Zestaw 9
Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa

Całka oznaczona
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej

[ ]

→

b

a

f

,

:

Ρ

, to całką oznaczoną funkcji

f

w przedziale

[ ]

b

a,

nazywamy

( )

( ) ( )

a

F

b

F

dx

x

f

b

a

−

=

∫

.

Wyrażenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy

( )

[

]

b
a

x

F

.

Wartość całki oznaczonej nie zależy od wyboru funkcji pierwotnej.




Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

(

)

∫

+

−

3

1

2

4

3

4

dx

x

x

Funkcja

[ ]

→

3

,

1

:

f

Ρ

określona wzorem

( )

4

3

4

2

+

−

=

x

x

x

f

jest ciągła. Wyznaczmy całkę

nieoznaczoną

(

)

∫

+

+

⋅

−

⋅

=

+

−

C

x

x

x

dx

x

x

4

2

1

3

3

1

4

4

3

4

2

3

2

. Wtedy funkcja

( )

x

x

x

x

F

4

2

3

3

4

2

3

+

−

=

jest funkcją pierwotną f . Zatem

(

)

3

92

4

2

3

3

4

3

4

9

2

3

27

3

4

4

2

3

3

4

4

3

4

3

1

2

3

3

1

2

=













+

−

−













⋅

+

⋅

−

⋅

=









+

−

=

+

−

∫

x

x

x

dx

x

x

.

b)

∫

2

1

2

1

dx

x

Funkcja

[ ]

→

2

,

1

:

f

Ρ

określona wzorem

( )

2

1

x

x

f

=

jest ciągła. Wyznaczmy całkę

nieoznaczoną

∫

+

−

=

C

x

dx

x

1

1

2

. Wtedy funkcja

( )

x

x

F

1

−

=

jest funkcją pierwotną f .

Zatem

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

=

+

−

=









−

=

∫

x

dx

x

.

2

c)

∫

−

1

0

1

2

3

3

dx

e

x

x

Funkcja

[ ]

→

1

,

0

:

f

Ρ

określona wzorem

( )

1

2

3

3

−

=

x

e

x

x

f

jest ciągła. Przyjmując

( )

1

3

−

=

x

x

g

i

( )

t

e

t

h

=

zauważamy, że

( )

( )

(

) ( )

1

2

3

3

−

=

′

=

x

e

x

x

g

x

g

h

x

f

. Zatem stosując

wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną

∫

∫

+

=

+

=

=

−

−

C

e

C

e

dt

e

dx

e

x

x

t

t

x

1

1

2

3

3

3

. Wtedy funkcja

( )

1

3

−

=

x

e

x

F

jest funkcją

pierwotną f . Stąd

[ ]

e

e

e

e

e

e

dx

e

x

x

x

1

1

3

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

2

3

3

−

=

−

=

−

=

=

−

−

−

−

−

∫

.

d)

∫

e

xdx

x

1

ln

Funkcja

[ ]

→

e

f

,

1

:

Ρ

określona wzorem

( )

x

x

x

f

ln

=

jest ciągła. Zauważmy, że

( ) ( ) ( )

x

h

x

g

x

f

′

=

, gdzie

( )

x

x

g

ln

=

i

( )

x

x

h

=

′

. Wtedy

( )

x

x

g

1

=

′

i

( )

2

2

1

x

x

h

=

.

Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

∫

∫

=

⋅

−

⋅

=

′

−

=

′

=

dx

x

x

x

x

dx

x

h

x

g

x

h

x

g

dx

x

h

x

g

xdx

x

2

2

2

1

1

ln

2

1

ln

(

)

∫

+

−

=

+

−

⋅

=

−

⋅

C

x

x

C

x

x

x

xdx

x

x

1

ln

2

4

1

4

1

ln

2

1

2

1

ln

2

1

2

2

2

2

. Wtedy funkcja

( )

(

)

1

ln

2

4

1

2

−

=

x

x

x

F

jest funkcją pierwotną f . Zatem

(

)

(

) (

)

4

1

4

1

1

1

ln

2

4

1

1

ln

2

4

1

1

ln

2

4

1

ln

2

2

1

2

1

+

=

−

−

−

=









−

=

∫

e

e

e

x

x

xdx

x

e

e

.

Pole obszaru

Jeżeli

( )

0

≥

x

f

dla

[ ]

b

a

x

,

∈

, to całka oznaczona

( )

∫

b

a

dx

x

f

jest równa polu obszaru

ograniczonego wykresem funkcji f i prostymi

a

x

=

,

b

x

=

oraz

0

=

y

(czyli osią OX).

Jeżeli

( ) ( )

x

g

x

f

≥

dla

[ ]

b

a

x

,

∈

, to całka oznaczona

( ) ( )

(

)

∫

−

b

a

dx

x

g

x

f

jest równa polu

obszaru ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi

a

x

=

,

b

x

=

.

3

Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

a)

2

1

−

=

x

y

,

3

=

x

,

4

=

x

,

0

=

y

.

Niech

[ ]

→

4

,

3

:

f

Ρ

będzie określona wzorem

( )

2

1

−

=

x

x

f

. Jeżeli

4

3

≤

≤

x

, to

2

2

1

≤

−

≤

x

, więc

1

2

1

2

1

≤

−

≤

x

, czyli

( )

0

≥

x

f

. zatem pole obszaru jest równe

(

)

[

]

2

ln

2

ln

2

1

4
3

4

3

=

−

=

−

∫

x

dx

x

.

b)

6

2

+

+

−

=

x

x

y

,

4

2

+

=

x

y

.

Określmy funkcje f i g wzorami

( )

6

2

+

+

−

=

x

x

x

f

,

( )

4

2

+

=

x

x

g

,

∈

x

Ρ

.

Rozwiązując równanie

( ) ( )

x

g

x

f

=

znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji f i g :

( ) ( )

( ) ( )

(

)

(

)

1

2

0

2

4

2

6

0

2

2

=

∨

−

=

⇔

=

+

−

−

=

+

−

+

+

−

⇔

=

−

⇔

=

x

x

x

x

x

x

x

x

g

x

f

x

g

x

f

.

Ponadto, jeżeli

[ ]

1

,

2

−

∈

x

, to

( ) ( )

( ) ( )

x

g

x

f

x

g

x

f

x

x

≥

⇔

≥

−

⇔

≥

+

−

−

0

0

2

2

. Zatem

pole obszaru zawartego między wykresami funkcji f i g jest równe

( ) ( )

(

)

(

)

2

9

2

2

1

3

1

2

1

2

2

3

1

2

2

1

2

=









+

−

−

=

+

−

−

=

−

−

−

−

∫

∫

x

x

x

dx

x

x

dx

x

g

x

f

.

Wartość średnia funkcji w przedziale
Jeżeli funkcja

[ ]

→

b

a

f

,

:

Ρ

jest ciągła, to istnieje takie

[ ]

b

a

c

,

∈

, że

( )

( )(

)

a

b

c

f

dx

x

f

b

a

−

=

∫

.

Wartość

( )

c

f

nazywamy średnią wartością funkcji f w przedziale

[ ]

b

a,

.

Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji f w podanym przedziale :

a)

( )

3

2

−

=

x

x

f

;

[ ]

4

,

2

.

Mamy

2

=

a

,

4

=

b

oraz

(

)

[

]

6

2

4

3

3

2

4

2

2

4

2

=

+

=

−

=

−

∫

x

x

dx

x

.

Ponieważ

2

2

4

=

−

=

−

a

b

, to średnia wartość funkcji f w przedziale

[ ]

4

,

2

jest równa

4

( )

3

2

6

=

=

c

f

.

b)

( )

x

x

x

f

−

=

2

,

[ ]

9

,

4

.

Mamy

4

=

a

,

9

=

b

oraz

(

)

=

+

−

−

=

+

−

−

=









−

=

−

∫

2

3

2

3

2

3

2

3

9

4

2

3

9

4

4

2

1

2

3

4

9

2

1

3

3

4

4

2

1

4

3

4

9

2

1

9

3

4

2

1

3

4

2

x

x

dx

x

x

6

43

8

3

2

10

2

1

40

36

8

3

32

2

81

36

−

=

+

−

−

−

−

=

+

−

−

.

Ponieważ

5

4

9

=

−

=

−

a

b

, to średnia wartość funkcji f w przedziale

[ ]

9

,

4

jest równa

( )

30

43

5

6

43

−

=

⋅

−

=

c

f

.

Całka niewłaściwa
Niech

[

)

→

b

a

f

,

:

Ρ

, gdzie

∈

b

Ρ

lub

+∞

=

b

. Jeżeli dla każdego

( )

b

a

c

,

∈

istnieje całka

oznaczona

( )

∫

c

a

dx

x

f

oraz istnieje skończona granica

( )

∫

−

→

=

c

a

b

c

dx

x

f

A

lim

,

to A nazywamy całką niewłaściwą funkcji f i oznaczamy

( )

∫

b

a

dx

x

f

.

Mówimy też, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica

( )

∫

−

→

c

a

b

c

dx

x

f

lim

nie istnieje

lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Podobnie w przypadku

(

]

→

b

a

f

,

:

Ρ

, gdzie

∈

a

Ρ

lub

−∞

=

a

.

Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:

a)

∫

+∞

1

2

1

dx

x

5

Funkcja

[

)

→

+∞

,

1

:

f

Ρ

określona wzorem

( )

2

1

x

x

f

=

jest ciągła, więc dla każdego

[

)

+∞

∈

,

1

c

całka oznaczona

∫

c

dx

x

1

2

1

istnieje. Zatem

1

1

1

lim

1

lim

1

lim

1

1

1

2

1

2

=













+

−

=









−

=

=

+∞

→

+∞

→

+∞

→

+∞

∫

∫

c

x

dx

x

dx

x

c

c

c

c

c

.

b)

∫

+∞

1

1

dx

x

[ ]

(

)

+∞

=

−

=

=

=

+∞

→

+∞

→

+∞

→

+∞

∫

∫

1

ln

ln

lim

ln

lim

1

lim

1

1

1

1

c

x

dx

x

dx

x

c

c

c

c

c

.

Całka jest rozbieżna.

c)

∫

4

0

1

dx

x

[ ]

(

)

2

2

2

lim

2

lim

1

lim

1

0

1

0

1

0

4

0

=

−

=

=

=

+

+

+

→

→

→

∫

∫

c

x

dx

x

dx

x

c

c

c

c

c

.

d)

∫

−

3

1

1

1

dx

x

(

)

[

]

( )

(

)

+∞

=

−

−

=

−

=

−

=

−

+

+

+

→

→

→

∫

∫

1

ln

2

ln

lim

1

ln

lim

1

1

lim

1

1

1

3

1

3

1

3

1

c

x

dx

x

dx

x

c

c

c

c

c

.

Całka jest rozbieżna.




Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

(

)

∫

−

4

2

5

2

dx

x

e)

∫

3

1

3

1

dx

x

i)

∫

+

⋅

2

1

1

2

2

dx

e

x

x

b)

(

)

∫

−

+

+

1

0

2

3

1

3

2

dx

x

x

x

f)

dx

x

x

x

e

∫

−

+

1

2

3

2

3

j)

∫

−

⋅

3

1

3

2

2

4

dx

e

x

x

6

c)

∫

+

1

0

1

2

1

dx

x

g)

∫

+

4

1

3

2

3

2

dx

x

x

x

k)

∫

−

⋅

1

0

dx

e

x

x

d)

∫

−

2

1

2

3

1

dx

x

h)

∫

+

1

0

3

2

dx

e

x

l)

∫

⋅

3

1

2

ln xdx

x

Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

a)

x

y

x

y

5

,

2

=

=

g)

2

,

0

,

0

,

1

1

=

=

=

+

−

=

x

x

y

x

y

b)

x

y

x

y

4

,

3

=

=

h)

2

2

,

1

25

16

x

y

x

y

=

+

=

c)

2

2

2

,

x

y

x

y

−

=

=

i)

2

,

1

,

0

,

3

2

2

3

=

=

=

−

−

=

x

x

y

x

x

x

y

d)

2

,

2

+

=

=

x

y

x

y

j)

0

,

100

,

10

,

10

=

=

=

=

x

y

y

y

x

e)

4

,

1

,

0

,

5

4

2

=

=

=

−

−

=

x

x

y

x

x

y

k)

1

,

,

=

=

=

−

x

e

y

e

y

x

x

f)

4

17

,

1

+

−

=

=

x

y

x

y

l)

2

2

4

,

4

x

y

x

y

−

=

−

=

Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale:

a)

( )

[ ]

1

,

0

;

1

2

3

2

=

+

=

x

x

x

f

c)

( )

[ ]

1

,

0

;

5

2

+

=

x

e

x

f

b)

( )

[ ]

2

,

1

;

4

1

x

x

f

=

d)

( )

[

]

2

,

2

;

2

4

2

−

⋅

=

−

x

e

x

x

f

Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:

a)

∫

∞

−

0

dx

e

x

d)

∫

1

0

2

1

dx

x

g)

∫

+∞

1

1

dx

x

b)

∫

∞

−

0

3

2 dx

x

e)

∫

−

2

0

3

2

dx

x

h)

∫













−

8

0

3

1

2

dx

x

x

c)

∫

+∞

−

1

dx

e

x

f)

∫

8

0

3

2

1

dx

x

i)

∫

−

+

0

1

1

1

dx

x

7

Odpowiedzi

Zadanie 1.

a) 2

d)

4

ln

3

1

g)

3

4

5

36

5

106

+

j)

e

e

1

15

−

b) 1

e)

9

4

h)

3

6

2

1

2

1

e

e

−

k)

1

2

+

−

e

c)

3

ln

2

1

f)

2

13

2

2

3

2

−

+

e

e

i)

2

5

e

e

−

l)

9

26

3

ln

9

−

Zadanie 2.

a)

6

125

d)

2

9

g)

3

ln

j)

10

ln

90

190

−

b) 8

e) 24

h)

9

20

k)

2

1

2

−

+

e

e

c)

3

8

f)

4

ln

2

32

255

−

i)

12

65

l)

3

64

Zadanie 3.

a) 3

b)

2

ln

4

1

c)

2

5

7

e

e

−

d) 0

Zadanie 4.

a) 1

d) całka rozbieżna

g) całka rozbieżna

b)

2

ln

3

1

e) całka rozbieżna

h) 58

c)

e

1

f) 6

i) całka rozbieżna