Algebra liniowa z geometrią analityczną, studia zaoczne-semestr 2

Proste i płaszczyzny- Lista 6

ZAD.1.
Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=(1, -2, 0) i jest prostopadła do wektora

n=0,−3,2

b) płaszczyzna przechodzi przez punkty

P

1

=1,1,1

P

2

=−1,0,1

P

3

=5,6,7

c) płaszczyzna przechodzi przez punkty

P

1

=1,−3,4

P

2

=2,0 ,−1

oraz jest prostopadła do

płaszczyzny X0Z
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt

P

1

=−1,4,1

i jest równoległa do płaszczyzny

x-y+6z-12=0
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt

P

=2,3,6

i jest prostopadła do płaszczyzny x+y+z-5=0 i drugiej

płaszczyzny x-y+2=0

ZAD.2.
Napisać równanie kierunkowe i parametryczne prostych spełniających warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P=(-3, 5, 2) i jest równoległa do wektora

v=2,−1,3

b)prosta przechodzi przez punkty

P

1

=−1,1,0

P

2

=0,3 ,−2

c) prosta jest częścią wspólną płaszczyzny x+2z+-4=0 oraz drugiej płaszczyzny x-y+6=0

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

P

0

=x

0

, y

0

, z

0



o wektorze wodzącym



r

0

i

prostopadłej do wektora

n= A , B , C ≠0

ma postać:

r− r

0

°n=0

gdzie

r= x , y , z

jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor

n

jest nazywamy

wektorem normalnym tej płaszczyzny zatem równanie płaszczyzny opisuje się wzorem:

A

⋅x− x

0

 B⋅ y− y

0

C⋅z−z

0

=0

Równanie ogólne płaszczyzny:

Ax+By+Cz+D=0

gdzie |A|+|B|+|C|>0. Płaszczyzna tama wektor normalny

n=A , B , C 

i przecina oś OZ w punkcie

z

=−

D

C

, C

≠0.

Równanie parametryczne płaszczyzny:
przechodzącej przez punkt

P

0

= x

0

, y

0

, z

0



o wektorze wodzącym



r

0

i rozpiętej na

niewspółliniowych wektorach

u=a

1

, b

1

, c

1



oraz

v=a

2

, b

2

, c

2



ma postać:

r= r

0

s⋅ut⋅v , s ,t ∈R

lub inaczej

x , y , z=x

0,

y

0,

z

0

s⋅ a

1,

b

1,

c

1

t⋅a

2,

b

2,

c

2

, s , t∈R .

Równanie parametryczne prostej:
przechodzącej przez punkt

P

0

=x

0

, y

0

, z

0



o wektorze wodzącym



r

0

i wyznaczonej przez niezerowy

wektor kierunkowy

v=a , b ,c

ma postać:

r= r

0

t⋅v , t ∈R

lub inaczej

x , y , z= x

0

, y

0

, z

0

t⋅a , b, c , t∈R .

Równanie kierunkowe prostej:
przechodzącej przez punkt

P

0

=x

0

, y

0

, z

0



o wektorze wodzącym



r

0

i wyznaczonej przez niezerowy

wektor kierunkowy

v=a , b , c

ma postać:

x

−x

0

a

=

y

− y

0

b

=

z

− z

0

c

.