˛ep

Omówimy sposoby wyznaczania poło˙ze´n ciał niebieskich obserwowanych z pomoc ˛

a techniki fo-

tograficznej lub kamery CCD. Wyznaczone poło˙zenia, z konieczno´sci b˛ed ˛

a poło˙zeniani wzgl˛ed-

nymi, bowiem niezb˛ednym jest zało˙zenie, ˙ze dla pewnych gwiazd, a priori, znane s ˛

a ich współrz˛e-

dne sferyczne. Na płaszczy´znie stycznej wymagany jest odpowiedni zestaw gwiazd oporowych,
których poło˙zenia zostały okre´slone za pomoc ˛

a absolutnych obserwacji południkowych.

14.3

Projekcja centralna

Zajmiemy si˛e geometrycznymi aspektami procesu obserwacyjnego. Jego zasadniczym elementem
jest odwzorowanie sfery niebieskiej na płaskiej powierzchni płyty fotograficznej. Z bardzo do-
brym przybli˙zeniem odwzorowanie to mo˙zemy traktowa´c jako projekcj˛e centraln ˛

a przedstaw-

ion ˛

a schematycznie na rysunku ??. Ilustruje on zasad˛e działania refraktora astronomicznego

zastosowanego do fotografowania. Podobny rysunek mieliby´smy w przypadku teleskopu lus-
trzanego; szczegóły optycznego układu byłyby oczywi´scie inne, ale z geometrycznego punktu
widzenia, odwzorowanie sfery niebieskiej jest takie samo pod warunkiem, ˙ze powierzchnia og-
niskowa układu optycznego jest płaszczyzn ˛

a. Powa˙zniejsze ró˙znice pojawiaj ˛

a si˛e w teleskopach

zwierciadłowych Schmidt’a, w których płyta fotograficzna musi zosta´c wygi˛eta by przyj ˛

a´c ksz-

tałt zakrzywionej powierzchni ogniskowej. Ale i w tych przypadkach, po odpowiedniej korekcie,
sporo da si˛e zastosowa´c z podanej ni˙zej analizy.

Na rysunku 14.1 odcinek

reprezentuje o´s optyczn ˛

a teleskopu,

jest ´srodkiem obiektywu

(punktem w˛ezłowym optyki),

jest punktem przeci˛ecia osi optycznej z płyt ˛

a fotograficzn ˛

a. Płyta

jest umieszczona w płaszczy´znie ogniskowej teleskopu st ˛

jest prostopadłe do powierzchni

płyty. Punkt

uto˙zsamiamy ze ´srodkiem sfery niebieskiej.

O´s optyczna

przebija sfer˛e w punkcie

, w którym wystawiamy płaszczyzn˛e styczn ˛

do sfery. Gdyby gwiazda znajdowała si˛e w punkcie

, zostałaby odwzorowana na płycie fo-

tograficznej w punkcie

. W praktyce obserwacyjnej, punkt

oraz punkt

nie s ˛

a zaznaczone

na sferze i płycie w jakikolwiek sposób. Tymczasem współrz˛edne punktu

s ˛

a potrzebne podczas

14.3 Projekcja centralna

185

redukcji fotograficznej obserwacji pola gwiazdowego. Z powodów widocznych na rysunku 14.1
punkt ten nazwano

punktem tangencjalnym

. Inne jego nazwy to

srodek optyczny

lub

centrum rzutowania

Niech

b˛edzie poło˙zeniem gwiazdy na sferze. Poprowad´zmy odcinek

, półprosta b˛ed ˛

aca

jego przedłu˙zeniem przebija płaszczyzn˛e tangencjaln ˛

a w punkcie

. Poniewa˙z punkt

jest punk-

tem w˛ezłowym obiektywu, promie´n ´swiatła gwiazdy biegn ˛

acy wzdłu˙z

nie zmieni nachylenia

do osi optycznej, czyli obraz

gwiazdy powstaj ˛

acy na płycie fotograficznej le˙zy na prostej

Rozwa˙zmy trójk ˛

aty

. Odcinek

le˙zy w płaszczy´znie tangencjalnej, a zatem

k ˛

. Odcinek

le˙zy w płaszczy´znie ogniskowej st ˛

ad równie˙z k ˛

Dalej k ˛

, a wi˛ec trójk ˛

aty

s ˛

a trójk ˛

atami podobnymi. Skoro tak, to

je´sli

b˛edzie promieniem sfery niebieskiej,

odległo´sci ˛

a ogniskow ˛

a teleskopu, to

z podobie´nstwa trójk ˛

atów

wynika, ˙ze:

(14.1)

A skoro

jest równoległe do

, rezultat ten mo˙zna rozszerzy´c nadaj ˛

ac mu form˛e wektorow ˛

(14.2)

Je˙zeli poło˙zymy

oznacza to, ˙ze pomiary długo´sci w płaszczy´znie tangencjalnej wyra˙zone

s ˛

a w jednostkach promienia sfery niebieskiej. Niech

(

;

)

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi punktu

wzgl˛e-

dem odpowiednio obranego układu ortogonalnych osi w płaszczy´znie tangencjalnej o pocz ˛

atku w

punkcie

. O´s

tego układu le˙zy w płaszczy´znie koła deklinacyjnego i skierowana jest na biegun

´swiata. Natomiast o´s

poło˙zona jest w płaszczy´znie równole˙znika zawieraj ˛

acego ´srodek optyczny

i skierowna jest zgodnie kierunkiem przyrastania rektascensji.

Osiom (

;

) odpowiada na płycie fotograficznej ich obraz, czyli osie (

) o pocz ˛

atku w

punkcie

, antyrównoległe w stosunku do osi

(

;

)

. Na rysunku 14.2 pokazano orientacj˛e osi

(

;

)

wzgl˛edem obserwatora znajduj ˛

acegoo si˛e na zewn ˛

atrz sfery i patrz ˛

acego w kierunku emulsji

płyty fotograficznej.

Współrz˛edne obrazu S gwiazdy mo˙zna łatwo zmierzy´c wzgl˛edem układu osi

(x;

)

. Niech

;

)

b˛ed ˛

a takimi współrz˛ednymi punktu

. Pocz ˛

atkowo b˛ed ˛

a one wyra˙zone w pewnych jed-

nostkach, ale przyjmijmy dla wygody, ˙ze warto´sci współrz˛ednych

wyra˙zono w jednos-

tkach równych odległo´sci ogniskowej teleskopu. W tak wyidealizowanej sytuacji równanie (14.2)
mo˙zna wyrazi´c w postaci:

(14.3)

Współrz˛edne

(

;

)

tradycyjnie nazywane s ˛

a współrz˛ednymi

tangencjalnymi

gwiazdy. Za-

le˙z ˛

a one od wyboru punktu

i je˙zeli pło˙zenie punktu

jest ustalone, definicja współrz˛ednych

tangencjalnych jest czysto formalna i jednoznaczna. Niestety, w praktyce obserwacyjnej mo-

˙zemy jedynie mniej lub bardziej dokładnie oszacowa´c poło˙zenie punktu

. A zatem poło˙zenie

to nieuchronnie obci ˛

a˙zone jest bł˛edami b˛ed ˛

acymi przyczyn ˛

a systematycznych ró˙znic pomi˛edzy

współrz˛ednymi tangencjalnymi obliczonymi a tymi zmierzonymi na płycie fotograficznej. Sytu-
acja jest jeszcze pogarszana tym, ˙ze pomiary poło˙ze´n na płycie równie˙z s ˛

a obci ˛

a˙zone bł˛edami

systematycznymi, niezale˙znie od bł˛edów przypadkowych.

Ddlatego nie mo˙zemy stosowa´c równania (14.3), musimy natomiast przedyskutowa´c przy-

czyny rozbie˙zno´sci pomi˛edzy współrz˛ednymi tangencjalnymi i mierzonymi, zwłaszcza te o naturze
geometrycznej. Najpierw zajmiemy si˛e ´scisł ˛

a definicj ˛

a współrz˛ednych tangencjalnych oraz wyprowadz-

imy zwi ˛

azki pomi˛edzy nimi i współrz˛ednymi równikowymi gwiazdy.

186

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

Rysunek 14.2: Układ współrz˛ednych tangencjalnych o pocz ˛

atku w ´srodku optycznym

. O´s

układu le˙zy w płaszczy´znie koła deklinacyjnego

, skierowana jest ku północnemu biegunowi

´swiata. O´s

biegnie równolegle do równika ´swiata i wskazuje kierunek, w którym ro´snie rektas-

censja.

14.4

Współrz˛edne standardowe

Współrz˛edne

standardowe

gwiazdy s ˛

a to tangencjalne współrz˛edne

(

;

)

odniesione do osi

zorientowanych zgodnie z kierunkami narastania rektascensji i deklinacji, przy czym kierunki
te wybierane s ˛

a w oparciu o ´sredni równik epoki standardowej. Wykorzystanie współrz˛ednych

gwiazd odniesionych do standardowego równika i równonocy jest bardzo dobrym poci ˛

agni˛eciem,

bowiem wówczas, w procesie opracowania obserwacji nie ma potrzeby uwzgl˛ednienia wpływów
precesji i nutacji.

Przejd´zmy do wyprowadzenia formuł na współrz˛edne tangencjalne gwiazdy. Na rysunku

14.2 pokazano przykładowe osie

, ich pocz ˛

atek znajduje si˛e w punkcie

. Niech poło˙zenie

punktu

jest zgodne z kierunkiem jednostkowego wektora

o rektascensji i deklinacji

(A;

)

okre´slonych wzgl˛edem standardowego równika i równonocy, np. J2000. Zatem:

( os

;

sin

;

sin

)

(14.4)

Składowe wersora

wyra˙zone s ˛

a wzgl˛edem zwykłego prostok ˛

atnego układu równikowego o

pocz ˛

atku w ´srodku sfery niebieskiej (punkt

na rysunku 14.1).

Niech

w tym układzie odniesienia b˛edzie jednostkowym wektorem kierunku ku północnemu

biegunowwi sfery

(0;

01)

(14.5)

Niech

oraz

b˛ed ˛

a odpowiednio wersorami równoległymi do osi

, odpowiednio.

Trzy wersory

definiuj ˛

a prostok ˛

atny układ osi układu tangencjalnego. A zatem, w

celu wyznaczenia współrz˛ednych

(

;

)

gwiazdy wystarczy (np. za pomoc ˛

a macierzy obrotu)

dokona´c transformacji jej współrz˛ednych równikowych do układu okre´slonego trójk ˛

Jednak tradycyjnie w tym celu wykorzystuje si˛e bezpo´srednio współrz˛edne równikowe. Na ry-
sunku 14.2 łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze wersor

(le˙z ˛

acy na osi

) jako prostopadły do wersorów

kierunek identyczny z wektorem

. Podobnie mamy, ˙ze wersor

jest identyczny z wersorem

. Poniewa˙z wektor

ma długo´s´c

, mamy ˙ze:

)

(14.6)

14.4 Współrz˛edne standardowe

187

przy czym wykorzystano tu znan ˛

a wektorow ˛

a to˙zsamo´s´c [?]. A dalej, za pomoc ˛

a (14.4) i (14.5)

mo˙zemy napisa´c:

(

sin

(

sin

)

(14.7)

Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze mimo i˙z mówimy "współrz˛edne standardowe gwiazdy", tak naprawd˛e współ-
rz˛edne standardowe nie dotycz ˛

a gwiazdy

na sferze ale jej obrazu na płaszczy´znie tangencjalnej,

czyli punktu

. Niech gwiazda ma współrz˛edne

(;

)

, odpowiadaj ˛

acy im wersor kierunku

składowe:

( os

;

sin

;

sin

)

(14.8)

W my´sl tego co powiedziano przed chwil ˛

a, wektor okre´slaj ˛

acy poło˙zenie punktu

b˛edzie postaci

, gdzie

jest pewnym skalarem. Jego warto´s´c łatwo znale´z´c zauwa˙zaj ˛

ac, ˙ze skoro punkt

musi

le˙ze´c w płaszczy´znie stycznej (patrz rysunek 14.1), to odcinek

jest prostopadły do odcinka

, a co w postaci wektorowej oznacza, ˙ze:

)

st ˛

ad mamy:

(14.9)

A dalej za pomoc ˛

a (14.4) i (14.8) mamy:

sin

(

(14.10)

Mamy zatem wszystko co potrzeba, a zatem współrz˛edne standardowe

(

;

)

gwiazdy otrzy-

mamy natychmiast rzutuj ˛

ac wektor poło˙zenia punktu

na osie układu standardowego, tzn. bior ˛

iloczyny skalarne:

(14.11)

a podstawiaj ˛

ac za

prawe strony równa´n (14.7), (14.8) i (14.10) otrzymamy ostatecznie:

sin

(

sin

+ os

(

sin

(

sin

+ os

(

(14.12)

Idea wyznaczania wzgl˛ednych poło˙ze´n ciał niebieskich obserwowanych za pomoc ˛

a techniki fo-

tograficznej (b ˛

ad´z kamery CCD) jest nast˛epuj ˛

aca. W rezultacie obserwacji płyta fotograficzna

(ramka CCD) zawiera pewn ˛

a liczb˛e gwiazd, których poło˙zenia katalogowe s ˛

a znane a priori. S ˛

to tzw.

gwiazdy oporowe, gwiazdy odniesienia

. Znaj ˛

ac współrz˛edne ´srodka op-

tycznego

na sferze, za pomoc ˛

a równania (14.12) obliczamy standardowe współrz˛edne tan-

gencjalne gwiazd oporowych. Z drugiej strony, za pomoc ˛

a płytomierza mierzymy poło˙zenia

tych gwiazd na płycie fotograficznej (tzw.

współrz˛

edne mierzone

). W oparciu o te in-

formacje, znajdujemy zwi ˛

azki transformacyjne pomi˛edzy współrz˛ednymi standardowymi i mier-

zonymi gwiazd oporowych. za pomoc ˛

a tych zwi ˛

azków, zmierzone współrz˛edne interesuj ˛

acego nas

obiektu (o nieznanych współrz˛ednych sferycznych) transformujemy w odpowadaj ˛

ace im współ-

rz˛edne standardowe.

Ostatni krok polega na przej´sciu od współrz˛ednych standardowych badanego obiektu do jego

współrz˛ednych sferycznych. Potrzebujemy zatem zale˙zno´sci odwrotnych do (14.12). W celu ich

188

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

znalezienia, nale˙zy przekształci´c drugie z równa´n (14.12), czyni ˛

ac to w stosowny sposób otrzy-

mamy:

(

sin

;

kład ˛

ac je do pierwszego z równa´n (14.12), dostaniemy:

sin

(

sin

co pozwala wyznaczy´c

(

, bowiem mamy:

tan

(

sin

tan

sin

(

(14.13)

Kilka uwag podsumowuj ˛

acych:

1. rektascensja i deklinacja punktu pocz ˛

atkowego

(A;

)

s ˛

a odniesione do standardowego

równika i równonocy. Osie

s ˛

a okre´slone wzgl˛edem standardowego równika.

2. Współrz˛edne standardowe obiektu na płaszczy´znie stycznej zdefiniowane s ˛

a w oparciu o

punkt styczno´sci znajduj ˛

acy si˛e na sferze niebieskiej. Warto´sci współrz˛ednych standard-

owych zale˙z ˛

a jedynie od poło˙zenia gwiazdy i wybranego punktu styczno´sci (´srodka opty-

cznego).

3. Współrz˛edne sferyczne gwiazdy

(;

)

jako pochodz ˛

ace z katalogu, okre´slone s ˛

a wzgl˛edem

´sredniego równika i równonocy z epoki standardowej. Powinny to jednak by´c współrz˛edne
odpowiadaj ˛

ace epoce obserwacji, które ró˙zni ˛

a si˛e od standardowego miejsca ´sredniego tylko

o zmiany z tytułu rocznej paralaksy, aberracji i ruchu własnego.

4. W idealnej sytuacji współrz˛edne standardowe byłyby identyczne z współrz˛ednymi mier-

zonymi na płycie fotograficznej. Ale w praktyce b˛edziemy mieli do czynienia z systematy-
cznymi ró˙znicami. Poniewa˙z pole gwiazdowe na płycie pokrywa co najwy˙zej kilka stopni
sfery, spodziewamy si˛e, ˙ze zarówno

jak i

b˛ed ˛

a wielko´sciami małymi.

14.5

Wpływ bł˛edu ´srodka optycznego

Z formuł (14.13) wynika, ˙ze w celu obliczenia współrz˛ednych standardowych gwiazd musimy
zna´c poło˙zenie punktu tangencjalnego na sferze. W praktyce mo˙zemy oszacowa´c jedynie przy-
bli˙zone poło˙zenie tego punktu np. odczytuj ˛

ac koła nastawcze teleskopu albo poprzez identyfikacj˛e

płyty z map ˛

a nieba czy te˙z wykorzystuj ˛

ac wst˛epne pomiary płyty fotograficznej. Bł ˛

ad w przyj˛etej

pozycji punktu tangencjalnego nazywany jest bł˛edem ´srodka optycznego.

Niech

(A;

)

b˛ed ˛

a rektascensj ˛

a i deklinacj ˛

a prawdziwego punktu tangencjalnego. Niech

(dA;

)

oznaczaj ˛

a bł˛edy popełnione w oszacowaniu współrz˛ednych tego punktu. Interesuj ˛

nas zmiany

;

)

we współrz˛ednych gwiazd spowodowane bł˛edami

dA;

. Zmiany te b˛ed ˛

zale˙zały od poło˙zenia gwiazdy, tzn. od jej współrz˛ednych standardowych

(

;

)

— spodziewamy

si˛e, ˙ze im bli˙zej punktu A znajduje s˛e gwiazda, tym mniejsze b˛ed ˛

a warto´sci

;

)

. Ustalmy

na wst˛epie, ˙ze zaniedbujemy wpływ wyrazów drugiego rz˛edu w wyra˙zeniach na (dA, dD), nie
oznacza to jednak, ˙ze ograniczamy si˛e jedynie do wyrazów pierwszego rz˛edu w wyra˙zeniach na

(

;

)

14.5 Wpływ bł˛edu ´srodka optycznego

189

Korzystaj ˛

ac z wprowadzonych ju˙z oznacze´n, definiujemy punkt tangencjalny za pomoc ˛

a wer-

sora

, kierunki osi

;

za pomoc ˛

a wersorów

, wszystkie te kierunki s ˛

a ortogonalne do

swoich ró˙zniczek. Ró˙zniczkuj ˛

ac równanie (14.4) mamy, ˙ze zmiana w

wynosi:

(

sin

(

sin

)

co za pomoc ˛

a równania (14.7) upraszcza si˛e do:

(14.14)

Stosuj ˛

ac podobne zabiegi do obu równa´n (14.7) otrzymamy:

sin

(14.15)

Zajmijmy si˛e teraz parametrem

z równania (14.9). Jego ró˙zniczka ma posta´c:

;

a po podstawieniu równania (14.14) b˛edzie:

( os

J);

wykorzystuj ˛

ac jeszcze równania (14.11) otrzymamy:

( os

)

(14.16)

Z ró˙zniczkami

dI;

mo˙zemy teraz wyznaczy´c poszukiwane przyrosty w

. Ró˙zniczkuj ˛

(14.11) dostaniemy:

Podstawiaj ˛

ac za ró˙zniczki

dI;

wyra˙zenia (14.15) i (14.16), b˛edziemy mieli:

sin

(14.17)

Bł˛edy

(dA;

)

poło˙zenia ´srodka optycznego s ˛

a oczywi´scie niewiadome. Mog ˛

a by´c wst˛ep-

nie wyznaczone poprzez porównanie obliczonych współrz˛ednych standardowych i zmierzonych
gwiazd oporowych. Niestety porównanie to jest utrudnione wskutek istnienia innych wpływów
zacieraj ˛

acych wpływ bł˛edów ´srodka optycznego, o których powiemy za chwil˛e. A na razie

napiszemy równanie (14.17) w postaci:

(

)

(

)

(14.18)

gdzie

;

s ˛

a stałymi.

Jak wida´c z równa´n (14.17) i (14.18) składniki

s ˛

a niezale˙zne od współrz˛ednych gwiazdy,

reprezentuj ˛

a one zmiany poło˙zenia pocz ˛

atku układu współrz˛ednych. Przed składnikami pier-

wszego rz˛edu ze wzgl˛edu na

mamy współczynnik b1, reprezentuje on niewielk ˛

a rotacj˛e

osi układu. Ostatnie kwadratowe składniki równa´n (14.18) nosz ˛

a nazw˛e wyrazów

nachylenia

płyty do osi optycznej. Istotnie, niewła´sciwy dobór ´srodka optycznego oznacza, ˙ze płaszczyzna
tangencjalna jest styczna do sfery w innym punkcie. A zatem w stosunku do płaszczyzny stycznej
w ´srodku prawdziwym jest ona nachylona pod niewielkim k ˛

atem.

190

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

Redukcja płyty fotograficznej upraszcza si˛e znacz ˛

aco je´sli wyrazy drugiego rz˛edu s ˛

a zanied-

bywalne, na co mo˙zemy sobie pozwoli´c je´sli ograniczymy si˛e do niewielkiego obszaru na kliszy
otaczaj ˛

acego ´srodek optyczny. Bł ˛

łuku w poło˙zeniu punktu tangencjalnego wywołuje bł˛edy

drugiego rz˛edu we współrz˛ednych standardowych równowa˙zne około

dla gwiazd odległych

od osi optycznej. Je´sli taki bł ˛

ad mo˙zna zaakceptowa´c wówczas ww równaniach (14.17),

(14.18) pomijamy wyrazy drugiego rz˛edu. W astrometrii o najwy˙zszej precyzji, wyrazy te musz ˛

by´c uwzgl˛ednione, zwłaszcza gdy pracujemy na du˙zych polach gwiazdowych.

Z równania (14.17) wynika, ˙ze maksymalne warto´sci wyrazów drugiego rz˛edu s ˛

a wprost pro-

porcjonalne do przemieszczenia przyj˛etego punktu tangencjalnego wzgledem jego prawdziwego
poło˙zenia oraz do kwadratu k ˛

atowego promienia pola widzenia astrografu.

14.6

Wpływ refrakcji astronomicznej i aberracji rocznej

Wpływ precesji i nutacji dzi˛eki obliczeniu współrz˛ednych tangencjalnych wzgl˛edem standard-
owego równika i równonocy został z rozwa˙za´n nad redukcj ˛

a kliszy fotograficznej wykluczony.

Precesja i nutacja nie wnosz ˛

a ˙zadnych zmian do współrz˛ednych tangencjalnych, musimy jedynie

pami˛eta´c, ˙ze wyznaczone współrz˛edne interesuj ˛

acych nas nieznanych obiektów, b˛ed ˛

a równie˙z

odniesione do tego samego standardu.

Niestety pozostałe efekty pozycyjne nie daj ˛

a si˛e potraktowa´c w taki sposób. Ruchu włas-

nego i paralaksy nie da si˛e tak usun ˛

a´c i dlatego standardowe miejsca ´srednie gwiazd oporowych

musz ˛

by´c poprawiane na te dwa efekty. Mo˙zna by s ˛

adzi´c, ˙ze podobnie trzeba b˛edzie post ˛

api´c

w celu wyeliminowania wpływów refrakcji i aberracji, tzn. trzeba b˛edzie przej´s´c od miejsc ´sred-
nich gwiazd oporowych do miejsc obserwowanych. W przypadku rachunków r˛ecznych byłby
to sposób wysoce uci ˛

a˙zliwy obliczeniowo, ponadto wyznaczone współrz˛edne interesuj ˛

acego nas

obiektu równie˙z byłyby obci ˛

a˙zone refrakcj ˛

a i aberracj ˛

a. Dlatego lepiej jest post ˛

api´c inaczej, w

szczególno´sci warto spróbowa´c zaabsorbowa´c te poprawki w i tak koniecznym procesie redukcji
płyty fotograficznej.

Wiemy ju˙z, ˙ze zarówno refrakcja jak i aberracja nie s ˛

a własno´sciami samych gwiazd, bowiem

zale˙z ˛

a od poło˙zenia obserwatora i warunków atmosferycznych w jego otoczeniu. Wszystkie

gwiazdy z tego samego niewielkiego obszaru nieba s ˛

a poddane mniej wi˛ecej takim samym wpły-

wom. Mo˙zna wi˛ec oczekiwa´c, ˙ze efekty refrakcyjne i aberracyjne daj ˛

a si˛e usun ˛

a´c w ten sam

sposób co precesja i nutacja, czyli za jednym zamachem dla całej płyty. Jest to jednak mo˙zliwe
jedynie w pewnym stopniu. Precesyjno-nutacyjne zmiany współrz˛ednych równowa˙zne s ˛

a czystej

rotacji sfery niebieskiej. Gdyby zatem zmiany refrakcyjne i aberracyjne mogły by´c przybli˙zone
za pomoc ˛

a małej rotacji sfery mo˙zna by je łatwo usun ˛

a´c. Pami˛etajmy jednak, ˙ze w rzeczywis-

to´sci refrakcja i aberracja powoduj ˛

a przemieszczenia wzdłu˙z p˛eku kół wielkich (patrz rysunek

14.3), a zatem mała rotacja mo˙ze uwzgl˛edni´c jedynie główn ˛

a cz˛e´s´c wpływu, pozostawiaj ˛

ac małe

residualne przemieszczenia o charakterze ró˙zniczkowym.

Zanim rozpatrzymy rezultaty wpływu refrakcji atmosferycznej i aberracji rocznej wyprowadz-

imy formuły na zmiany współrz˛ednych standardowych gwiazdy spowodowane przemieszczeniem
dowolnej natury. Niech

oznacza wersor kierunku gwiazdy (patrz rysunek 14.4). Jak wiadomo,

dowolne przemieszczenie

punktu na sferze mo˙ze by´c opisane jako rezultat iloczynu:

);

(14.19)

gdzie

jest werteksem przemieszczenia, tzn. kierunkiem na zenit w przypadku refrakcji albo kie-

runkiem apeksu ruchu obserwatora w przypadku aberracji. Gdy mamy do czynienia z aberracj ˛

a (w

klasycznym uj˛eciu) parametr

jest identyczny dla wszystkich gwiazd na kliszy, co stanowi bardzo

po˙zyteczne uproszczenie. Nie b˛edzie to prawd ˛

a w przypadku refrakcji, bowiem przemieszcze-

nie refrakcyjne jest proporcjonalne do tangensa a nie do sinusa odległo´sci k ˛

atowej gwiazdy od

14.6 Wpływ refrakcji astronomicznej i aberracji rocznej

191

Rysunek 14.3: Przemieszczenia gwiazd na kliszy fotograficznej wywołane zjawiskiem refrakcji
astronomicznej. Na sferze niebieskiej poło˙zenia gwiazd ulegaj ˛

a przesuni˛eciu wzdłu˙z łuków kół

wielkich przecinaj ˛

acych si˛e w zenicie miajsca obserwacji. W rezultacie, na kliszy obrazy gwiazd

przemieszczaj ˛

a sie wzdłu˙z prostych przecinaj ˛

acych si˛e w punkcie Z — rzutu zenitu na płaszczyzn˛e

kliszy.

SxS

Rysunek 14.4: Konfiguracja wektorów opisuj ˛

acych niewielkie przemieszczenie kierunku do

gwiazdy. Opis w tek´scie.

192

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

werteksu. Napiszmy równanie (14.19) w nieco rozszerzonej postaci:

[(s

)

℄

(14.20)

Po zró˙zniczkowaniu równa´n (14.11), tym razem wersor

jest znany dokładnie, otrzymamy zmi-

any współrz˛ednych standardowych gwiazdy:

a czyni ˛

ac to samo z równaniem (14.9), mamy

ds:

Podstawiaj ˛

ac ró˙zniczk˛e

oraz

do prawej strony równania na przyrost

b˛edziemy mieli:

[(s

)(s

)

)℄

[(s

)(I

)℄

Analogiczne równanie mamy dla

. Wykorzystuj ˛

ac ponownie równania (14.11) i (14.9), przy-

rosty

z tytułu dowolnej zmiany

przyjm ˛

a posta´c:

[

)℄

[

)℄

(14.21)

Iloczyny skalarne w równaniu (14.21) s ˛

a stałymi niezale˙znymi od współrz˛ednych gwiazd. Para-

metr

zdefiniowano jako długo´s´c wektora poło˙zenia punktu

(patrz rysunki 14.1 i 14.2). Dlatego

punkt ten, wzgl˛edem osi okre´slonych wersorami

ma współrz˛edne

(

;

, a zatem gdy

(

)

to mamy przybli˙zenie:

(

(14.22)

Podstawienie przybli˙zonej formuły na

do (14.21), wykonanie szeregu przekształce´n, pozostaw-

ienie jedynie wyrazów do rz˛edu drugiego ze wzgl˛edu na współrz˛edne standardowe, dajje nam
poszukiwane formuły na przyrosty

;

spowodowane przyrostem wersora

)

)(

)

)(

)

(14.23)

Wzór ten zastosujemy teraz dla poznania wpływu aberracji rocznej i refrakcji na współrz˛edne
tangencjalne gwiazdy.

Wpływ aberracji rocznej

Przyj˛eta posta´c równania (14.19) opisuj ˛

acego przemieszczenie gwiazdy na sferze oznacza, ˙ze

uwzgl˛edniona zostanie jedynie klasyczna aberracja rz˛edu pierwszego. Je´sli zachodzi konieczno´s´c
uwzgl˛ednienia aberracji do rz˛edu drugiego, nie da si˛e wł ˛

aczy´c jej jako poprawki aberracyjnej w

procesie redukcji płyty. I w takim przypadku musimy równikowe współrz˛edne ka˙zdej gwiazdy
odniesienia oddzielnie poprawi´c na aberracj˛e i ugi˛ecie promieni ´swietlnych, przed rozpocz˛eciem
oblicze´n redukcjnych płyty.

W podej´sciu klasycznym parametr

jest stał ˛

a zale˙zn ˛

a od pr˛edko´sci orbitalnej Ziemi. Równa-

niu (14.23) mo˙zemy nada´c posta´c:

(

)

(

);

(14.24)

14.6 Wpływ refrakcji astronomicznej i aberracji rocznej

193

gdzie

;

s ˛

a stałymi. Dostrzegamy oczywiste podobie´nstwo w notacji pomi˛edzy skład-

nikami równa´n (14.24) i (14.18). Ale w przeciwie´nstwie do (14.18) w przypadku abberracji, ka˙zdy
ze współczynników równania (14.24) w zasadzie mo˙ze by´c obliczony. Jednak nie zachodzi taka
potrzeba. W procesie redukcji współczynniki zerowego i pierwszego rz˛edu zostaj ˛

a zaabsorbowane

przez podobne wyrazy wynikaj ˛

ace z innych wpływów pozycyjnych i instrumentalnych. Ł ˛

aczne

warto´sci liczbowe tych współczynników wyznaczane s ˛

a empirycznie za pomoc ˛

a dopasowania po-

mi˛edzy współrz˛ednymi mierzonymi i standardowymi gwiazd oporowych. Niekoniecznie istotne
s ˛

a dla nas informacje o przyczynkach od poszczególnych wpływów.

Nieco inna sytuacja ma miejsce w przypadku członów rz˛edu drugiego. Ich przyczynek jest

bardzo mały i łatwy do oszacowania. Zauwa˙zaj ˛

ac, ˙ze dla danej płyty fotograficznej

jest stał ˛

aberracyjn ˛

a równ ˛

(

)

, mo˙zna pokaza´c, ˙ze w odległo´sci

od osi optycznej maksymalna

warto´s´c wyrazów aberracyjnych drugiego rz˛edu wynosi tylko

006

. St ˛

ad człony te s ˛

a najcz˛e´sciej

ignorowane. Je˙zeli musz ˛

a by´c uwzgl˛ednione, nale˙zy to uczyni´c przed porównaniem współrz˛e-

dnych standardowych z mierzonymi. Poci ˛

aga to konieczno´s´c oszacowania współczynników

. Z równania (14.24) mamy, ˙ze

odpowiadaj ˛

a zmianom rz˛edu zerowego we współ-

rz˛ednych standardowych, czyli przemieszczeniu

(dA

;

)

´srodka płyty wywołanemu aber-

racj ˛

a roczn ˛

a. Teoria ruchu orbitalnego Ziemi pozwala na obliczenie tego przemieszczenia, miano-

wicie:

(

sin

(

sin

A):

(14.25)

W analogiczny sposób mo˙zna potraktowa´c wpływ aberracji dobowej. Otrzymamy w tym wypadku
poprawki do współrz˛ednych (

;

) w postaci (14.24). Ale tym razem jest to efekt bardzo niewielki,

który w cało´sci zostaje zaabsorbowany w toku redukcji płyty fotograficznej.

Wpływ refrakcji atmosferycznej

Jednostkowy wektor

definiuje teraz zenit a jego składowe równikowe maj ˛

a posta´c:

( os

;

sin

;

sin

);

(14.26)

gdzie

jest astronomiczn ˛

a szeroko´sci ˛

a obserwatora,

jest lokalnym czasem gwiazdowym mo-

mentu obserwacji. za pomoc ˛

a (14.9) i (14.11) wprowad´zmy nast˛epuj ˛

ace oznaczenia:

(14.27)

Jak wida´c, warto´sci

;

mog ˛

a by´c łatwo obliczone. S ˛

a to współrz˛edne standardowe zenitu

miejsca obserwacji. Je˙zeli przyjmuj ˛

a warto´sci rz˛edu jedno´sci nie mo˙zna ich traktowa´c jako wiel-

ko´sci małe. Wprowadzaj ˛

ac jeszcze oznaczenie:

)

;

równania (14.21) przejd ˛

a w:

(

)

(

(14.28)

W najprostszym uj˛eciu refrakcji

jej wpływ jest proporcjonalny do tangensa odległo´sci zenitalnej

gwiazdy. Gdyby zachodziła proporcjonalno´s´c do sinusa, parametr

mo˙zna by traktowa´c jako

Jak zapewne doskonale pami˛etamy, najprostsze uj˛ecie refrakcji opiera si˛e na modelu płaskiej atmosfery.

194

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

stał ˛

a. Poniewa˙z tak nie jest, musimy napisa´c:

)

;

(14.29)

gdzie dopiero

jest dla całej kliszy stał ˛

a zale˙zn ˛

a od warunków atmosferycznych. Jednak takie

proste podej´scie jest uzasadnione jedynie dla umiarkowanych odległo´sci zenitalnych. W pobli˙zu
horyzontu trzeba bra´c formuły bardziej zło˙zone.

W naszych rozwa˙zaniach przyjmujemy, ˙ze

jest stałe dla całej płyty. Z geometrii omaw-

ianego zagadnienia (zerknij na rysunek 14.1) kierunek

do gwiazdy mo˙zna wyrazi´c jako:

J);

co po podstawieniu do (14.29) i uwzgl˛ednieniu zwi ˛

azków (14.27) pozwoli na wyra˙zenie parametru

za pomoc ˛

a formuły:

)

(14.30)

Bior ˛

ac za

formuł˛e pierwiastkow ˛

a z (14.22), równania (14.28) redukuj ˛

a si˛e do:

(

)

(

(14.31)

W celu nadania im postaci praktycznej koniecznym jest zastosowanie rozwini˛ecia w szeregi pot˛e-
gowe ze wzgl˛edu na współrz˛edne standardowe. Korzystaj ˛

ac z twierdzenia o dwumianie, ogranicza-

j ˛

ac si˛e do wyrazów rz˛edu drugiego dostaniemy:

[

)

℄

[

)

℄

(14.32)

Wyrazy rz˛edu zerowego i pierwszego s ˛

a uwzgl˛ednione w procesie redukcji płyty fotograficznej i

nie musz ˛

a by´c obliczone explicite. Wyrazy rz˛edu drugiego trzeba w formie poprawek wprowadzi´c

do ka˙zdej gwiazdy oporowej indywidualnie. Podobnie jak dla dowolnej gwiazdy, współrz˛edne

(

;

)

mo˙zna otrzyma´c za pomoc ˛

a formuł (14.12) jako:

sin

+ os

sin

+ os

;

(14.33)

gdzie

jest k ˛

atem godzinnym punktu tangencjalnego. Warto´sci wyrazów rz˛edu drugiego s ˛

a je-

dynie nieco wi˛eksze ni˙z odpowiednich wyrazów aberracyjnych gdy˙z

. Ale wzrastaj ˛

szybko ze wzrostem odległo´sci zenitalnej, a gdy wycinek nieba fotografowano w pobli˙zu hory-
zontu punkt

(

;

)

formalnie d ˛

a˙zy do niesko ´nczono´sci. W takich przypadkach trzeba uwzgl˛ed-

ni´c wyrazy rz˛edu trzeciego ale jednocze´snie, zastosowa´c bardziej realistyczne prawa refrakcji, co
poci ˛

aga zale˙zno´s´c parametru

od współrz˛ednych

(

;

)

14.7

Stałe płyty

Wyznaczenie sferycznych współrz˛ednych nowych, nieznanych obiektów znajduj ˛

acych si˛e na pły-

cie astrograficznej b ˛

ad´z zarejestrowanych w formie cyfrowej w postaci ramki CCD jest mo˙zliwe

po ustaleniu zwi ˛

azków mi˛edzy współrz˛ednymi standardowymi i zmierzonymi dla danej płyty

(ramki). W przypadku fotografii chodzi o współrz˛edne zmierzone na płytomierzu, w przypadku
ramki CCD o współrz˛edne uzyskane za pomoc ˛

a odpowiedniego oprogramowania. Zwi ˛

azki te

14.7 Stałe płyty

195

ustala si˛e za po´srednictwem gwiazd oporowych, dla których mamy do dyspozycji zarówno współ-
rz˛edne mierzone jak i ich poło˙zenia katalogowe.

Niech zatem b˛edzie, ˙ze poło˙zenia gwiazd na płycie zostały okre´slone w prostok ˛

atnym układzie

(x;

)

, wyra˙zone w jednostkach odległo´sci ogniskowej teleskopu. Ustalenia zwi ˛

azków dokonu-

jemy poprzez porównanie współrz˛ednych zmierzonych z

obliczonymi

współrz˛ednymi stan-

dardowymi gwiazd oporowych.

Ró˙znice mi˛edzy współrz˛ednymi

;

obliczonymi i prawdziwymi

omówili´smy ju˙z wcze´sniej,

s ˛

a one rezultatem wpływu bł˛edu ´srodka optycznego, wpływu aberracji rocznej i refrakcji atmos-

ferycznej. Ł ˛

acz ˛

ac wyra˙zenia na zmiany współrz˛ednych standardowych pochodz ˛

ace od ka˙zdej z

tych przyczyn z osobna, całkowite ró˙znice mi˛edzy obliczonymi a prawdziwymi współrz˛ednymi
standardowymi daj ˛

a si˛e opisa´c równaniami:

;

(14.34)

gdzie

;

s ˛

a stałymi współczynnikami o nieznanych warto´sciach.

W równaniu (14.34) pomini˛eto wyrazy rz˛edu drugiego, co wymaga zało˙zenia, ˙ze s ˛

a one

zaniedbywalnie małe. Je´sli takiego zało˙zenia nie mo˙zna uczyni´c, nale˙zy, indywidualnie dla ka˙zdej
gwiazdy, w trakcie obliczania współrz˛ednych standardowych wł ˛

aczy´c do tych współrz˛ednych

wyrazy drugiego rz˛edu opisuj ˛

ace wpływ aberracji i refrakcji.

Takie post˛epowanie nie jest mo˙zliwe dla wyrazów drugiego rz˛edu w

;

)

reprezentuj ˛

acych

wpływ bł˛edu ´srodka optycznego, bowiem efekt nachylenia płaszczyzny stycznej do osi optycznej
nie jest znany a priori. Dodanie tych wyrazów do równa´n (14.34) oznacza wprowadzenie dalszych
dwóch parametrów, co utrudni obliczenia, oraz co wa˙zniejsze, wymaga wi˛ekszej liczby gwiazd
oporowych.

Je˙zeli wszystkie współczynniki w (14.34) s ˛

a małe (rz˛edu

lub mniejsze) nie stanowi ˙zadnej

ró˙znicy czy po prawej stronie mamy współrz˛edne tangencjalne prawdziwe czy obliczone. W celu
rozró˙zniienia, oznaczmy obliczone warto´sci współrz˛ednych standardowych przez

(

;

)

, natomiast

ich prawdziwe warto´sci przez

;

)

. Zatem równania (14.34) mo˙zna przepisa´c jako:

(14.35)

Współrz˛edne zmierzone

(x;

)

ró˙zni ˛

a si˛e tak˙ze od współrz˛ednych

;

)

, cho´cby ze wzgl˛edu

na szereg bł˛edów instrumentalnych. Podajemy list˛e niektórych z nich o naturze geometrycznej. W
dalszej cz˛e´sci, zakładamy, ˙ze poza tymi bł˛edami proces powstania obrazu na kliszy jest idealny. Na
rysunku 14.5 punkt

jest przeci˛eciem osi optycznej z płyt ˛

a fotograficzn ˛

a. Stanowi on pocz ˛

atek

układu

;

)

, prawdziwych współrz˛ednych standardowych. Punkt

jest pocz ˛

atkiem układu

współrz˛ednych mierzonych. Do głównych bł˛edów instrumentalnych nale˙z ˛

przemieszczenie pocz ˛

atku układu współrz˛ednych; ujawniaj ˛

ace si˛e stałym przesuni˛eciem

;

)

pomi˛edzy współrz˛ednymi mierzonymi a prawdziwymi.

bł ˛

ad orientacji osi. Osie prawdziwe

;

z definicji odpowiadaj ˛

a epoce standardowej.

Osie

mog ˛

a natomiast by´c nachylone w stosunku do osi

;

o k ˛

nieprostopadło´s´c osi. Układ prawdziwy jest ´sci´sle ortogonalny, osie układu mierzonego
niekoniecznie. Miar ˛

a nieprostopadło´sci jest k ˛

bł˛edy skal osi, ich usuni˛ecie wymaga kalibracji pomiarów. Najprawdopodobniej b˛ed ˛

a to

bł˛edy odmienne dla osi

Prawdziwe współrz˛edne tangencjalne opisuj ˛

a poło˙zenia obci ˛

a˙zone refrakcj ˛

a, aberacj ˛

a roczn ˛

a, ... .

196

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

90−

O’

Rysunek 14.5: Wzajemna orientacja układów współrz˛ednych mierzonych i prawdziwych. Opis w
tek´scie.

Badaj ˛

ac wszystkie z powy˙zszych efektów oddzielnie, mo˙zna ustali´c ich przyczynki w ró˙znicach

mi˛edzy współrz˛ednymi standardowymi prawdziwymi a współrz˛ednymi zmierzonymi za pomoc ˛

płytomierza. Okazuje si˛e, ˙ze da si˛e je wyrazi´c za pomoc ˛

a formuł o postaci wyra˙ze´n liniowych,

czyli ł ˛

aczny efekt bł˛edów instrumentalnych ujawniaj ˛

acy si˛e w ró˙znicach

;

ma posta´c:

;

(14.36)

gdzie

;

s ˛

a stałymi.

Istnieje jednak jeszcze jeden efekt instrumentalny, który nale˙zy omówi´c, mianowicie tzw. bł ˛

nachylenia płyty fotograficznej (macierzy pikseli kamery CCD). Powierzchnia płyty powinna by´c
idealnie prostopadła do osi optycznej, a tymczasem w praktyce zawsze mamy do czynienia z
niewielkim odst˛epstwem od tego warunku. Wynikaj ˛

ace st ˛

ad bł˛edy powoduj ˛

a ró˙znice o postaci

czysto kwadratowej, dokładnie takie jak w równaniu (14.18). Dlatego gdy zachodzi taka potrzeba
obydwa bł˛edy w nachyleniu mog ˛

a by´c brane w rachub˛e jednocze´snie.

W praktyce obserwacyjnej w celu uwzgl˛ednienia wszystkich bł˛edów instrumentalnych, posta´c

równa´n (14.36) przyjmowana jest za wystarczaj ˛

ac ˛

a. Wobec tego, ł ˛

acz ˛

ac równania (14.35) i (14.36)

widzimy, ˙ze obliczone współrz˛edne standardowe

(

;

)

wi ˛

a˙z ˛

a si˛e ze współrz˛ednymi mierzonymi

(x;

)

za pomoc ˛

a równa´n:

(14.37)

gdzie

;

nosz ˛

a miano

stałych płyty

. Reprezentuj ˛

a one kom-

binacj˛e wszystkich przyczynków omówionych wcze´sniej. A zatem, postulujemy zwi ˛

azek trans-

formacyjny pomi˛edzy współrz˛ednymi standardowymi i mierzonymi postaci (14.37). Stałe płyty
wyznaczamy empirycznie porównuj ˛

ac standardowe i mierzone współrz˛edne gwiazd oporowych.

Najcz˛e´sciej stałe te b˛ed ˛

a wielko´sciami małymi rz˛edu

łuku. Nie interesujemy si˛e poszczegól-

nymi przyczynkami tkwi ˛

acymi w tych stałych.

W takim uj˛eciu mówimy o podej´sciu pierwszego rz˛edu ze wzgl˛edu na stałe płyty. Zdarza si˛e

jednak, ˙ze pomini˛ecie wyrazów postaci

(aX

)

jest nieuzasadnione, jednak je´sli chodzi o wyrazy

)

s ˛

a one rz˛edu milisekundy łuku i dlatego mog ˛

a by´c na pewno pomini˛ete.

Zast ˛

apienie w prawych stronach równa´n (14.37), współrz˛ednych prawdziwych

;

)

współrz˛ed-

nymi obliczonymi (

;

), albo współrz˛ednymi mierzonymi wprowadzi dodatkowe ró˙znice rz˛edu

poni˙zej milisekundy łuku. Dlatego mo˙zemy post ˛

api´c jak nam dogodniej, co oznacza, ˙ze zwykle

wykorzystujemy współrz˛edne mierzone, s ˛

a one bowiem dost˛epne i dla gwiazd oporowych i dla

obiektów, których poło˙zenia wyznaczamy. Czyli ostatecznie, zamiast (14.37) mo˙zemy bra´c rów-
nania:

(14.38)

14.8 Podstawy redukcji płyty

197

14.8

Podstawy redukcji płyty

Omówimy procedur˛e wyznaczenia rektascensji i deklinacji ciała niebieskiego. Metoda opiera si˛e
na liniowej zale˙zno´sci pomi˛edzy współrz˛ednymi mierzonymi i współrz˛ednymi standardowymi.

Niech b˛edzie, ˙ze na płycie fotograficznej na´swietlonej w momencie obserwacji

mamy

obrazy

gwiazd oporowych. Niech dalej b˛edzie, ˙ze dost˛epne s ˛

a ich poło˙zenia katalogowe, które

korygujemy za pomoc ˛

a poprawek na ruchy własne oraz paralaksy roczne, poprawki wyliczono na

epok˛e obserwacji

. Zapiszmy poprawione współrz˛edne sferyczne gwiazd oporowych jako pary

(

;

);

;

Przyjmujemy równie˙z, ˙ze dysponujemy pewnymi danymi dotycz ˛

acymi teleskopu, z ich po-

moc ˛

a mo˙zemy w przybli˙zeniu okre´sli´c poło˙zenie ´srodka płyty

;

, czyli punktu przeci˛ecia osi

optycznej z klisz ˛

a. Punkt ten przyjmujemy za pocz ˛

atek układu współrz˛ednych mierzonych.

Dalej zakładamy, ˙ze orientacja osi układu współrz˛ednych mierzonych w stosunku do układu

tangencjalnego, jest znana z dostateczn ˛

a dokładno´sci ˛

a. Je˙zeli nie, w celu dopasowania osi układu

współrz˛ednych mierzonych mo˙zemy wykorzysta´c poło˙zenia gwiazd oporowych. Kiedy układ
współrz˛ednych mierzonych został ju˙z nale˙zycie ustawiony, wykonujemy pomiary wszystkich potrzeb-
nych obiektów na płycie. Niech

;

);

;

b˛ed ˛

a zmierzonymi współrz˛ednymi gwiazd,

natomiast

(x;

)

zmierzonymi współrz˛ednymi badanego obiektu.

Kolej teraz na oszacowanie równikowych współrz˛ednych

(A;

)

punktu tangencjalnego na

sferze niebieskiej. W tym celu, wykorzystuj ˛

ac niektóre z gwiazd oporowych, ich współrz˛edne

zmierzone i sferyczne, mo˙zna dokona´c odwrotnej liniowej interpolacji i otrzyma´c równikowe
współrz˛edne pocz ˛

atku układu mierzonego. Je˙zeli nie jest to dostatecznie dokładne podej´scie, to

nale˙zy liczy´c si˛e ze sporym bł˛edem nachylenia. Ale mo˙zna współrz˛edne te poprawi´c w nast˛epnym
etapie, dlatego przyjmijmy, ˙ze dysponujemy dostatecznie dobrym oszacowaniem warto´sci

(A;

)

co w rzeczywisto´sci ma zwykle miejsce. Wykorzystuj ˛

ac współrz˛edne

(A;

)

oraz

(

;

)

gwiazd

oporowych obliczamy ich współrz˛edne standardowe

(

;

);

;

Ostatecznie, mamy do dyspozycji zarówno współrz˛edne mierzone jak i standardowe gwiazd

oporowych, co oznacza, ˙ze w oparciu o równania (14.38) mo˙zemy napisa´c

równa´n warunk-

owych na stałe płyty:

;

(14.39)

By obliczy´c wszystkie stałe wystarcz ˛

a 3 gwiazdy. W praktyce dost˛epnych jest wi˛ecej na czym

zreszt ˛

a bardzo nam zale˙zy. Ale w takim przypadku rozwi ˛

azanie układu (14.39) wymaga zas-

tosowania metody najmniejszych kwadratów. W układzie równa´n (14.39) obliczenia stałych

mo˙zna wykona´c osobno, przykładowo stałe

uzyskamy jako rozwi ˛

azanie układu

równa´n normalnych postaci:

i=1

(

)

i=1

(

)

(14.40)

i=1

(

);

gdzie sumowanie rozci ˛

aga si˛e na wszystkie gwiazdy oporowe. Z postaci równa´n (14.40) wynika,

˙ze przyj˛eto jednakowe wagi dla wszystkich gwiazd.

198

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

Podobny układ mo˙zna napisa´c dla parametrów

. Je˙zeli rozwi ˛

azania na

;

s ˛

a du˙ze,

prawdopodobnie oznacza to du˙zy bł ˛

ad w okre´sleniu poło˙zenia ´srodka optycznego. Poło˙zenie

to mo˙zna skorygowa´c by uzyska´c lepsz ˛

a zgodno´s´c pomi˛edzy punktem styczno´sci na sferze i

pocz ˛

atkiem układu mierzonego. Decyduj ˛

ac si˛e na taki krok godzimy si˛e z konieczno´sci ˛

a ponownego

obliczenia współrz˛ednych standardowych gwiazd oporowych oraz powtórzenia procedury najm-
niejszych kwadratów.

Wł ˛

aczenie do wyrównania bł˛edów w nachyleniu kliszy (poprzez wprowadzenie wyrazów

kwadratowych do równa´n (14.39)) oznacza, ˙ze musimy obliczy´c dodatkowe stałe kliszy. W
konsekwencji poci ˛

aga to wzrost minimalnej liczby niezb˛ednych gwiazd oporowych z trzech do

czterech. Ponadto nast˛epuje komplikacja problemu od strony rachunkowej, w szczególno´sci z
powodu konieczno´sci ł ˛

acznego rozwi ˛

azania najmniejszych kwadratów dla obu współrz˛ednych.

Pozostaj ˛

ac przy modelu liniowym, dysponuj ˛

ac stałymi kliszy, za pomoc ˛

a równania (14.38)

obliczamy współrz˛edne standardowe badanego obiektu. I dalej stosuj ˛

ac równania (13) wyz-

naczamy jego współrz˛edne równikowe.

Znaczenie tych współrz˛ednych jest nieco ró˙zne w zale˙zno´sci od tego czy badany obiekt jest

członkiem Układu Słonecznego czy nie. Rozwa˙zmy oba przypadki.

Wyznaczenie współrz˛ednych gwiazdy

Wyznaczaj ˛

ac poło˙zenia obiektów gwiazdowych, paralaks˛e geocentryczn ˛

a gwiazd oporowych mo˙zna

zaniedba´c w cało´sci. Aberracja i refrakcja s ˛

a poprawione automatycznie w procesie redukcji płyty

fotograficznej bowiem ich przyczynki pierwszego rz˛edu zostaj ˛

a zaabsorbowane w stałych płyty.

Je˙zeli prawd ˛

a jest ˙ze efektów drugiego rz˛edu nie mo˙zna pomin ˛

a´c, nale˙zy dokona´c stosownych

poprawek w obliczonej pozycji badanego obiektu. Efekty drugiego rz˛edu (aberracji, refrakcji,
bł˛edów ´srodka) mo˙zna bezpiecznie pomin ˛

a´c gdy badany obiekt znajduje si˛e w centrum pola

widzenia teleskopu, czyli w pobli˙zu ´srodka rzutowania na płycie.

Zastosowanie w procedurze redukcyjnej współrz˛ednych standardowych oznacza, ˙ze poło˙ze-

nie badanego obiektu b˛edzie równie˙z odniesione do standardowego równika i równonocy. A za-
tem, obliczone

(;

)

gwiazdy b˛ed ˛

a ró˙zniły si˛e od miejsca standardowego ´sredniego

(

;

)

tej˙ze

gwiazdy jedynie o roczn ˛

a paralaks˛e i ruch własny. Je˙zeli obserwacj˛e wykonano

lat po epoce

standardowej, mo˙zemy powi ˛

aza´c

(;

)

z miejscem standardowym nast˛epuj ˛

acymi formułami:

sin

)

sin

)

(14.41)

gdzie

;

s ˛

a równikowymi współrz˛ednymi poło˙zenia Ziemi w momencie obserwacji,

jest

paralaks ˛

a roczn ˛

a gwiazdy.

Wyznaczenie współrz˛ednych obiektu z Układu Słonecznego

Obliczone współrz˛edne efemmerydy ciała nale˙z ˛

acego do Układu Słonecznego, przykładowo plan-

ety, s ˛

a to warto´sci podane wzgl˛edem ´srodka Ziemi. Dlatego by je porówna´c ze współrz˛ednymi

obiektu wyznaczonymi z płyty fotograficznej, te ostatnie trzeba poprawi´c na paralaks˛e geocen-
tryczn ˛

a. W tym celu, niech

b˛edzie geocentryczn ˛

a odległo´sci ˛

a do planety,

(;

)

geocentryczn ˛

odległo´sci ˛

a i geocentryczn ˛

a szeroko´sci ˛

a obserwatora. Wówczas poprawione współrz˛edne

(

;

)

otrzymamy za pomoc ˛

a znanych formuł:

sin

( os

sin

(14.42)

Współrz˛edne

(

;

)

okre´slaj ˛

a tzw.

miejsce astrometryczne

planety. Współrz˛edne as-

trometryczne s ˛

a oczywist ˛

a standaryzacj ˛

a poło˙ze´n planet wyznaczonych z płyty fotograficznej.

14.9 Metoda dependensów

199

Trzeba jednak sobie przypomnie´c, ˙ze w procesie redukcji dokonujemy poprawek jedynie za aber-
racj˛e roczn ˛

a, ˙ze niczego nie uwzgl˛edniamy z tytułu orbitalnego ruchu własnego planety. Najprost-

szym lekarstwem na tak ˛

a sytuacj˛e jest wprowadzenie do wyznaczonych współrz˛ednych planety

aberracji rocznej, po czym zastosowanie poprawki na aberracj˛e planetarn ˛

a. Przypu´s´cmy, ˙ze ob-

serwacji dokonano w momencie

, natomiast

niech b˛edzie oszacowanym czasem propagacji

´swiatła. Aberracja planetarna mo˙ze by´c uwzgl˛edniona w sposób prosty przez antydatowanie ob-
serwacji o czas

. Zatem przej´scie od miejsca astrometrycznego

(

;

)

do miejsca geome-

trycznego

(

;

)

mo˙ze by´c dokonane za pomoc ˛

a formuł:

(

sin

(

sin

(14.43)

gdzie

;

s ˛

a składowymi pr˛edko´sci orbitalnej Ziemi.

Miejsce geometryczne jest naturalnie tym czego wymaga si˛e dla analiz dynamicznych, jest

odniesione do standardowego, a wi˛ec nieruchomego równika i równonocy. Ale, pami˛etajmy,
miejsce to odnosi si˛e nie do momentu obserwacji ale do momentu

)

14.9

Metoda dependensów

To co opisano w rozdziele 14.8 mo˙zna uwa˙za´c za tradycyjn ˛

a metod˛e redukcji płyty astrograficznej

okre´slan ˛

a jako

metoda Turner’a

. Jest to metoda ju˙z wyparta z praktyki obserwacyjnej. Jed-

nak stosowanie współrz˛ednych standardowych ma pewne zalety, w szczególno´sci: łatwo´s´c zrozu-
mienia zasady redukcji płyty, prostota rachunkowa procesu redukcyjnego. Współczesne metody
wymagaj ˛

a procedur iteracyjnych i dlatego s ˛

a rachunkowo uci ˛

a˙zliwe. Przejdziemy do nich za

chwil˛e.

Przedtem poznamy jeszcze jedn ˛

a tradycyjn ˛

a technik˛e zwan ˛

metod ˛

a dependensów

. Metoda

ta upraszcza proces redukcyjny gdy ten sam obszar nieba jest fotografowany wielokrotnie. Metod˛e
dependensów zastsowano najpierw do wyznaczania paralaks gwiazd, ale znajduje ona i inne za-
stosowania. Do wyznaczenia paralaks nadaje si˛e wy´smienicie, bowiem wyznaczenie paralaksy
wymaga fotografowania tego samego pola gwiazdowego wielokrotnie w ró˙znych momentach
roku. Przemieszczenie paralaktyczne gwiazdy rozpatrujemy wzgl˛edem tła pola gwiazdowego,
które traktowane jest jako nieruchome. Je˙zeli dla wszystkich płyt wybierzemy ten sam punkt
tangencjalny, to współrz˛edne standardowe gwiazd oporowych b˛ed ˛

a zawsze takie same. Jedynie

współrz˛edne badanej gwiazdy b˛ed ˛

a si˛e nieco zmieniały z kliszy na klisz˛e.

W metodzie, któr ˛

a omawiamy wykorzystywany jest zbiór stałych zwanych dependensami,

które ilo´sciowo okre´slaj ˛

a stopie´n w jakim poło˙zenie badanej gwizdy zale˙zy od poło˙zenia danej

gwiazdy oporowej. W celu uproszczenia dyskusji załó˙zmy, ˙ze mamy jedynie trzy gwiazdy oporowe
o współrz˛ednych standardowych

(

;

);

. Ich współrz˛edne mierzone

;

)

zmieni-

aj ˛

a si˛e od płyty do płyty, współrz˛edne standardowe s ˛

a natomiast stałe i znane a priori. Niech

para

;

)

b˛edzie estymat ˛

a standardowych współrz˛ednych interesuj ˛

acej nas gwiazdy. Mo˙zna

je otrzyma´c za pomoc ˛

a metody Turner’a. Ale mo˙ze okaza´c si˛e, ˙ze wystarcz ˛

a w tym celu współ-

rz˛edne mierzone wzi˛ete z której´s kliszy.

Do ka˙zdej z płyt stosujemy nast˛epuj ˛

ac ˛

a procedur˛e. W celu omówienia jej wystarczy je˙zeli

w szczegółach ograniczymy si˛e do składowej mierzonej x-sowej. Niech

b˛edzie mierzon ˛

współrz˛edn ˛

a i-tej gwiazdy oporowej,

współrz˛edn ˛

a mierzon ˛

a badanej gwiazdy. Dalej niech

oznacza współrz˛edn ˛

a standardow ˛

a badanej gwiazdy, wszystkie współrz˛edne dotycz ˛

a dowolnej,

tej samej płyty. Z równania (14.38) mamy zatem:

(14.44)

200

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

Rysunek 14.6: Interpretacja geometryczna dependensów. Opis w tek´scie.

W pierwszych trzecch z tych równa´n wpsółrz˛edne standardowe gwiazd s ˛

a takie same dla wszyst-

kich klisz. Stałe płyty zmieniaj ˛

a si˛e z kliszy na klisz˛e, ale mo˙zemy je wyeliminowa´c w nast˛epuj ˛

acy

sposób. Do trzech pierwszych równa´n (14.44) wprowadzamy pewne stałe mno˙zniki

po czym

sumujmy je stronami po wska´zniku

. Nast˛epnie od otrzymanych sum odejmujemy ostatnie z

równa´n (14.44):

(

)

(

a(D

)

b(D

)

(14.45)

przy czym zgodnie z konwencj ˛

a sumacyjn ˛

a Einsteina, w wyrazach, w których wska´znik

powtarza

si˛e nale˙zy widzie´c sum˛e po tym wska´zniku.

Teraz kolej na chwyt. Mno˙zniki

mo˙zemy wybra´c w ró˙zny sposób ale nam opłaca si˛e

wybra´c je tak by znikły wyra˙zenia ww nawiasach przed stałymi

. A takie wymaganie poci ˛

aga

nast˛epuj ˛

ace warunki:

(14.46)

Rozwi ˛

azanie układu (14.46) nazywane jest dependensami. Dependensy

s ˛

a to wielko´sci

iden-

tyczne

dla wszystkich płyt danego ci ˛

agu obserwacyjnego. Dzi˛eki takiemu doborowi mno˙zników

równanie (14.45) znakomicie si˛e upraszcza. Prawe strony znikaj ˛

a a równanie redukuje si˛e do

prostego wyra˙zenia na współrz˛edn ˛

a standardow ˛

badanej gwiazdy. Analogicznie równanie

mo˙zna napisa´c dla współrz˛ednej

. W komplecie mamy zatem:

(14.47)

Równanie (14.47) pozwala bezpo´srednio ze współrz˛ednych mierzonych obliczy´c współrz˛edne
standardowe badanej gwiazdy, a tak˙ze gwiazd oporowych. Oszcz˛edzamy wi˛ec znacznego wysiłku,
gdy˙z nie musimy osobno dla ka˙zdej płyty liczy´c stałych kliszy.

A oto interpretacja trzech dependensów

;

. Na rysunku 14.6

;

oznaczaj ˛

poło˙zenia trzech gwiazd oporowych naniesione na płaszczy´znie

(

;

)

za pomoc ˛

a wspólrz˛ed-

nych standardowych. Niech

b˛edzie punktem reprezentuj ˛

acym oszacowane poło˙zenie badanej

gwiazdy. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze dependensy daj ˛

a si˛e wyrazi´c jako stosunki powierzchni trójk ˛

atów z

rysunku 14.6:

;

(14.48)

Interpretacja ta pozwala na wyznaczanie dependensów metod ˛

a graficzn ˛

a. W praktyce dependensy

mo˙zna obliczy´c z wystarczaj ˛

ac ˛

a dokładno´sci ˛

a z równa´n analogicznych do (14.46), w których za-

miast współrz˛ednych standardowych poło˙zono współrz˛edne mierzone gwiazd z dowolnej płyty.

14.10 Bezpo´srednie wykorzystywanie współrz˛ednych prostok ˛

atnych

201

xi+yj

Rysunek 14.7: Wyznaczenie poło˙zenia gwiazdy we współrz˛ednych prostok ˛

atnych.

Metoda dependensów daje najlepsze rezultaty gdy badana gwiazda, le˙zy w pobli˙zu centroidu

trójk ˛

ata

;

. A przynajmniej, je´slii chcemy by wszystkie dependensy były dodatnie,

trzy gwiazdy oporowe nale˙zy wybra´c w taki sposób by badana gwiazda znajdowała we wn˛etrzu
trójk ˛

ata. W przeciwnym razie jeden z dependensów b˛edzie ujemny.

14.10

Bezpo´srednie wykorzystywanie współrz˛ednych prostok ˛

at-

nych

Współrz˛edne standardowe do niedawna bardzo intensywnie wykorzystywane, stanowi ˛

a wa˙zn ˛

teoretyczn ˛

a koncepcj˛e w idealizowanym procesie opracowania pola gwiazdowego na płycie fo-

tograficznej. W przeszło´sci znaczenie tej koncepcji było bardzo du˙ze. Przed rozpowszechnie-
niem si˛e komputerów pozwalaj ˛

acych na realizacj˛e metod iteracyjnych, wspólrz˛edne standardowe

stanowiły ł ˛

acznik mi˛edzy tym co mierzono na płycie a tym co znajdowało si˛e na sferze niebies-

kiej. Jednak˙ze ju˙z nie musz ˛

a dłu˙zej pełni´c tej funkcji, bowiem opracowano metody pozwalaj ˛

ac ˛

redukowa´c fotograficzne obserwacje bezpo´srednio we współrz˛ednych prostok ˛

atnych gwiazd.

W samej rzeczy, współrz˛edne standardowe s ˛

a równowa˙zne szczególnemu układowi osi współ-

rz˛ednych, w którym jedna o´s jest skierowana na punkt tangencjalny. Redukcja fotograficzna płyty
oparta o metody wektorowe nie zale˙zy od doboru układu współrz˛ednych, st ˛

ad mo˙zna j ˛

a tak sfor-

mułowa´c by uzyska´c takie wspólrz˛edne prostok ˛

atne jakie s ˛

a wymagane.

Omówione wcze´sniej metody tradycyjne s ˛

a oczywi´scie znacznie prostsze i mo˙zna je wyko-

rzysta´c nawet z programowalnymi kalkulatorami kieszonkowymi. Ale s ˛

a to zgrabne metody je-

dynie wtedy, gdy nie ma potrzeby uwzgl˛ednienia wyrazów rz˛edu drugiego — w szczególno´sci
wyrazów reprezentuj ˛

acych poprawki od bł˛edów nachylenia kliszy. W celu osi ˛

agni˛ecia najwy˙zszej

precyzji, wykorzystuj ˛

ac współrz˛edne standardowe koniecznym jest stosowanie metod iteracyjnych

a w takich wypadkach przewaga metod tradycyjnych znika. Dlatego współczesne metody reduk-
cyjne cechuje tendencja do zupełnego rozstania si˛e ze współrz˛ednymi standardowymi.

Przedstawimy krótki szkic takiej metody redukcji płyty fotograficznej. Opiera si˛e ona na ide-

alizowanej projekcji centralnej. Poniewa˙z metoda powinna uwzgl˛edni´c równie˙z wyrazy wy˙zsze
od rz˛edu pierwszego, najwygodniej b˛edzie wł ˛

aczy´c wszystkie efekty pozycyjne do współrz˛e-

dnych gwiazd oporowych. Oznacza to, ˙ze współrz˛edne tych gwiazd b˛ed ˛

a współrz˛ednymi ob-

serwowanymi, czyli zawieraj ˛

acymi przemieszczenie refrakcyjne, aberracyjne i je˙zeli trzeba, tak˙ze

efekt ugi˛ecia ´swiatła. Otrzymane wspólrz˛edne obiektu b˛ed ˛

a równie˙z zawierały te wpływy. Wszys-

tkie poło˙zenia b˛ed ˛

a jednak odniesione do standardowego równika i równonocy. Na rysunku 14.7

punkt

przedstawia centrum rzutowania. Gwiazda znajduj ˛

aca si˛e w kierunku

odwzorowała si˛e

w miejscu

na kliszy fotograficznej. Niech współrz˛edne mierzone gwiazdy wzgl˛edem punktu

wynosz ˛

(x;

)

, niech współrz˛edne te s ˛

a wyra˙zone w jednostkach odległo´sci ogniskowej. Skoro

202

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

odcinek

wybrali´smy jako jednostk˛e długo´sci, wersor

ma zatem długo´s´c równ ˛

a odcinkowi

. Wektor ł ˛

acz ˛

acy na płycie punkty

mo˙zna okre´sli´c jako:

(14.49)

W przypadku idealnym wektory

mo˙zna identyfikowa´c z ortogonalnymi wektorami jednos-

tkowymi

wprowadzonymi wcze´sniej. Ze wzgl˛edu na wpływy instrumentalne, wektory

s ˛

jedynie bliskie wektorom jednostkowym, ponadto nie musz ˛

a by´c wzajemnie prostopadłe. Podob-

nie b˛edzie w przypadku wersora

, tzn. b˛edzie on obci ˛

a˙zony szeregiem bł˛edów instrumentalnych.

Zatem, wobec poczynionych wy˙zej ustale´n, długo´s´c

S=C

, i zgodnie z przyj˛etymi

oznaczeniami:

(14.50)

Aby otrzyma´c składowe wektorów

;

oraz

, równanie (14.50) trzeba najpierw zastosowa´c do

gwiazd oporowych. Gdy składowe te b˛ed ˛

a ju˙z znane, równanie (14.50) mo˙zna zastosowa´c do

obliczenia składowych wersora poło˙zenia dowolnego obiektu na płycie, bowiem

jest do wye-

liminowania za pomoc ˛

a warunku:

(14.51)

koniecznego na to by

był wektorem jednostkowym.

Przypu´s´cmy, ˙ze do dyspozycji mamy

gwiazd oporowych o poło˙zeniach na sferze okre´slonych

za pomoc ˛

a wersorów

. Współrz˛edne mierzone tych gwiazd wynosz ˛

;

)

. Dla ka˙zdej

gwiazdy oporowej definiujemy residualny wektor:

(14.52)

Zatem musimy wyznaczy´c dziewi˛e´c składowych trzech nieznanych wektorów

;

. Faktycznie

jest ich tylko osiem, poniewa˙z

z definicji jest wektorem jednostkowym. Stosujemy w tym celu

metod˛e najmniejszych kwadratów, a ´sci´slej jej wariant z mno˙znikami Lagrange, polegaj ˛

acy na

minimalizacji funkcja

postaci:

k =1

(14.53)

gdzie

jest nieznanym mno˙znikiem Lagrange’a. Funkcj˛e

traktuje si˛e jako funkcj˛e zale˙zn ˛

od wszystkich dziewi˛eciu składowych trzech niewiadomych wektorów. Warunek minimalizacji
doprowadza do 9-ciu skalarnych równa´n normalnych. Równania te wraz z warunkiem

pozwalaj ˛

a na otrzymanie rozwi ˛

azania.

Omawiana metoda jest bardzo skomplikowana. Mimo mo˙zliwych pewnych zało˙ze´n upraszcza-

j ˛

acych, równania normalne s ˛

a zasadniczo nieliniowe i mog ˛

a by´c rozwi ˛

azane jjedynie iteracyjnie.

A to oznacza dodatkowy problem: warto´sci

zale˙z ˛

a od rozwi ˛

aza´n na wektory

, same za´s

s ˛

a potrzebne do ustalenia tych rozwi ˛

aza´n, st ˛

ad zachodzi potrzeba dysponowania ich nale˙zytymi

oszacowaniami. Dobre warto´sci pocz ˛

atkowe na

otrzymywane s ˛

a poprzez zało˙zenie, ˙ze trzy

potrzebne wektory tworz ˛

a układ ortonormalny, to jest, jako pierwsze przybli˙zenie mo˙zna bra´c:

(14.54)

Wówczas z równa´n normalnych daje si˛e policzy´c składowe wektorów

, inicjuj ˛

ac tym samym

proces iteracyjny mi˛edzy (52) i równaniami normalnymi. Proces zbiega si˛e szybko.

14.11 Zadanka na ´cwiczenia

203

14.11

Zadanka na ´cwiczenia

1. Udowodnij, ˙ze współrz˛edne równikowe (

;

) gwiazdy wyra˙zone s ˛

a za pomoc ˛

a współrz˛e-

dnych tangencjalnych (

;

) przez:

ar tan

sin

ar sin

sin

2. Udowodnij, ˙ze dependensy

mo˙zna oblicza´c za pomoc ˛

a wyra˙ze´n (14.48), tzn. jako sto-

sunki powierzchni trójk ˛

atów utworzonych z gwiazd oporowych i badanego obiektu.

3. Trzy gwiazdy z gromady Plejady maj ˛

a nast˛epuj ˛

ace współrz˛edne równikowe:

12:

);

19:

);

09:

)

´Srodek optyczny kliszy ma współrz˛edne równikowe

;

)

. Oblicz współrz˛edne

standardowe tych gwiazd.

4. Korzystaj ˛

ac z rezultatów poprzedniego zadania, dla gwiazdy, której oszacowane współrz˛e-

dne standardowe wynosz ˛

(0:0002;

0:0018)

, oblicz dependensy wzgl˛edem trzech podanych

gwiazd z Plejad.

5. By wykorzysta´c dorobek obliczeniowy z dwóch poprzednich zada´n, wyznacz rektascensj˛e i

deklinacj˛e nieznanej gwiazdy. Współrz˛edne mierzone gwiazd odniesienia wynosz ˛

(

:00712;

0:00834);

(

0:00271;

0:00072);

(0:00856;

0:00112)

Współrz˛edne mierzone badanej gwiazdy wynosz ˛

(0:00019;

0:00196)

6. Wyprowad´z równania (14.40) z tekstu wykładu.

204

Astrometria na płaszczy´znie stycznej

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1986 14 Bomby na Tarent
8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
E2 14 zadania na powtorzenie
Standardy sprawozdawczości 14 zagadnienia na egzamin
liczby zespolone na płaszczyźnie2
11 całkowanie na płaszczyźnie zespolonej 2
figury na płaszczyźnie1
prosta na plaszczyznie lista nr 6
9 całkowanie na płaszczyźnie zespolonej 1
zaliczenia z hist gosp, ROZDZIAŁ 14, Gospodarka na ziemiach polskich
TTulejski Tematy egzaminacyjne z Doktryn Polityczno Spolecznych 2013 14, Pytania na egzamin z Doktry
2011 8 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ
GKIW Moduł 5 Reprezentacja przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyźnie Studia Informatyczne
03 Ruch na płaszczyźnieid 4473
03 ruch na płaszczyźnie

więcej podobnych podstron