Algebra liniowa z geometrią analityczną, studia zaoczne-semestr 2
Proste i płaszczyzny- Lista 6
ZAD.1.
Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=(1, -2, 0) i jest prostopadła do wektora
n=0,−3,2
b) płaszczyzna przechodzi przez punkty
P
1
=1,1,1
P
2
=−1,0,1
P
3
=5,6,7
c) płaszczyzna przechodzi przez punkty
P
1
=1,−3,4
P
2
=2,0 ,−1
oraz jest prostopadła do
płaszczyzny X0Z
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt
P
1
=−1,4,1
i jest równoległa do płaszczyzny
x-y+6z-12=0
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt
P
=2,3,6
i jest prostopadła do płaszczyzny x+y+z-5=0 i drugiej
płaszczyzny x-y+2=0
ZAD.2.
Napisać równanie kierunkowe i parametryczne prostych spełniających warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P=(-3, 5, 2) i jest równoległa do wektora
v=2,−1,3
b)prosta przechodzi przez punkty
P
1
=−1,1,0
P
2
=0,3 ,−2
c) prosta jest częścią wspólną płaszczyzny x+2z+-4=0 oraz drugiej płaszczyzny x-y+6=0
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
P
0
=x
0
, y
0
, z
0
o wektorze wodzącym
r
0
i
prostopadłej do wektora
n= A , B , C ≠0
ma postać:
r− r
0
°n=0
gdzie
r= x , y , z
jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor
n
jest nazywamy
wektorem normalnym tej płaszczyzny zatem równanie płaszczyzny opisuje się wzorem:
A
⋅x− x
0
B⋅ y− y
0
C⋅z−z
0
=0
Równanie ogólne płaszczyzny:
Ax+By+Cz+D=0
gdzie |A|+|B|+|C|>0. Płaszczyzna tama wektor normalny
n=A , B , C
i przecina oś OZ w punkcie
z
=−
D
C
, C
≠0.
Równanie parametryczne płaszczyzny:
przechodzącej przez punkt
P
0
= x
0
, y
0
, z
0
o wektorze wodzącym
r
0
i rozpiętej na
niewspółliniowych wektorach
u=a
1
, b
1
, c
1
oraz
v=a
2
, b
2
, c
2
ma postać:
r= r
0
s⋅ut⋅v , s ,t ∈R
lub inaczej
x , y , z=x
0,
y
0,
z
0
s⋅ a
1,
b
1,
c
1
t⋅a
2,
b
2,
c
2
, s , t∈R .
Równanie parametryczne prostej:
przechodzącej przez punkt
P
0
=x
0
, y
0
, z
0
o wektorze wodzącym
r
0
i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunkowy
v=a , b ,c
ma postać:
r= r
0
t⋅v , t ∈R
lub inaczej
x , y , z= x
0
, y
0
, z
0
t⋅a , b, c , t∈R .
Równanie kierunkowe prostej:
przechodzącej przez punkt
P
0
=x
0
, y
0
, z
0
o wektorze wodzącym
r
0
i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunkowy
v=a , b , c
ma postać:
x
−x
0
a
=
y
− y
0
b
=
z
− z
0
c
.