1

6. LINIOWA GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Równania płaszczyzny

Płaszczyznę



w przestrzeni R

3

określaja m.in.:



trzy niewspółliniowe (niekolinearne) punkty

1

2

3

,

,

P P P ;



prosta l oraz punkt

0

P nie należący do tej prostej;



dwie niepokrywające się proste równoległe,



dwie proste nierównoległe przechodzące przez punkt wspólny;



punkt

0

P tej płaszczyzny oraz niezerowy wektor n prostopadły do tej płaszczyzny.

1. Równanie normalne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny



przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P x y z

i prostopadłej do niezerowego wektora





, ,

n

A B C



(wektor normalny),

2

2

2

0

A

B

C







przyjmuje postać:

0

0

0

:

(

)

(

)

(

)

0

A x

x

B y

y

C z

z















2. Równanie ogólne płaszczyzny

Równanie ogólne płaszczyzny przyjmuje następującą postać:

:

0

A x

B y

C z

D







 

gdzie





, ,

n

A B C



- wektor normalny,

D

z

C

 

- punkt przecięcia osi OZ, o ile

0

C



.

3. Równanie odcinkowe płaszczyzny

Jeśli płaszczyzna



nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, ani nie jest równoległa do żadnej osi

układu, to możemy wyprowadzić tzw. równanie odcinkowe płaszczyzny, a mianowicie:

:

1

A

B

C

x

y

z

D

D

D















lub

1

x

y

z

a

b

c

  

.

Płaszczyzna ta odcina na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki , ,

0

a b c



, gdzie

,

,

D

D

D

a

b

c

A

B

C

 

 

 

.

4. Równanie parametryczne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny



przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P x y z

i rozpiętej na niekolinearnych

(niewspółliniowych) wektorach

,

,

x

y

z

u

u u u





 



i

,

,

x

y

z

v

v v v





 



ma postać:

0

0

0

:

x

x

y

y

z

z

x

x

s u

t v

y

y

s u

t v

z

z

s u

t v



 















  





, ,

s t



R

.

5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty

Równanie płaszczyzny



przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty



 



1

1

1

1

2

2

2

2

,

,

,

,

,

P x y z

P

x y z

,





3

3

3

3

,

,

P

x y z

ma postać:

2

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

1

:

0

1

1

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z





lub

1

1

1

2

1

2

1

2

1

3

1

3

1

3

1

:

0

x

x

y

y

z

z

x

x

y

y

z

z

x

x

y

y

z

z























.

Równania prostej

Prostą l w przestrzeni R

3

wyznaczają jednoznacznie m.in.:



dwa różne punkty

1

2

,

P P tej przestrzeni;



dwie nierównoległe płaszczyzny

1

2

,

 

(prosta jest ich wspólną krawędzią);



punkt tej prostej

0

P

l



oraz niezerowy wektor równoległy do prostej v l (nazywany wektorem

kierunkowym prostej).

1. Równanie parametryczne prostej

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P x y z

i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy

,

,

x

y

z

v

v v v





 



ma postać:

0

0

0

:

x

y

z

x

x

v t

l

y

y

v t

z

z

v t

 











  



, t



R .

2. Równanie kierunkowe prostej

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P x y z

i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy

,

,

x

y

z

v

v v v





 



ma postać:

0

0

0

:

x

y

z

x

x

y

y

z

z

l

v

v

v











.

3. Równanie krawędziowe prostej

Niech

1

1

1

1

1

:

0

A x

B y

C z

D











,

2

2

2

2

2

:

0

A x

B y

C z

D











będą danymi nierównoległymi płaszczyznami.

Równanie prostej l będącej częścią wspólną tych dwóch płaszczyzn

1

2

,

 

ma postać:

1

1

1

1

2

2

2

2

0

:

0

A x

B y

C z

D

l

A x

B y

C z

D























.

Rzut punktu na prostą

Rzutem prostopadłym punktu P na prostą l nazywamy punkt P

/

tej prostej

spełniający warunek:

/

PP

l



.

Rzut punktu na płaszczyznę

Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę



nazywamy punkt P

/

tej płaszczyzny spełniający warunek:

/

PP





.

3

Odległość punktu od prostej

Niech będzie dana prosta l o wektorze kierunkowym

,

,

x

y

z

v

v v v





 



,





1

1

1

,

,

Q x y z – punkt tej prostej oraz punkt





0

0

0

0

,

,

P x y z

nie należący do prostej l.

Odległość punktu

0

P od prostej l wyraża się wzorem:

0

QP v

d

v







. lub

1

0

1

0

1

0

2

2

2

det

x

y

z

x

y

z

i

j

k

x

x

y

y

z

z

v

v

v

d

v

v

v

































Odległość dwóch prostych skośnych

Niech

proste

1

2

,

l l

będą

prostymi

skośnymi

o

odpowiednich

wektorach

kierunkowych

1

1

1

1

2

2

2

2

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

v

v

v

v

v

v

v

v





















, punkty



 



1

1

1

1

2

2

2

2

,

,

,

,

,

P x y z

P

x y z

są odpowiednio punktami tych prostych

(

1

1

2

2

,

P

l

P

l





).

Odległość prostych skośnych

1

2

,

l l wyraża się wzorem:

1 2

1

2

1

2

, ,

P P v v

d

v

v



















.

Odległość dwóch prostych równoległych

Niech

proste

1

2

,

l l

będą

prostymi

równoległymi

o

odpowiednich

wektorach

kierunkowych

1

1

1

1

2

2

2

2

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

v

v

v

v

v

v

v

v





















, punkty



 



1

1

1

1

2

2

2

2

,

,

,

,

,

P x y z

P

x y z

są odpowiednio punktami tych prostych

(

1

1

2

2

,

P

l

P

l





).

Odległość prostych równoległych

1

2

,

l l wyraża się wzorem:

1

1 2

2

1 2

1

2

v

P P

v

P P

d

v

v





































.

Odległość punktu od płaszczyzny

Niech

:

0

A x

B y

C z

D







 

będzie daną płaszczyzną, punkt





0

0

0

0

,

,

P x y z

punktem nie należącym do tej

płaszczyzny.

Odległość d punktu





0

0

0

0

,

,

P x y z

od płaszczyzny



wyraża się wzorem:

0

0

0

2

2

2

A x

B y

C z

D

d

A

B

C













.

Odległość płaszczyzn równoległych

Niech

1

1

1

1

1

:

0

A x

B y

C z

D











,

2

2

2

2

2

:

0

A x

B y

C z

D











będą danymi płaszczyznami równoległymi,

czyli

1

2

1

2

1

2

,

,

A

A

B

B

C

C







.Wówczas wektor normalny obu tych płaszczyzn można przedstawić następująco:





, ,

n

A B C



.

Odległość d między płaszczyznami równoległymi

1

2

,

 

wyraża się wzorem:

1

2

2

2

2

D

D

d

A

B

C









.