Algebra z geometrią, Zestaw 10, A.Sz.

Wektory, proste i płaszczyzny w przestrzeni R

3

1. Dane są punkty: P

1

(1, 2, 3), P

2

(3, 3, 1), P

3

(2, 1, −1), P

4

(1, 0, 2).

Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach P

1

, P

2

, P

3

.

Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach P

1

, P

2

, P

3

, P

4

.

Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P

1

, P

2

i P

3

oraz odległość punktu P

4

od tej płaszczyzny.

2. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π

2.1. przechodzącej przez punkt P (1, −2, 3) i prostopadłej do wektora ~

v = [2, 1, 4].

2.2. przechodzącej przez punkt P (1, 1, −3) i równoległej do płaszczyzny x − 3y + 2z − 3 = 0.

2.3. przechodzącej przez punkty P (3, 1, 1) i R(2, 0, −1) i równoległej do wektora ~

v = [3, 4, 5].

2.4. równoległej do płaszczyzny π

2

: 2x + 6y − 3z + 6 = 0 i leżącej w odległości 2 od płaszczyzny π

2

2.5. przechodzącej przez punkt P (2, 4, −1) i zawierającej prostą l :

x − 1

3

=

y + 1

0

=

z

2

2.6. zawierającej prostą l :

x + 2

2

=

y

4

=

z − 1

3

i prostopadłą do płaszczyzny π

2

: 5x − 3y + z − 1 = 0

2.7. przechodzącą przez P (2, 0, 3) i równoległą do prostych l

1

: x−2 =

y

3

=

z + 1

2

i l

2

:











x + 5y − 2 = 0

x + 3y + z = 0

2.8. przechodzącej przez punkt P (3, 2, −4) i prostopadłej do prostej l :











x − y + z = 0

2x + 3y − 5z + 2 = 0

3. Wyznaczyć odległość

3.1. punktu P (2, 1, −4) od płaszczyzny π : 4x + 4y + 7z − 11 = 0.

3.2. prostej l :

x − 1

3

=

y − 2

−6

=

z

−4

od płaszczyzny π : 6x + 7y − 6z + 10 = 0.

3.3. punktu P (1, −2, 4) od prostej l :











2x + y − z + 1 = 0

3x + 5y + 2z − 2 = 0

.

4. Zbadać wzajemne położenie prostej l :

x + 2

a

2

=

y + 1

3

= z − 1 i płaszczyzny π : x − y + 2z − 2a + 1 = 0

w zależności od parametru a ∈ R. W przypadku gdy prosta l jest równoległa do płaszczyzny π

wyznaczyć równanie płaszczyzny π

2

równoległej do π i zawierającej prostą l. W przypadku, gdy

prosta l przebija płaszczyznę π w jednym punkcie, wyznaczyć współrzędne punktu przebicia.

5. Zbadać wzajemne położenie prostej l

1

:











x − y + z − 3 = 0

4x − y − z − 2 = 0

i prostej l

2

.

5.1. l

2

:























x = 2t + 1

y = 5t

z = 3t + 2

, t ∈ R

5.2. l

2

:











2x + y − 3z + 4 = 0

3x + 3y − 7z + 10 = 0

5.3. l

2

: x + 1 =

y + 4

2

=

8 − z

3

5.4. l

2

: x + 3 = y − 1 = 5 − z

Jeśli proste l

1

i l

2

są różne i leżą w jednej płaszczyźnie to wyznaczyć równanie tej płaszczyzny.

Jeśli proste l

1

i l

2

się nie przecinają to wyznaczyć ich odległość.

1

Algebra z geometrią, Zestaw 10, A.Sz.

6. Wyznaczyć równanie prostej l

6.1. przechodzącej przez punkty P (1, 2, −1) i R(2, 3, −5)

6.2. przechodzącej przez punkt P (2, 1, −2) i prostopadłej do płaszczyzny π : 3x + 2y − 5z + 2 = 0

6.3. przechodzącej przez punkt P (1, 0, −3) i przecinającej prostą k : x =

y

2

= −z − 4

pod kątem

π

3

6.4. symetrycznej do prostej k :

x − 1

0

=

y + 3

5

=

z

3

względem płaszczyzny π : 2x + y + z + 9 = 0

7. Wyznaczyć kąt

7.1. między wektorami ~

v

1

= [1, −1, 0] i ~

v

2

= [−2, 1, 1]

7.2. nachylenia płaszczyzn π

1

: x − y + 5 = 0 i π

2

= −2x + y + z + 3 = 0

7.3. nachylenia prostych l

1

:























x = t + 5

y = −3

z = t

, t ∈ R

i

l

2

:











3x + y + z = 0

x + 2y + 2z − 5 = 0

7.4. nachylenia prostej l : x − 2 = y + 1 =

z

2

do płaszczyzny π : 3x + 3z − 1 = 0

8. Wyznaczyć rzut prostopadły

8.1. punktu P (2, 1, 5) na płaszczyznę π : 3x − y + 2z − 1 = 0

8.2. punktu P (3, 0, 4) na prostą l :











x + 2y + 5z + 1 = 0

2x − 2y + z + 11 = 0

8.3. prostej l :











x − y + z + 4 = 0

2x + 3y + z − 1 = 0

na płaszczyznę π : x − 2y − 3z − 1 = 0

9. Wyznaczyć prostą l przecinającą proste m :











x + y − z + 1 = 0

2x − y + z − 7 = 0

i

k :

x

2

=

y − 3

0

= z + 1

pod kątem prostym.

Odpowiedzi

1. S =

9
2

V =

3
2

π : 2x − 2y + z − 1 = 0

d(P

4

, π) = 1

2.1. π : 2x + y + 4z − 12 = 0

2.2. π : x − 3y + 2z + 8 = 0

2.3. π : 3x − y − z − 7 = 0

2.4. π

1

: 2x + 6y − 3z − 8 = 0

π

2

: 2x + 6y − 3z + 20 = 0

2.5. π : 2x − y − 3z − 3 = 0

2.6. π : x + y − 2z + 4 = 0

2.7. π : x − 3y + 4z − 14 = 0

2.8. π : 2x + 7y + 5z = 0

3.1. d(P, π) = 3

3.2. d(l, π) =

30
11

3.3. d(P, l) =

√

2

4. Dla a = 1 prosta l leży w płaszczyźnie π. Dla a = −1 prosta l jest równoległa do π (brak punktów wspólnych), π

2

: x − y + 2z + 1 = 0.

Dla a ∈ R \ {−1, 1} prosta l przebija płaszczyznę π w punkcie

2a

2

−2a−2

a+1

,

5−a
a+1

,

a+3
a+1

.

5.1. ta sama prosta

5.2. równoległe (bez punktów wspólnych),

leżą w płaszczyźnie 2x + y − 3z + 4 = 0,

d(l

1

, l

2

) =

p

7

19

5.3. przecinają się w punkcie (1, 0, 2),

leżą w płaszczyźnie −21x + 9y − z + 20 = 0

5.4. skośne,

d(l

1

, l

2

) = 2

√

2

6.1. l :







x = t + 1

y = t + 2

z = −4t − 1

6.2. l :







x = 3t + 2

y = 2t + 1

z = −5t − 2

6.3.

l : x − 1 = −y =

z+3

2

lub

l :

x−1

2

= y = z + 3

6.4. l :







x = −16p + 1

y = 7p − 8

z = p − 3

7.1. ϕ = −

π

6

7.2. ϕ =

π

6

7.3. ϕ =

π

3

7.4. ϕ =

π

3

8.1. P

0

(−1, 2, 3)

8.2. P

0

−

54
29

,

90
29

, −

31
29

8.3. l

0

:

x − 2y − 3z − 1 = 0

x − y + z + 4 = 0

9. l : x − 2 =

y−

1
3

2

=

z−

10

3

−2

2