1. Oblicz pole obszaru zawartego między liniami o równaniach y=9-
   i y=8x.

2. Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego wykresami parabol y = x² oraz y = 2x - x².

W pierwszej kolejności wyznaczamy punkty przecięcia parabol rozwiązując układ równań utworzony przez równania parabol. Otrzymujemy x² = 2x - x², czyli 2x² - 2x = 0, skąd dostajemy 2x(x - 1) = 0, a więc x = 0 lub x = 1. Tym samym punktami przecięcia się parabol będą (0, 0) oraz (1, 1).

Widzimy, że górna i dolna parabola mają równania, odpowiednio

y_T = 2x - x² oraz y_B = x².

Pole powierzchni przybliżającego prostokąta równe jest zatem

(y_T - y_B)
x = (2x - x² - x²)
x

i omawiany obszar leży między prostymi x = 0 i x = 1. Zatem całkowite pole powierzchni równe jest

A	=	(2x - 2x^2)dx = 2 (x - x^2)dx =
	=	2[ - ]|0^1 =
	=	2( - ) =

Jeżeli musimy policzyć pole powierzchni ograniczone krzywymi y = f (x) i y = g(x), gdzie f (x)
g(x) dla pewnych wartości x, ale f (x)
g(x) dla innych, to wówczas możemy podzielić obszar S na kilka podobszarów S₁, S₂,... o polach A₁, A₂,....

Pole obszaru S możemy wtedy zdefiniować jako sumę pól obszarów S₁, S₂,..., czyli A = A₁ + A₂ +.... Ponieważ

| f (x) - g(x)| =

otrzymujemy następujący wzór na pole A powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi y = f (x) i y = g(x) oraz liniami pionowymi x = i x = b:

A =
| f (x) - g(x)| dx

Obliczyć pole obszaru ograniczonego prostą y = x - 1 i parabolą y² = 2x + 6.

Rozwiązując odpowiedni układ równan przekonujemy się, że krzywe przecinają się w puntach (- 1, - 2) oraz (5, 4). Przekształcamy równanie paraboli tak, aby było funkcją zmiennej y. Tym samym nasz obszar ograniczony jest z lewej i z prawej strony krzywymi

x_L =
y² -3 oraz x_R = y + 1.

Przeprowadzamy całkowanie od y = - 2 do y = 4:

A	=	(xR - xL)dy =
	=	[(y + 1) - ( y^2 - 3)]dy =
	=	(- y^2 + y + 4)dy =
	=	- ( ) + +4y|-2^4 =
	=	- (64) + 8 + 16 - ( + 2 - 8) = 18

3. Obliczyć pole obszaruZAWARTEGOmiędzyKRZYWYMioRÓWNANIACH:

;

4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji okrąg
i

Wykonać rysunek. Skorzystać z geometrycznej interpretacji całki.

Obszar ograniczony wykresami funkcji
i

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Pole tego obszaru jest równe różnicy pól pod wykresami obu

zadanych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla
Mamy zatem

Odpowiedź:

Pole rozważanego obszaru wynosi

5. Obliczyć pole mniejszego z obszarów ograniczonego przez okrąg
oraz wykres funkcji

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Obszar jest symetryczny względem osi
więc wystarczy

obliczyć pole połowy obszaru (dla
). Obszar leży między wykresami funkcji
oraz
zatem jego pole jest równe różnicy pól pod wykresami obu powyższych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla
Mamy zatem

Na zakończenie zauważmy, że rozważanym obszarem jest ćwiartka

koła, której pole wynosi

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi

1

---