Łukasz Czech

16 kwietnia 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 22

Zadanie 1 Dana jest forma dwuliniowa f (x, y) = X

T

AY , gdzie A =








1

2 −4

2 −2 −2

−4 −2

1








jest macierzą formy f w bazie:

a) kanonicznej;

b) B

1

= ((1, 1, 1), (1, 1, −1), (1, −1, −1));

c) B

2

= ((1, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 0, 0)).

ponadto x = (x

1

, x

2

, x

3

), y = (y

1

, y

2

, y

3

). Zapisz f (x, y) jako wielomian st. 2-go.

Zadanie 2 Niech A =








0 1 1
1 0 1
1 1 0








będzie macierzą formy dwuliniowej f : R

3

× R

3

→ R

w bazie B = ((1, −1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)). Znajdź macierz formy w bazie standardowej.

Zadanie 3 Macierz A =








2 1 4
2 1 2
1 1 2








jest macierzą formy dwuliniowej f w bazie standar-

dowej. Znajdź formę kwadratową skojarzoną z formą dwuliniową f .

Zadanie 4 W przestrzeni R

3

dane są formy kwadratowe:

a) f (x) = x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

;

b) f (x) = 2x

2

1

+ 3x

1

x

2

+ 4x

1

x

3

+ x

2

2

+ x

2

3

;

c) f (x) = 2x

2

1

+ 6x

1

x

2

+ 4x

2

x

3

;

gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

). Znajdź odpowiadające im formy dwuliniowe oraz macierze tych

form w bazie kanonicznej.

Zadanie 5 Macierz A =








1 2 −2
2 2

4

−2 4

1








jest macierzą formy kwadratowej ϕ w bazie

standardowej.

a) Podaj dwie różne formy dwuliniowe f

1

i f

2

takie, że forma kwadratowa jest formą

skojarzoną z f

1

, f

2

.

b) Podaj formę dwuliniową symetryczną f taką, że forma ϕ jest skojarzona z formą f .