Równania wielomianowe

Równaniem wielomianowym stopnia n nazywamy równanie postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n. Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W(x) = 0.

Pierwiastki wielomianu pierwszego i drugiego stopnia potrafimy już wyznaczać. By wyznaczyć rozwiązania równania wielomianowego stopnia wyższego niż 2 możemy skorzystać z kilku metod.

Pierwszy sposób wykorzystuje rozkład wielomianu na czynniki co najwyżej stopnia drugiego.

Przykład 1

Odp. Rozwiązaniem równania jest x =1.

Przykład 2

Odp. Rozwiązaniem równania jest
.

Przykład 3

Odp. Rozwiązaniem równania jest
.

W ostatnim przykładzie liczba 0 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, ponieważ x² = 0 ⇔ x ⋅ x = 0 ⇔ x = 0 lub x = 0 (dwukrotnie otrzymaliśmy taki sam pierwiastek).

Liczbę a nazywamy k - krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy ten wielomian można przedstawić w postaci

W(x) = (x - a)^k ⋅ P(x),

gdzie P(x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem (czyli P(a) ≠ 0).

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania: 1, 2 str. 24 i 11 str. 25 z podręcznika.

Niektóre równania wielomianowe daje się sprowadzić przez podstawienie do równania kwadratowego.

Przykład 4

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby

Przykład 5

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby
.

Przy rozwiązywaniu niektórych równań wielomianowych można korzystać z twierdzenia Bezout, które mówi, że :

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian x - a

i określa pewna ważną własność wielomianów : reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - a jest równa W(a).

Powyższe twierdzenie daje nam prosty sposób na sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania.

Przykład 6

Sprawdź, czy liczba -2 jest pierwiastkiem równania 4x³ - 4x² -15x +18 = 0. Wyznacz pozostałe rozwiązania tego równania.

Sprawdzamy, czy liczba -2 spełnia dane równanie

4(-2)³ - 4(-2)² -15(-2) +18 = 4⋅ (-8) - 4 ⋅ 4 + 30 + 18 = -32 - 16 + 30 + 18 = 0

Zatem -2 jest pierwiastkiem wielomianu występującego w równaniu. Stąd w myśl tw. Bezout możemy podzielić wielomian przez dwumian x + 2 (bo x - (-2)), by znaleźć jego rozkład na czynniki.

(4x³ - 4x² -15x +18) : (x + 2) = 4x² -12x + 9

-4x³ - 8x²

-12x² - 15x

+12x² + 24x

9x +18

- 9x - 18

0

4x³ - 4x² -15x +18 = (x + 2)( 4x² -12x + 9)

(x + 2)( 4x² -12x + 9) = 0

x + 2 = 0 lub 4x² -12x + 9 = 0

x = -2 lub

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby
.

Twierdzenie Bezout można również wykorzystać do sprawdzenia, czy wielomian dzieli się przez dany dwumian (bez wykonywania dzielenia).

Przykład 7

Nie wykonując dzielenia, sprawdź, czy wielomian W(x) = 5x¹⁴ - 6x + 1 jest podzielny przez dwumian V(x) = x - 1.

Wyznaczamy wartość W(1) = 5 ⋅ 1¹⁴ - 6 ⋅ 1 + 1 =5 - 6 + 1 = 0.

W(1) = 0, więc reszta z dzielenia jest równa 0, a to oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez V(x).

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadania: 1, 4 str. 36 i 8, 9, 11 str. 37 z podręcznika.

Aby rozwiązać równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, możemy skorzystać z następującego twierdzenia:

Załóżmy, że w równaniu wielomianowym

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0

wszystkie współczynniki są a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀ są liczbami całkowitymi i a₀ ≠ 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a₀.

Przykład 8

Rozwiąż równanie x³ - 2x² = 2x + 3 .

x³ - 2x² - 2x - 3 = 0

Wyraz wolny jest równy -3. Dzielnikami tej liczby są : -1, -3, 1, 3. Sprawdzamy, która z tych liczb spełnia nasze równanie.

W(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 2(-1) - 3 = -1 - 2 + 2 - 3 = -3 - 1 = -4 ≠ 0

W(-3) = (-3)³ - 2(-3)² - 2(-3) - 3 = -27 - 18 + 6 - 3 ≠ 0

W(1) = 1³ - 2⋅1² - 2⋅1 - 3 = 1 - 2 - 2 - 3 ≠ 0

W(3) = 3³ - 2⋅3² - 2⋅3 - 3 = 27 - 18 - 6 - 3 = 0

Liczba 3 spełnia to równanie, zatem wykorzystując tw. Bezout dzielimy wielomian W(x) przez dwumian x - 3 by znaleźć jego rozkład na czynniki co najwyżej stopnia 2.

(x³ - 2x² - 2x - 3) : (x - 3) = x² + x +1

- x³ + 3x²

x² - 2x

• x² + 3x

x - 3

-x + 3

0

(x³ - 2x² - 2x - 3) = (x - 3) (x² + x +1)

(x - 3) (x² + x +1) = 0

x - 3 = 0 lub x² + x +1= 0

x = 3 lub a = 1 b = 1 c = 1

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba x = 3.

Ćwiczenie 3

Rozwiąż zadania: 1, 3, 4 str. 41 z podręcznika.

---