Łukasz Czech

26 listopada 2012 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 10

Zadanie 1 Sprawdzić czy podane odwzorowania są liniowe:

a) f

1

: R

3

−→ R

3

,

f

1

(x, y, z) = (y − x, x + z, y − z);

b) f

2

: R

3

−→ R

3

,

f

2

(x, y, z) = (y + x + z, 3x − 2y − z, 2z + 4y);

c) f

3

: R

3

−→ R

4

,

f

3

(x, y, z) = (x − y − 2, 2 + y − z, z + y, x − 2y);

d) f

4

: R

2

−→ R

2

,

f

4

(x, y) = (x

2

− y

2

, 2xy);

e) f

5

: R

2

−→ R

3

,

f

5

(x, y) = (x + 2y, 1 − x − y, 3x + y

2

);

f) f

6

: R

4

−→ R

3

,

f

6

(x, y, z, t) = (x + y, x + z, x + t);

g) f

7

: R

4

−→ R

4

,

f

7

(x, y, z, t) = (2x − 2y, 2z + 2t, x + y − z − t, x − y + 2t);

h) f

8

: R

4

−→ R

2

,

f

8

(x, y, z, t) = (x − y + 2z, 4x − y + 3z − t);

i) f

9

: R

n

−→ R

m

,

f

9

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (x

1

, x

1

+ x

2

, x

1

+ x

2

+ x

3

, . . . , x

1

+ . . . + x

n

);

j) f

10

: R

n

−→ R

m

,

f

10

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (x

1

− x

2

, x

3

− x

4

, x

5

− x

6

, . . . , x

n−1

− x

n

).

Dla tych odwzorowań, które są liniowe, wyznaczyć Ker f , Im f , ich bazy i wymiary oraz
macierze tych odwzorowań.

Zadanie 2 Dla podanych odwzorowań liniowych wyznaczyć Ker f , Im f , ich bazy i
wymiary.

a) f

1

: R

3

−→ R

2

ponadto wiadomo, że f (1, 1, 1) = (1, −2), f (1, 2, 0) = (3, −4),

f (0, 1, 0) = (1, −3);

b) f

2

: R

3

−→ R

3

ponadto wiadomo, że f (0, 3, 1) = (−1, 4, −2), f (1, 0, 0) = (1, 0, −2),

f (1, 1, 0) = (0, 1, −3).

Zadanie 3 Znaleźć macierz odwzorowania f: R

2

−→ R

2

, gdzie f jest symetrią względem

prostej: a) y = x, b) y = −x w bazie standardowej.

Zadanie 4 Znaleźć macierz odwzorowania f : R

2

−→ R

2

, gdzie f jest obrotem wokół

początku układu współrzędnych o kąt α (przyjąć kartezjański, prostokątny układ współ-
rzędnych).