Równanie prostej

Wyznaczenie prostej na płaszczyźnie Oxy sprowadza się do wskazania punktu, przez który prosta ma przechodzić i kierunku prostej.

Równanie kierunkowe prostej

Prosta pionowa tzn. równoległa do osi OY ma równanie postaci x = c. (Nie jest to funkcja).

Każda inna prosta ma równanie postaci l: y = ax +b, gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej.

Nie każdą prostą można opisać równaniem kierunkowym (np. prostych prostopadłych do osi OX nie można, gdyż tg 90° nie istnieje).

Zależność współczynnika kierunkowego od położenia prostej

Trzy proste przedstawiające funkcję liniową:

(Funkcja - relacja, która każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.)

a > 0 a = 0
l: y = ax + b m: y = b

a < 0
n: y = ax + b

Prosta, która nie jest funkcję liniową:

k: x = c

Dla dowolnej prostej w układzie współrzędnych można dobrać trzy liczby A, B, C, gdzie przynajmniej jedna z liczb A lub B jest różna od zera, takie, że współrzędne każdego punktu tej prostej spełniają równanie Ax + By + C = 0. To równanie nazywamy równaniem ogólnym prostej

l: Ax+By+C=0 gdzie A,B,C to współczynniki liczbowe prostej.

A² + B² > 0       A, B, C
R

Każdą prostą można opisać równaniem ogólnym.

Mając dane równanie prostej w postaci ogólnej, możemy w prosty sposób przekształcić je do postaci kierunkowej i odwrotnie.

Przykład 1

a) Zapisz podane równania w postaci kierunkowej:

1. 2x - y + 3 = 0

2. x + 3y -1 = 0

3. 2x + y = 0.

b) Zapisz podane równania w postaci ogólnej:

1. y =
   x + 4

2. y = -5

3. 2y + 3x = 2(y - x)

Rozwiązanie

a) Przekształcamy równania w taki sposób, by po jednej stronie równania był sam y, a po drugiej wszystko inne

1. -y = -2x - 3 /(-1)

y = 2x + 3

2. 3y = -x +1 /:3

y = -
x +

3. y = -2x

b) Przekształcamy równania w taki sposób, by wszystkie wyrazy znalazły się po jednej stronie równania

A)
x - y + 4 =0

2. y + 5 = 0

3. 2y + 3x = 2y - 2x

2y + 3x - 2y + 2x =0

x = 0

Przykład 2

Podaj wzór takiej funkcji liniowej, która spełnia następujące warunki:

1. funkcja jest rosnąca, a jej wykres przecina oś y w punkcie (0,-3),

2. funkcja jest malejąca i jej wykres przecina oś y w punkcie (0,
   ),

3. funkcja jest stała i do jej wykresu należy punkt (10,-20).

Rozwiązanie

1. Szukamy funkcji y = ax + b.

Jeżeli funkcja jest rosnąca, to jej współczynnik kierunkowy jest liczbą dodatnią (a>0). Ponieważ wykres funkcji przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,-3), więc współczynnik b = -3 i współrzędne tego punktu spełniają równanie szukanej prostej. Stąd otrzymujemy

-3 = a⋅0 + (-3)

Z powyższego równania wynika, że współczynnik a może być każdą liczba rzeczywistą dodatnią , np. dla a=2 równanie przyjmuje postać y = 2x -3.

b) Jeżeli funkcja jest malejąca, to jej współczynnik kierunkowy jest liczbą ujemną (a<0). Ponieważ wykres funkcji przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,
),więc współczynnik b =
i współrzędne tego punktu spełniają równanie szukanej prostej. Stąd otrzymujemy

= a⋅0 + (
)

Z powyższego równania wynika, że współczynnik a może być każdą liczba rzeczywistą ujemną , np. dla a= -2 równanie przyjmuje postać y = -2x
.

2. Jeżeli funkcja jest stała, to znaczy, że dla każdej wartości argumentu x wartość funkcji jest taka sama, a jej współczynnik kierunkowy jest równy zero. Ponieważ funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych (10,-20), więc szukana funkcja ma wzór y = -20.

Dwie proste są równoległe jeśli leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają żadnego punktu wspólnego lub się pokrywają.

Dwie proste są równoległe, gdy:

a) y=a₁x+b₁|| y=a₂x+b₂
a₁=a₂ (ich współczynniki są równe)

b) a₁x+b₁y+c₁=0 || a₂x+b₂y+c₂=0
a₁b₁-a₂b₂=0 ( a₁b₂=a₂b₁)

Przykład 3

Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = 7x +
i przechodzi przez punkt (1, 3).

Rozwiązanie

Aby wykresy funkcji liniowych były równoległe ich współczynniki kierunkowe muszą być takie same. Znając współczynnik kierunkowy prostej i współrzędne choć jednego punktu możemy wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez podany punkt.

Nasza funkcja ma równanie y = 7x +
. Jej współczynnik kierunkowy jest równy a = 7, więc współczynnik kierunkowy prostej równoległej do naszej funkcji musi być identyczny. Przyjmując, że szukany wzór ma postać

y = ax + b,

po podstawieniu wartości współczynnika kierunkowego otrzymujemy

y = 7x + b.

Ponieważ szukana prosta ma przechodzić przez punkt o współrzędnych (1,3), więc te współrzędne spełniają jej równanie. Fakt ten wykorzystujemy do wyznaczenia współczynnika b. Podstawiając odpowiednio współrzędne danego punktu do równania szukanej prostej otrzymamy

3 = 7⋅1 + b

b = 3 - 7

b = -4

Zatem prosta równoległa do prostej y = 7x +
i przechodząca przez punkt (1,3) ma równanie y = 7x - 4.

Przykład 4

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji f : x

i g : x
.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia wykresów dwóch funkcji wystarczy z ich równań zbudować układ i go rozwiązać.

3x + 2 =

3x +
= -2 -1

/

x = -

Mając wyznaczony x podstawiamy go do jednego z równań i wyznaczamy y

y = 3⋅(-
) + 2

y = -
+ 2

y = -

Zatem wykresy funkcji f i g przecinają się w punkcie o współrzędnych (-
,-
).

Przykład 5

Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty o współrzędnych (2,1) i (-2,-3).

Rozwiązanie

Szukane równanie możemy zapisać w postaci y = ax + b. Współrzędne danych punktów spełniają to równanie, zatem

Do rozwiązania tego układu można zastosować metodę przeciwnych współczynników, gdyż przy niewiadomej a mamy liczby przeciwnych znaków.

1 - 3 = 2a - 2a + b + b

-2 = 2b /: 2

b = -1

Podstawiając do pierwszego równania wyznaczoną wartość otrzymamy

1 = 2a -1

1+ 1 = 2a /:2

a = 1

Zatem szukana prosta ma równanie y = x - 1.

Dwie proste są prostopadłe, gdy:

1. y = a₁x + b₁ ⊥ y = a₂x + b₂ ⇔ a₁*a₂ = -1

2. a₁x+b₁y+c₁=0 ⊥ a₂x+b₂y+c₂=0 ⇔ a₁a₂+b₁b₂=0 ( a₁a₂=-b₁b₂)

Przykład 6

Znajdź równanie prostej prostopadłej do prostej y = 8x +
i przechodzącej przez punkt P= (4, -3).

Rozwiązanie

Szukana prosta ma być prostopadłą do danej, więc jej współczynnik kierunkowy wyznaczamy korzystając z warunku na prostopadłość prostych

y = a₁x + b₁ ⊥ y = a₂x + b₂ ⇔ a₁*a₂ = -1

a₁ = 8, więc 8*a₂ = -1. Stąd a₂ = -
.

Zatem równanie szukanej prostej ma postać y = -
x + b. Aby wyznaczyć współczynnik b, wystarczy rozwiązać równanie -3 = -
⋅ 4 + b.

b = -3 +

b = -2

Szukana prosta to y = -
x - 2
.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania:1, 2 str. 145, 3 -9 str.146, 13, 18 str. 147 z podręcznika.