1
6. LINIOWA GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Równania płaszczyzny
Płaszczyznę
w przestrzeni R
3
określaja m.in.:
trzy niewspółliniowe (niekolinearne) punkty
1
2
3
,
,
P P P ;
prosta l oraz punkt
0
P nie należący do tej prostej;
dwie niepokrywające się proste równoległe,
dwie proste nierównoległe przechodzące przez punkt wspólny;
punkt
0
P tej płaszczyzny oraz niezerowy wektor n prostopadły do tej płaszczyzny.
1. Równanie normalne płaszczyzny
Równanie płaszczyzny
przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P x y z
i prostopadłej do niezerowego wektora
, ,
n
A B C
(wektor normalny),
2
2
2
0
A
B
C
przyjmuje postać:
0
0
0
:
(
)
(
)
(
)
0
A x
x
B y
y
C z
z
2. Równanie ogólne płaszczyzny
Równanie ogólne płaszczyzny przyjmuje następującą postać:
:
0
A x
B y
C z
D
gdzie
, ,
n
A B C
- wektor normalny,
D
z
C
- punkt przecięcia osi OZ, o ile
0
C
.
3. Równanie odcinkowe płaszczyzny
Jeśli płaszczyzna
nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, ani nie jest równoległa do żadnej osi
układu, to możemy wyprowadzić tzw. równanie odcinkowe płaszczyzny, a mianowicie:
:
1
A
B
C
x
y
z
D
D
D
lub
1
x
y
z
a
b
c
.
Płaszczyzna ta odcina na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki , ,
0
a b c
, gdzie
,
,
D
D
D
a
b
c
A
B
C
.
4. Równanie parametryczne płaszczyzny
Równanie płaszczyzny
przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P x y z
i rozpiętej na niekolinearnych
(niewspółliniowych) wektorach
,
,
x
y
z
u
u u u
i
,
,
x
y
z
v
v v v
ma postać:
0
0
0
:
x
x
y
y
z
z
x
x
s u
t v
y
y
s u
t v
z
z
s u
t v
, ,
s t
R
.
5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
Równanie płaszczyzny
przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
P x y z
P
x y z
,
3
3
3
3
,
,
P
x y z
ma postać:
2
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
:
0
1
1
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
lub
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
:
0
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
.
Równania prostej
Prostą l w przestrzeni R
3
wyznaczają jednoznacznie m.in.:
dwa różne punkty
1
2
,
P P tej przestrzeni;
dwie nierównoległe płaszczyzny
1
2
,
(prosta jest ich wspólną krawędzią);
punkt tej prostej
0
P
l
oraz niezerowy wektor równoległy do prostej v l (nazywany wektorem
kierunkowym prostej).
1. Równanie parametryczne prostej
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P x y z
i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy
,
,
x
y
z
v
v v v
ma postać:
0
0
0
:
x
y
z
x
x
v t
l
y
y
v t
z
z
v t
, t
R .
2. Równanie kierunkowe prostej
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P x y z
i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy
,
,
x
y
z
v
v v v
ma postać:
0
0
0
:
x
y
z
x
x
y
y
z
z
l
v
v
v
.
3. Równanie krawędziowe prostej
Niech
1
1
1
1
1
:
0
A x
B y
C z
D
,
2
2
2
2
2
:
0
A x
B y
C z
D
będą danymi nierównoległymi płaszczyznami.
Równanie prostej l będącej częścią wspólną tych dwóch płaszczyzn
1
2
,
ma postać:
1
1
1
1
2
2
2
2
0
:
0
A x
B y
C z
D
l
A x
B y
C z
D
.
Rzut punktu na prostą
Rzutem prostopadłym punktu P na prostą l nazywamy punkt P
/
tej prostej
spełniający warunek:
/
PP
l
.
Rzut punktu na płaszczyznę
Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę
nazywamy punkt P
/
tej płaszczyzny spełniający warunek:
/
PP
.
3
Odległość punktu od prostej
Niech będzie dana prosta l o wektorze kierunkowym
,
,
x
y
z
v
v v v
,
1
1
1
,
,
Q x y z – punkt tej prostej oraz punkt
0
0
0
0
,
,
P x y z
nie należący do prostej l.
Odległość punktu
0
P od prostej l wyraża się wzorem:
0
QP v
d
v
. lub
1
0
1
0
1
0
2
2
2
det
x
y
z
x
y
z
i
j
k
x
x
y
y
z
z
v
v
v
d
v
v
v
Odległość dwóch prostych skośnych
Niech
proste
1
2
,
l l
będą
prostymi
skośnymi
o
odpowiednich
wektorach
kierunkowych
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
v
v
v
v
v
v
v
v
, punkty
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
P x y z
P
x y z
są odpowiednio punktami tych prostych
(
1
1
2
2
,
P
l
P
l
).
Odległość prostych skośnych
1
2
,
l l wyraża się wzorem:
1 2
1
2
1
2
, ,
P P v v
d
v
v
.
Odległość dwóch prostych równoległych
Niech
proste
1
2
,
l l
będą
prostymi
równoległymi
o
odpowiednich
wektorach
kierunkowych
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
v
v
v
v
v
v
v
v
, punkty
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
P x y z
P
x y z
są odpowiednio punktami tych prostych
(
1
1
2
2
,
P
l
P
l
).
Odległość prostych równoległych
1
2
,
l l wyraża się wzorem:
1
1 2
2
1 2
1
2
v
P P
v
P P
d
v
v
.
Odległość punktu od płaszczyzny
Niech
:
0
A x
B y
C z
D
będzie daną płaszczyzną, punkt
0
0
0
0
,
,
P x y z
punktem nie należącym do tej
płaszczyzny.
Odległość d punktu
0
0
0
0
,
,
P x y z
od płaszczyzny
wyraża się wzorem:
0
0
0
2
2
2
A x
B y
C z
D
d
A
B
C
.
Odległość płaszczyzn równoległych
Niech
1
1
1
1
1
:
0
A x
B y
C z
D
,
2
2
2
2
2
:
0
A x
B y
C z
D
będą danymi płaszczyznami równoległymi,
czyli
1
2
1
2
1
2
,
,
A
A
B
B
C
C
.Wówczas wektor normalny obu tych płaszczyzn można przedstawić następująco:
, ,
n
A B C
.
Odległość d między płaszczyznami równoległymi
1
2
,
wyraża się wzorem:
1
2
2
2
2
D
D
d
A
B
C
.