Zestaw 9
Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa
Całka oznaczona
JeŜeli F jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej
[ ]
→
b
a
f
,
:
Ρ
, to całką oznaczoną funkcji
f
w przedziale
[ ]
b
a,
nazywamy
( )
( ) ( )
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
−
=
∫
.
WyraŜenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy
( )
[
]
b
a
x
F
.
Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej.
Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:
a)
(
)
∫
+
−
3
1
2
4
3
4
dx
x
x
Funkcja
[ ]
→
3
,
1
:
f
Ρ
określona wzorem
( )
4
3
4
2
+
−
=
x
x
x
f
jest ciągła. Wyznaczmy całkę
nieoznaczoną
(
)
∫
+
+
⋅
−
⋅
=
+
−
C
x
x
x
dx
x
x
4
2
1
3
3
1
4
4
3
4
2
3
2
. Wtedy funkcja
( )
x
x
x
x
F
4
2
3
3
4
2
3
+
−
=
jest funkcją pierwotną f . Zatem
(
)
3
92
4
2
3
3
4
3
4
9
2
3
27
3
4
4
2
3
3
4
4
3
4
3
1
2
3
3
1
2
=
+
−
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
+
−
=
+
−
∫
x
x
x
dx
x
x
.
b)
∫
2
1
2
1
dx
x
Funkcja
[ ]
→
2
,
1
:
f
Ρ
określona wzorem
( )
2
1
x
x
f
=
jest ciągła. Wyznaczmy całkę
nieoznaczoną
∫
+
−
=
C
x
dx
x
1
1
2
. Wtedy funkcja
( )
x
x
F
1
−
=
jest funkcją pierwotną f .
Zatem
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
=
+
−
=
−
=
∫
x
dx
x
.
2
c)
∫
−
1
0
1
2
3
3
dx
e
x
x
Funkcja
[ ]
→
1
,
0
:
f
Ρ
określona wzorem
( )
1
2
3
3
−
=
x
e
x
x
f
jest ciągła. Przyjmując
( )
1
3
−
=
x
x
g
i
( )
t
e
t
h
=
zauwaŜamy, Ŝe
( )
( )
(
) ( )
1
2
3
3
−
=
′
=
x
e
x
x
g
x
g
h
x
f
. Zatem stosując
wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
∫
∫
+
=
+
=
=
−
−
C
e
C
e
dt
e
dx
e
x
x
t
t
x
1
1
2
3
3
3
. Wtedy funkcja
( )
1
3
−
=
x
e
x
F
jest funkcją
pierwotną f . Stąd
[ ]
e
e
e
e
e
e
dx
e
x
x
x
1
1
3
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
2
3
3
−
=
−
=
−
=
=
−
−
−
−
−
∫
.
d)
∫
e
xdx
x
1
ln
Funkcja
[ ]
→
e
f
,
1
:
Ρ
określona wzorem
( )
x
x
x
f
ln
=
jest ciągła. ZauwaŜmy, Ŝe
( ) ( ) ( )
x
h
x
g
x
f
′
=
, gdzie
( )
x
x
g
ln
=
i
( )
x
x
h
=
′
. Wtedy
( )
x
x
g
1
=
′
i
( )
2
2
1
x
x
h
=
.
Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
∫
∫
=
⋅
−
⋅
=
′
−
=
′
=
dx
x
x
x
x
dx
x
h
x
g
x
h
x
g
dx
x
h
x
g
xdx
x
2
2
2
1
1
ln
2
1
ln
(
)
∫
+
−
=
+
−
⋅
=
−
⋅
C
x
x
C
x
x
x
xdx
x
x
1
ln
2
4
1
4
1
ln
2
1
2
1
ln
2
1
2
2
2
2
. Wtedy funkcja
( )
(
)
1
ln
2
4
1
2
−
=
x
x
x
F
jest funkcją pierwotną f . Zatem
(
)
(
) (
)
4
1
4
1
1
1
ln
2
4
1
1
ln
2
4
1
1
ln
2
4
1
ln
2
2
1
2
1
+
=
−
−
−
=
−
=
∫
e
e
e
x
x
xdx
x
e
e
.
Pole obszaru
JeŜeli
( )
0
≥
x
f
dla
[ ]
b
a
x
,
∈
, to całka oznaczona
( )
∫
b
a
dx
x
f
jest równa polu obszaru
ograniczonego wykresem funkcji f i prostymi
a
x
=
,
b
x
=
oraz
0
=
y
(czyli osią OX).
JeŜeli
( ) ( )
x
g
x
f
≥
dla
[ ]
b
a
x
,
∈
, to całka oznaczona
( ) ( )
(
)
∫
−
b
a
dx
x
g
x
f
jest równa polu
obszaru ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi
a
x
=
,
b
x
=
.
3
Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
a)
2
1
−
=
x
y
,
3
=
x
,
4
=
x
,
0
=
y
.
Niech
[ ]
→
4
,
3
:
f
Ρ
będzie określona wzorem
( )
2
1
−
=
x
x
f
. JeŜeli
4
3
≤
≤
x
, to
2
2
1
≤
−
≤
x
, więc
1
2
1
2
1
≤
−
≤
x
, czyli
( )
0
≥
x
f
. zatem pole obszaru jest równe
(
)
[
]
2
ln
2
ln
2
1
4
3
4
3
=
−
=
−
∫
x
dx
x
.
b)
6
2
+
+
−
=
x
x
y
,
4
2
+
=
x
y
.
Określmy funkcje f i g wzorami
( )
6
2
+
+
−
=
x
x
x
f
,
( )
4
2
+
=
x
x
g
,
∈
x
Ρ
.
Rozwiązując równanie
( ) ( )
x
g
x
f
=
znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji f i g :
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
1
2
0
2
4
2
6
0
2
2
=
∨
−
=
⇔
=
+
−
−
=
+
−
+
+
−
⇔
=
−
⇔
=
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
f
x
g
x
f
.
Ponadto, jeŜeli
[ ]
1
,
2
−
∈
x
, to
( ) ( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
≥
⇔
≥
−
⇔
≥
+
−
−
0
0
2
2
. Zatem
pole obszaru zawartego między wykresami funkcji f i g jest równe
( ) ( )
(
)
(
)
2
9
2
2
1
3
1
2
1
2
2
3
1
2
2
1
2
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
−
∫
∫
x
x
x
dx
x
x
dx
x
g
x
f
.
Wartość średnia funkcji w przedziale
JeŜeli funkcja
[ ]
→
b
a
f
,
:
Ρ
jest ciągła, to istnieje takie
[ ]
b
a
c
,
∈
, Ŝe
( )
( )(
)
a
b
c
f
dx
x
f
b
a
−
=
∫
.
Wartość
( )
c
f
nazywamy średnią wartością funkcji f w przedziale
[ ]
b
a,
.
Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji f w podanym przedziale :
a)
( )
3
2
−
=
x
x
f
;
[ ]
4
,
2
.
Mamy
2
=
a
,
4
=
b
oraz
(
)
[
]
6
2
4
3
3
2
4
2
2
4
2
=
+
=
−
=
−
∫
x
x
dx
x
.
PoniewaŜ
2
2
4
=
−
=
−
a
b
, to średnia wartość funkcji f w przedziale
[ ]
4
,
2
jest równa
4
( )
3
2
6
=
=
c
f
.
b)
( )
x
x
x
f
−
=
2
,
[ ]
9
,
4
.
Mamy
4
=
a
,
9
=
b
oraz
(
)
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
=
−
∫
2
3
2
3
2
3
2
3
9
4
2
3
9
4
4
2
1
2
3
4
9
2
1
3
3
4
4
2
1
4
3
4
9
2
1
9
3
4
2
1
3
4
2
x
x
dx
x
x
6
43
8
3
2
10
2
1
40
36
8
3
32
2
81
36
−
=
+
−
−
−
−
=
+
−
−
.
PoniewaŜ
5
4
9
=
−
=
−
a
b
, to średnia wartość funkcji f w przedziale
[ ]
9
,
4
jest równa
( )
30
43
5
6
43
−
=
⋅
−
=
c
f
.
Całka niewłaściwa
Niech
[
)
→
b
a
f
,
:
Ρ
, gdzie
∈
b
Ρ
lub
+∞
=
b
. JeŜeli dla kaŜdego
( )
b
a
c
,
∈
istnieje całka
oznaczona
( )
∫
c
a
dx
x
f
oraz istnieje skończona granica
( )
∫
−
→
=
c
a
b
c
dx
x
f
A
lim
,
to A nazywamy całką niewłaściwą funkcji f i oznaczamy
( )
∫
b
a
dx
x
f
.
Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa jest zbieŜna. JeŜeli granica
( )
∫
−
→
c
a
b
c
dx
x
f
lim
nie istnieje
lub jest nieskończona, to mówimy, Ŝe całka niewłaściwa jest rozbieŜna.
Podobnie w przypadku
(
]
→
b
a
f
,
:
Ρ
, gdzie
∈
a
Ρ
lub
−∞
=
a
.
Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
a)
∫
+∞
1
2
1
dx
x
5
Funkcja
[
)
→
+∞
,
1
:
f
Ρ
określona wzorem
( )
2
1
x
x
f
=
jest ciągła, więc dla kaŜdego
[
)
+∞
∈
,
1
c
całka oznaczona
∫
c
dx
x
1
2
1
istnieje. Zatem
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
1
1
2
1
2
=
+
−
=
−
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
∫
∫
c
x
dx
x
dx
x
c
c
c
c
c
.
b)
∫
+∞
1
1
dx
x
[ ]
(
)
+∞
=
−
=
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
∫
∫
1
ln
ln
lim
ln
lim
1
lim
1
1
1
1
c
x
dx
x
dx
x
c
c
c
c
c
.
Całka jest rozbieŜna.
c)
∫
4
0
1
dx
x
[ ]
(
)
2
2
2
lim
2
lim
1
lim
1
0
1
0
1
0
4
0
=
−
=
=
=
+
+
+
→
→
→
∫
∫
c
x
dx
x
dx
x
c
c
c
c
c
.
d)
∫
−
3
1
1
1
dx
x
(
)
[
]
( )
(
)
+∞
=
−
−
=
−
=
−
=
−
+
+
+
→
→
→
∫
∫
1
ln
2
ln
lim
1
ln
lim
1
1
lim
1
1
1
3
1
3
1
3
1
c
x
dx
x
dx
x
c
c
c
c
c
.
Całka jest rozbieŜna.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:
a)
(
)
∫
−
4
2
5
2
dx
x
e)
∫
3
1
3
1
dx
x
i)
∫
+
⋅
2
1
1
2
2
dx
e
x
x
b)
(
)
∫
−
+
+
1
0
2
3
1
3
2
dx
x
x
x
f)
dx
x
x
x
e
∫
−
+
1
2
3
2
3
j)
∫
−
⋅
3
1
3
2
2
4
dx
e
x
x
6
c)
∫
+
1
0
1
2
1
dx
x
g)
∫
+
4
1
3
2
3
2
dx
x
x
x
k)
∫
−
⋅
1
0
dx
e
x
x
d)
∫
−
2
1
2
3
1
dx
x
h)
∫
+
1
0
3
2
dx
e
x
l)
∫
⋅
3
1
2
ln xdx
x
Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
a)
x
y
x
y
5
,
2
=
=
g)
2
,
0
,
0
,
1
1
=
=
=
+
−
=
x
x
y
x
y
b)
x
y
x
y
4
,
3
=
=
h)
2
2
,
1
25
16
x
y
x
y
=
+
=
c)
2
2
2
,
x
y
x
y
−
=
=
i)
2
,
1
,
0
,
3
2
2
3
=
=
=
−
−
=
x
x
y
x
x
x
y
d)
2
,
2
+
=
=
x
y
x
y
j)
0
,
100
,
10
,
10
=
=
=
=
x
y
y
y
x
e)
4
,
1
,
0
,
5
4
2
=
=
=
−
−
=
x
x
y
x
x
y
k)
1
,
,
=
=
=
−
x
e
y
e
y
x
x
f)
4
17
,
1
+
−
=
=
x
y
x
y
l)
2
2
4
,
4
x
y
x
y
−
=
−
=
Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale:
a)
( )
[ ]
1
,
0
;
1
2
3
2
=
+
=
x
x
x
f
c)
( )
[ ]
1
,
0
;
5
2
+
=
x
e
x
f
b)
( )
[ ]
2
,
1
;
4
1
x
x
f
=
d)
( )
[
]
2
,
2
;
2
4
2
−
⋅
=
−
x
e
x
x
f
Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
a)
∫
∞
−
0
dx
e
x
d)
∫
1
0
2
1
dx
x
g)
∫
+∞
1
1
dx
x
b)
∫
∞
−
0
3
2 dx
x
e)
∫
−
2
0
3
2
dx
x
h)
∫
−
8
0
3
1
2
dx
x
x
c)
∫
+∞
−
1
dx
e
x
f)
∫
8
0
3
2
1
dx
x
i)
∫
−
+
0
1
1
1
dx
x
7
Odpowiedzi
Zadanie 1.
a) 2
d)
4
ln
3
1
g)
3
4
5
36
5
106
+
j)
e
e
1
15
−
b) 1
e)
9
4
h)
3
6
2
1
2
1
e
e
−
k)
1
2
+
−
e
c)
3
ln
2
1
f)
2
13
2
2
3
2
−
+
e
e
i)
2
5
e
e
−
l)
9
26
3
ln
9
−
Zadanie 2.
a)
6
125
d)
2
9
g)
3
ln
j)
10
ln
90
190
−
b) 8
e) 24
h)
9
20
k)
2
1
2
−
+
e
e
c)
3
8
f)
4
ln
2
32
255
−
i)
12
65
l)
3
64
Zadanie 3.
a) 3
b)
2
ln
4
1
c)
2
5
7
e
e
−
d) 0
Zadanie 4.
a) 1
d) całka rozbieŜna
g) całka rozbieŜna
b)
2
ln
3
1
e) całka rozbieŜna
h) 58
c)
e
1
f) 6
i) całka rozbieŜna